Доказать что если для матриц а и в оба произведения: линейная-алгебра / Доказать, что / Математика

Операции над матрицами

Определение. Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности m×n называется матрица С той же размерности, элементы которой равны (;).

Для обозначения суммы двух матриц используется запись . Операция получения суммы матриц называется ихсложением.

Теорема. Сложение матриц коммутативно, т. е. .

Доказательство. Пользуясь определением суммы двух матриц и коммутативностью сложения чисел , убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Теорема. Сложение матриц ассоциативно, т. е.

.

Доказательство. Пользуясь определением суммы двух матриц и ассоциативностью сложения чисел, убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Эти теоремы позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Определение. Произведением матрицы А (размерности m×n) на действительное число называется матрица С той же размерности, элементы которой равны (;).

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись или. Операция получения произведения матрицы на число называетсяумножением матрицы на это число.

Теорема. Умножение матрицы на число ассоциативно относительно числового множителя, т. е. .

Доказательство. Пользуясь определением произведения матрицы на число и ассоциативностью умножения чисел, убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Теорема. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения матриц, т. е. .

Доказательство. Пользуясь определением произведения матрицы на число и дистрибутивностью умножения чисел

относительно их сложения, убеждаемся в очевидности данного утверждения. ■

Теорема. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения чисел, т. е. .

Доказательство. Пользуясь определением произведения матрицы на число и дистрибутивностью умножения чисел относительно их сложения, убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Определение.Разностью двух матриц АиВ одинаковой размерности m×n называется матрица С той же размерности, которая в сумме с матрицей В дает матрицу А.

Для обозначения разности двух матриц используется запись . Операция получения разности матриц называется ихвычитанием. Легко убедиться, что разностьСдвух матриц

АиВможет быть получена по правилу.

Определение. Нулевой (не по внешнему виду, а по роли в алгебраической структуре) называется такая матрица О, что для любой матрицы А верно .

Легко убедиться, что единственной такой матрицей является матрица, которую мы раньше назвали нулевой по внешнему виду, т. е. матрица размерности той же, что и А, состоящая из одних нулей.

Определение. Противоположной к матрице А называется такая матрица (–А) той же размерности, что и А, для которой верно .

Легко убедиться, что (–А)=– единственная такая матрица для каждой матрицыА. Если А=О, то она противоположна сама себе.

Определение. Произведением матрицы

А, имеющей размерность m×n, на матрицу В, имеющую размерность n×p, называется матрица С, имеющая размерность m×p, элементы которой равны (;;).

Для обозначения произведения матрицы А на матрицу В используют запись . Операция получения произведения матрицыА на матрицу В называется перемножением этих матриц.

Матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В. Оба произведения иможно определить лишь в том случае, когда число столбцовА совпадает с числом строк В, число строк А совпадает с числом столбцов В. При этом обе матрицы ибудут квадратными, но размерности их будут, вообще говоря различными. Для того чтобы оба произведенияине только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы

А и В были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Теорема. Умножение матриц (при условии, что оно определено) ассоциативно, т. е.

.

Доказательство. Чтобы произведения были возможны, необходимо, чтобы матрица А имела размерность m×n, матрица В имела размерность n×p, а матрица С имела размерность p×r. Тогда элемент матрицыравен, а элементматрицыравен. Равенствовытекает из возможности изменения порядка суммирования относительноj и k. ■

Теорема. Умножение матриц (при условии, что оно определено

) дистрибутивно относительно сложения матриц, т. е. или .

Доказательство. Пользуясь определениями перемножения и сложения матриц и дистрибутивностью умножения чисел относительно их сложения, убеждаемся в очевидности данного утверждения.■

Вопрос о коммутативности произведения матрицы А на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц А и В одинаковой размерности, поскольку только для таких матриц А и В оба произведения АВ и ВА определены и являются матрицами одинаковых порядков.

Легко убедиться, что произведение двух квадратных матриц, вообще говоря, некоммутативно.

Действительно, пусть ,. ТогдаАВ=ВА=.

Определение. Единичной (не по внешнему виду, а по роли в алгебраической структуре) называется такая матрица Е, что для любой квадратной матрицы

А верно или.

