Дифференциальные уравнения. Основные понятия
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Дифференциальные уравнения
/
DE второго порядка
/ Базовые концепты
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 3.1: Основные понятия
В этой главе мы будем рассматривать исключительно линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Наиболее общее линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид.
\[\begin{equation}p\left( t \right)y» + q\left( t \right)y’ + r\left( t \right)y = g\left( t \right)\label {уравнение:уравнение1}\конец{уравнение}\]
На самом деле, мы редко будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с непостоянными коэффициентами. В случае, когда мы предполагаем постоянные коэффициенты, мы будем использовать следующее дифференциальное уравнение.
\[\begin{equation}ay» + by’ + cy = g\left( t \right)\label{eq:eq2}\end{equation}\]
Там, где это возможно, мы будем использовать \(\eqref{eq:eq1}\) только для того, чтобы подчеркнуть, что определенные факты, теоремы, свойства и/или методы могут использоваться с непостоянной формой.
Сначала мы облегчим себе жизнь, рассмотрев дифференциальные уравнения с \(g(t) = 0\). Когда \(g(t) = 0\), мы называем дифференциальное уравнение однородное и когда \(g\left( t \right) \ne 0\) мы называем дифференциальное уравнение неоднородным .
Итак, давайте начнем думать о том, как решить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот общий постоянный коэффициент, однородное, линейное, дифференциальное уравнение второго порядка.
\[ay» + by’ + cy = 0\]
Наверное, лучше всего начать с примера. Этот пример приведет нас к очень важному факту, который мы будем использовать в каждой задаче с этого момента. Этот пример также даст нам представление о том, как решить их в целом.
Пример 1 Определите некоторые решения для \[у» — 9у = 0\]
Показать решение
Здесь мы можем получить некоторые решения, просто проверив. Нам нужны функции, у которых вторая производная в 9 раз больше исходной функции. Одна из первых функций, которые я могу придумать, которая возвращается к себе после двух производных, является экспоненциальной функцией, и с правильными показателями степени 9 также позаботятся. 9{- 3t}}\]
будет решением дифференциального уравнения.
Этот пример подводит нас к очень важному факту, который мы будем использовать практически во всех задачах этой главы.
Принцип суперпозиции
Если \({y_1}\left( t \right)\) и \({y_2}\left( t \right)\) являются двумя решениями линейного однородного дифференциального уравнения, то таковым является
\[\begin{equation}y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\label{eq:eq3} \конец{уравнение}\]
Обратите внимание, что здесь мы не включили ограничение постоянного коэффициента или второго порядка.
Это будет работать для любого линейного однородного дифференциального уравнения.
Если мы далее предположим второй порядок и еще одно условие (которое мы приведем через секунду), мы сможем сделать еще один шаг.
Если \({y_1}\left( t \right)\) и \({y_2}\left( t \right)\) являются двумя решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, и они «достаточно хороши ”, то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид \(\eqref{eq:eq3}\).
Итак, что мы подразумеваем под «достаточно хорошим»? Мы отложим это до следующего раздела. На этом этапе вы, надеюсь, поверите, когда мы скажем, что определенные функции «достаточно хороши».
Итак, если мы теперь предположим, что имеем дело с линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка, мы теперь знаем, что \(\eqref{eq:eq3}\) будет его общим решением. Следующий вопрос, который мы можем задать, — как найти константы \(c_{1}\) и \(c_{2}\). Поскольку у нас есть две константы, есть смысл, надеюсь, что нам понадобятся два уравнения или условия, чтобы найти их.
Один из способов сделать это — указать значение решения в двух разных точках или
\[y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}y\left( {{t_1}} \right) = {y_1}\]
Их обычно называют граничными значениями, и они не являются темой данного курса, поэтому мы не будем с ними работать. Мы дадим краткое введение в граничные значения в следующей главе, если вам интересно узнать, как они работают, и некоторые проблемы, возникающие при работе с граничными значениями.
