Дифференциация уравнения: Дифференциальные уравнения — все самое интересное на ПостНауке

Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (Факультет физико-математических и естественных наук, аспирантура, заочная)

О профессии

Областью профессиональной деятельности аспиранта по направлению «Математика и механика» являются научные исследования и математическое моделирование, связь, информационные и коммуникационные технологи в сферах разработки и тестирования программного обеспечения, создания, поддержки и администрирования информационно-коммуникационных систем, а также образование в сферах общего, профессионального и дополнительного обучения.
Выпускники, освоившие программу, обладают социальной мобильностью, конкурентоспособностью и устойчивостью на современном рынке труда, способны к инновационной деятельности в сфере науки, образования и управления, востребованы во всех организациях и структурах, где используются компьютерные технологии. Они могут заниматься исследовательской деятельностью, способны решать актуальные задачи фундаментальной и прикладной математики, совершенствовать и реализовывать новые математические методы решения прикладных задач, разрабатывать математические модели и проводить их анализ при решении задач в области профессиональной деятельности, комбинировать и адаптировать существующие информационно-коммуникационные технологи для решения задач в области профессиональной деятельности с учетом требований информационной безопасности.

Учебный процесс

Программа аспирантуры ставит перед собой цель сформировать у будущих специалистов современные знания в сфере решения теоретических и прикладных задач, а также навыки самостоятельной научно-исследовательской и педагогической деятельности. Обязательная часть программы включает в себя фундаментальную подготовку по математике, изучение современных математических методов и активную научно-исследовательскую работу.
Программа обучения состоит из набора дисциплин базовой части, обязательных к освоению, и набора дисциплин по выбору аспирантов. На первых двух курсах аспиранты изучают следующий набор дисциплин: «Иностранный язык», «История и философия науки», «Педагогика высшей школы», «Методология научных исследований», «Краевые задачи для дифференциальных уравнений», «Теория экстремальных задач».
Третий и четвертый курсы посвящены по большей части научно-исследовательской работе студента, работе в команде исследователей и написанию кандидатской диссертации. Весь учебный процесс и научные исследования проводятся в мультимедийных аудиториях и научно-учебных лабораториях и центрах Математического института имени академика С.М. Никольского, а также в компьютерных классах, оснащенных современным оборудованием и программным обеспечением для проведения вычислительных экспериментов.

Практика

Учебным планом предусмотрены научно-исследовательская и педагогическая практики, которые проводятся на базе Научного центра нелинейных задач математической физики Математического института имени академика С.М. Никольского.
Для аспирантов ежегодно проводятся мастер-классы ведущих экспертов и представителей работодателей реальных секторов экономики, российских и зарубежных ученых из ведущих вузов и научных центров. Действует научный семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, в котором принимают участие крупные российские и зарубежные математики, преподаватели, студенты, аспиранты и докторанты. Математический институт им. С.М. Никольского тесно сотрудничает с МГУ им. М.В. Ломоносова, Математическим институтом им. В.А. Стеклова РАН, Вычислительным центром РАН им. А.А. Дородницына, Московским авиационным институтом.

Карьера

Полученные знания и практические навыки позволяют выпускникам аспирантуры работать в сфере образования, науки, финансов и промышленности, в инвестиционных фондах на должностях аналитика-программиста, научного сотрудника, разработчика математических моделей процессов, консультанта по математическому моделированию, администратора базы данных, преподавателя математики и информатики. Выпускники, освоившие программу, могут осуществлять профессиональную деятельность и в других областях в соответствии полученными компетенциями, необходимыми для квалификации работника, способны работать в междисциплинарной команде.

Дифференциальные уравнения и продление жизни / Хабр

  188. Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно. Словно как пёс по горам молодого гонит оленя. <…>  199. Словно во сне человек изловить человека не может,  Сей убежать, а другой уловить напрягается тщетно, — Так и герои, ни сей не догонит, ни тот не уходит.

Задача №1. Ахиллес и Смерть

В некоей альтернативной вселенной герою по имени Ахиллес предрекли, что жить ему осталось ровно m лет. Но мать Ахиллеса благодаря своему волшебству (она ж нимфа по легенде), продлевает ему жизнь таким образом, что каждые k (k > 1) лет продолжительность жизни увеличивается на 1 год. Сколько Ахиллес проживет в итоге, если считать, что увеличение происходит непрерывно?