Легко убедиться, что единственной такой матрицей является матрица, которую мы раньше назвали единичной по внешнему виду, т. е. матрица размерности той же, что и А, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные – нулю. Действительно, если предположить, что – другая единичная матрица, то по определению. Причем, т. е. матрицаЕ является как левой единичная, так и правой единичной матрицей, поскольку коммутирует с любой квадратной матрицей.

11

11

11. Кольца матриц. Матрицы над кольцом и операции над ними. Кольцо квадратных матриц. Определители квадратных матриц над коммутативным кольцом с единицей. Критерий обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей.

 

Кольца матриц. Кольцо квадратных матриц.

Матрицей наз прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и n столбцов.

Числа m n  наз. Порядком матрицы. If m=n матр квадратная

Множество квадратных матриц порядка n относительно операции сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е – единичной матрицей, при n>1 оно некоммутативное.

 

Операции над матрицами

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция  составления суммы  матриц называется  их  сложением. сложения матриц обладает свойствами

1)  переместительным свойством: А + В = Б + А;

2)  сочетательным свойством: (А + В) + С = А + (В + С).

Для обозначения произведения матрицы на число используется за­письили. Операция составления произведения мат­рицы на число называется умножением матрицы на это число. Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1)      сочетательным свойством относительно числового множителя:

2)      распределительным  свойством относительно  суммы  матриц:

3)распределительным свойством относительно суммы чисел:

Для обознач произвед матр А на матр

В использу­ют запись С = А В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матри­цу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было = числу строк матрицы В. Для того чтобы оба произведения А *B и B*A были определены необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и В были квадр матрицами одного и того же порядка.

 

 

Определители

 

Кольцо коммутативно if а*b=b*a – умножение коммутативно

Коммутативное Кольцо с единицей if существует 1ЄМ а*1=1*а=а

 

Рассмотрим произвольную квадрат­ную матрицу любого порядка n:

 (1.8)   1

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. Если порядок п матрицы (1.8) равен единице, то эта матрица состоит из одного элементаи определителем первого порядка, со­ответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. Если далее порядок п матрицы (1.8) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид

 (1.9)

то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равноеи обозначаемое одним из символов . Итак, по определению

  (1.10) Формула (1.10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго поряд­ка, соответствующий матрице (1.9), равен разности произведения эле­ментов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали.

В дальнейшем изложении мы будем говорить об элементах, стро­ках или столбцах определителя, подразумевая под этими терминами соответственно элементы, строки или столбцы отвечающей этому опре­делителю матрицы.

Перейдем теперь к выяснению понятия определителя любого по­рядка п , гдеПонятие такого определителя мы введем индуктив­но, считая, что нами уже введено понятие определителя порядка п — 1, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка п — 1.

Договоримся называть минором любого элемента матрицы n-го порядка (1.8) определитель порядка п — 1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания i-й строки и j-го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент). Минор элементабудем обозначать символом. В этом обозначении верхний индекс обозна­чает номер строки, нижний — номер столбца, а черта над М означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются.

Определителем порядка п, соответствующим матрице (1.8), на­зовем число, равноеи обозначаемое символом

 (1.11)

Итак, по определению

 .     (1.12)

Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка п по элементам первой строки соответствующей ему матрицы

и по минорамэлементов первой строки, являющимися определителями порядка п — 1.

Заметим, что при п = 2 правило (1.12) в точности совподает с : правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки имеют вид:

 

 

Критерий обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей.

 

! К – кольцо с единицей. Элемент а называется обратимым, if  существует такой элемент а^-1, для которого аа^-1=а^-1а=1

 

Понятие обратной матрицы. Пусть А —квадратная матрица n-го порядка, а Е — единичная квадратная матрица того же порядка Матрица В называется правой обратной по отношению к матри­це А, если АВ = Е. Матрица С называется левой обратной по отношению к матрице А, если С А — Е.

Так как обе матрицы А и Е являются квадратными матрицами порядка n то матрицы В и С (при условии, что они существуют) также являются квадратными матрицами порядка n

 

Теорема. Для того, чтобы для матрицы А существовали левая и правая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель det А матрицы А был отличен от нуля.

