Возведение алгебраической дроби в степень: правило, примеры
Тема сводится к тому, что нам необходимо производить умножение одинаковых дробей. Данная статья расскажет, какое необходимо использовать правило, чтобы верно возводить алгебраические дроби в натуральную степень.
Правило возведения алгебраической дроби в степень, его доказательство
Перед тем, как начать возводить в степень, необходимо углубить знания при помощи статьи про степень с натуральным показателем, где имеется произведение одинаковых множителей, которые находятся в основании степени, причем их количество определено показателем. К примеру, число 23=2·2·2=8.
При возведении в степень чаще всего используем правило. Для этого в отдельности возводят в степень числитель и отдельно знаменатель. Рассмотрим на примере 232=2232=49. Правило применимо для возведения дроби в натуральную степень.
При возведении алгебраической дроби в натуральную степень получаем новую, где числитель имеет степень исходной дроби, а знаменатель – степень знаменателя. Это все имеет вид abn=anbn , где а и b являются произвольными многочленами, b является ненулевым, а n натуральным числом.
Доказательство данного правила записывается в виде дроби, которую необходимо возвести в степень, основываясь на самом определении с натуральным показателем. Тогда получаем умножение дробей вида abn=ab·ab·…·ab=a·a·…·ab·b·…·b=anbn
Примеры, решения
Правило возведения алгебраической дроби в степень производится последовательно: сначала числитель , потом знаменатель. Когда в числителе и знаменателе имеется многочлен, тогда само задание сведется к возведению заданного многочлена в степень. После чего будет указана новая дробь, которая равна исходной.
Пример 1Произвести возведение дроби x23·y·z3 в квадрат.
Решение
Необходимо зафиксировать степень x23·y·z32. По правилу возведения алгебраической дроби в степень получаем равенство вида x23·y·z32=x223·y·z32 . Теперь необходимо произвести преобразование полученной дроби к виду алгебраической, выполняя возведение в степень. Тогда получим выражение вида
x223·y·z32=x2·232·y2·z32=x49·y2·z6
Все случаи возведения в степень не предполагают подробного разъяснения, поэтому сам решение имеет краткую запись. То есть, получаем, что
x23·y·z32=x223·y·z32=x49·y2·z6
Ответ: x23·y·z32=x49·y2·z6.
Если числитель и знаменатель имеют многочлены, тогда необходимо возводить всю дробь в степень, после чего применять формулы сокращенного умножения для его упрощения.
Пример 2Возвести дробь 2·x-1×2+3·x·y-y в квадрат.
Решение
Из правила имеем, что
2·x-1×2+3·x·y-y2=2·x-12×2+3·x·y-y2
Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых в знаменателе, а в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение. Получим:
2·x-12×2+3·x·y-y2==2·x2-2·2·x·1+12×22+3·x·y2+-y2+2·x2·3·x·y+2·x2·(-y)+2·3·x·y·-y==4·x2-4·x+1×4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2
Ответ: 2·x-12×2+3·x·y-y2=4·x2-4·x+1×4+9·x2·y2+y2+6·x3·y-2·x2·y-6·x·y2
Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь.
Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Степень дроби онлайн. Дроби со степенями.
- Альфашкола
- Статьи
- Возведение смешанных дробей в натуральную степень
Возведение смешанных дробей в натуральную степень аналогично возведение обыкновенных дробей в натуральную степень. n\) называют произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(а\). Число \(a\) называют основанием, число \(n\) – показателем степени.
Сначала смешанная дробь переводится в неправильную дробь, затем возводиться в степень.
Степень
Число:
\(—-\)
Степень числа широко используется во многих областях, включая экономику, биологию, химию, физику и информатику. Сопоставляет рост населения, кинетику химической реакции, поведение волн и криптография с открытым ключом.
Пример 1. Возвести в степень числа : \(( 2\frac{1}{3})^2; ( 3\frac{1}{6})^2; (2 \frac{1}{2})^4; (3 \frac{1}{8})^0;\)
Решение:
- \(( 2\frac{1}{3})^2= ( \frac{7}{3})^2=\frac{7*7}{3*3}= \frac{49}{9}=5\frac{4}{9};\)
- \(( 3\frac{1}{6})^2=( \frac{19}{6})^2=\frac{19*19}{6*6}=\frac{361}{36}=10\frac{1}{36};\)
- \((2 \frac{1}{2})^4=( \frac{5}{2})^4=\frac{5*5*5*5}{2*2*2*2}=\frac{625}{16}=39\frac{1}{16};\)
- \( (3 \frac{1}{8})^0=1;\)
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Елена Александровна Дворянинова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Северо-Казахстанский Государственный Университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по биологии 5-11 классы, по химии 7-11 классы. Готовлю к ОГЭ/ЕГЭ/олимпиадам. Химия — волшебная наука, она окружает нас везде, начиная с окружающей среды, заканчивая одеждой и парфюмерией. Кислород, которым мы дышим — это тоже один их химических элементов. Медикаменты, витамины , которые мы принимаем были изобретены благодаря этой науке. Изучая химию в школе, мы узнаем много нового и интересного, что из чего состоит, что нас окружает, учимся проводить опыты.
