Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядит следующим образом:
.Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной: или .Функция называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество.
.Функция называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области , если
при любой постоянной c функция является решением,
для любого набора начальных условий существует константа такая, что , т.е. существует решение из семейства (при ), удовлетворяющее этим начальным условиям.Одной из основных задач является задача отыскания общего решения дифференциального уравнения
Функция
называется первым интегралом
дифференциального уравнения, если она
сохраняет свои значения на его решениях
(=С).По
сути дела, это – закон сохранения
(функция сохраняет
значения на решениях дифференциального
уравнения).Интегральной
кривой называется
график решения дифференциального
уравнения.Одной из основных задач является также задача Коши — задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям или интегральной кривой, проходящей через заданную точку .Теорема существования решения задачи Коши.Пусть функция непрерывна в области , тогда существует хотя бы одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям или существует хотя бы одна интегральная кривая, проходящая через точку .
Билет
6 1 Интеграл
с переменным верхним пределом.Определенный
интеграл представляет собой функцию
пределов интегрирования.
Это ясно даже
из геометрической интерпретации
интеграла как площади криволинейной
трапеции. Изменяя пределы интегрирования,
мы изменяем основание трапеции, изменяя
тем самым ее площадь. Рассмотрим интеграл
как функцию верхнего предела интегрирования
– интеграл
с переменным верхним пределом .
Переменная интегрирования по свойству
9 определенного интеграла – «немая
переменная», ее можно заменить z
или t
или как- либо еще. Никакого отношения
к верхнему пределу интегрирования она
не имеет. Теорема
о производной интеграла по переменному
верхнему пределу (основная
теорема математического анализа)Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
,
пусть
.
Тогда
.Доказательство.
.При
доказательстве мы воспользовались
теоремой о среднем
и
непрерывностью функции
.
2Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде
, где , (векторная форма записи)
или
(покоординатная
форма записи).
Будем искать решение
системы в виде
.Подставляя
в уравнение системы, получаем
. Получено уравнение для определения соответствующего собственному значению собственного вектора линейного оператора с матрицей A. Система уравнений или имеет ненулевое решение только, когда определитель системы равен нулю, т.е. .Это – характеристическое уравнение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В развернутом виде его можно записать так:.
Характеристическое
уравнение представляет собой
алгебраическое уравнение n-
го порядка относительно
.
Из основной теоремы высшей алгебры
известно, что оно имеет ровно n
корней. Часть корней может быть действительными корнями, часть — комплексными, но
комплексные корни встречаются только парами
комплексно-сопряженных корней.
Это следует из действительности
коэффициентов характеристического
уравнения и теорем Виета.
Решить дифференциальное уравнение: примеры решения
Уравнения встречаются повсеместно. С помощью формул и их систем рассчитывают разные величины и описывают физические процессы. С древних времен сферы применения уравнений только увеличиваются. К примеру, дифференциальные уравнения необходимы для освоения информатики, компьютерных технологий, физики.
Решение дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения решают с помощью производных, которые являются пределами отношений приращения функций к приращению аргумента, при том, что приращение аргумента приближается к нулевому значению. Порядок таких уравнений соответствует наивысшему порядку производной, которая включена в уравнения. Степень определяется максимальной степенью, возведенной производной наивысшего порядка.
Решить дифференциальное уравнение — значит, найти множество всех функций, удовлетворяющих данному уравнению.
Такие множества записывают в следующем виде:
\(y = f(x;C)\)
где С представляет собой произвольную постоянную.
Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка является некой функцией, которая зависит от аргумента x и n-го числа независимых произвольных постоянных.
Основные способы решения системы
При наличии навыков решения однородных уравнений второго порядка и неоднородных уравнений второго порядка, в состав которых включены постоянные коэффициенты, справиться с системами дифференциальных уравнений достаточно просто. Выделяют ключевые типы СДУ:
- линейные однородные;
- линейные неоднородные.
Решают системы дифференциальных уравнений несколькими методами:
- метод исключения, с помощью преобразования системы к одному дифференциальному уравнению;
- по средствам характеристического уравнения или способом Эйлера.
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
В качестве максимально простой однородной системы дифференциальных уравнений можно рассмотреть такую:
Источник: mathprofi.
{-2t}\left(\left(\frac{4C_1-3C_2}5\right)\cos\left(3t\right)+\left(\frac{3C_1+4C_2}5\right)\sin\left(3t\right)\right)+1\)Общее решение системы будет иметь вид:
Источник: mathprofi.ruПриступаем к поиску частного решения, исходя из условий задачи:
Источник: mathprofi.ruМожно записать окончательный ответ:
Источник: mathprofi.ru Источник: mathprofi.ruМетод характеристического уравнения (метод Эйлера)
Данный способ применяется крайне редко. Целесообразно рассмотреть алгоритм метода Эйлера или характеристического уравнения на конкретном примере. Пусть дана линейная однородная система дифференциальных уравнений:
Источник: mathprofi.ru Источник: rusvesna.suСледует записать матрицу, которая будет включать коэффициенты при неизвестных функциях в правых частях уравнений системы:
\(\ A=\left(\begin{array}{ll}{-1} & {-5} \\ {-7} & {-3}\end{array}\right)\)
Далее необходимо рассчитать собственные значения записанной матрицы с помощью характеристического уравнения и его корней:
\(\ |A-\lambda E|=0 \Rightarrow\left|\left(\begin{array}{cc}{-1} & {-5} \\ {-7} & {-3}\end{array}\right)-\lambda \cdot\left(\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)\right|\)
\(\left|\begin{array}{cc}{-1-\lambda} & {-5} \\ {-7} & {-3-\lambda}\end{array}\right|\)
\((-1-\lambda)(-3-\lambda)-(-7) \cdot(-5)\)
\(\lambda^{2}+4 \lambda-32=0\)
\({\lambda_{1}=-8}\)
\({\lambda_{2}=4}\)
Далее нужно определить собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям.