 

Док-во. 1) Необходимость. Если для матрицы А существует хотя бы одна из обратных матриц, например В, то из со­отношения А*В = Е мы получим, что detА*detB=detE=1, откуда вытекает, что

2) Достаточность. Пусть определительотличен от нуля. Обозначим, как и выше, символом алгебраические дополнения элементовматрицы А и составим матрицу В, в i-й строке которой стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы А, поделенные на величину определителя

 (1.41)

Убедимся в том, что эта матрица В является как правой, так и левой обратной по отношению к матрице А.

Достаточно доказать, что оба произведения АВ и ВА являются единичной матрицей. Для этого достаточно заметить, что у обоих про­изведений любой элемент, не лежащий на главной диагонали, равен нулю, ибо после выноса множителяэтот элемент равен сумме произведений элементов одной строки (или одного столбца) на соот­ветствующие алгебраические дополнения другой строки (или другого столбца). Что же касается элементов, лежащих на главной диагонали, то у обоих произведений АВ и ВА все такие элементы равны едини­це в силу того, что сумма произведений элементов и соответствующих алгебраических дополнений одной строки (одного столбца) равна опре­делителю. Теорема доказана.

Замечание 1. Квадратную матрицу А, определитель det А которой отличен от нуля, принято называть невырожденной

Сайт управляется системой uCoz

Linear Algebra WebNotes, часть 2

Linear Algebra WebNotes, часть 2

Элементарные матрицы.

Элементарная матрица представляет собой матрицу, полученную из единичная матрица по одному из рядовые операции.

Пример .

[ 1 3 ] [ 0 1 ]

,

[ 1 0 0 ] [ 1 1 0 ] [ 0 0 1 ]

,

[ 1 0 0 ] [ 0 0 1 ] [ 0 1 0 ]

,

[ 1 0 0 ] [ 0 2 0 ] [ 0 0 1 ]

Первые две матрицы получаются добавление кратного одной строки к другой строке. Третья матрица получается заменой два ряда. Последняя матрица получается умножение строки на число.

Как видим, в элементарных матрицах обычно много нулей.

Элементарные матрицы, полученные путем сложения строк, содержат только одну недиагональный ненулевой вход.

Полученные элементарные матрицы путем умножения строки на число содержат ровно 1 неединичную запись в диагонали и никаких ненулевых элементов вне диагонали.

Элементарные матрицы, полученные перестановкой, состоят из нулей и единиц и содержат ровно 2 недиагональных элемента.

Верны и обратные утверждения (например, любая матрица с единицами на диагональ и ровно один ненулевой элемент вне диагонали) является элементарной матрицей.

Основной результат об элементарных матрицах состоит в том, что любая обратимая матрица является произведением элементарных матриц. Это в каком-то смысле самые маленькие частиц в мире обратимых матриц. Мы докажем это позже.

Теорема. Если элементарная матрица E получается путем выполнения операция строки на единичная матрица I _m и если A является m на n матрица, то продукт EA представляет собой матрицу, полученную из A путем применения та же операция строки.

---

Лемма. Каждый элементарная матрица обратима, а обратная снова является элементарной матрицей. Если элементарная матрица E полученный из I с помощью определенного операция-строка q затем E ^-1 получается из I «обратным» операция q ^-1 определена следующим образом:

Если q является операцией сложения (добавить x умножить на строку j до строки i ), затем q ^-1 также является операцией сложения (добавьте -x , умноженное на строку j , к строке i ).

Если q является умножением строки на x , то q ^-1 является умножением той же строки на x ^-1 .

Если q является операцией обмена, то q ^-1 =q .

---

Теперь мы можем доказать вторую теорему об обратных.

Теорема. Если A является квадратной матрицей n на n , то следующие утверждения эквивалентны.

1. A является обратимым.
2. Система Av=b имеет хотя бы одно решение для каждого вектора-столбца б .
3. Система Av=b имеет ровно одно решение для каждого столбец-вектор b (здесь v — вектор-столбец неизвестных).
4. Система Av =0 имеет только тривиальное решение (0,0,0,…0) (см. гомогенные системы).
5. уменьшенный рядно-кулисная форма — это тождество матрица.
6. А является продуктом элементарный матрицы.

