Деление и умножение комплексных чисел в тригонометрической форме: 2.1.3 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Содержание

2.1.3 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Пусть даны два числа в тригонометрической форме:

Тогда их произведение можно найти по формуле:

(5)

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Формула (5) имеет место для любого конечного числа сомножителей: если , то

(6)

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме производится по формуле

, (7)

т.е модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент частного – разности аргументов. Применяя формулу (7) к частному случаю , найдём тригонометрическую форму обратного числа :

(8)

Пример. Умножить числа: , .

Решение: .

Пример. Даны комплексные числа ,

Найти частное .

Решение:

Пример. Найти число, обратное к .

Решение: Согласно формуле (8) получим .

2.1.3 Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме

Если , то формула (6) принимает вид

(9)

Формула (9) называется формулой Муавра. Она показывает, что для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени. Если , то формула (9) принимает вид

(10)

Пример. Вычислить .

Решение: чтобы воспользоваться формулой Муавра, найдём тригонометрическую форму числа . Имеем . Тогда

2.

1.4 Извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме

Корнем n-ой степени, из числа z такое комплексное число u, для которого Операция нахождения корней n-ой степени из комплексного числа z называется извлечением корня n-ой степени из числа z и результат её обозначается .

Пусть . Тогда корни n-ой степени из числа z будем вычислять по следующей формуле:

, (11)

где , и все эти значения различны.

Пример. Вычислить .

Решение: имеем:

. Тогда . Отсюда по формуле (11) получим:

где к = 0,1,2,3,4,5. Тогда получаем

, ,

, .

Геометрическая интерпретация корней дана на рисунке, откуда видно, что числа изображаются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом с центром в начале координат.

Пример. Найти .

Решение:

Полагая получим:

, , , .

Пример. Найти .

Решение:

Полагая, получим: , ; .

2.1.5 Показательная форма комплексных чисел

Рассматривая комплексные числа вида , зависящие от действительной переменной и комплекснозначные функции вида ( Л. Эйлер заметил, что относительно операций умножения и дифференцирования эти выражения имеют одни и те же свойства, т.е. они представляют модели одной и той же логической структуры:

Таким образом, выражения и имеют одну и ту же логическую сущность, в связи с этим Эйлер предложил формулу

= , (12)

которая теперь известна как формула Эйлера.

Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме . {2}=-2-i+3 \cdot(-1)=-5-i$

Ответ. $z_{1} \cdot z_{2}=-5-i$

Умножение комплексных чисел в геометрической форме

Если комплексные числа $z_{1}$ и $z_{2}$ заданы в геометрической форме: $z_{1}=\left|z_{1}\right|\left(\cos \phi_{1}+i \sin \phi_{1}\right)$, $z_{2}=\left|z_{2}\right|\left(\cos \phi_{2}+i \sin \phi_{2}\right)$, то произведением этих чисел есть число

$z_{1} z_{2}=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right|\left[\cos \left(\phi_{1}+\phi_{2}\right)+i \sin \left(\phi_{1}+\phi_{2}\right)\right]$

То есть модуль произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти произведение чисел $z_{1}=3 \cdot\left(\cos 10^{\circ}+i \sin 10^{\circ}\right)$, $z_{2}=2 \cdot\left(\cos 50^{\circ}+i \sin 50^{\circ}\right)$ . {\circ}\right)=3+3 \sqrt{3} i$

Читать дальше: деление комплексных чисел.

Деление комплексных чисел — формулы, примеры

LearnPracticeDownload

Деление комплексных чисел немного сложнее, чем сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, поскольку разделить число на мнимое число сложно. Для деления комплексных чисел нам нужно найти член, на который мы можем умножить числитель и знаменатель, который исключит мнимую часть знаменателя, чтобы мы получили действительное число в знаменателе.

В этой статье мы узнаем о делении комплексных чисел, делении комплексных чисел в полярной форме, делении мнимых чисел и делении сложных дробей.

1.	Что такое деление комплексных чисел?
2.	шагов для деления комплексных чисел
3.	Деление комплексных чисел в полярной форме
4.	Часто задаваемые вопросы о делении комплексных чисел

Что такое деление комплексных чисел?

Деление комплексных чисел математически аналогично делению двух действительных чисел. Если $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ являются двумя комплексными числами, то деление комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ математически записывается как:

\[ \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\]

Деление комплексных чисел Формула 92}\справа)\конец{выровнено}\]

Шаги для деления комплексных чисел

Теперь, когда мы знаем, что такое деление комплексных чисел, давайте обсудим этапы деления комплексных чисел. Чтобы разделить два комплексных числа, выполните указанные шаги:

Сначала вычислите сопряженное комплексное число, стоящее в знаменателе дроби.
Умножьте сопряженную дробь на числитель и знаменатель сложной дроби. 92}\справа)\конец{выровнено}\]
Деление комплексных чисел в полярной форме
Разделим комплексное число $z_{1}=r_1\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)$ на комплексное число $z_{2}=r_2\left(\ cos\theta_2+i\sin\theta_2\right)$. 2\theta_2)}\\&=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin( \theta_1-\theta_2)\right]\\&=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\end{выровнено}\]
Где $\theta=\theta_1-\theta_2$ и $r=\dfrac{r_1}{r_2}$.
Таким образом, деление комплексных чисел $z_{1}=r_1\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)$ и $z_{2}=r_2\left(\cos$ theta_2+i\sin\theta_2\right)\) в полярной форме определяется как частное $\dfrac{r_1\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)}{r_2\left(\cos \theta_2+i\sin\theta_2\right)}$.
Рассчитывается по формуле:
\[\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\end{aligned} \]
Важные замечания по делению комплексных чисел
- Чтобы разделить комплексное число a+ib на c+id, умножьте числитель и знаменатель дроби a+ib/c+id на c−id и упростите.
- Комплекс z = a+ib сопряжен с a−ib.
- Модуль комплексного числа z = a+ib равен |z| = √(а ² + б ² )
Темы, связанные с делением комплексных чисел
- Умножение комплексных чисел
- Полярная форма комплексных чисел
- Комплексное сопряжение
Деление комплексных чисел Примеры
1. Пример 1: Выразите комплексное число (5+√2i)/(1−√2i) в виде a+ib, используя формулу деления комплексных чисел. 2}\\&=\dfrac{16+38i}{68}\\&=\dfrac{4} {17}+\dfrac{19}{34}i\end{align}\]
  Ответ: 3+4i на 8-2i = $\dfrac{4}{17}+\dfrac{19}{34}i$
перейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по делению комплексных чисел

перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о делении комплексных чисел
Что такое деление комплексных чисел в алгебре?
Деление комплексных чисел математически похоже на деление двух действительных чисел. Если $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ являются двумя комплексными числами, то деление комплексных чисел $z_1$ и $z_2$ математически записывается как:
\[ \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\]. Это немного сложнее, чем сложение, вычитание или умножение комплексных чисел. 92}\справа)\).
Как записать деление комплексных чисел на действительное число?
Разделить действительную и мнимую части комплексного числа на это действительное число отдельно.
Какое частное при делении комплексных чисел 4+8i на 1+3i?
Частное $\dfrac{4+8i}{1+3i}$ задается как $\dfrac{14}{5}-i\dfrac{2}{5}$.
Загрузить БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Загрузить рабочие листы по комплексным числам
Рабочие листы по математике и
наглядная учебная программа
Видео с вопросами: Деление комплексных чисел в полярной форме и выражение их частного в экспоненциальной форме равен шести из cos 90 градусов плюс 𝑖 грех 90 градусов, найдите экспоненциальную форму 𝑧 два на 𝑧 один.
Есть два способа решить эту проблему. Нам даны два комплексных числа в тригонометрической форме. И нам говорят найти их частное и представить его в экспоненциальной форме. Мы могли бы начать с преобразования обоих наших чисел в экспоненциальную форму, а затем вычислить 𝑧 один над 𝑧 двумя. Или мы могли бы вспомнить правила деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме и сначала разделить наши числа.
Рассмотрим оба метода. Для комплексного числа вида 𝑟 cos 𝜃 плюс 𝑖 sin 𝜃 мы записываем его в экспоненциальной форме как 𝑟𝑒 к 𝑖𝜃. Теперь важно помнить, что для этого наш аргумент 𝜃 должен быть в радианах. И здесь мы заметили, что везде нам давали аргумент наших двух комплексных чисел в градусах. Итак, как мы можем изменить число из градусов в радианы. Что ж, есть правило. Но давайте вспомним, откуда оно взялось.
Мы знаем, что два 𝜋 радиана равны 360 градусам. Мы можем найти значение одного градуса, разделив его на 360. И когда мы это сделаем, мы увидим, что один градус равен двум 𝜋 на 360 радиан. А поскольку это упрощается до 𝜋 более 180, мы можем перейти от градусов к радианам, умножив 𝜋 на 180. Нам дано, что аргумент для нашего первого комплексного числа равен 45 градусам. Итак, нам нужно начать с преобразования 45 градусов в радианы. И, как мы уже говорили ранее, мы делаем это, умножая его на 𝜋 на 180. Это равно 𝜋 на четыре радиана.

И пока мы здесь, давайте переведем аргумент для второго комплексного числа, 𝑧 два, в радианы. Это 90, умноженное на 𝜋 на 180, то есть 𝜋 на два. И теперь, когда мы знаем аргумент для обоих наших комплексных чисел в радианах, мы можем использовать формулу преобразования. Модуль нашего первого комплексного числа равен четырем. Итак, мы видим, что в экспоненциальной форме 𝑧 один можно записать как четыре 𝑒 в 𝜋 на четыре 𝑖. А для нашего второго комплексного числа его модуль равен шести. Таким образом, мы можем сказать, что 𝑧 два в экспоненциальной форме равно шести 𝑒 𝜋 на два 𝑖.
И чтобы найти их частное, мы можем применить общие правила индексов. Делим шесть 𝑒 на 𝜋 на два 𝑖 на четыре 𝑒 на 𝜋 на четыре 𝑖. И мы помним, что когда мы делим два числа с показателями степени, когда их основания совпадают, мы просто вычитаем показатели степени. Итак, 𝑥 в степени 𝑎 разделить на 𝑥 в степени 𝑏 равно 𝑥 в степени 𝑎 минус 𝑏. А поскольку мы знаем, что половина минус одна четверть равна одной четверти, мы можем сказать, что 𝜋 на два минус 𝜋 на четыре равно 𝜋 на четыре. А затем мы упрощаем шесть вместо четырех. И становится три на два. Таким образом, мы можем видеть, что экспоненциальная форма 𝑧 один на 𝑧 два равна трем на два, умноженным на 𝑒 до 𝜋 на четыре 𝑖.

Теперь рассмотрим второй способ. И это должно было использовать то, что мы знаем о делении комплексных чисел в тригонометрической форме, чтобы вычислить частное перед его преобразованием. Здесь, чтобы разделить комплексные числа в тригонометрической форме, мы делим их модули. И мы вычитаем их аргументы. И в этот момент вы должны начать видеть взаимосвязь между двумя методами, которые мы применяем. Когда мы делим их модули, это значения 𝑟, это шесть, разделенные на четыре, что упрощается до трех на два.
И мы можем вычислить аргумент для нашего частного, вычитая аргумент 𝑧 один из аргумента 𝑧 два.

No related posts.