Пусть x — это сколько осталось жить нашему герою. Ахиллес проживает первые m лет, но за эти годы получает лет прибавки к ПЖ. Он проживает эти лет, но за это время получает еще лет (прибавку разделить на k). И так далее, до бесконечности и можно подумать, что герой никогда не умрет. Но это не так: Смерть все таки догонит Ахиллеса, потому что все эти прибавки образуют бесконечную геометрическую прогрессию:

И тут стоит обратить внимание на условие: k > 1 из чего следует, что а это значит, что геометрическая прогрессия бесконечно убывающая. А бесконечно убывающая геометрическая прогрессия сходится к конечному значению:

вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии

Пусть у нас есть вот такая сумма:

И тут кому-то пришла в голову гениальная мысль: «а что если обе части равенства умножить на q?». Так чего же мы ждем! Умножаем:

А теперь вычтем из первого второе и получим красивую формулу для суммы:

Если q < 1, то при n стремящемся к бесконечности очевидно получаем:

Так как стремится к нулю

В период с 2000 по 2019 год ожидаемая продолжительность жизни голландских мужчин, например, увеличилась с 75.5 до 80.5 лет (то есть примерно на год каждые четыре года), что согласуется с данными по Европе в среднем. Таким образом, если человеку на текущий момент осталось жить 40 лет, а ожидаемая ПЖ увеличивается на год каждые четыре года, то имеем:

то есть мужчина-европеец в возрасте примерно 38 лет может прожить не 40 лет в среднем, а примерно на 13 лет дольше из-за прогресса в медицине (конечно, данные расчеты много чего не учитывают, нельзя их воспринимать как надежные предсказания).

А вот если k <= 1, то имеем уже бесконечность и это и есть та самая пресловутая longevity escape velocity о которой много говорит знаменитый борец со старением Обри Ди Грей. То есть Смерть никогда не догонит Ахиллеса.

А теперь давайте посмотрим насколько эта же задача легче и логичнее решается при помощи дифференциальных уравнений:

dx — это насколько изменилось количество оставшихся лет до смерти за период dt. В отсутствии медицинского прогресса dx просто уменьшается на величину dt (логично, черт возьми). А прогресс добавляет определенное количество лет, такое что оно равно 1, если dt=k годам. Решается это уравнение тоже элементарно:

Совершенно очевидно, что x(0) = m, откуда C = m. А теперь подставим это в уравнение выше и выразим время t через которое Ахиллес помрет (x(t) = 0):

Получилось просто и красиво, более того, есть задачи на которые можно дать ответ только с помощью дифференциальных уравнений. Например, если k зависит от времени. Давайте помечтаем немного и представим, что в какой-то момент времени наука развилась до такого уровня, что требуется все меньше и меньше времени для продления ожидаемой ПЖ на год, то есть k уменьшается со временем.

Пусть, например, k уменьшается по экспоненте с периодом полураспада в n лет. И давайте попробуем ответить на такой вопрос: какой должен быть минимальный m, чтобы человек мог достигнуть longevity escape velocity при таком k(t)?

Чтобы ответить на данный вопрос давайте составим дифференциальное уравнение:

Надо, пожалуй, пояснить откуда взялось b в экспоненте и чему равняется

Мы определили k(t) = k0*exp(-bt). Так как через n лет значение k(t) должно быть вдвое меньше, то имеем

откуда:

Интегрируем уравнение и получаем:

Чтобы определить C, воспользуемся начальным условием: x(0)=m:

Получаем следующую запись функции дожития:

Давайте взглянем на ее график:

Функция x(t) имеет минимум и нам нужно, чтобы этот минимум был выше оси абсцисс (фиолетовая кривая)

Наша функция дожития имеет минимум и все, что нам нужно, это найти значение минимума как функции от m и найти значение m при котором этот минимум больше нуля. Как мы помним еще со школы, для того, чтобы найти минимум функции надо сначала найти ее производную и приравнять к нулю. Причем производную-то мы уже знаем из уравнения (1):

Мы точно знаем, что это минимум, потому что вторая производная положительна на всей области определения, а значит функция выпукла вниз и, следовательно, найденный экстремум является минимумом.