Доказательство этой теоремы дает алгоритм представить матрицу как произведение элементарных матриц: чтобы представить обратимая квадратная матрица A как произведение необходимых элементарных матриц найти последовательность операций со строками p ₁ ,. .., p _m который свести A к его сокращенной эшелонированной форме строк, которая является единичной матрицей; тогда A является произведением элементарных матриц E ₁ ^-1 ,…,E _m ^-1 соответствующий операции в обратном ряду p ₁ ^-1 ,…,p _m ^-1 :

                       A=E  1   -1  E  2   -1  ...E  m   -1  (1)
 

Пример
.

Если мы возьмем обратные обе части формулы (1), то получим следующее формула (напомнить который инверсия произведения — это произведение инверсий в в обратном порядке, и что число, обратное A ^-1 , равно A ):

A ^-1 =E _m …E ₂ E ₁

Заметим, что матрицы E ₁ ,. .., E _m (по лемма об элементарных матрицах) элементарная матрицы, соответствующие операциям со строками p ₁ ,…,p _m . Так как E ₁ I =E ₁ , последнее равенство можно переписать в следующем виде:

A ^-1 =E _m …E ₂ E ₁ I .

Теперь теорема об элементарных матрицах позволяет интерпретировать это равенство следующим образом: , чтобы получить обратную A ^-1 обратимой матрицы A , можно найти последовательность операции со строками который уменьшает A до I , а затем выполните это последовательность операций на я .

Мы можем соединить эти два шага, сначала увеличив A и I (обозначим полученную матрицу как [ A | I ]) а затем применить операции со строками к полученному матрица, уменьшающая ее левую часть до я . Правая часть преобразуется в A ^-1 .

Пример
.

---

Симметричные, диагональные, треугольные матрицы

Квадратная матрица называется симметричным если A ^T =A , то есть если A(i,j)=A(j,i) для каждые i и j . Таким образом, A симметрично тогда и только тогда, когда оно симметрична относительно главной диагонали. Вот пример симметричной матрицы:

[ 1	2	3 ]
[ 2	4	5 ]
[ 3	5	6 ]

Важный подкласс симметричных матриц образован диагональными матрицами, т. е. матрицы, имеющие нули везде вне главной диагонали. За например, единичная матрица является диагональной матрицей.

Мы приводим здесь три теоремы о симметричных матрицах.

Теорема.

1. Сумма двух симметричных матриц является симметричной матрицей.
2. Если мы умножим симметричную матрицу на скаляр, результатом будет симметричная матрица.
3. Если A и B — симметричные матрицы, то AB+BA — симметричная матрица (таким образом, симметричные матрицы образуют так называемую йордановую алгебру).
4. Любая мощность А ^н а симметричная матрица A ( n — любое натуральное число) является симметричной матрицей.
5. Если A является обратимой симметричной матрицей, то A ^-1 также является симметричной.

---

Продукт симметричных матриц не обязательно должны быть симметричными.

Пример .

Пусть

А =

[ 1 2 ] [ 2 3 ]

,

Б =

[ 1 3 ] [ 3 1 ]

тогда

АВ =	[ 7 7 ] [ 11 9 ]

Оба A и B симметричны, но AB не симметричны.

На самом деле справедлив следующий результат.

Теорема.

1. Если произведение двух симметричных матрицы A и B одного размера симметричен, то AB = BA .
2. И наоборот, если A и B симметричны матрицы одинакового размера и АВ = ВА , то АВ симметрична.

Мы оставляем доказательство эту теорему в качестве упражнения (она аналогична доказательство первой теоремы о симметричном матрицы)

Гораздо труднее доказать следующую теорему:

Теорема. Квадратная матрица симметрична, если и Только если оно равно произведению A*A ^T для некоторой квадратной матрицы A с возможным сложные записи.

Я докажу только простую часть этого утверждения: для каждой матрицы A произведение A*A ^T симметрично.

