Диагонали в параллелограмме равны ли: В любом параллелограмме диагонали равны

Параллелограмм

Параллелограмм  — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Как выглядит параллелограмм

  

На приведенном рисунке параллелограмм обозначен синими линиями.

Элементы параллелограмма, указанные на рисунке:
ABCD — параллелограмм, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ( AB параллельна CD, а BC параллельна AD)
BH — высота параллелограмма, опущенная из точки B на основание AD (на рисунке обозначена красным цветом)
AC и BD — диагонали параллелограмма.

Свойства параллелограмма

• Противоположные стороны параллелограмма равны
• Противоположные углы параллелограмма равны
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
• Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. (см. формулу ниже)
• Сумма всех углов равна 360°
• Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей и делятся этой точкой пополам
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон (см. формулу ниже)

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

• Противоположные стороны попарно равны
• Противоположные стороны попарно параллельны и равны
• Противоположные углы попарно равны
• Диагонали делятся в точке их пересечения пополам
• Сумма соседних углов равна 180 градусов
• Две стороны равны и параллельны

Как найти площадь параллелограмма

Формулы нахождения площади параллелограмма приведены ниже:

 
То есть:

1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Как видно из чертежа, произведение b sin α равно высоте, опущенной на другую сторону, что в итоге дает нам предыдущую формулу
3. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
4. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними 
5. Площадь параллелограмма также можно найти через формулу Герона, рассмотрев одну из диагоналей как треугольник и вычислив удвоенную площадь этого треугольника
6. Для нахождения полупериметра треугольника из предыдущей формулы мы используем две стороны параллелограмма и его диагональ. Поскольку каждая диагональ разбивает его на два равных треугольника, то не имеет значения, какую из диагоналей мы выберем

Как найти стороны параллелограмма

Стороны параллелограмма можно найти через:

• Размеры диагоналей и угол между ними (формулы 1 и 2) 
• Через длины диагоналей и одну из сторон можно найти вторую (формулы 3 и 4)
• Через высоту, опущенную на сторону и угол между сторонами (формулы 5 и 6)
• Через площадь и высоту, опущенную на заданную сторону, можно найти величину этой стороны (Формулы 7 и 8)

Как найти диагонали параллелограмма

• Диагональ параллелограмма можно найти через длины его сторон и косинус угла между ними (Формулы 1-4)
• Также диагональ может быть найдена через длины сторон и размер второй диагонали (Формулы 5-6)
• Диагональ может быть найдена из площади, длины второй диагоналями и угла между ними (Формулы 7-8)

Как найти периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма может быть найден:

• через его стороны (Формула 1)
  
• через одну из сторон и длину двух диагоналей (Формулы 2 и 3)
• через сторону, высоту и угол между сторонами (Формулы 4-6)

Задачи с решениями про параллелограмм смотрите в уроках ниже:

Содержание главы:

• Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны

• Параллелограмм (часть 2)

• Площадь параллелограмма

• Высота параллелограмма

0  

 Трапеция, описанная вокруг окружности | Описание курса | Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны 

   

Дополнительные признаки параллелограмма | Образовательная социальная сеть

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №20»

Секция «МАТЕМАТИКА»

Дополнительные признаки параллелограмма

                                                                   Выполнил: ученик 9 и/м класса

                                                                                            Сбоев Андрей

                                                                        Руководитель: учитель математики

                                                                                             Сорочкина О.А.

Междуреченск 2009г.

Цель: Изучение дополнительных свойств параллелограмма.

Задачи: 1)Изучить дополнительные свойства параллелограмма;
                    2) Показать применение дополнительных свойств параллелограмма к

                        решению задач.

Актуальность темы: Применение дополнительных свойств параллелограмма делает решение задач более простым и позволяет быстрее придти к нужному результату.

Введение.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения и,  был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам. В  «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные углы равны и диагональ разделяет его углы пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольник, ни ромб. Полная теория параллелограмма была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в 17 веке. Все теоремы о параллелограмме основываются непосредственно или косвенно на теореме о параллелограмме Евклида.

Эвклид — древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу. Основное сочинение Евклида называется Начала. Книга, в которой последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики.

 Определение: Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

В курсе геометрии 8 класса изучается два свойства параллелограмма.

1°. В параллелограмме противо-положные стороны равны и противоположные углы равны. 2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим дополнительные признаки параллелограмма.

Дополнительные признаки параллелограмма.

1°Сумма двух соседних углов параллелограмма равна .

Дано:

ABCD – параллелограмм Доказать:

A +B =

Доказательство:

Пусть А = x, а B = y, тогда составляем уравнение:

1. так как A = C   C = x
2. так как D = B   D = y
3. x + x +y + y =    

2(x + y) =  

x + y =       A +B = , ч.т.д.