Теперь необходимо найти :

А отсюда уже выразим ограничение для m:

При и необходимо иметь в запасе примерно 9.2 года ожидаемой продолжительности жизни, чтобы достичь longevity escape velocity, то есть быть, например, мужчиной моложе 79 лет. Каждый может прикинуть свои шансы на достижение longevity escape velocity исходя из своего возраста. Но возможно ли в принципе бессмертие? Есть ли какие-то фундаментальные математические (не физические) ограничения? Об этом я расскажу в следующей статье, а пока давайте поговорим о более практических вещах.

Задача 2. Плазмаферез

Конечно, медицинская наука еще очень далека от достижения LEV (а может быть этого и вовсе никогда не случится), однако попытки отсрочить старение ведутся уже сейчас. Одной из самых интересных интервенций, возможно, способной немного продлить молодость и продолжительность жизни является терапевтическое разбавление плазмы. Известные геронтологи супруги Конбои продемонстрировали, что если мышкам заменить половину плазмы на физраствор с альбумином, то у них существенно улучшаются многие показатели жизнедеятельности. Предполагается, что это происходит за счет удаления из организма токсичных продуктов, которые образуются из-за старения организма. Более подробно все описано, например, тут. Более того, некоторые отчаянные биохакеры даже пробуют этот метод на себе и замечают улучшение ряда биомаркеров. Конечно, пройдет еще немало времени прежде чем установят эффективность (или неэффективность) этого метода на людях, но мы тем не менее постараемся ответить на вполне конкретный вопрос: а сколько раз нам необходимо сдать плазму, чтобы заменить половину, если за один раз забирается v мл?

Поскольку нам надо найти такой k при котором обновится половина плазмы, то приравняем правую часть уравнения выше к 1/2, прологарифмируем обе части равенства и воспользуемся свойствами логарифма, чтобы получить формулу для k:

Удельный объем плазмы взрослого мужчины составляет, в среднем, 46. 7 мл/кг. Возьмем к примеру мужчину массой 80 кг и v=450 мл (стандартный объем плазмы при донорстве):

То есть взрослому сорокалетнему мужчине массой 80 кг необходимо за короткий срок 6 раз пожертвовать плазму, чтобы ее обновить чуть более чем наполовину.

Пусть X(t) — доля старой плазмы в момент времени t. Пусть скорость вытекания плазмы равна r мл/мин. Чему же будет равна концентрация старой плазмы в момент времени t + dt? А концентрация равна:

Давайте разберем каждое составляющее этого равенства:

X(t)V: концентрация старой плазмы помноженная на общий объем — очевидно это объем старой плазмы во всем организме в момент t

X(t)rdt: это объем старой плазмы, который вытечет за время dt (rdt — это скорость истечения, помноженная на время, что соответствует объему, а X(t) — это доля старой плазмы в этом объеме).

Затем мы делим получившийся объем старой плазмы на общий объем (который остается неизменным, потому что физраствор втекает с той же скоростью) и получим концентрацию. А теперь узнаем чему равно изменение концентрации (разница между концентрацией в моменты времени t+dt и t):

Разделяем переменные и решаем это дифференциальное уравнение:

Отсюда:

Мы знаем, что вначале концентрация старой плазмы равнялась 1:
X(0) = 1 => C = 1

Поэтому , а теперь найдем время, за которое обновится половина плазмы:

На практике это означает примерно 259 минут (4 с лишним часа!), если руководствоваться средней скоростью 10 мл/мин (обычно забирают 450 мл плазмы и уходит на это примерно 45 минут):

Конечно, это время абсолютно неприемлемо, однако процедуру можно существенно ускорить. Например, в этой статье описан метод, который позволяет изымать плазму со скоростью 24 мл/мин, что позволяет заменить половину плазмы за 108 минут. Весьма неплохо! Однако неизвестно выдержит ли организм замену половины плазмы за один раз 🙂 Но это уже выходит за рамки математики, оставим этот вопрос врачам. Тем более, что различные клинические исследования по влиянию плазмафереза на старение людей уже начались.

2\). В любом случае мы все еще можем найти \(y’ = f'(x)\), используя неявное дифференцирование.