Елизавета Бимбетовна Тулемисова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Астраханский государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Сердечно всех приветствую! Меня зовут Елизавета Бимбетовна, учитель высшей категории, Почетный работник воспитания и образования РФ, 2020 г. . Имею большой опыт обучения иностранным языкам (немецкий и английский), последние 18 лет работала учителем в лингвистической гимназии. Есть богатый опыт работы с учебными пособиями иностранных издательств Hueber, Oxford, Cambridge, подготовки учеников к международным экзаменам. Владею коммуникативной методикой обучения и ориентируюсь на личность ученика, его пожелания, цели, уровень владения иностранным языком. Готовлю к ЕГЭ, ОГЭ, ВПР, результаты от 65 до 100 баллов. Выпускники успешно обучаются в ведущих вузах страны, а также за рубежом. Буду рада сотрудничеству! До встречи!
Мария Евгеньевна Эминова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Удмуртский государственный университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 7-11 классов. Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ. Работаю на результат без лишних конспектов и заучивания правил. Вся теория понятна и доступна, подаётся в схематической форме. Делаю акцент на разбор практической части с учётом индивидуальных потребностей ученика до достижения максимального уровня. Выходим за пределы школьной программы, вовлекаю ученика в процесс изучения русского языка.
Похожие статьи
- Порядок выполнения арифметических операций
- Площадь сектора окружности
- Решение показательных уравнений
- ИВТ (НИУ ВШЭ) | Информатика и вычислительная техника
- ЕГЭ по математике, базовый уровень. Планиметрия. Равнобедренный треугольник (вариант 1)
- ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на движение по прямой (вариант 3)
- ЕГЭ по математике, базовый уровень. 2
Разложение на частичные дроби: примеры
Вернуться к Указатель уроков | Делайте уроки в заказе | Подходит для печати страница
Неполная дробь Разложение: Примеры (стр. 3 из 3)
Разделы: Общие методы, Как справляться с повторяющимися и непреодолимыми факторы, Примеры
Если знаменатель вашего рационального выражения повторяет нефакторизуемые квадраты, то вы используете числители с линейным коэффициентом и следуйте шаблону, который мы использовали для повторяющихся линейных факторов в знаменатель; то есть вы будете использовать дроби с возрастающими степенями повторяющиеся множители в знаменателе.
- Настроить, но не решить, равенство разложения для следующего:
Начиная с x 2 + 1 не факторизуется, я буду иметь использовать числители с линейными множителями. Затем установка декомпозиции выглядит так:
К счастью, мне не нужно пытаться решить Вот этот.
Одно дополнительное примечание: разложение на неполные дроби работает только для «правильных» дробей. То есть, если знаменатель степень , а не больше, чем степень числителя (так что у вас есть, по сути, «неправильная» полиномиальная дробь), то вы сначала должны использовать длинное деление, чтобы получить «смешанный число» форма рационального выражения. Затем разложите оставшиеся дробная часть.
- Разложите следующее: Авторские права Элизабет Стапель 2006-2011 Все права защищены
Числитель степени 5; знаменатель имеет степень 3. Итак, сначала мне нужно выполнить деление в большую сторону:
.Длинное деление переставляет рациональное выражение, чтобы дать мне:
Теперь я могу разложить дробную часть. Знаменатель размножается как ( x 2 + 1)( х 2).
x 2 + 1 неприводим, поэтому разложение будет иметь вид:
Умножая и решая, я получаю:
2 х 2 + х + 5 = А ( х 2 + 1) + ( Вх + С )( х 2)
х = 2: 8 + 2 + 5 = А (5) + (2 В + С )(0), 15 = 5 А , и А = 3
х = 0: 0 + 0 + 5 = 3(1) + (0 + С )(0 2),
5 = 3 2 С , 2 = 2 С , и С = 1
х
8 = 6 + ( В 1)(1) = 6 В + 1,
8 = 7 В , 1 = В и В = 1Тогда полное расширение:
Предпочтительное размещение «минус» знаки либо «внутри» дроби, либо «впереди», может варьироваться от текста к тексту. Только не оставляй знак «минус» болтается снизу.