Другой способ найти константы — указать значение решения и его производную в определенной точке. Или
\[y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}y’\left( {{t_0}} \right) = {y’_0}\]
Это два условия, которые мы будем использовать здесь. Как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка, они будут называться начальными условиями.
Пример 2.
Подключить начальные условия
\[\begin{align*}2 & = y\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2}\\ — 1 & = y’\left( 0 \right) = — 3{c_1} + 3 {c_2}\end{выравнивание*}\]
Это дает нам систему из двух уравнений и двух неизвестных, которую можно решить. Это дает
\[{c_1} = \frac{7}{6}\hspace{0,25 дюйма}{c_2} = \frac{5}{6}\] 9{3t}}\]
До сих пор мы рассматривали только одно дифференциальное уравнение и получили его решение путем проверки. Для редких дифференциальных уравнений мы можем сделать это. Однако для подавляющего большинства дифференциальных уравнений второго порядка мы не сможем этого сделать.
Итак, нам нужен метод получения двух решений, которые нам потребуются для формирования общего решения, которое будет работать для любого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Обратите внимание, что мы не включили константу перед ним, поскольку мы можем буквально включить любую константу, которую захотим, и все равно получить решение. Важная идея здесь состоит в том, чтобы получить экспоненциальную функцию. Как только мы получим это, мы можем добавить константы, сколько душе угодно.
Итак, предположим, что все решения
\[\begin{equation}ay» + by’ + cy = 0\label{eq:eq4}\end{equation}\]
будет иметь форму 92} + br + c = 0\метка{eq:eq6}\конец{уравнение}\]
Это уравнение обычно называют характеристическим уравнением
Итак, как мы можем использовать это, чтобы найти решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? Сначала запишите характеристическое уравнение \(\eqref{eq:eq6}\) для дифференциального уравнения \(\eqref{eq:eq4}\).
Это будет квадратное уравнение, поэтому мы должны ожидать два корня, \(r_{1}\) и \(r_{2}\). Когда у нас есть эти два корня, у нас есть два решения дифференциального уравнения. 9{{r_{\,2}}\,t}}\label{eq:eq7}\end{уравнение}\]
Давайте рассмотрим небольшой пример.
Пример 3 Найдите два решения для \[у» — 9у = 0\]
Показать решение
Это то же дифференциальное уравнение, которое мы рассмотрели в первом примере. Однако на этот раз давайте не будем просто гадать. Давайте пройдемся по описанному выше процессу, чтобы увидеть, что функции, которые мы предполагаем выше, совпадают с функциями, которые дает нам процесс. 9{- 3t}}\]
Они совпадают с первыми догадками, которые мы сделали в первом примере.
Вы заметите, что мы забыли упомянуть, действительно ли два решения, перечисленные в \(\eqref{eq:eq7}\), «достаточно хороши» для формирования общего решения \(\eqref{eq: уравнение4}\).
Это было сделано намеренно. У нас есть три случая, которые нам нужно рассмотреть, и в каждом из них это будет решаться по-разному.
Итак, какие дела? Как мы уже отмечали ранее, характеристическое уравнение является квадратным и поэтому будет иметь два корня, \(r_{1}\) и \(r_{2}\). Корни будут иметь три возможные формы. это
- Вещественные, различные корни,\({r_1} \ne {r_2}\).
- Комплексный корень,\({r_{1,2}} = \lambda \pm \mu \,i\).
- Двойные корни,\({r_1} = {r_2} = r\).
В следующих трех разделах каждый из них будет рассмотрен более подробно, в том числе даны формы для решения, которые будут «достаточно хорошими», чтобы получить общее решение.
Решение дифференциального уравнения – Практические задачи
Решение дифференциального уравнения – это отношение между включенными переменными, которое удовлетворяет дифференциальному уравнению. Существует два типа решений дифференциальных уравнений, а именно: общее решение дифференциальных уравнений и частное решение дифференциальных уравнений.
Общие и частные решения дифференциальных уравнений используют некоторые шаги интегрирования для решения уравнений.
Что такое дифференциальное уравнение?
Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое включает один или несколько членов, а также включает производные одной переменной (т. е. зависимой переменной) через другую переменную (т. е. независимую переменную) dt/dz = f(z). Здесь «z» — независимая переменная, а «t» — зависимая переменная. Например, dt/dz = 5z.
Методы решения дифференциальных уравнений
Существует 5 методов решения дифференциальных уравнений. Эти 5 методов:
Solution by inspection
Variable separable
Homogeneous
Linear differential equation
General
General Solution of a Differential Equation
A General Solution of the nth order differential уравнение определяется как решение, включающее важные произвольные константы.
Нам необходимо ввести произвольную постоянную сразу после интегрирования, если мы решаем дифференциальное уравнение первого порядка методом переменных. Отсюда после упрощения видно, что в решение дифференциального уравнения первого порядка входит важная произвольная постоянная.
Аналогично, общее решение дифференциального уравнения второго порядка будет включать важные произвольные константы и так далее. Геометрически общее решение представляет собой n-параметрическое семейство кривых. Например, общее решение дифференциального уравнения dy/dx = 8x², которое оказывается равным y = x³ + C, где c рассматривается как произвольная константа, представляет собой однопараметрическое семейство кривых, как показано на рисунке ниже. .
Частное решение дифференциального уравнения
Частное решение дифференциального уравнения — это решение, которое мы получаем из общего решения, придавая частные значения произвольному решению. Условия для вычисления значений произвольных констант могут быть заданы нам в виде начально-значной задачи или граничных условий в зависимости от вопросов.
Сингулярное решение дифференциального уравнения
Сингулярное решение дифференциального уравнения — это особый вид частного решения дифференциального уравнения, но его нельзя вывести из общего решения дифференциального уравнения путем присвоения значений случайной константы.
Термины, относящиеся к дифференциальным уравнениям
Степень: степень переменной старшей производной, когда дифференциальное уравнение имеет полиномиальную форму.
Уравнение в частных производных: дифференциальное уравнение с функцией нескольких переменных от их частных производных называется уравнением в частных производных.
Примечание. Порядок и степень дифференциального уравнения всегда являются целыми положительными числами.
Как составить дифференциальное уравнение из заданного уравнения?
Пусть x и y — независимая переменная и зависимая переменная соответственно для уравнения, в котором «k» — произвольная константа.
Чтобы составить дифференциальное уравнение из заданного уравнения, выполните следующие действия:
Проверить количество произвольных констант,
Продифференцировать заданное уравнение, равное количеству произвольных констант, например, если количество произвольных констант в уравнении «m», затем продифференцируйте уравнение для «m» количество раз.
Уравнение, которое мы получаем в результате последующего дифференцирования, и есть искомое дифференциальное уравнение.
Методы решения
Пять методов решения:
Решение путем проверки: если дифференциальное уравнение имеет вид f(f1(x,y))d(f1(x,y))+g (f2(x,y))d(f2(x,y))+……=0, то каждое слагаемое можно проинтегрировать отдельно.
Метод разделения переменных: Если дифференциальное уравнение может быть записано в такой форме, что переменные разделяются для интегрирования, то уравнение может быть решено.
Уравнение этого типа можно записать как y’ = f(x)g(y), где y’ — это дифференцирование x по y.Однородное дифференциальное уравнение: Уравнение вида y’= dy/dx = f(x,y)/g(x,y), где f и g однородны, тогда такое дифференциальное уравнение известно как однородное дифференциальное уравнение. .
Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение вида dy/dx + Py = Q, где P и Q — произвольные константы или функции от x, известно как линейное дифференциальное уравнение.
Общее решение: Общее решение дифференциального уравнения представляет собой уравнение с зависимыми переменными через независимые переменные. Общее уравнение можно представить в виде
Уравнение этого типа можно записать как y’ = f(x)g(y), где y’ — это дифференцирование x по y.Практические задачи по дифференциальным уравнениям
Здесь вы можете увидеть некоторые практические задачи по дифференциальным уравнениям.