{4 t}}\end{array}\right) \)
Можно записать окончательный ответ:
Источник: mathprofi.ru Источник: ykt2.ruС системами дифференциальных уравнений работать гораздо проще, если освоить основные приемы решений. В том случае, когда по данной теме или любой другой возникают какие-либо сложности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.
Дифференциальные уравнения и линейная алгебра, 1.1: Обзор дифференциальных уравнений — Видео
Из серии: Дифференциальные уравнения и линейная алгебра
Гилберт Странг, Массачусетский технологический институт (MIT)
Линейные уравнения включают dy/dt = y, dy/dt = – y, dy/dt = 2ty . Уравнение dy/dt = y * y является нелинейным.
ОК. Что ж, идея этого первого видео состоит в том, чтобы рассказать вам, что будет дальше, дать своего рода план того, что разумно изучать об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
И большая часть серии будет видео по уравнениям первого порядка и видео по уравнениям второго порядка. Это те, которые вы чаще всего видите в приложениях. И это те, которые вы можете понять и решить, когда вам повезет.
Таким образом, уравнения первого порядка означают, что в уравнение входят первые производные. Итак, это хорошее уравнение, которое мы решим, на которое мы потратим много времени. Производная — это скорость изменения у… изменения неизвестного у… с течением времени частично зависят от самого решения. В этом и заключается идея дифференциального уравнения, в том, что оно связывает изменения с функцией y такой, какая она есть.
И затем у вас есть входы, называемые q of t, которые производят свои собственные изменения. Они входят в систему. Они становятся частью y. И они растут, распадаются, колеблются, что бы ни делал y of t. Итак, это линейное уравнение с правой частью, с входом, вынуждающим фактором.
А вот и нелинейное уравнение. Производная у.
Наклон зависит от y. Итак, дифференциальное уравнение. Но f y может быть y в квадрате над y в кубе, или синусом y, или экспонентой y. Так что это может быть не линейно. Линейный означает, что мы видим y сам по себе. Здесь не будем. Что ж, мы подошли довольно близко к решению, потому что это уравнение первого порядка. И самое общее уравнение первого порядка, функция будет зависеть от t и y. Вход будет меняться со временем. Здесь вход зависит только от текущего значения y.
Я мог бы думать о y как о деньгах в банке, которые растут, распадаются, колеблются. Или я мог бы думать о y как о расстоянии на пружине. Приходит много заявок.
ОК. Итак, это уравнения первого порядка. А второй порядок имеет вторые производные. Вторая производная — это ускорение. Это говорит вам об изгибе кривой.
Если у меня есть график, первая известная нам производная дает наклон графика. Это идет вверх? Это идет вниз? Это максимум?
Вторая производная говорит вам об изгибе графика. Как уходит от прямой.
Так и есть разгон. Итак, закон Ньютона — физика, с которой мы все живем, — это ускорение — это некоторая сила. И есть сила, которая, опять же, линейно зависит — это ключевое слово — от y. Просто у в первой степени.
А вот немного более общее уравнение. По закону Ньютона ускорение умножается на массу. Итак, это включает в себя физическую константу, массу.
Тогда может быть какое-то демпфирование. Если у меня есть движение, может быть трение, замедляющее его. Это зависит от первой производной, скорости.
И тогда может быть такой же принудительный член, который зависит от самого y. И может быть какая-то внешняя сила, какой-то человек или машина, создающая движение. Термин внешнего форсирования.
Это большое уравнение. И позвольте мне сказать, что на данный момент мы позволяем вещам быть нелинейными. И у нас были неплохие шансы. Если мы сделаем их нелинейными, вероятность второго порядка упадет. И чем дальше, тем больше нам нужна линейность и, может быть, даже постоянные коэффициенты.
м, б и к. Так что на самом деле проблема, которую мы можем решить, когда наловчимся, представляет собой линейное уравнение, скажем, второго порядка, с постоянными коэффициентами. Но это в значительной степени подталкивает к тому, что мы можем надеяться сделать явно и действительно понять решение, потому что оно такое линейное с постоянными коэффициентами. Скажи это снова. Это хорошие уравнения.