2° Биссектриса острого угла отсекает в параллелограмме равнобедренный треугольник.

Дано:

ABCD – параллелограмм

АЕ – биссектриса А

Доказать:

АВЕ – равнобедренный

Доказательство:

1. ВС||АD, AE – секущая  3 = 2 как накрест лежащие
2. AE – биссектриса A  1 = 3
3. 1 = 3, 2 = 3  1 = 2  АВЕ – равнобедренный (так как углы при основании равны).

3°Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Дано:

ABCD – параллелограмм

АК – биссектриса А

DN – биссектриса D

Доказать:

NОК =

Доказательство:

Пусть 1 = x, тогда А = 2x (AK – биссектриса А), а

           3 = y, тогда D = 2y (DN – биссектриса D).

1. А  + D = (2x + 2y) =  (сумма соседних углов равна )

   2(x + y) =

     x + y =

1. 1 = 3 =   5 =  (сумма углов треугольника равна )ч.т.д.

4°.Биссектрисы противоположенных улов параллелограмма лежат на параллельных прямых.

Дано:

АЕ и СF – биссектрисы

АВСD — параллелограмм

Доказать:  AE ||CF

Доказательство:

1) 1 = 2, так как АЕ – биссектриса.

2) ВС || AD, АЕ – секущая  2 =3 (как накрест лежащие).

3)   1 = 2 = 4 = 5.

4) Из пункта 2 и 3 следует 3 = 4.

5) Рассмотрим прямые АЕ и СF и секущую ВС.

   АЕ || CF  ч.т.д.

Рассмотрим задачу №1. В параллелограмме АВСD угол А равен 72°. Найдите другие углы параллелограмма АВСD.

Решение:

Сумма двух соседних углов параллелограмма равна 180° (1° дополнительное свойство параллелограмма). Значит  В =180° – А,   В =180° – 72°= 102°. 2. Противоположные углы параллелограмма равны, значит А=С=72°, В=D=102° Ответ: А=С=72°, В=D=102°

Рассмотрим задачу №2. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса АЕ угла ВАD. Угол ЕАD равен 32°. Найдите С.

Решение:

1. Биссектриса острого угла отсекает в параллелограмме равнобедренный треугольник. (2° дополнительное свойство параллелограмма). Значит ВАЕ = 32°, ВА D =64°. По свойству параллелограмма   ВА D = С = 64°. Ответ:   С = 64°.

Рассмотрим задачу №3. В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов ABC и ВСD пересекаются в точке М1. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что точки А, В, К и  D, С, Р расположены друг за другом. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М2. Найдите М1М2.

Решение 1)        Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, поэтому BM1C = 90°. 2) KBC и PCB — односторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС, поэтому биссектрисы углов КВС и РСВ перпендикулярны, т. е. BM2C = 90°. 3)        ABC и KBC, DCB и РСВ — смежные, биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому М2ВМ1 = 90°, М2СМ1 = 90°. 4)        В четырехугольнике ВМ2СМ1 все углы прямые, значит ВМ2СМ1 — прямоугольник и его диагонали равны, т. е. ВС = М1М2.

5) В параллелограмме ABCD ВС = AD, а т. к. AD = 6 см, ВС = M1M2, то M1M2 = 6 см. Ответ: M1M2 = 6 см.

Рассмотрим задачу №4. В параллелограмме АВСD проведены биссектрисы противоположных углов АМ и СN. Докажите, что АМСN параллелограмм.

Доказательство. Биссектрисы противоположенных улов параллелограмма лежат на параллельных прямых (4° дополнительное свойство параллелограмма),  значит АМ ||‌‌ СN.  МС || АN, так как лежат на сторонах параллелограмма. Следовательно АМСN − параллелограмм.

Вывод: Применение данных свойств позволяет сделать решения задач более простыми и быстрее придти к нужному результату.

Литература

1. С.Акимова. Занимательная математика. – Санкт – Петербург, «Тритон», 1997
2. Лазук Н.Я. Внеклассная работа по математике в средней школе. – Минск, 1987

В

С

D

A

y

x

x

y

А

В

С

D

E

2

1

3

2

N

К

D

А

В

С

2

1

5

3

4

О

К

Е

С

В

4

3

5

D

Диагонали делят параллелограмм на четыре равные части

Главная » Четырехугольники » Параллелограммы » Диагонали делят параллелограмм на четыре равные части

Последнее обновление: 27 марта 2021 г.

автор: Ido Sarig · Этот веб-сайт зарабатывает на рекламе и использует файлы cookie · Условия использования · Политика конфиденциальности

Сегодня на уроке мы докажем, что взаимодействующие диагонали параллелограмма делят его на четыре части. треугольники, все из которых имеют равные площади.

