Доверительный интервал как построить: Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности

Примечание : В файле примера на листе Квантили показан расчет квантилей для распределения ХИ2 . На рисунке выделена область соответствующая уровню доверия 95%, которая ограничена верхним и нижним

Примечание : Доверительный интервал для стандартного отклонения может быть получен путем извлечения квадратного корня из вышеуказанного выражения.

В файле примера на листе 2х сторонний создана форма для расчета и построения двухстороннего доверительного интервала .

Для построения односторонних доверительных интервалов используйте нижеследующие выражения:

В следующей задаче найдем

Автоматический аппарат заполняет емкости с растворителем. Предполагается, что объемы налитой жидкости в емкостях распределены по нормальному закону . Если разброс значений объемов будет слишком велик, то значительная часть емкостей будет существенно переполнена или не заполнена. Для оценки дисперсии в качестве выборки взято 20 наполненных жидкостью емкостей. На основе выборки была вычислена дисперсия выборки s ² , которая составила 0,0153 (литров ² ). Принято решение оценить верхний уровень дисперсии с уровнем доверия 95%.

Для решения задачи воспользуемся выражением

Сначала найдем верхний (1-α)-квантиль (или равный ему нижний α-квантиль ) ХИ2-распределения с n-1 степенью свободы при у ровне значимости α равном 1-0,95=0,05. Это можно сделать в MS EXCEL по формулам: =ХИ2.ОБР.ПХ(1-0,05; 20-1) или =ХИ2.ОБР(0,05; 20-1)

В результате получим верхний доверительный интервал для дисперсии: σ ² <=0,0287

Или тоже, но словами и для стандартного отклонения: «Значения выборки показывают, что с вероятностью 95%, стандартное отклонение процесса наполнения емкости растворителем меньше или равно 0,17 литров».

Ход решения приведен в файле примера на листе 1 сторонний .

СОВЕТ : О построении других доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL .

Доверительный интервал

Статистики используют доверительный интервал для описания степени неопределенности связанный с выборочной оценкой населения параметр.

Как интерпретировать доверительные интервалы

Предположим, что 90% доверительный интервал утверждает, что среднее значение населения больше 100 и меньше 200. Как бы вы интерпретировали это утверждение?

Некоторые люди думают, что это означает 90% вероятность того, что среднее значение населения находится между 100 и 200. Это неверно. Как и любое население параметр, среднее значение населения является константой, а не случайная переменная. Это не меняется. вероятность того, что константа попадает в любой заданный диапазон всегда 0,00 или 1,00.

уровень достоверности описывает неопределенность, связанную методом выборки . Предположим, мы использовали один и тот же метод выборки для выбора разные выборки и вычислить другую интервальную оценку для каждого образца. Некоторые интервальные оценки будут включать реальную популяцию параметр, а некоторые нет. Уровень достоверности 90% означает что мы ожидаем, что 90% интервальных оценок будут включать параметр населения; 9Уровень достоверности 5% означает, что 95% интервалов будут включать этот параметр; и так далее.

Требования к данным доверительного интервала

Чтобы выразить доверительный интервал, вам нужны три части Информация.

• Уровень уверенности
• Статистика
• Погрешность

С учетом этих входных данных диапазон доверительного интервала составляет определяется выборочной статистикой + погрешность . И неопределенность, связанная с доверительный интервал определяется доверительным уровнем.

Часто предел погрешности не указывается; вы должны его рассчитать. Ранее мы описали как рассчитать погрешность.

Объявление

Как построить доверительный интервал

Существует четыре этапа построения доверительного интервала.

• Идентифицируйте выборочную статистику. Выберите статистику (например, выборочное среднее, выборочная доля), которые вы будете использовать для оценить параметр совокупности.
• Выберите уровень достоверности. Как мы отмечали в предыдущем разделе, уровень достоверности описывает неопределенность выборки метод. Часто исследователи выбирают достоверность 90%, 95% или 99%. уровни; но можно использовать любой процент.
• Найдите предел погрешности. Если вы работаете над домашним заданием задача или тестовый вопрос, может быть указана погрешность. Однако часто вам нужно будет вычислить предел погрешности, на основе одного из следующих уравнений.