Действительно, пусть B=A*A ^T . Тогда B ^T = (A*A ^T ) ^T . По теореме о транспонирует, транспонирование продукта — это произведение транспонирования в обратный порядок. Таким образом B ^T =(A ^T ) ^T *A ^T . По той же теореме (А ^Т ) ^Т = А . Таким образом, B ^T =A*A ^T =B , поэтому определение B является симметричным.

Посмотреть подсказку к доказательству другой части теоремы (если B симметрично, то B=A*A ^T для некоторого A ) нажмите здесь.

---

Квадратная матрица Вызывается верхний треугольный (соответственно нижний треугольный ) если все его элементы ниже (соответственно выше) главной диагонали — нули, т.е. равно A(i,j) =0 всякий раз, когда i больше j (соответственно A(i,j) = 0 всякий раз, когда i меньше j ).

Пример .

[ 1 2 3 ] [ 0 0 1 ] [ 0 0 1 ]

,

[ 1 0 0 ] [ 0 1 0 ] [ 2 3 4 ]

Первая из этих матриц верхняя треугольная, вторая нижняя треугольный.

Теорема.

1. Каждая квадратная матрица является суммой верхняя треугольная матрица и нижняя треугольная матрица.
2. Произведение двух верхних (нижних) треугольных матриц есть верхнее (нижнее) треугольная матрица.
3. Транспонирование верхней треугольной матрицы представляет собой нижнюю треугольную матрицу.

---

Квадратная матрица А называется кососимметричным , если A ^T = -A , то есть А(i,j)=-A(j,i) за каждые i и j . В частности, если i=j , то A(i,i) =0, то есть диагональ элементы кососимметричной матрицы равны 0.

Пример:

[ 0	2	3 ]
[-2	0	4 ]
[-3	-4	0 ]

Теорема.

1. Если A обратимые и кососимметричные матрицы тогда обратное A кососимметрично.
2. Если A и B кососимметричные матрицы тогда A ^T , A+B, AB-BA и kA кососимметричны для каждого скаляра k .
3. Каждый квадратная матрица представляет собой сумму симметричной и кососимметричной матриц.

Я оставляю доказательство этой теоремы в качестве упражнения.

---

---

2.9: Подробнее об обратной матрице

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

19847

• Кен Каттлер
• Университет Бригама Янга через Lyryx

В этом разделе мы докажем три теоремы, которые прояснят понятие обратных матриц. Для этого напомним сначала некоторые важные свойства элементарных матриц.

Напомним, что элементарная матрица — это квадратная матрица, полученная путем выполнения элементарной операции над единичной матрицей. Каждая элементарная матрица обратима, и ее обратная матрица также является элементарной матрицей. Если \(E\) представляет собой \(m \times m\) элементарную матрицу, а \(A\) представляет собой \(m \times n\) матрицу, то произведение \(EA\) является результатом применения к \(A\) та же элементарная операция со строками, которая применялась к единичной матрице \(m \times m\) для получения \(E\).

Пусть \(R\) — редуцированная ступенчатая форма матрицы \(m \times n\) \(A\). \(R\) получается итерационным применением последовательности элементарных операций со строками к \(A\). Обозначим через \(E_1, E_2, \cdots, E_k\) элементарные матрицы, связанные с элементарными операциями над строками, которые применялись по порядку к матрице \(A\) для получения результирующего \(R\). {-1})\). Но так как единичная матрица \(I\) не имеет строки нулей, то и \(R\) не может иметь ее.

Теперь рассмотрим вторую важную лемму.

Лемма \(\PageIndex{2}\): размер обратимой матрицы

Предположим, что \(A\) и \(B\) — такие матрицы, что произведение \(AB\) является единичной матрицей. Тогда \(A\) имеет не меньше столбцов, чем строк.

Доказательство

Пусть \(R\) — редуцированная ступенчатая форма строки \(A\). По лемме \(\PageIndex{1}\) мы знаем, что \(R\) не имеет строки нулей, и поэтому каждая строка \(R\) имеет начальный \(1\). Поскольку каждый столбец \(R\) содержит не более одного из этих ведущих \(1\) s, \(R\) должно иметь по крайней мере столько же столбцов, сколько строк.