Ключевая идея неявного дифференцирования состоит в том, чтобы предположить, что \(y\) является функцией \(x\) , даже если мы не можем явно найти \(y\). Это предположение не требует никакой работы, но нам нужно быть очень осторожными, чтобы рассматривать \(y\) как функцию, когда мы дифференцируем и используем Цепное правило.

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5 92 \end{выравнивание*} \]

Мы знаем, что \( \frac{d}{dx}\left( \ln(x) \right) =\frac{1}{x} \), поэтому мы используем это и цепное правило: \[ \frac{ d}{dx}\left( \ln(y) \right)=\frac{1}{y}\cdot y’ \]

Неявное дифференцирование

Чтобы определить \(y’\), продифференцируйте каждую часть определяющего уравнения, рассматривая \(y\) как функцию \(x\), а затем алгебраически найдите \(y’\).

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5 92\справа)=& \frac{d}{dx}(25)\\ 2x+2yy’=& 0 \end{выравнивание*} \]

Решая \(y’\), имеем \( y’=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y} \), и в точке (3,4) , \[y’=-\frac{3}{4}.\]

В предыдущем примере было бы легко явно найти \(y\), а затем мы могли бы дифференцировать \(y\), чтобы получить \(y’\). Поскольку мы могли явно найти \(y\), у нас был выбор методов вычисления \(y’\). Иногда, однако, мы не можем явно найти \(y\), и единственный способ определить \(y’\) — использовать неявное дифференцирование.

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

Связанные курсы

Если несколько переменных или величин связаны друг с другом и некоторые переменные изменяются с известной скоростью, то мы можем использовать производные, чтобы определить, как быстро должны изменяться другие переменные.

2/\текст{год}.\] Этот приблизительный ответ представляет собой среднее изменение площади в течение 1-летнего периода, когда радиус увеличился с от 5 миль до 5,1 мили и будет соответствовать наклону секущей на графике площадей.

Чтобы найти точный ответ, нам нужны производные. В этом случае и радиус, и площадь являются функциями времени: \[r(t)=\text{ радиус во времени } t \qquad A(t)=\text{ площадь во времени } t\]

Мы знаем, как быстро радиус изменяется, что является утверждением о производной: \( \frac{dr}{dt}=0,1\frac{\text{mile}}{\text{год}} \). Мы также знаем, что \(r = 5\) в интересующий нас момент.

Мы ищем, насколько быстро увеличивается площадь, которая равна \( \frac{dA}{dt} \).

92}{\text{year}}\]

Таким образом, площадь города увеличивается примерно на 3,14 квадратных миль в год при радиусе 5 миль.

Связанные курсы

При работе с проблемой связанных курсов

1. Нарисуйте картинку (если возможно).
2. Определите изменяющиеся величины и назначьте им переменные.
3. Найдите уравнение, связывающее эти величины.
4. Продифференцируйте обе части этого уравнения по времени. 9{-1/2}\left(-2(40)(2)\right) \приблизительно -1,37 \]

   Спрос падает на 1,37 млн ​​товаров в неделю.

   Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

   Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

   исчисление — Использование дифференцирования для решения уравнений

   спросил 92 х $$

   $\endgroup$

   4

   $\begingroup$

   Чтобы уравнения, которые вы пишете, были верными, $x$ должно принимать какое-то дискретное значение. Равенство, вообще говоря, неверно. Чтобы знак равенства сохранялся, обе части уравнения должны быть константами, потому что это равенство только тогда, когда x принимает определенные значения. Это означает, что вы не можете просто взять производную или интеграл от обеих частей, потому что вы меняете природу функции. 92=2x$. Это имеет решения $x=0$ и $x=2$. Возьмите производную обеих частей, и вы получите $2x=2$. Решения второго уравнения не имеют ничего общего с решениями первого уравнения, поэтому использование производной в целом не является допустимым подходом, когда существуют только конкретные решения.

   $\endgroup$

   1

   $\begingroup$

   Логически производные представляют скорость изменения функции, скорость изменения не учитывает, с какого значения функция начинает изменяться с этой скоростью.

   Простой пример: $2x+15=2x$.

   Наоборот, если две функции принимают одно и то же значение в одной точке, они не должны иметь одинаковую скорость изменения.

   No related posts.