Однородные дифференциальные уравнения
Вначале введем понятие однородной функции. Функция называется однородной функцией порядка k, если
, .
Пример 3. Какие из функций будут однородными?
1) ;
2) ;
3) .
Решение:
1.
.
Функция – однородная функция второго порядка (так как переменная t в квадрате, т. е. k = 2).
2. .
Функция – однородная функция четвертого порядка.
3.
.
Функция не является однородной.
Уравнение вида
(10) |
,
.
Заметим, что уравнение (10) можно привести к виду
.
С помощью подстановки
, | (11) |
где – новая неизвестная функция, однородное уравнение (10) может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции и переменной х.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение
В данном случае функции и – однородные функции первого порядка. Действительно:
,
.
Таким образом, исходное уравнение есть однородное уравнение (10) и для его решения необходимо применить подстановку (11):
.
Подставим у и dy в уравнение:
,
,
или ,
– уравнение с
разделяющимися переменными.
.
Подставляя в данное решение , получаем общее решение исходного уравнения:
.
Заметим, что к данному общему решению необходимо добавить решение , полученное выше. Действительно, будет также решением исходного уравнения, так как при , следовательно
.
Таким образом, непосредственной подстановкой мы убедились, что – также решение исходного уравнения, причем оно не может быть получено из общего ни при каких значениях константы
и .
Линейные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции у и ее производной у′, т. е. уравнение вида
. | (12) |
Здесь и – непрерывные на функции.
Если в (12) правая часть , то уравнение называется линейным неоднородным, если – линейным однородным уравнением.
Метод подстановки (метод Бернулли)
По этому методу решение уравнения (12) ищется в виде
, | (13) |
где и – некоторые непрерывно-дифференцируемые на функции, которые необходимо будет найти.
Так как , то
.
Подставим у и в уравнение (12):
. | (14) |
В качестве возьмем такую функцию, чтобы выражение в уравнении (14) обращалось бы в нуль,
т. е.
. | (15) |
Тогда уравнение (14) преобразуется в уравнение
. | (16) |
Уравнения (15) и (16) являются уравнениями с разделяющимися переменными (способ их решения смотрите выше). Решим вначале уравнение (15):
,
,
,
,
, ,
. | (17) |
Как правило, константу в (17) полагают равной 1.
Подставим найденную функцию из (17) в уравнение (16):
. | (18) |
Таким образом, мы определили необходимые нам неизвестные функции и . Следовательно, решением исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка будет функция
. | (19) |
Формула (19) позволяет сразу найти решение дифференциального уравнения (12). Но в силу ее громоздкости лучше помнить алгоритм решения таких уравнений, а именно, подстановку . Заметим, что формула (19) значительно упрощается для линейного однородного уравнения (в котором ):
. | (20) |
Пример 5. Решить уравнение
. | (21) |
Решение
Сравнивая вид уравнения (21) с видом уравнения (12), действительно убеждаемся, что оно линейное:
, ,
причем оно неоднородное.
Для его решения применим подстановку (13):
,
,
,
. | (22) |
1. Пусть .
,
,
тогда при
. | (23) |
2. Подставим (23) в (22):
,
,
. Физика 166 Реклама и PR 31 Педагогика 80 Психология 72 Социология 7 Астрономия 9 Биология 30 Культурология 86 8 Право и юриспруденция 36 Политология 13 Экономика 49 Финансы 9 История 16 Философия 8 Информатика 20 Право 35 Информационные технологии 6 Экономическая теория 7 Менеджент 719 Математика 338 Химия 20 Микро- и макроэкономика 1 Медицина 5 Государственное и муниципальное управление 2 География 542 Информационная безопасность 2 Аудит 11 Безопасность жизнедеятельности 3 Архитектура и строительство 1 Банковское дело 1 Рынок ценных бумаг 6 Менеджмент организации 2 Маркетинг 238 Кредит 3 Инвестиции 2 Журналистика 1 Конфликтология 15 Этика 9 Формулы дифференцирования Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальные уравнения первого порядка Решение дифференциальных уравнений Узнать цену работы Узнай цену своей работы Имя Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругоеПринимаю Политику конфиденциальности Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях диффузоров, описание RP Photonics Encyclopedia; гомогенизаторы пропускающие и отражающие, матовое стекло, матовое стекло, молочное стекло, поликарбонат, голографические рассеиватели, угловое распределение, производительность
Примечание: поле поиска по ключевому слову статьи и некоторые другие функции сайта требуют Javascript, который, однако, отключен в вашем браузере. можно найти в Руководстве покупателя RP Photonics. Среди них: Дополнительные сведения о поставщике см. в конце этой статьи энциклопедии или перейдите на страницу . Список поставщиков диффузоров Вас еще нет в списке? Получите вход! Используя наш рекламный пакет, вы можете разместить свой логотип и далее под описанием вашего продукта. Оптический рассеиватель — это устройство, которое может рассеивать свет, т. е. по существу означает сильное скремблирование его волновых фронтов и уменьшение его пространственной когерентности.
Другими словами, получаются случайные или псевдослучайные изменения оптической фазы для разных частей специального профиля падающего света. Например, если лазерный луч с высокой пространственной когерентностью попадает на диффузор, свет, выходящий из диффузора, может больше не иметь характеристик луча, а скорее распространяться в широком диапазоне направлений. Однако степень и детальные характеристики диффузии могут существенно различаться между разными устройствами. Некоторые из них имеют светоотдачу с существенно ламбертовскими характеристиками, а другие существенно от них отличаются, напр. демонстрируя колоколообразное относительно узкое распределение рассеяния. Оптические рассеиватели могут иметь различную геометрическую форму, адаптированную к различным применениям. Например, существуют диффузорные пластины, как правило, круглой или прямоугольной формы и небольшой толщины, например несколько миллиметров. Кроме того, существуют диффузорные покрытия, которые можно наносить на различные виды поверхностей, например: из металлов или пластмасс. Обратите внимание, что за пределами области оптики существуют другие виды рассеивателей, которые здесь не рассматриваются; например, некоторые диффузоры предназначены для управления воздушными потоками. Принцип работы оптических рассеивателейВ большинстве, но не во всех случаях рассеиватель работает на основе рассеяния или преломления света на неподвижном куске материала с весьма случайной структурой. Некоторые примеры:
Случайные оптические рассеиватели часто содержат рассеивающие центры примерно круглой формы, а иногда и очень случайной формы. Различают отражающих диффузоров (= диффузоров обратного рассеяния ) и передающих диффузоров (= передних рассеивающих диффузоров ). Первые часто являются поверхностными диффузорами, когда рассеяние происходит на поверхности непрозрачного материала, в то время как пропускающие диффузоры могут быть объемными диффузорами, где рассеяние происходит в объеме прозрачной среды, или также использовать рассеяние на поверхностях. Некоторые рассеиватели полупрозрачны, т. е. часть света проходит, а часть диффузно отражается. Многие устройства предназначены для работы с видимым светом, но их также часто можно использовать с инфракрасным светом, например. Стационарного оптического устройства иногда недостаточно для приложения; затем может потребоваться вращающаяся пластина рассеивателя, где каждая точка профиля входного луча больше не имеет постоянного во времени фазового изменения. В некоторых случаях рассеиватель работает одновременно с оптическим фильтром, например. демонстрируя степень поглощения, зависящую от длины волны. Например, есть рассеиватели из цветного стекла. Кроме того, рассеиватели иногда рассматриваются как своего рода оптические фильтры, даже если их селективность по длине волны не имеет существенного значения. Аспекты производительностиЧто именно означает идеальная производительность диффузора, может существенно зависеть от области применения (см. ниже). Двумя центральными аспектами характеристик обычно являются следующие:
Для некоторых применений требуются особые оптические свойства. Некоторые примеры:
Также могут потребоваться специальные геометрические формы или варианты крепления или комбинация с другими оптическими элементами, такими как асферические линзы. Особо высокие характеристики, даже адаптированные к очень специфическим требованиям, могут быть достигнуты с помощью высококачественных инженерных диффузоров, таких как голографические диффузоры на основе различных материалов, таких как стекло или полимеры (например, поликарбонатные пластики). Для точной характеристики оптических характеристик рассеивателя могут потребоваться усовершенствованные приборы оптической метрологии. Например, может потребоваться обеспечить четко определенный входной свет (например, в отношении центральной длины волны, оптической полосы пропускания, пространственных характеристик и т. д.) и точно измерить результирующее угловое распределение исходящего света. Применение оптических рассеивателейНекоторые типичные области применения оптических рассеивателей, включая бытовые и промышленные помещения, описаны ниже: Освещение Для целей освещения часто желателен рассеянный свет, поскольку он способствует равномерной (однородной) интенсивности освещения и сводит к минимуму эффект ослепления.
