Доказать сходимость ряда: Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

Содержание

Доказать расходимость рядов, используя следствие из необходимого признака сходимости

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 16Следующая ⇒

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

Пользуясь признаком сравнения, исследовать на сходимость ряды

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

Исследовать ряды на сходимость, используя признак Даламбера

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

Исследовать ряды на сходимость, используя радикальный признак Коши

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды

	1	2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

Порядок проведения занятия:

Получить допуск к работе
Выполнить задания
Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

Наименование, цель занятия, задание;
Выполненное задание;
Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

Дать определение числового ряда, суммы ряда.
Какой ряд называется сходящимся? Расходящимся?
Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

Записать признаки Даламбера, Коши.
Дать понятие абсолютной и условной сходимости рядов.
Какой ряд называется знакочередующимся?
Записать признак Лейбница.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Понятие числового ряда

Числовым рядом называется выражение вида:

(1)

При этом числа называются членами ряда (1), а _n – общим членом ряда.

Примеры рядов

Из членов бесконечной геометрической прогрессии можно составить ряд:

— ряд геометрической прогрессии

Если, например, взять a = 1, q = , то получим ряд:

Ряд называется гармоническим рядом.

Сумма первых п членов ряда называется частичной суммой ряда. Таким образом, с рядом (1) связывается

последовательность его частичных сумм

S₁, S₂, …, S_n, …, где S₁ = а₁, S₂ = а₁ + а₂, … S_n = а₁ + а₂ + … + а_п, …

Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм, т.е. если существует предел

Число S называется суммой ряда.

Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

Например, ряд геометрической прогрессии сходится, если . Если , то этот ряд сходится только при а = 0, а в остальных случаях расходится.

Гармонический ряд расходится.

Свойства рядов

Теорема 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то для произвольного числа с ряд (2) тоже сходится, и его сумма равна сS. Если же ряд (1) расходится и с ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

Другими словами: сходимость (расходимость) ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же отличное от нуля число.

Теорема 2. Если ряды (1) и (3) сходятся и их суммы равны соответственно S₁ и S₃, то и каждый из двух рядов сходится и его сумма равна соответственно S₁ ± S₃.

Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Следствие: Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Теорема 3. Если в ряде (1) добавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным.

В случае сходимости рассматриваемых рядов их суммы отличаются на сумму отброшенных членов.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Читайте также:

Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?

Последнее изменение этой страницы: 2021-05-11; просмотров: 74; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.007 с.)

Помогите решить / разобраться (М)

Kornelij

доказать сходимость ряда

10.03.2020, 00:00

01/05/10
151

Доказать сходимость ряда , где , если

a) и

б) и

Поскольку матрицы положительные (в смысле все их элементы), то попытаемся оценить их «поэлементно» и показать, что ряд из «мажорант» сходится. Для этого в свою очередь достаточно показать, что модуль наибольшего собственного числа матрицы-мажоранты меньше единицы. Для пункта (а) все получилось:

а) и собственные числа этой «мажоранты» (0.569 и 0.0111) действительно не превосходят 1, откуда делаем вывод о сходимости нашего ряда.

б) А вот для этого пункта собственные числа «мажоранты» уже не соответствуют этому условию (1.074 и 0.093). Как быть? Оценка (мажоранта) уже не улучшается, методы для исследования сходимости «обычных» числовых рядов (например, признак Даламбера) тоже не проходят, по крайне мере у меня пока не получилось.

adfg

Re: доказать сходимость ряда

10. 03.2020, 06:48

08/08/16
37

Что за «матрица-мажоранта» смешная такая? Вы возьмите исходную матрицу, найдите её собственные числа как корни квадратного уравнения, затем рассмотрите наибольший корень как функцию двух аргументов, для которой найдите её максимальное значение в заданных пределах аргументов, и покажите что оно меньше 1, вот и всё

adfg

Re: доказать сходимость ряда

10. 03.2020, 08:59

08/08/16
37

кстати я может быть туплю, но что-то не пойму, при чем здесь собственные значения самой исходной матрицы. Ведь если рассматривать её евклидову норму, то считать надо не её собственные числа, а собственные числа её самосопряжённой компоненты. То есть рассматривать новую матрицу , и вычисление собственных чисел проводить уже для этой, а не для исходной матрицы

Kornelij

Re: доказать сходимость ряда

10. 03.2020, 23:26

01/05/10
151

adfg в сообщении #1443996 писал(а):

Почему смешная? Если каждую матрицу в произведении заменить на эту мажоранту, то произведение превратится в степень этой матрицы, а если ее представить в виде , где у диагональной матрицы на диагонали стоят собственные числа мажоранты, то степень мажоранты превратится в , где у диагональной матрицы на диагонали стоят степени собственных чисел мажоранты, т. е. исходный ряд превращается в сумму геометрической прогрессии (точнее двух). А что даст оценка собственных чисел всех матриц ? Если все они меньше единицы, то как после этого обосновать сходимость ряда?

adfg в сообщении #1444001 писал(а):

А норма для чего здесь может пригодится? И для чего нужны матрицы ?

adfg

Re: доказать сходимость ряда

11. 03.2020, 01:51

08/08/16
37

Kornelij писал(а):

Почему смешная? Если каждую матрицу в произведении заменить на эту мажоранту, то произведение превратится в степень этой матрицы, а если ее представить в виде , где у диагональной матрицы на диагонали стоят собственные числа мажоранты, то степень мажоранты превратится в , где у диагональной матрицы на диагонали стоят степени собственных чисел мажоранты, т.е. исходный ряд превращается в сумму геометрической прогрессии (точнее двух).

Ясно. Теперь вижу, что Вы используете разложение Жордана, это хороший путь, я просто изначально думал о другой идее. Тогда эта «мажоранта» всем хороша, единственный её недостаток — слишком грубо тут оценивает матрицу. Если смотреть исходную матрицу, можно заметить, что сумма её собственных чисел, которая равна сумме диагональных элементов, не превосходит 1, и равна 1 только на границе — при и либо . Так что подставить в матрицу может, и хорошая идея, но когда подставляете , то в разные элементы матрицы подставляете разные числа, из-за чего результат и портится

Kornelij писал(а):

А что даст оценка собственных чисел всех матриц ? Если все они меньше единицы, то как после этого обосновать сходимость ряда? А норма для чего здесь может пригодится? И для чего нужны матрицы ?

Оценка собственных чисел матрицы сама по себе ничего не даст, тут я ошибся (если конечно не выписывать целиком разложение Жордана). Что касается остального, я изначально рассматривал элемент под знаком суммы как квадратичную форму, для которой справедлива оценка: , где — операторная норма со свойством мультипликативности, то есть для неё в свою очередь справедлива оценка: для любых матриц . Такие нормы бывают разные, для евклидова пространства например, она равна:
, где — максимальное собственное число матрицы

Но я не убеждён, что эта идея подойдёт сама по себе, здесь возможно придётся собрать вместе несколько идей — Вашу с жорданом, и эту, надо пробовать

Kornelij

Re: доказать сходимость ряда

28.03.2020, 11:35

01/05/10
151

adfg в сообщении #1444247 писал(а):

я изначально рассматривал элемент под знаком суммы как квадратичную форму, для которой справедлива оценка: , где — операторная норма со свойством мультипликативности

adfg

, а чем из исходной суммы в Ваших обозначениях будут и ?

adfg в сообщении #1444247 писал(а):

Такие нормы бывают разные, для евклидова пространства например, она равна:
, где — максимальное собственное число матрицы

А где можно почитать про эту норму и ее свойства? Это эта норма называется спектральной? Или я что-то путаю?

adfg

Re: доказать сходимость ряда

29. 03.2020, 08:28

08/08/16
37

вообще должен сказать, что решить это так и не смог, так что не знаю насколько это хороший путь, но я пытался делать так. В исходной матрице сперва положить , и пытаться рассматривать каждую матрицу от одной переменной: Затем выписать разложение Жордана для каждой матрицы: , то есть найти все собственные числа и собственные вектора. Далее уже видно, что собственные числа оба меньше единицы. И затем уже рассмотреть новую матрицу, перемножая сопровождающие матрицы соседних представлений: , и её уже пытаться оценивать

Я вначале перепутал и перемножил эти сопровождающие матрицы в обратном порядке, получил очень красивые верхнетреугольные матрицы, которые очень быстро перемножились чисто алгебраически, и все элементы устремились к нулю. Но когда заметил ошибку и перемножил их в правильном порядке, получились довольно сложные выражения, которые я стал оценивать через матричные нормы, но быстрого и красивого решения не нашлось, а считать к тому моменту уже надоело, так что я устал и забросил вычисления, поэтому даже не знаю, получится ли таким путём решение или нет. Возможно, что и нет. И даже если получится, быстрым оно не будет

Kornelij в сообщении #1447842 писал(а):

adfg в сообщении #1444247 писал(а):

adfg

, а чем из исходной суммы в Ваших обозначениях будут и ?

и — в данных обозначениях вектор , то есть не играющая никакой роли константа

Kornelij в сообщении #1447842 писал(а):

adfg в сообщении #1444247 писал(а):

А где можно почитать про эту норму и ее свойства? Это эта норма называется спектральной? Или я что-то путаю?

здесь используется только одно её свойство: . К тому же норму не обязательно брать спектральную, достаточно любую операторную, то есть такую, чтобы данные оценки для неё были справедливы. Например, годится и максимум суммы модулей элементов по строчкам, или например, максимум суммы модулей элементов по столбцам. Любая удобная подойдёт. Если конечно, она вообще здесь нужна. Может можно и без норм обойтись, может задача имеет чисто алгебраическое решение, ничего нельзя исключать

adfg

Re: доказать сходимость ряда

30.03.2020, 07:52

08/08/16
37

в общем, до меня вдруг дошло сегодня как это решать. Решается вашим же способом, без всяких норм. Исходная матрица переписывается в произведение двух матриц:

Далее перемножаем эти же матрицы в обратном порядке для соседних множителей, получаем в итоге произведение матриц уже от одной переменной. А те в свою очередь уже можно «мажорировать» вашим способом, собственные числа там будут оба меньше единицы, и далее по вашей схеме через произведение жордановых представлений. В общем, хитрое решение, сразу не догадаешься….

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 8 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Математический портал.

{n+1}\ln n}{\sqrt{n}}.$

4.4: Тесты сходимости — Сравнительный тест

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 13637

Эта страница является черновиком и находится в активной разработке.

Мы видели, что интегральный критерий позволяет определить сходимость или расхождение ряда путем сравнения его с родственным несобственным интегралом. В этом разделе мы покажем, как использовать сравнительные тесты для определения сходимости или расхождения ряда путем сравнения его с рядом, сходимость или расхождение которого известно. Обычно эти тесты используются для определения сходимости рядов, подобных геометрическим рядам или p-рядам. 9∞\dfrac{1}{n−1/2}\]

расходится.

Рисунок $\PageIndex{1}$: (a) Каждая из частичных сумм данного ряда меньше соответствующей частичной суммы сходящегося $p−ряда$. (b) Каждая из частных сумм данного ряда больше соответствующей частичной суммы расходящегося гармонического ряда.

**Таблица $\PageIndex{1}$:** Сравнение ряда с $p$-рядом ($p = 2$)
$к$	1 92}\)	1	1,25	1.3611	1.4236	1.4636	1.4914	1,5118	1,5274

9∞_{n=1}a_n\) расходится на

Участники и авторство

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Лицензия
СС BY-NC-SA
Показать страницу TOC
да
Стадия
Проект
Теги
1. расчет: да
2. юпитер: питон

Сходимость рядов произведений последовательностей с P.

S. Формула

Сходимость рядов произведений последовательностей с P.S. Формула 9{\infty} a_nb_n}$ сходится. $\blacksquare$

Если не указано иное, содержимое этой страницы находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License

Комплексный анализ

←Комплексный анализ→

Сходимость последовательностей

Бесконечная последовательность $\left\{z_1,z_2,z_3 \ldots\right\}$ комплексных чисел имеет предел $z$, если для каждого положительное число $\varepsilon$, существует натуральное число $n_0$ такое, что \begin{eqnarray}\label{seq} \left|z_n-z\right|< \varepsilon \quad \text{когда}\quad n > n_0. \end{эквнаррай}

Геометрически это означает, что при достаточно больших значениях $n$ точки $z_n$ лежат в любом заданном $\varepsilon$ окрестность $z$ (рис. 1). Поскольку мы можем выбрать $\varepsilon$ сколь угодно малой, следует, что точки $z_n$ становятся сколь угодно близкими к $z$ по мере увеличения их индексов. {\infty}$ может иметь не более одного предела. То есть предел $z$ уникален. если он существует. Когда этот предел существует, говорят, что последовательность равна сходятся к $z$; и мы пишем \begin{выравнивание*} \lim_{n\стрелка вправо \infty} z_n=z \end{выравнивание*} Если последовательность не имеет предела, она расходится .

Теорема 1: Предположим, что $z_n=x_n+iy_n$ ($n=1,2,3,\ldots $) и $z=x+iy$. затем \begin{eqnarray}\label{teoseq01} \lim_{n\стрелка вправо \infty} z_n=z \end{эквнаррай} если и только если \begin{eqnarray}\label{teoseq02} \lim_{n\стрелка вправо \infty} x_n=x\quad \text{and}\quad \lim_{n\стрелка вправо \infty} y_n=y. \end{эквнаррай}

Пруф

Чтобы доказать эту теорему, мы сначала предположим, что выполняются условия (\ref{teoseq02}). То есть существуют, для каждого $\varepsilon>0$, натуральных чисел $n_1$ и $n_2$ таких, что \[ |x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\quad \text{когда бы ни} \quad n>n_1 \] а также \[ |y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}\quad \text{когда бы ни} \quad n>n_2. \] Следовательно, если $n_0$ — большее из двух целых чисел $n_1$ и $n_2$, \[ |x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\quad \text{and} \quad |y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2} \quad \text{когда} \quad n > n_0. \] С \[ |(x_n+iy_n)-(x+iy)|=|(x_n-x)+(y_n-y)|\leq |x_n-x|+|y_n-y|, \] тогда \[ |z_n-z|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \quad \text{когда} \quad n > n_0. \] Следовательно, выполняется условие (\ref{teoseq01}).

И наоборот, если мы начнем с условия (\ref{teoseq01}), мы знаем, что для каждого положительного число $\varepsilon$, существует натуральное число $n_0$ такое, что \[ |(x_n+iy_n)-(x+iy)|<\varepsilon \quad \text{когда бы ни} \quad n>n_0. \] Однако \[ |x_n-x|\leq |(x_n-x)+(y_n-y)|=|(x_n+iy_n)-(x+iy)| \] а также \[ |y_n-y|\leq |(x_n-x)+(y_n-y)|=|(x_n+iy_n)-(x+iy)|. \] Следовательно \[ |x_n-x|<\varepsilon \quad \text{and} \quad |y_n-y|<\varepsilon \quad \text{когда бы ни} \quad n > n_0. \] Следовательно, условия (\ref{teoseq02}) выполняются. $\черный квадрат$ 9{N}y_n. \] Утверждение Now (\ref{teo01}) истинно тогда и только тогда, когда \begin{eqnarray}\label{teo04} \lim_{N\rightarrow \infty} S_N = S; \end{эквнаррай} и, ввиду соотношения (\ref{teo03}) и теоремы 1 о последовательностях, предел (\ref{teo04}) имеет место, если и только если \begin{eqnarray}\label{teo05} \lim_{N\стрелка вправо \infty} X_N=X\quad \text{and}\quad \lim_{N\стрелка вправо \infty} Y_N=Y. \end{эквнаррай} Таким образом, пределы (\ref{teo05}) подразумевают оператор (\ref{teo01}) и наоборот. Поскольку $X_N=X$ и $Y_N=Y$ являются частичными суммами ряда (\ref{teo02}), теорема доказана. $\черный квадрат$

Эта теорема может быть полезна для демонстрации того, что ряд известных свойств ряда в исчислении переносятся на ряды, члены которых являются комплексными числами.

Свойство 1: Если ряд комплексных чисел сходится, то $n$-й член сходится к нулю как $n$ стремится к бесконечности.

Из свойства 1 следует, что члены сходящегося ряда ограничены. То есть, когда ряд (\ref{series01}) сходится, существует положительная константа $M$ такая, что $$|z_n| \leq М \; \text{ для каждого положительного целого числа } n.$$ 92_n}$ сходится.

Чтобы установить, что сумма ряда есть заданное число $S$, часто бывает удобно определить остаток $\rho_N$ после $N$ членов, используя частичные суммы: \begin{eqnarray*}\label{series03} \rho_N=S-S_N \end{выравнивание*} Таким образом, $S=S_N+\rho_N$.

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт

**Таблица $\PageIndex{2}$** : Сравнение ряда с гармоническим рядом
$к$	1	2