Доказать что lim xn 0: пределы / Доказать существование предела / Математика

Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательно­сти.

Теорема (о единственности предела). Последовательность может иметь не более одного предела.

Доказательство. Пусть последовательность {x_n} имеет два предела:

и причем а ≠b Тогда для

найдется но­мер N₁ такой, что при всех выполняется неравенство |а— x_n| <ε. Найдется также номер N₂ такой, что при всех n ≥ N₂ выполняется неравенство |b — x_n| <ε.

Пусть Тогда |а — b| = |а — x

n + x_n — b| ≤ |а — x_n| + |x_n — b| < ε+ε=2ε=

Пришли к противоречию. Теорема доказана

2. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.

Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности). Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {x_n} сходится, и пусть . Тогда для

положительного числа 1 существует номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство | а— x_n |<l. Отсюда |x_n | —| а| ≤ |а —

x_n| <1, т.е. |x_n| < |а| + 1. Следовательно, |x_n| ≤ max(|x₁|,…, |x_N|, |а| + 1), n =1, 2,…, и последовательность {xn} ограничена. Теорема доказана.

3. Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.

Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Для функции f(x), имеющей (конечный) предел при x → x₀ существует проколотая окрестность этой точки, на которой данная функция ограничена.

Доказательство. Пусть

Тогда для положительного числа 1 найдется δ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| <δ выполняется неравенство |f (x) — a| < 1. Отсюда

|f(x)| = |f(x) — a + a| ≤|f(x) — a| + |a| < 1 + |a|, т.е. |f(x)| < 1 + |a|,

и мы видим, что f (x) ограничена в проколотой δ-окрестности (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ) точки x₀. Теорема доказана.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела.

Теорема (о сохранении функцией знака своего предела). Пусть предел

положителен. Тогда функция f (x) положительна в некоторой проколотой окрестности точки x0.

Доказательство. Пусть lim f (x) = a, a > 0. Тогда для положительного числа —

а/2, найдется δ > 0 такое, что при 0 < |x — x₀| < δ выполняется неравенство

|f (x)—a|<a/2

Это неравенство равносильно такому:

следовательно, f (x) > a/2, т.е. данная функция положительна при x принадлежащем промежутку (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ). Теорема доказана.

5. Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве.

Теорема (о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции f (x) и g(x) опре­делены в проколотой окрестности (x₀) точки x₀, причем для любого x (x

₀) выпол­няется неравенство f (x)≥g(x). Тогда, если эти функции имеют пределы и то a ≥ b.

Доказательство. Пусть вопреки утверждению теоремы a < b, и пусть . Тогда существует δ₁ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| < δ₁ имеет место не­равенство |f (x) — a| < ε, т.е. a — ε< f (x) < a + ε. Аналогично существует δ₂ > 0 такое, что при 0 < |x — x₀| < δ₂ выполняется неравенство |g(x) — b| < ε, т. е. b—ε< g(x) < b+ε.

Если δ = min(δ₁, δ₂), и 0 < |x — x₀| <δ, то, т.е. f (x) < g(x) для указанных значений x — противоречие. Теорема доказана.

Замечание. Если в условии теоремы неравенство f (x) ≥g(x) заменить на строгое, т.е. если f (x) > g(x), то отсюда, вообще говоря, не следует, что a > b. Например, при |x| < 1, x = 0, имеем |x| > x². В то же время

6. Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.

7. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций.

8. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.

9. Докажите, что

10. Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.

11. Сформулируйте и докажите теорему о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.

12. Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой и бесконечно малой

13. Сформулируйте и докажите теорему о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела.

14. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых.

15. Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков.

16. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций.

17. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.

18. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки.

19. Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций. Докажите непрерывность функции y = sin x.

Теорема . Все элементарные функции непрерывны на своей области определения

20. Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке.

21. Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайте классификацию точек разрыва.

22. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.

23. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

24. Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывности функции.

25. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух дифференцируемых функций.

26. Сформулируйте и докажите теорему о производной частного двух дифференцируемых функций.

При условии g(x)≠0

27. Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.

28. Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.

29. Сформулируйте и докажите свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка.

30. Сформулируйте и докажите теорему Ферма.

31. Сформулируйте и докажите теорему Ролля.

32. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.

33. Сформулируйте и докажите теорему Коши.

34. Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя — Бернулли для предела отношения двух бесконечно малых функций.

35. Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности.

36. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

37. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

38. Выведите формулу Маклорена для функции y = e^x с остаточным членом в форме Лагранжа.