Каждая из диагоналей параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника, как мы видели, когда доказывали такие свойства, как равенство противоположных сторон или конгруэнтность двух пар противоположных углов. Поскольку эти два треугольника равны, их площади равны.

Мы также видели, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, образуя две дополнительные пары конгруэнтных треугольников.

Теперь сделаем еще один шаг и, опираясь на то, что треугольники с одинаковым основанием и одинаковой высотой имеют равные площади, мы увидим, что все четыре треугольника, образованные пересекающимися диагоналями параллелограмма, имеют равные площади.

Задача

ABCD — параллелограмм с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O. Докажите, что все четыре треугольника, образованные этими диагоналями — ΔAOD, ΔCOD, ΔAOB и ΔCOB — имеют одинаковую площадь.

Стратегия

Мы уже знаем, что противоположные пары треугольников (ΔAOD≅ ΔCOB; ΔAOB≅ ΔCOD) конгруэнтны и, следовательно, имеют равные площади. Поэтому, если мы сможем показать, что одна из других пар также имеет одинаковую площадь, все четыре будут равны.

Сравнивая отношения площадей треугольников, мы часто ищем равное основание или равную высоту — в этом случае мы имеем и то, и другое: высота — БЭ.

Значит, их площади равны, значит, все четыре площади равны.

Доказательство

Сначала повторим доказательство конгруэнтности двух противоположных пар треугольников:

(1) ABCD — параллелограмм    //Дано
(2) AD || Bc // из определения параллелограмма
(3) AD = BC // противоположные стороны параллелограмма равны по размеру
(4) ♂ ≅ ≅ Ϫoda // Альтернативные внутренние углы Теорема
(5) ♂ ≅ Ϫ OAD                     // Альтернативные внутренние углы, теорема
(6) ΔOBC ≅ ΔODA                      // (3), (4), (5), Угол-Сторона-Угол // Соответствующие стороны в конгруэнтных треугольниках (CPCTC)
(9) AB=DC // Противоположные стороны параллелограмма равны по размеру
(10) ΔAOB ≅ ΔCOD                 // (7), (8), (9), Side -Side-Side

Теперь посмотрим на площади этих треугольников:
(11) Площадь _ΔOBC = Площадь _ΔODA //(6), площади конгруэнтных треугольников равны
(12) Площадь _ΔAOB = Площадь _ΔCOD //(10), площади конгруэнтных треугольников равны
(13) Площадь _ΔAOB = BE·AO/2 //Площадь треугольника
(14) Площадь _ΔOBC =BE·OC/2 //Площадь треугольника
(15) Площадь _ΔOBC = Площадь _ΔAOB //(13), (14) ), (8) , треугольники с равными основаниями и высотами.
(16) Область _ΔOBC = Область _ΔAOB = Область _ΔODA = Область _ΔCOD

Итак, мы доказали, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, все из которых имеют равные площади.

Об авторе

Идо Сариг — руководитель отдела высоких технологий со степенью бакалавра вычислительной техники. Его цель — помочь вам разработать лучший подход к решению геометрических задач. Вы можете связаться с ним по телефону [email protected]

. Если диагонали параллелограмма имеют одинаковую длину, параллелограмм является прямоугольником. Докажите это.

Вопрос

Вопрос

---

ICSE-специфические типы четырехсторонних положений

20 видео

Реклама

AB Padhai Karo Bina Ads KE

Khareedo DN Pro и Dekho Sari Videos Bina Kisi Ad Ki RukaAavat Dn Pro Pro и Dekho Sari Videos Bina Kisi Ad ki Rukaaavat!

Ответить

Пошаговое решение, разработанное экспертами, чтобы помочь вам в решении вопросов и получении отличных оценок на экзаменах.

Стенограмма

привет друзья вопрос если диагонали полной длины параллелограмма являются прямоугольником решение теперь дано, что ABCD является параллелограммом и ac + BD параллелограмма равны по длине в треугольнике ABC равен BD a b равен равно

, потому что они являются противоположными сторонами параллелограмма, и, наконец, a d равен общим сайтам, поэтому мы можем сказать, что треугольник ABC конгруэнтен треугольнику ACD по правилу конгруэнтности сторон также может быть вызвано смежным углом города города города города Таким образом, мы можем сказать, что

Угол B и угол C D прямой угол, равный в дополнительном 10-м дополнительном дополнительном ABCD, является прямоугольником, так как параллелограмм с одним прямым внутренним углом вписан

---

Похожие видео

Если диагонали параллелограмма равны, то это

Используя скалярное произведение векторов, докажите, что параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольник

Если две диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.