Поэтому осветительные лампы часто оснащаются диффузно рассеивающими плафонами. Рассеиватели различных типов фар (например, для автомобилей) и прожекторы часто специально предназначены для получения определенных пространственных характеристик исходящего света – например, для того, чтобы правильно освещать дорогу, не ослепляя других водителей. Осветительные диффузоры и гомогенизаторы также необходимы для различных других устройств, например для ламп накаливания с колбами из матового стекла, микроскопов и некоторых станков для лазерной обработки материалов. В зависимости от типа устройства возможны существенные потери генерируемого света либо из-за поглощения, либо из-за того, что свет направляется в непригодных для использования направлениях. Такие потери заставляют использовать соответственно более интенсивный источник света, что увеличивает потребление электроэнергии. Однако некоторые диффузоры могут быть очень эффективными. Интегрирующие сферы Интегрирующая сфера, используемая напр. в оптической метрологии содержит на своей внутренней поверхности высококачественное диффузионное покрытие, равномерно рассеивающее падающий свет с высокой эффективностью, т. Экраны изображений и дисплеи Экраны для проекционных дисплеев и различных других устройств могут использоваться в отражающей или пропускающей геометрии.
Как правило, они должны сильно рассеивать (рассеивать) свет; они не будут работать должным образом, например. если бы имело место зеркальное отражение.
В частности, для лазерных проекторов требуются четко определенные диффузионные свойства для получения изображения высокого качества.
Ориентировочно, увеличенная оптическая полоса пропускания (уменьшенная временная когерентность) используемого лазерного источника делает рассеивающие свойства экрана менее критичными, поскольку снижается склонность к лазерным спеклам. Для других видов дисплеев также требуется рассеиватель. Например, есть дисплеи на основе жидкокристаллических модуляторов (плоские ЖК-дисплеи) с фоновой подсветкой, где для достижения достаточно однородной подсветки требуется рассеиватель. Оптические аттенюаторыДиффузоры также могут использоваться в качестве оптических аттенюаторов при высоких уровнях оптической мощности, когда ослабление на основе поглощения нецелесообразно. ПоставщикиРуководство покупателя RP Photonics включает 28 поставщиков рассеивателей. Среди них: HolographixHolographix работает с нашими клиентами над проектированием и производством оптических рассеивателей на заказ в соответствии с их спецификациями. У нас есть возможности для производства широкого спектра оптических рассеивателей, от базовых повторяющихся конструкций до более сложных случайных и псевдослучайных конструкций. Knight Optical Knight Optical предлагает ряд различных оптических рассеивателей, в том числе наше очень популярное антиньютоновское стекло, используемое для сканирования негативов, которое можно обрезать по размеру. PowerPhotonicPowerPhotonic разрабатывает и производит гомогенизаторы пучков из плавленого кварца для использования с одномодовыми и многомодовыми лучами. Многорежимные гомогенизаторы поддерживают профиль пучка Гаусса. Однако PowerPhotonic также может разрабатывать и производить гомогенизаторы, которые изменяют профиль и форму луча, например, гомогенизаторы. от Гаусса до цилиндра или до супергаусса или других пользовательских форм. Frankfurt Laser CompanyFrankfurt Laser Company предлагает различные виды оптических рассеивателей – круглые, линейные, прямоугольные и квадратные. Вопросы и комментарии от пользователей Здесь вы можете задать вопросы и комментарии. Если они будут приняты автором, они появятся над этим абзацем вместе с ответом автора. Пожалуйста, не вводите здесь личные данные; в противном случае мы бы удалили его в ближайшее время. (См. также нашу декларацию о конфиденциальности.) Если вы хотите получить личную обратную связь или консультацию от автора, свяжитесь с ним, например. по электронной почте. Ваш вопрос или комментарий: Проверка на спам: (Пожалуйста, введите сумму тринадцати и трех в виде цифр!) Отправляя информацию, вы даете свое согласие на возможную публикацию ваших материалов на нашем веб-сайте в соответствии с нашими правилами. (Если вы позже отзовете свое согласие, мы удалим эти материалы.) Поскольку ваши материалы сначала просматриваются автором, они могут быть опубликованы с некоторой задержкой. См. также: рассеяние, ламбертовские излучатели и рассеиватели, интегрирующие сферы, лазерный спекл, гомогенизаторы пучка Если вы хотите разместить ссылку на эту статью на каком-либо другом ресурсе (например, на своем сайте, в социальных сетях, на дискуссионном форуме, в Википедии), вы можете получить необходимый код здесь. HTML-ссылка на эту статью:
С изображением для предварительного просмотра (см. поле чуть выше):
Для Википедии, например. в разделе «==Внешние ссылки==»: * [https://www.rp-photonics.com/diffusers.html Однородно излучающие, механически стабильные и эффективные волоконные диффузоры, изготовленные с помощью fs-лазера, для медицинских примененийСохранить цитату в файлФормат: Резюме (текст) PubMedPMIDAbstract (текст) CSV Добавить в коллекции
Назовите свою коллекцию: Имя должно содержать менее 100 символов Выберите коллекцию: Не удалось загрузить вашу коллекцию из-за ошибки Добавить в мою библиографию
Не удалось загрузить делегатов из-за ошибки Ваш сохраненный поискНазвание сохраненного поиска: Условия поиска: Тестовые условия поиска Эл. Который день? Первое воскресеньеПервый понедельникПервый вторникПервая средаПервый четвергПервая пятницаПервая субботаПервый деньПервый рабочий день Который день? воскресеньепонедельниквторниксредачетвергпятницасуббота Формат отчета: РезюмеРезюме (текст)АбстрактАбстракт (текст)PubMed Отправить максимум: 1 шт. 5 шт. 10 шт. 20 шт. 50 шт. 100 шт. 200 шт. Отправить, даже если нет новых результатов Необязательный текст в электронном письме: Создайте файл для внешнего программного обеспечения для управления цитированиемПолнотекстовые ссылкиУайли Полнотекстовые ссылки . doi: 10.1002/lsm.23365. Epub 2020 8 декабря. Стефан Штробль 1 2 3 , Феликс Вэгер 1 , Матиас Домке 1 , Адриан Рюм 2 4 , Рональд Срока 2 4 Принадлежности
Стефан Штробль и др. Лазерная хирургия Мед. 2022 апрель . 2022 Апрель; 54 (4): 588-599. doi: 10.1002/lsm.23365.
Epub 2020 8 декабря. АвторыСтефан Штробль 1 2 3 , Феликс Вэгер 1 , Матиас Домке 1 , Адриан Рюм 2 4 , Рональд Срока 2 4 Принадлежности
Абстрактный Предыстория и цели: Доставка света является неотъемлемой частью таких форм терапии, как фотодинамическая терапия (ФДТ), лазерно-индуцированная термотерапия и внутривенная лазерная терапия. Хотя существуют подходы к применению света для всех трех методов лечения, не существует диффузора, который можно было бы использовать для всех трех подходов. Этот рассеиватель должен соответствовать следующим критериям: однородный профиль излучения на длине 40 мм, эффективное светоотведение в области рассеивателя, стойкость к механическим повреждениям, а также термическая стабильность при приложении большой мощности. Дизайн исследования/материалы и методы: Лазер ультракоротких импульсов использовался для вписывания неоднородностей в сердцевину волокна из плавленого кварца при сканировании лазерного фокуса в пределах линейного расположения прямоугольных параллелепипедов с центром вокруг оси волокна. Изготовленный диффузор был оптически и механически охарактеризован и исследован для определения максимальной мощности, которая может быть приложена к ткани. Результаты: На основании анализа всех исследованных диффузоров изготовленный диффузор имеет эффективность излучения ε = (81,5 ± 5,9) %, вариабельность интенсивности (19 ± 5) % между дистальным и проксимальным концами диффузора и минимальный радиус изгиба R b = (15,4 ± 1,5) мм. Было использовано преимущество того факта, что внешние области сердцевины волокна не претерпевают каких-либо структурных изменений в результате механической обработки и, следовательно, не претерпевают значительной потери стабильности. Выводы: Можно было показать, что диффузор, изготовленный с помощью сверхбыстрой лазерной обработки, можно использовать как для маломощных, так и для высокомощных приложений. Дальнейшие тесты должны показать, сохраняется ли механическая стабильность после приложения высокой мощности в тканевой среде. Лазеры Surg. Мед. © 2020 ООО «Вайли Периодикалз». Ключевые слова: диффузор; эндовенозная лазерная терапия; оптические волокна; фотодинамическая терапия; сверхбыстрая лазерная обработка. © 2020 ООО «Вайли Периодикалз». Похожие статьи
Посмотреть все похожие статьи использованная литератураССЫЛКИ
|