Из этой леммы следует важная теорема.

Теорема \(\PageIndex{1}\): обратимые матрицы являются квадратными

Обратимыми могут быть только квадратные матрицы.

Доказательство

Предположим, что матрицы \(A\) и \(B\) такие, что оба произведения \(AB\) и \(BA\) являются единичными матрицами. Мы покажем, что \(A\) и \(B\) должны быть квадратными матрицами одинакового размера. Пусть матрица \(A\) имеет \(m\) строк и \(n\) столбцов, так что \(A\) является матрицей \(m \times n\). Поскольку произведение \(AB\) существует, \(B\) должно иметь \(n\) строк, а поскольку произведение \(BA\) существует, \(B\) должно иметь \(m\) столбцов, так что \(B\) является матрицей \(n \times m\). Чтобы закончить доказательство, нам нужно только проверить, что \(m=n\).

Сначала применим лемму \(\PageIndex{2}\) с \(A\) и \(B\), чтобы получить неравенство \(m \leq n\). Затем мы снова применяем лемму \(\PageIndex{2}\) (изменив порядок матриц), чтобы получить неравенство \(n \leq m\). Отсюда следует, что \(m=n\), как мы и хотели.

Конечно, не все квадратные матрицы обратимы. В частности, нулевые матрицы необратимы, как и многие другие квадратные матрицы.

Следующее предложение будет полезно при доказательстве следующей теоремы.

Предложение \(\PageIndex{1}\): Редуцированная ступенчатая форма квадратной матрицы

Если \(R\) является редуцированной ступенчатой ​​формой квадратной матрицы, то либо \(R\) имеет строка нулей или \(R\) является единичной матрицей. {T} \neq 0\). 9{T}\) не является единичной матрицей \(3 \times 3\). Это показывает, что для теоремы \(\PageIndex{2}\) существенно, чтобы обе матрицы были квадратными и имели одинаковый размер.

Возможны ли матрицы \(A\) и \(B\) такие, что \(AB=I\), а \(BA=0\)? Ответ на этот вопрос остается за читателем, и вам следует уделить время обдумыванию ответа.

Мы завершаем этот раздел важной теоремой.

Теорема \(\PageIndex{3}\): Приведенная эшелонная форма строк обратимой матрицы

Для любой матрицы \(A\) эквивалентны следующие условия:

• \(A\) обратима
• Приведенная эшелонная форма строки \(A\) является единичной матрицей

Доказательство

Чтобы доказать это, покажем, что для любой заданной матрицы \(A\) каждое условие влечет другое. Сначала мы покажем, что если \(A\) обратима, то ее редуцированная ступенчатая форма строки является единичной матрицей, затем мы покажем, что если редуцированная ступенчатая форма \(A\) является единичной матрицей, то \( А\) обратим.

Если \(A\) обратима, то существует некоторая матрица \(B\) такая, что \(AB = I\). По лемме \(\PageIndex{1}\) мы получаем, что число \(A\) не имеет строки нулей. Тогда по теореме \(\PageIndex{1}\) следует, что \(A\) и редуцированная построчная форма \(A\) являются квадратными матрицами. Наконец, по предложению \(\PageIndex{1}\) эта редуцированная эшелонная форма строки \(A\) должна быть единичной матрицей. Это доказывает первое следствие.

Теперь предположим, что редуцированная ступенчатая форма матрицы \(A\) является единичной матрицей \(I\). Тогда \(I=EA\) для некоторого произведения \(E\) элементарных матриц. По теореме \(\PageIndex{2}\) мы можем заключить, что \(A\) обратимо. 9{-1}\справа]\). Это будет произведение матриц \(E\left[ A|I\right]\), где \(E\) — произведение элементарных матриц. По правилам умножения матриц имеем \(E\left[ A|I\right] = \left[EA|EI\right] = \left[EA|E\right]\).

Отсюда следует, что редуцированная ступенчатая форма строки \(\left[ A|I\right]\) есть \(\left[EA|E\right]\), где \(EA\) дает редуцированную строку- ступенчатая форма \(A\).

No related posts.