И я думаю о решениях двояко. Если у меня есть действительно хорошая функция, например экспоненциальная. Экспоненты — это великие функции дифференциальных уравнений, великие функции в этом ряду. Вы будете видеть их снова и снова. Экспоненты. Скажем, f of t равно — e t. Или e на omega t. Или е к я омега т. Это i — квадратный корень из минус 1.
В этих случаях мы получим такую же хорошую функцию для решения. Это лучшие. Мы получаем функцию, которую мы знаем как экспоненту. И мы получаем решения, которые мы знаем.
Во-вторых, лучше всего получить какую-то функцию, о которой мы особо не знаем.
В этом случае решение, вероятно, включает интеграл от f или два интеграла от f. У нас есть формула для этого. Эта формула включает в себя интегрирование, которое нам пришлось бы выполнить, либо найти его, либо выполнить численно.
И затем, когда мы дойдем до полностью нелинейных функций или у нас будут переменные коэффициенты, тогда мы перейдем к числовым. Так что на самом деле широкая, широкая часть предмета заканчивается числовыми решениями. Но у вас впереди целая куча видео с хорошими функциями и хорошими решениями.
ОК. Итак, первый порядок и второй порядок. Теперь их больше, потому что система обычно не состоит только из одного резистора или одной пружины. На самом деле у нас много уравнений. И нам нужно с ними разобраться.
Итак, у теперь вектор. у1, у2, к уп. n различных неизвестных. п различных уравнений. Это n уравнение. Итак, вот матрица n на n. Итак, первый заказ. Постоянный коэффициент. Так что мы сможем куда-нибудь добраться. Но это система из n связанных уравнений.
И это тоже со второй производной. Вторая производная решения. Но опять же, от y1 до yn. И у нас есть матрица, обычно там симметричная матрица, надеемся, умножающая у.
Итак, опять линейно. Постоянные коэффициенты. Но сразу несколько уравнений. И это принесет идею собственных значений и собственных векторов. Собственные значения и собственные векторы — это ключевой элемент линейной алгебры, который делает эти задачи простыми, поскольку превращает связанную задачу в n несвязанных задач. n уравнений первого порядка, которые мы можем решить по отдельности. Или n уравнений второго порядка, которые мы можем решить по отдельности. Это цель с матрицами, чтобы разъединить их.
ОК. И затем действительно большая реальность этого предмета состоит в том, что решения находятся численно и очень эффективно. И об этом нужно многому научиться, многому научиться. А MATLAB — это первоклассный пакет, дающий численные решения с множеством вариантов.
Один из вариантов может оказаться любимым.
ОДУ для обыкновенных дифференциальных уравнений 4 5. А это числа 4, 5. Итак, Клив Молер, написавший пакет MATLAB, собирается создать серию параллельных видеороликов, объясняющих шаги к численному решению.
Эти шаги начинаются с очень простого метода. Пожалуй, я напишу имя создателя. Эйлер. Итак, вы можете знать, что, поскольку Эйлер жил много веков назад, у него не было компьютера. Но у него был простой способ приближения. Так что Эйлер может быть ОДУ 1. И теперь мы оставили Эйлера позади. Эйлер хорош, но недостаточно точен.
ODE 45, что 4 и 5 указывают на гораздо более высокую точность, гораздо большую гибкость в этом пакете. Итак, начав с Эйлера, Клив Молер объяснит несколько шагов, которые помогут создать действительно рабочий пакет.
Итак, это параллельная серия, где вы увидите коды. Это будет серия мелом и доской, где я буду находить решения в экспоненциальной форме. И если я могу, я хотел бы завершить серию, обратившись к уравнениям в частных производных.
Итак, я просто напишу здесь несколько дифференциальных уравнений в частных производных, чтобы вы знали, что они означают.
И это цель, которую я надеюсь достичь.
Таким образом, одно дифференциальное уравнение в частных производных будет du dt — вы видите частные производные — это вторая производная. Итак, теперь у меня есть две переменные. Время, которое у меня всегда есть. А вот x в пространственном направлении. Это называется уравнением теплопроводности. Это очень важный постоянный коэффициент, уравнение в частных производных.
Итак, PDE, в отличие от ODE. И поэтому я записываю еще один. Вторая производная от u — это та же правая вторая производная по оси x. Это можно назвать волновым уравнением.
Это похоже на уравнение первого порядка во времени. Это как большая система. На самом деле, это похоже на бесконечную систему уравнений. Первый заказ вовремя. Или второй заказ по времени. Уравнение теплоты. Волновое уравнение.
И я хотел бы также включить уравнение Лапласа. Ну если доберемся. Итак, это цели на конец серии, которые выходят за рамки некоторых курсов ОДУ. Но главная цель здесь — дать вам стандартную четкую картину основных дифференциальных уравнений, которые мы можем решить и понять.
Надеюсь, все пройдет хорошо. Спасибо.
Узнать больше
Читать о дифференциальных уравнениях и линейной алгебре
Узнайте больше о Gilbert Strang
Гендерные различия на Американском конкурсе математиков AMC 8 Contest
%PDF-1.7 % 1 0 объект > /Метаданные 2 0 R /Контуры 3 0 R /Страницы 4 0 Р /StructTreeRoot 5 0 R /Тип /Каталог /ViewerPreferences >