  Погрешность = критическое значение * стандартное отклонение статистики

  Погрешность = критическое значение * стандартная ошибка статистики

  Для руководства см. как рассчитать погрешность.
• Укажите доверительный интервал. Неопределенность обозначается по уровню уверенности. И диапазон уверенности интервал определяется следующим уравнением.

  Доверительный интервал = выборочная статистика + Погрешность

Пример задачи в следующем разделе использует четыре вышеуказанных шага. для построения 95% доверительного интервала для среднего балла. Следующий несколько уроков обсуждают эту тему более подробно.

Калькулятор объема выборки

Как вы уже догадались, четыре шага, необходимые для интервал может включать много трудоемких вычислений. Стат Трек Калькулятор размера выборки сделает это за вас — быстро, легко и просто. без ошибок. Помимо построения доверительного интервала, калькулятор создает сводный отчет, в котором перечислены основные выводы и аналитические документы методы. Всякий раз, когда вам нужно построить доверительный интервал, рассмотрите с помощью Калькулятора размера выборки. калькулятор бесплатный. Его можно найти в Stat Trek Главное меню на вкладке Инструменты статистики. Или вы можете нажать кнопку ниже.

Калькулятор размера выборки

Проверьте свое понимание

Задача 1

Предположим, мы хотим оценить средний вес взрослого мужчины в Округ Декалб, Джорджия. Мы берем случайную выборку из 1000 мужчин из населения в 1 000 000 человек и взвесить их. Мы находим, что средний человек в нашей выборке весит 180 фунтов, а стандартное отклонение образец 30 фунтов. Что такое 95% доверительный интервал.

(А) 180 + 1,86
(Б) 180 + 3,0
(С) 180 + 5,88
(Г) 180 + 30
(E) Ничего из вышеперечисленного

Решение

Правильный ответ (А). Чтобы указать доверительный интервал, мы работаем через четыре шага ниже.

Последний урок Следующий урок

Доверительные интервалы

Интервал 4 плюс-минус 2

Доверительный интервал — это диапазон значений мы достаточно уверены, что наше истинное значение находится в нем.

Пример: Средний рост

Мы измерили рост 40 случайно выбранных мужчин и получили средний рост 175см ,

Мы также знаем, что стандартное отклонение роста мужчин равно 20см .

95% доверительный интервал (позже мы покажем, как его рассчитать):

« ± » означает «плюс или минус», поэтому 175 см ± 6,2 см означает

• 175 см − 6,2 см = 168,8 см от до 
• 175 см + 6,2 см = 181,2 см

И наш результат говорит, что истинное среднее ВСЕХ мужчин (если бы мы могли измерить все их росты), вероятно, будет между 168,8 см и 181,2 см

Но это может быть не так. !

«95%» означает, что 95% экспериментов, подобных нашим, будут включать истинное среднее значение, но 5% не будет .

Таким образом, существует вероятность 1 из 20 (5%), что наш доверительный интервал НЕ включает истинное среднее значение.

Расчет доверительного интервала

Шаг 1 : начните с

• количество наблюдений n
• среднее X
• и стандартное отклонение с

Примечание: мы должны использовать стандартное отклонение всей совокупности , но во многих случаях мы этого не узнаем.

Мы можем использовать стандартное отклонение для выборки , если у нас достаточно наблюдений (по крайней мере, n=30, надеюсь, больше).

Используя наш пример:

• количество наблюдений n = 40
• означает X = 175
• стандартное отклонение с = 20

Шаг 2 : решить, какой доверительный интервал мы хотим: 95% или 99% являются общим выбором. Затем найдите значение «Z» для этого доверительного интервала здесь:

Для 95% значение Z равно 1,960

Шаг 3 : используйте это значение Z в этой формуле для доверительного интервала

X ± Z с √n

Где:

• X это среднее
• Z — выбранное значение Z из таблицы выше
• s стандартное отклонение
• n количество наблюдений

А у нас есть:

175 ± 1,960 × 20 √40

Что такое:

175 см ± 6,20 см

Другими словами: от 168,8 см до 181,2 см

Значение после ± называется пределом погрешности

Погрешность в нашем примере составляет 6,20 см

Калькулятор

У нас есть калькулятор доверительного интервала, который облегчит вам жизнь.