<< Предыдущий Топ | 1 | 2 | 3 | Возвращаться к индексу
Процитировать эту статью как:
Стапель, Элизабет. «Разложение на неполные дроби: примеры». Пурпурная математика . Доступен по номеру
https://www.purplemath.com/modules/partfrac3.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
«Домашнее задание
» Руководство»Опрос по обучению
Репетиторство от Purplemath
Найдите местного репетитора по математикеMAT 2680 Дифференциальные уравнения | «Чем он отличается от камней».
Опубликовано 26 мая 2015 г. Йонасом Райцем | Оставить комментарий
Привет всем,
Окончательные оценки за курс отправлены в CUNYFirst, и можно найти подробную разбивку вашей оценки (включая итоговую оценку за экзамен, оценку за проект «Учебное пособие» и т. д.) на странице ОЦЕНКИ.
Желаю вам всего наилучшего в ваших будущих начинаниях – было очень приятно работать с вами в этом семестре.
С уважением,
Профессор РейцОпубликовано 22 мая 2015 г. Джейкобом Рамрупом | Оставить комментарий 9(4))….. = 0
Теперь примем равным 0
2a2 + 2a1 + a0 = 0
6a3 + 4a2 + a1 = 0
12a4 + 6a3 + a2 = 0Помните, что y (0) =0 и y'(0)=2
Y(0) = 0 = a0
Y'(0)= 2 = a1
Теперь, зная, что мы подставим a0 и a1
2a2 + 2(2) + 0 =0
2a2 + 4 = 0 2a2 = -4 a2 = -2Опубликовано 20 мая 2015 г. автором Aayush | 1 комментарий
Преобразование Лапласа является важным методом в дифференциальных уравнениях, а также широко используется в электротехнике для решения линейного дифференциального уравнения. Преобразование Лапласа берет функцию, область определения которой находится во времени, и преобразует ее в функцию комплексного частота. 92 Y(s)-sy(0)-y'(0)
2) Как только мы применим правильное преобразование Лапласа к нашей функции, мы затем применим начальное условие
3)Затем, поскольку мы не можем найти y(t ) непосредственно, мы находим Y(s), что является преобразованием Лапласа y(t)
4) Как только мы находим Y(s), нам может понадобиться разбить уравнение на частичную дробь в зависимости от знаменателя. в знаменателе должен быть только один член, а в числителе не должно быть «s». (см. прилагаемое изображение диаграммы «Фактор в знаменателе»)
5) Выполним обратное преобразование Лапласа, чтобы получить y(t)
Теперь, чтобы применить эти шаги,
Возьмем, например, 2y’-y = 1 ; y(0) = 0
1) Примените преобразования. (1/2t)-1 94)
Я надеюсь, что ссылка на видео и изображения будет полезной.
https://www.khanacademy.org/math/дифференциальные-уравнения/laplace-transform/laplace-transform-to-solve- Differential-equation/v/laplace-transform-to-solve-an-equation
Опубликовано 18 мая 2015 г. Дэниелом Вонгом | 1 комментарий
Существует несколько улучшений метода Эйлера: обратный метод Эйлера и Метод Рунге-Кутты (о Улучшенный метод Эйлера см. в публикации BingJing Zheng Улучшенный метод Эйлера ).
Обратный метод Эйлера с примером
Вспоминая, что в методе Эйлера точка приближается по наклону предыдущей точки. Это дает уравнение , где функция f представляет наклон, или y'(t), а h представляет собой размер шага. Это оказывается довольно неточным, поскольку наклон в новой точке не будет таким же, как в предыдущей точке. В обратном Эйлере рассматривается тот же сценарий, но учитывается линия, соединяющая две точки. Вместо того, чтобы брать наклон в предыдущей точке, берут наклон в новой точке. Это дает уравнение для обратного метода Эйлера.
Пример: приведен примерно y (1)
Найти Y на T = 0
Приведен: на T = 0, Y = 1
. = 0,5
при T = 0,5,
в T = 0,5,
при T = 0,5,
при T = 0,5,
на T =
. г в т = 1
в T = 1,
в T = 1,
на T = 1,
на T = 1,
на T = 1,
2G344 2. Метод с примером
Как и в усовершенствованном методе Эйлера, делается попытка найти лучшее соответствие определенному интегралу кривой. Один использует идею о том, что парабола будет покрывать наибольшую площадь под кривой (по сравнению с прямоугольником или трапецией других методов). Из этой идеи были найдены уравнения для следующих точек:
, где
Пример: приведенный примерный Y (1)
Найти Y при T = 0
. 1
Find y at t = 0.5
Find y at t = 1
9 9 0
0Анализ
Ответив на один и тот же вопрос с помощью обратного метода Эйлера и метода Рунге-Кутты, можно убедиться в точности результатов.
Точное решение для y(1) равно 0,6321205588.
Используя метод Эйлера, y(1) приблизительно равно 0,375.
Используя обратный метод Эйлера, y(1) приблизительно равно 0,8333333333.
Используя метод Рунге-Кутты, y(1) приблизительно равно 0,6328751629..
Обратный метод Эйлера обеспечивает лучшую аппроксимацию, чем метод Эйлера, с несколькими дополнительными шагами. Метод Рунге-Кутты обеспечивает наилучшее приближение, но требует больше вычислений.
Опубликовано 17 мая 2015 г. Йонасом Райцем | 2 комментария
Привет всем,
Я обновил ответ на задачу № 14 – правильный ответ:
Лучший,
Проф. 2 комментария6.2 Преобразование Лапласа: решение задач с начальными значениями (обратное преобразование)
Преобразование Лапласа используется для преобразования функции в области t и переноса ее в область s. Практическое использование этого преобразования заключается в упрощении решения дифференциальных уравнений. Прочитав определения и зная, как работает преобразование Лапласа, мы перейдем к примеру того, как применить его к дифференциальному уравнению с начальными значениями.
1.Решить с помощью преобразования Лапласа
y”-y’-2y=0 с условием y(0)=1 y’=0
Шаг 1: Шаг 1 это дифференциальное уравнение? Да, потому что оно однородное и линейное
Шаг 2: Возьмем уравнение Лапласа с обеих сторон L{ y”-y’-2y=0}
Шаг 3: Решим его алгебраически
, используя известную нам диаграмму преобразования Лапласа f”( t)= L{f(t)-sf(0)-f'(0)
f'(t)=sL{f(t)-f(0)
Возьмем Лапласа дифференциального уравнения, применив заданное начальное значение:
Y(s)-s(1)-0-{sY(s)-1}-2Y(s)
Фактор Y(s): Y(s)(-s-2)-s+1=0
Изолировать Y(s): Y(s)= 9000 и разделить из квадратного уравнения
Шаг 4. Упростите решение, применив дробь (s-2)(s+1)=B(s-2)
s-1= A(s+1)+B(s-2)
«” = as+a+bs-2b
«» = as+bs+a-2b
Объедините все буквы с s с s и число с условиями, которые не имеют с на нем. -1=A-2B
A -2B = -1
2a+2b = 2
3a = 1 Следовательно, a = 1/3, затем заменив A в A+B = 1– (1/3)+. B=1
получаем B=2/3 и A=1/3
Наконец, ваша функция находится в области s:
Напоминание о решении дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа:
1. Начните с дифференциальное уравнение
- Преобразование Лапласа из обеих частей уравнения
- Тогда вам придется упростить алгебраическое решение.
- Для этого потребуется метод, подобный частичной дроби
4. Сделайте обратное преобразование Лапласа решения, это будет ваше решение для дифференциального уравнения, в этот момент вы должны быть в области t с уравнением упрощения
Важное обозначение:
L{f(t) }: «L» используется для обозначения того, что применяется преобразование Лапласа функции {f(t)}.
F(s) : При работе с преобразованием Лапласа все, что написано с большой буквы, означает, что вы работаете в области s. Таким образом, F(s) означает, что функция f(t) уже перенесена в область s .
{F(S)}: используется при работе с обратным преобразованием Лапласа, поэтому возвращаемся к вашей функция в области t.
Опубликовано 17 мая 2015 г. автором BingJing Zheng | 11 комментариев
По мере прохождения курса нам обычно дают дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить. Тем не менее, есть много проблем, которые не могут быть решены. Уравнения первого порядка можно разделить на линейное уравнение, сепарабельное уравнение, нелинейное уравнение, точное уравнение, однородное уравнение, уравнение Бернулли и неоднородные уравнения. Однако для большинства сепарабельных и точных уравнений не всегда можно представить решение в явном виде. Трудно найти значение для конкретной точки в функции. Есть некоторые уравнения, которые не попадают ни в одну из вышеперечисленных категорий. Итак, мы вводим метод, называемый методом Эйлера. Мы сможем использовать его для аппроксимации решений дифференциального уравнения. В методе Эйлера нам дадут дифференциальное уравнение, которое представляет собой наклон функции, и определим размер шага для интеграла (чем меньшие размеры шагов у вас есть, тем более точные значения аппроксимации вы получите). Мы создаем новую точку, начиная с начальной точки, мы подставляем эту точку в заданную функцию, это будет наклон начальной точки. Затем следующая новая точка будет иметь размер шага плюс h, умноженный на ранее рассчитанный наклон. общая формула: Однако погрешность метода Эйлера зависит от размера шага. единственный способ уменьшить ошибку — уменьшить размер шага, но это увеличит объем вычислений. это только примерно уменьшает ошибку наполовину.
Теперь мы представляем усовершенствованный метод Эйлера. Этот метод очень похож на метод Эйлера. В методе Эйлера мы аппроксимируем функцию прямоугольной формой (см. график ниже):
Однако это приближение не включает площадь под кривой. Для улучшения аппроксимации мы используем усовершенствованный метод Эйлера. В улучшенном методе мы используем среднее значение значений в изначально заданной точке и новой точке. Определим интеграл трапецией вместо прямоугольника. Площадь трапеции больше площади прямоугольника. Это также обеспечит более точное приближение.
Трудно предсказать, будет ли кривая решения вогнутой вверх или вогнутой вниз в действительности. Идеальная линия предсказания точно совпадет с кривой в следующей точке предсказания. Метод Эйлера создает наклон на основе начальной точки, и мы не знаем, будет ли следующая точка на этой линии наклона, если только мы не используем компьютер для построения уравнения. Иногда мы можем переоценивать значение или недооценивать значение. Усовершенствованный метод Эйлера решил эти проблемы, найдя среднее значение наклона на основе начальной точки и наклона новой точки, что даст среднюю точку для оценки значения. Это также уменьшает ошибки, которые мог бы иметь метод Эйлера. 92+2y, y(0)=1, оценка y(2), шаг 0,5.
Свод
Примечание: Очень важно написать и в начале каждого шага, потому что расчеты основаны на этих значениях. Этот метод связан с большим количеством вычислений, рекомендуется после каждой точки записывать значения в таблицу. Самому посмотреть и проверить будет несложно. Для каждой точки расчетный подход к следующей новой точке одинаков, поэтому, если вы настроите три шага, вам будет очень ясно перейти к следующему шагу.
Я думаю, что это видео очень полезно, и оно ясно показывает улучшенный метод Эйлера и пример, включенный в видео. Пожалуйста, посмотрите это видео.
Posted on May 17, 2015 by kumar Прайс | 2 комментария
Обзор
Мы рассматриваем методы решения линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты являются функциями независимой переменной. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
P(x) d2 y/ dx2 + Q(x) dy/ dx + R(x)y = 0 (уравнение 1)
Так как процедура для неоднородного уравнения аналогична. Многие задачи математической физики приводят к уравнениям такого вида с полиномиальными коэффициентами; примеры включают уравнение Бесселя
X2 y’’ + xy’ + (x2 – a 22) y = 0
Где (a) – постоянная, а уравнение Лежандра
(1 – x 2 ) y» – 2xy’ + c(c + 1) y = 0 Где (c) – постоянная
Учитывая уравнение
P( x) d2 y/ dx2 + Q(x) dy /dx + R(x)y = 0
Уравнение
d2 y/ dx2 + Q(x) P(x) dy/ dx + R(x) P(x ) y = 0 или d2 y/ dx2 + p(x) dy/ dx + q(x)y = 0
Где p(x) = Q(x)/P(x) и q(x) = R(x ) /P(x)
называется эквивалентной нормализованной формой уравнения. Точка (а) называется обыкновенной точкой уравнения (1). Другими словами, эти две величины имеют ряды Тейлора в районе x=x0. Мы будем иметь дело только с коэффициентами, которые являются многочленами, так что это будет эквивалентно утверждению, что 9n〗, а затем попытайтесь определить, каким должен быть ан. Мы сможем сделать это только в том случае, если точка x=x0 будет обычной точкой. Обычно мы говорим, что это рядовое решение около x=x0.
Пример
y ”+y = 0
Предположим, что имеет серию Taylor около x = 0
y (x) = 42. 4. 40343 4. 40343 . 0 +а 1 х+а 2 х 2 +а 3 x 3 +a 4 x 4
Substitute into the differential equation and simplify by grouping together terms with similar powers of
We start with the assumption that
Y (x) = A 0 +A 1 x +A 2 x 2 +A 3 x 3 +A 4 X 4 +… . .. .. 4 x 4 +… … 4 X 4 +… … 4 x 4 +… .. 4 x 4 +… .. Y'(x) = а 1 + 2а 2 x +3a 3 x 2 +4a 4 x 3 +……
Y ”(x) = 2A 2 +6A 3 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444. x 2 +……
Теперь замените и в дифференциальное уравнение
Y » +y = 0:
( 2a 2 +6A 3 x +12a 4 442 2 x +12a 4 4442 2 x +12a 4 4442 2 x +12a 4 4442 2 x +12a 4 4442 2 . +……) +( a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 + …. .) = 0
Избавьтесь от скобок (не забудьте распределить знаки и перед вторыми и третьими скобками
2a 2 +6a 3 x+12a 4 x 2 +…+ a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 + ….= 0
Теперь сгруппируем по степеням :
( 2a 2+ a 0 )+ (6a 3 +a 1 )x +(12a 4 +a 2 )x 2 +(20a 5 +a 3 )x 3 +…= 0
Наконец, мы сравниваем каждое слагаемое слева с соответствующим слагаемым справа – поскольку правая часть равна нулю, каждое из выражений в скобках (которые дают коэффициенты при степенях ) должны также равны нулю:
- 2а 2 +а 0 =0
- 6а 3 +а 1 =0
- 12а4+а2=0
- 20а 5 +а 3 =0
- ……
Затем вы найдете первые 5 членов (коэффициенты)
- a 0 =0
- a 1 =0
- а 2 = а 0 /2
- а 3 = а 1 /6
- а 4 = а 0 / 24
Это дает нам коэффициенты для определения первых пяти членов ряда Тейлора, учитывая, что Y(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 +…. подставляем значения , чтобы получить
Y=a 0 +a 1 x+a 0 /2 x 2 +a 1 /6 x 90 4042 3 8 + /24 х 4
3. Если я недостаточно ясно выразился в объяснении или шагах, необходимых для решения уравнения, я добавлю пару видео, надеюсь, они помогут.
Опубликовано 16 мая 2015 г. Йонасом Райцем | Оставить комментарий
Привет всем,
Оценки за Экзамен 3 размещены на странице Оценки (напишите мне, если вы забыли пароль).
Этот экзамен включал в себя большой объем материала, и, хотя общие оценки были сопоставимы с первым экзаменом, я уверен, что не все справились так хорошо, как им хотелось бы. Вы можете улучшить свой балл на экзамене, заполнив специальное предложение ниже.
Если у вас возникнут вопросы, дайте мне знать, и удачи вам в учебе!
Prof. ReitzЭкзамен 3 Специальное предложение – заработайте бонусные баллы . Вы можете улучшить свою оценку на экзамене, выполнив следующие действия:
- Выберите ТОЛЬКО ОДНУ задачу , за выполнение которой вы НЕ набрали полных баллов. Вы работаете над тем, чтобы вернуть (некоторые) баллы, которые вы упустили в этой задаче.
- Решите задачу заново, аккуратно и полностью , от начала до конца, на отдельном листе бумаги.
- Не забудьте свое имя, дату и номер проблемы.
- На том же листе напишите короткое заявление (одно или два полных предложения), объясняющее вашу ошибку (ошибки) . Цель состоит в том, чтобы сообщить мне, что вы понимаете, что сделали неправильно.
- Сдайте исходный экзамен и исправленную задачу и объяснение, скрепленные вместе, в классе в четверг (день выпускного экзамена).
- Бонусные баллы будут добавлены к вашей оценке за экзамен 3 в зависимости от количества баллов, которые вы пропустили в выбранной задаче, точности ваших исправлений и объяснений, а также вашей общей оценки за экзамен. Бонусные баллы ограничены следующим образом:
- Если вы набрали менее 60% на экзамене, вы можете заработать максимум 20 бонусных баллов.
- Если вы набрали от 60% до 69% на экзамене, вы можете заработать максимум 15 бонусных баллов.
- Если вы набрали от 70% до 79% на экзамене, вы можете заработать максимум 10 бонусных баллов.
- Если вы набрали от 80% до 89% на экзамене, вы можете заработать максимум 5 бонусных баллов.
- Если на экзамене вы набрали от 90 % и более, вы можете заработать максимум 2 бонусных балла.
Опубликовано 13 мая 2015 г. Кристианом Пинто | 7 комментариев
Преобразование Лапласа — это метод, используемый для перехода от одного домена к другому. В этом случае мы переходим от временной области (t) к частотной области (s).
Как и для большинства преобразований, если есть один способ перехода от одной единицы измерения к другой, должен быть и способ вернуться назад. Это применимо и в этом случае, хотя это не обязательно единица. В этом случае это называется просто «обратное преобразование Лапласа». В этом случае мы переходим от частотной области (s) обратно к временной области (t).
Обозначение преобразования Лапласа:
Буква «L» используется для обозначения преобразования Лапласа. Внутри фигурных скобок находится функция, которую вы хотите преобразовать из временной области в частотную.
Иногда вы также можете видеть это обозначение, которое означает то же самое, что и предыдущее:
Что касается преобразования Лапласа, оно обозначается:
Это даст вам F(s).
Чтобы перейти к исходной временной области, вам нужно выполнить обратное преобразование Лапласа для F(s), которое равно:
Теперь, когда мы записали преобразование Лапласа, мы можем углубиться в него.
Общая формула преобразования Лапласа, где ‘t’ больше или равно нулю:
Мы оцениваем, что t больше или равно нулю, потому что мы хотим удовлетворить два условия:
1. Функция f( t) должен быть кусочно-непрерывным из интервала [0,A]. Просто означает функцию, которая разбита на разные части, но все еще продолжается. Например: 9(at), когда t больше или равно M. В этом случае переменные K, M и a являются просто константами, а K, M положительны.
Что касается обратного преобразования Лапласа, то для него не существует заданного уравнения или метода. Обратное преобразование Лапласа обозначается следующим образом:
Это просто означает, что для получения функции f(t) вам потребуется выполнить обратное преобразование Лапласа F(s).
Основная причина, по которой мы используем преобразование Лапласа, заключается в том, что оно упрощает вычисление некоторых (не всех) дифференциальных уравнений.
Небольшое введение в шаги, которые необходимо предпринять при решении задачи преобразования Лапласа. Есть пять шагов, которые мы можем использовать для решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа:
1. Решить дифференциальное уравнение
2. Выполнить преобразование Лапласа для обеих частей уравнения. Это даст вам простое алгебраическое уравнение для решения.
3. Решите алгебраическое уравнение
4. Упростите алгебраическое уравнение, чтобы у вас было то, что вы решаете, в левой части и чему оно равно в правой части. Если вы можете упростить правую сторону, это сделает ее проще. После упрощения используйте частичные дроби для решения неизвестных.
5. Выполните обратное преобразование Лапласа, и вы получите решение дифференциального уравнения.
5.4 — Неполные дроби
5.4 — Неполные дробиДобавление рациональных выражений
В арифметике вы научились складывать дроби. Вы нашли наименьший общий знаменатель, и затем умножил и числитель, и знаменатель каждого члена на то, что было необходимо для дополнить общий знаменатель.
В алгебра, ты пронес это процесс добавления рациональных выражения. Вы еще раз перемножили числитель и знаменатель каждого термин на то, что отсутствовало в знаменателе этого термина.
С неполной дробью Разложение, мы собираемся обратить процесс вспять и разложить рациональное выражение на два или более простые собственные рациональные выражения, которые были сложены вместе.
Разложение на частичные дроби
Разложение на частичные дроби работает только для правильных рациональных выражений, то есть степени числитель должен быть меньше степени знаменателя. Если это не так, то вы должны сначала выполнить длинное деление, а затем выполнить разложение частичной дроби на рациональную часть (остаток над делителем). После того, как вы сделали разложение на неполные дроби, просто добавьте обратно в частную часть от длинного деления.
При обсуждении многочленов в разделе 3.4 мы узнали, что каждый многочлен с действительным коэффициенты можно разложить на множители, используя только линейные и неприводимые квадратичные множители. Это означает, что Есть только два типа факторов, о которых нам следует беспокоиться.
Линейные коэффициенты
Если дроби, на которые мы разлагаем рациональное выражение, должны быть правильными, то единственное, что может быть выше линейного множителя, — это константа. Таким образом, для каждого линейного фактора в в знаменателе, вам понадобится константа больше, чем в числителе.
Неприводимые квадратичные множители.
Если дроби, на которые мы разлагаем рациональное выражение, должны быть правильными, то неприводимый квадратичный множитель может иметь линейный член и/или постоянный член в числителе. Так, для каждого неприводимого квадратичного множителя в знаменателе вам понадобится линейный член и постоянный член в числителе.
Повторяющиеся факторы
Рассмотрим дробь, в которой знаменатель равен 8. Значит ли это, что знаменатель каждой сложенный вместе термин должен был быть 8? Нет, знаменатели могли быть 2, 4 или 8. потому что общий знаменатель между 2, 4 и 8 равен 8. Последствия этого для частичного дробное разложение заключается в том, что когда у вас есть повторяющийся фактор (множитель с кратностью кроме одного), вам нужно включить коэффициент в разложение для каждой возможной мощности.
Например, если у вас есть (x-2) 3 , вам нужно будет включить (x-2), (x-2) 2 и (x-2) 3 .
Показатель степени 2 или 3 не зависит от того, является ли множитель линейным или квадратичным, а зависит только от того, на сколько раз фактор есть. Каждый из этих (x-2) факторов получит постоянный член в числитель, потому что x-2 является линейным, независимо от того, в какой степени он возведен.
Неправильные дроби
Правильная дробь – это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Для рациональных выражений это означает, что степень в числителе меньше степень в знаменателе. Если у вас есть неправильная дробь, вы сначала нужно выполнить длинное деление, чтобы получить частное и остаток.
Оставьте частную часть в покое, но выполните разложение на частичную дробь на той дроби, которая осталась.
Основное уравнение
После составления уравнения частичной дроби вы умножаете обе части уравнение по наименьшему общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей. полученное уравнение без дробей называется основным уравнением.
Методика 1 — выбор значений для x
Когда есть линейные факторы, самый простой способ сделать разложение, вероятно, заключается в выборе хороших значений для x.
В примере справа мы берем каждый фактор в знаменателя и поставить его собственный член в правой части. Поскольку каждый фактор в знаменатель линейный, и рациональные выражения должны быть правильными, а постоянный член помещался в каждый числитель каждого члена. Мы умножаем на наименьший общий знаменатель, чтобы получить в уравнении без дроби. Это уравнение называется основным уравнением и равно …
.х + 2 = А ( х — 4 ) + В х
«Хорошие» значения для x — это те, при которых каждый линейный коэффициент нуль. В этом случае x=4 и x=0 хороши. «Хорошие» значения будут привести к тому, что все члены, кроме одного, выпадут из уравнения, и поэтому вы сможете найти значение переменной очень быстро.
Когда вы принимаете x = 0, член B выпадает, и вы получаете …
0 + 2 = А ( 0 — 4 ) или 2 = -4А. Решение, которое дает A = -1/2.
Когда вы принимаете x = 4, член A выпадает, и вы получаете …
4 + 2 = В ( 4 ) или 6 = 4В. Решение, которое дает B = 3/2.
После вы нашли значения каждой константы, важно, чтобы вы подключили эти ценности обратно в разложение. Не останавливайтесь на A=-1/2, B=3/2 только потому, что кто-то другой может определяют А и В по-разному. Правильный ответ — поместить их обратно в разложение и упростить при необходимости. Упрощение будет заключаться в уменьшите количество знаков (по возможности не делайте первый член отрицательным) и исключить сложные дроби, вынеся наименьший общий знаменатель числителей.
Примечание. Хороших значений ровно столько, сколько различных (разных) линейные факторы. Если есть повторяющиеся линейные множители или неприводимые квадратичные факторов (повторяющихся или нет), у вас не будет достаточно «хороших» значений для выбора. В таких случаях вам придется выбирать удобные, но не очень приятные значения, а затем подставить известные константы в уравнение найти остальные константы. Подставьте простые числа, такие как x=0, x=1 и т. д.
Вам нужно выбрать столько значений x, сколько констант нужно найти.
Методика 2. Создание системы линейных уравнений
Первый метод выбора значений x работает очень хорошо, когда все факторы различны. линейные факторы. Если есть какие-то линейные факторы, то первый метод, вероятно, все же лучше. технику использовать. Однако если имеются только неприводимые квадратичные множители, то метод выбор значений для x может стать беспорядочным.
Есть еще один способ сделать это проблемы (на самом деле, эта техника будет работать, когда есть линейные факторы, просто что другой проще и быстрее).
Первая часть процесса такая же. Давай, напиши разложение, включая постоянные условия над линейными коэффициентами и линейными и постоянными условиями над неприводимым квадратичным факторы. Затем умножьте на наименьший общий знаменатель, чтобы найти основное уравнение. Это то же самое. Основное уравнение: …
2x 2 + x + 8 = Ax (x 2 + 4) + B (x 2 +4) + Cx + D
Вот разница.
Перейти вперед и расширить (умножить) основное уравнение …
2x 2 + x + 8 = Ax 3 + 4Ax + Bx 2 + 4B + Cx + Д
и перегруппировать условиях общими полномочиями переменная х.
2x 2 + x + 8 = Ax 3 + Bx 2 + 4Ax + Cx + 4B + Д
Теперь разложите x по степени.
2x 2 + x + 8 = (A) x 3 + (B) x 2 + (4A + С ) х + ( 4В + Г) (1)
Следующая часть работает, потому что если два полинома должны быть равны, они должно иметь одинаковое количество одинаковых терминов с обеих сторон.