39. Выведите формулу Маклорена для функции y = sin x с остаточным членом в форме Лагранжа.

40. Выведите формулу Маклорена для функции y = cos x с остаточным членом в форме Лагранжа.

41. Выведите формулу Маклорена для функции y = ln(1 + x) с остаточным членом в форме Лагранжа.

42. Выведите формулу Маклорена для функции y = (1 + x)^μ с остаточным членом в форме Лагранжа.

Предел монотонной последовательности, теорема Вейерштрасса

Содержание:

• Теорема Вейерштрасса
• Применение теоремы Вейерштрасса на практике
• Число е (число Эйлера)

Теорема Вейерштрасса

Теорема

Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).

Если последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и $\left\{x_{n}\right\}$ ограничена сверху (снизу), то $\left\{x_{n}\right\}$ является сходящейся.

Данную теорему можно сформулировать немного иначе — Любая монотонная и ограниченная последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ имеет предел.

Применение теоремы Вейерштрасса на практике

Пример

Задание. Доказать, что последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{1}{n}\right\}$ сходится.

Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального $n$ : $x_{n}=\frac{1}{n}>0$

Исследуем заданную последовательность на монотонность:

$x_{n}-x_{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$

$\frac{1}{n(n+1)}>0 \Rightarrow x_{n}>x_{n+1}$ ,

а значит последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится. {-1}=\frac{1}{e}$

Читать дальше: фундаментальные последовательности, критерий Коши.

реальный анализ — Докажите, что $\lim(x_n)=0$ тогда и только тогда, когда $\lim(|x_n|)=0$.

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 1 месяц назад

Изменено 7 лет, 1 месяц назад

Просмотрено 11 тысяч раз

$\begingroup$

Докажите, что $\lim(x_n)=0$ тогда и только тогда, когда $\lim(|x_n|)=0$.

Определение: Пусть $X = (x_n)$ — последовательность в $\mathbb{R}$, и пусть $x\in\mathbb{R}$.

Тогда $\lim(x_n) =x$ тогда и только тогда, когда для всех $\varepsilon>0$ $\существует k\in\mathbb{N}$ такое, что $|x_n-x|<\varepsilon$ для всех $n \geq к$.

Интересно, достаточно ли этого:

Если мы знаем, что $\lim(x_n)=0$, то мы знаем, что для всех $\varepsilon>0$ $\существует k\in\mathbb{N}$ таких что $|x_n-0|<\varepsilon$ для всех $n\geq k$.

Мы можем переписать это следующим образом: $$|x_n-0|<\varepsilon \Leftrightarrow ||x_n|-0|<\varepsilon\Leftrightarrow \lim(|x_n|)=0$$

Тогда вывод кажется логическим. Действительно ли доказательство так просто или я что-то упускаю?

• реальный анализ

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Ваше доказательство верно. Обратите внимание, что у нас также есть (в общем)

$$\lim x_n = c \Стрелка вправо \lim |x_n| = |c|$$

и что $\lim |x_n| = c$ вообще не означает, что $\lim x_n$ существует.

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie 9{n} = 0 $, когда $0

спросил 10 лет, 1 месяц назад

Изменено 5 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 32к раз

$\begingroup$

Интуитивно это просто, но трудно доказать методом эпсилон-дельта:

$$ \lim_{n \to \infty} n x^{n} = 0$$ 9n=\exp(\log n)\exp(n\log x)=\exp(n\log x+\log n)$, поэтому достаточно показать, что $n\log x+\log n\to -\infty $ как $n\to +\infty$. Мы используем тот факт, что $\log n\leq \sqrt n$ для $n$ достаточно велико, чтобы увидеть, что $$n\log x+\log n\leq n\log x+\sqrt n=n\left(\log x+\frac 1{\sqrt n}\right).$$ Поскольку $\log x<0$, $\log x+\frac 1{\sqrt n}<\frac{\log x}2$ при достаточно большом $n$ $$n\log x+\log n\leq n\frac{\log x}2,$$ что дает результат.

$\endgroup$

$\begingroup$ 9{n+1}}{1-x}=0.$$ Для решения последнего равенства аргумент $\varepsilon$-$\delta$ отлично подходит и прост в исполнении. Таким образом, это рассуждение завершает доказательство.

В некотором смысле вы не сильно жульничаете, потому что используется $\varepsilon$-$\delta$. Надеюсь, вам понравилось. Математики ленивы :P.

Пока

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Разве недостаточно знать, что экспоненциальная функция с $a>1$ стремится к бесконечности быстрее, чем полиномиальная функция? 9{n \ln a}}=0.