Симулятор

У нас также есть очень интересный симулятор нормального распределения. где мы можем начать с некоторого теоретического «истинного» среднего значения и стандартного отклонения, а затем взять случайные выборки.

Это помогает нам понять, как случайные выборки иногда могут быть очень хорошими или плохими для представления основных истинных значений.

Другой пример

Пример: Яблоневый сад

Яблоки достаточно большие?

На деревьях сотни яблок, поэтому вы случайным образом выбираете только 46 яблок и получаете:

• Среднее значение 86
• a Стандартное отклонение 6.2

Итак, посчитаем:

X ±  Z s √n

Мы знаем:

• X среднее = 86
• Z значение Z = 1,960 (из таблицы выше для 95%)
• s стандартное отклонение = 6,2
• n количество наблюдений = 46

86 ± 1,960 × 6,2 √46 = 86 ± 1,79

Таким образом, истинное среднее значение (всех сотен яблок) равно , вероятно, находится между 84,21 и 87,79

Истинное среднее значение

Теперь представьте, что мы собираем ВСЕ яблоки сразу и измеряем их ВСЕ по упаковке. машина (это роскошь, обычно не встречающаяся в статистике!)

И истинное среднее оказывается 84,9

Давайте разложим все яблоки на земле от меньшего к большему:

Каждое яблоко зеленая точка,
наши наблюдения отмечены синим цветом

Наш результат не был точным … он в конце концов случайный … но истинное среднее значение находится внутри нашего доверительного интервала 86 ± 1,79 (другими словами, от 84,21 до 87,79)

Теперь истинное означает, что не может быть внутри доверительного интервала, но в 95% случаев он будет!

95% всех «95% доверительных интервалов» будут включать истинное среднее значение.

Возможно, у нас была эта выборка со средним значением 83,5:

 Каждое яблоко представляет собой зеленую точку,
 наши наблюдения отмечены фиолетовым

. Это  не включает истинное среднее значение. Это может произойти примерно в 5 % случаев при доверительном интервале 95 %.

Итак, как мы узнаем, принадлежит ли наша выборка к «счастливым» 95% или к несчастливым 5%? Если мы не измерим все население, как указано выше, мы просто не будем знать .

Это риск при отборе проб, у нас может быть «плохая» выборка.

Пример в исследовании

Вот доверительный интервал, используемый в реальных исследованиях дополнительных упражнений для пожилых людей :

О чем это говорит? Глядя на строку «Мужской», мы видим:

• 1226 Мужчины (47,6% всех людей)
• имел «HR» (см. ниже) со средним значением 0,92 ,
• и 95% 95% доверительный интервал (95% ДИ) от 0,88 до 0,97 (что также составляет 0,92±0,05)

«ЧСС» — это мера пользы для здоровья (чем меньше, тем лучше), поэтому здесь говорится, что истинная польза от физических упражнений для более широкой популяции мужчин имеет 95% вероятность находиться между 0,88 и 0,97

где ниже лучше. Таким образом, HR 0,92 означает, что испытуемые были в лучшем состоянии, а 1,03 — немного хуже.

Стандартное нормальное распределение

Все это основано на идее стандартного нормального распределения, где значение Z является «Z-показателем»

Например, Z для 95% равен 1,960, и здесь мы видим, что диапазон от -1,96 до +1,96 включает 95% всех значений:

От -1,96 до +1,96 стандартное отклонение составляет 95%

Применение этого к нашему образцу выглядит так:

Также от -1,96 до +1,96 стандартных отклонений, включая 95%

Заключение

Доверительный интервал основан на среднем значении и стандартном отклонении. Его формула:

Х ± Z с √n

Где:

• X это среднее
• Z — значение Z из таблицы ниже
• s стандартное отклонение
• n количество наблюдений

Достоверность Интервал	З
80%	1. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт