Двойные и тройные интегралы
Двойные и тройные интегралы даются трудно всем студентам. Одна из причин — это отсутствие возможности качественно строить области интегрирования.
Из воображения их брать удается не многим специалистам. Что касается нахождения объемов, образованных пересечением плоскостей, то здесь эта проблема становится еще большей.
Другое дело, что часто кратные интегралы начинают изучать когда студенты только что научились находить определенные интегралы.
Всем Вам помогут в учебе готовые ответы индивидуальной работы.
Приведенные ниже 10 примеров научат Вас решать задание разной сложности.
ВАРИАНТ — 19
Двойной интеграл
ЗАДАНИЕ 1.14 Поменять порядок интегрирования в двойном интеграле:
Решение: Из интеграла выписываем область интегрирования, которая ограничена кривыми
где (y — 1)2=1 — x2, x2+(y — 1)2=1.
Получили нижний полукруг с центром в точке O (0;1) и радиусом R=1.
Выражаем полученные функции через переменную y:
, отсюда перед радикалом стоит знак «+» поскольку часть круга находится в правой (положительной по x) части полплоскости;
y=ex, отсюда x=ln (y).
Выполняем построение рисунка к задаче, это служит доброй подсказкой при выполнении заданий
Как изменять пределы интегрирования Вас по-видимому учили.
Если не все знают, то просто мнимо проведите прямую и выпишите закон за которым изменяются края при прохождении кривой снизу вверх, или слева направо. Таким образом Вы будете знать и количество областей разбития, и функции, которые ограничивают площадь или объем тела.
При изменении порядка интегрирования нашу область разбили на две области: D=D1+D2.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:
Еще раз внимательно пересмотрите рисунок и попробуйте проанализировать почему так.
При изменении порядка интегрирования получим два двойных интеграла
На этом и все объяснения к первой задаче.
ЗАДАНИЕ 2.13 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями, : xy=1, xy=2, 6y=7-x.
Решение: Сначала выполняем построение кривых, чтобы понять площадь какой фигуры ищем
Дальше видим, что область интегрирования нужно разбивать на три части.
Есть другой вариант, более легкий с точки зрения практической реализации.
Можно найти площадь между двумя красными кривыми и от нее отнять площадь в области D2 между красной и синей кривыми. В результате получим разницу двух двойных интегралов.
Но здесь пойдем более длинным по пути, описанный попробуйте реализовать самостоятельно.
Первое, что нам нужно — это определить в каких точках графика кривые пересекают друг друга.
Найдем точки пересечения графиков 1 и 3 функций:
складываем систему из двух уравнений
и находим решение
Пересечение второй и третьей функций дают систему уравнений
для определения двух точек
Заданную область будем разбивать на три области: D=D1+D2+D3.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:
Через двойной интеграл вычисляем площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми: 
Интеграл в итоге дает много логарифмов, которые группируем.
Приближенно площадь поверхности равна 1,12 единиц квадратных.
ЗАДАНИЕ 3.12 Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями:
D: y=2x3, y=0, x=1.
Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций : 2x3=0, x=0.
Изобразим графически область интегрирования 
Расставим пределы в заданной области D:
Вычислим двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями:
Напомним, что это есть лишь двойной интеграл.
Площадь имеет место лишь в тех случаях, когда функция интегрирования равна единице.
ЗАДАНИЕ 4.11 Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты:
Решение: Запишем область интегрирования, которая ограничена кривыми
где
Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом ровным ругаю из трех (верхняя половина).
Изобразим полукруг в декартовой и полярной системе координат
Перейдем к полярной системе координат (СК), используя следующую замену переменных :
Следует помнить, что дополнительно нужно вычислить якобиан перехода от декартовой к полярной СК:
Он важен, поскольку на него нужно домножити подинтегральную функцию, выраженную в новых координатах
Найдем вид подинтегральной функции в полярной системе координат :
Запишем пределы интегрирования в полярной СК:
Осталось вычислить двойной интеграл:
Интеграл равен I=7*Pi/3.
То, что интеграл содержит число Pi лишь подтверждает правильность вычислений, ведь для круговых форм это распространено.
ЗАДАНИЕ 5.10 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями:
D: y=x2+2, x=2, y=x
Решение: Расставим пределы в заданной области D:
Построим кривые, чтобы представить фигуру площадь которой мы ищем. 
Здесь есть два варианта: сложный — когда внутренний интеграл за переменной x предусматривает нахождение площади, через сумму двойных интегралов по 2 или 3 областям.
Мы же пойдем легким по пути и определим площадь заштрихованной фигуры с помощью одного двойного интеграла.
Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной указанными линиями:
Площадь равна S=14/3 единиц квадратных.
Как видите — выбор порядка интегрирования может существенно сэкономить время при написании контрольной работы, на экзамене или практических заданиях. Для сравнения попробуйте вычислить первым временем и сравнить масштаб выполненных работ.
ЗАДАНИЕ 6.9 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры : (x2+y2)2=a2(2x2+3y2).
Решение: Один из предыдущих примеров содержал переход к полярной системе координат :
и был найден якобиан переходу I=r.
Определим пределы интегрирования :
Пределы интегрирования:
Их легко определить в полярной СК — радиус изменяется от нуля к кривой, которая ограничивает площадь, а угол изменяется от 0 до 360 градусов.
Это Вы должны знать при вычислении подобных заданий.
Вычислим площадь плоской фигуры:
Под интегралом пришлось понижать степень синуса за известной тригонометрической формулой. На пратиці Вы такие случаи рассматривали, то же здесь мы Вам ничего нового не открываем.
ЗАДАНИЕ 7.8 Найти объем тела, заданного поверхностями, что его ограничивают:
y=7-x2-z2, , y=0.
Решение: Половину 3d рисунка тела изобразим графически — это хорошая подсказка, которая развивает воображение.
Вычислим объем тела, которое ограничивает эти две поверхности (то есть рисунок разрезали пополам для наглядного отражения)+ снизу плоскостью y=0.
Чтобы упростить интегралы объем тела найдем как разницу объемов параболоида и конуса (см. рис.).
Расставим пределы в заданной области D1 (круг радиусом ):
Найдем объем параболоида: 
При нахождении двойного интегралу целесообразно перейти к полярной СК, поскольку обе фигуры образованы вращением кривой вокруг оси Oy.
Расставим пределы в области D2 (круг радиусом R=1):
Вычислим объем конуса:
Он равен V=Pi/3 единиц кубических.
Здесь также во время интегрирования перешли к полярной СК.
Последним шагом найдем объем тела, которое находится между параболоидом и конусом, :
Разница объемов равна V=145*Pi/6=75,88 единиц кубических.
Тройной интеграл
ЗАДАНИЕ 8.7 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями:
V: y=2x, y=1 , x+y+z=3.
Нарисовать область интегрирования.
Решение: В плоскости Oxy уравнение прямых запишем следующим образом: y=1, x=y/2, x=3-y.
Уравнение плоскости в пространстве запишем в виде: z=3-y-x.
Построим пространственный рисунок тела и его проекцию в декартовую плоскость 
Как видно из рисунку область тела D, что проектируется на плоскость Oxy, разбивается на две части:
D=D1+D2, поэтому пределы интегрирования расставляем следующим образом:
На основе проведенного анализа записываем пределы в тройной интеграл
Внимательно разберите как изменятся пределы, если интегрировать за переменной y во внутреннем интеграле.
Легко убедиться, что получим сумму из трех тройных интегралов.
ЗАДАНИЕ 9.6 Вычислить тройные интегралы: где область интегрирования ограничена:
Решение: Область являет собой параллелепипед, который изображен ниже
Это значительно упрощает интегрирование
Детали вычислений хорошо расписаны в формулах, потому здесь важно лишь правильно подставить пределы и не ошибиться при грустит.
ЗАДАНИЕ 10.5 Используя тройной интеграл, вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Прежде всего выполняем построение к условию, в крайнем случае старайтесь схематически нарисовать область интегрирования
Дальше записываем пределы интегрирования, учитывая выполненный рисунок:
Через тройной интеграл находим объем тела:
Превращения не сложны и их разберите самостоятельно.
Объем ровный 16 куб. од.
На этом индивидуальная работа из повторных интегралов выполнена.
Больше примеров на двойные и тройные интегралы Вы можете найти в следующих материалах.
yukhym.com
Содержание Двойной и тройной интегралы.
1 Двойной интеграл. Объем цилиндрического тела.
Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью OXY, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная OZ, пересекается не более чем в одной точке и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны OZ.
Область D, высекаемая в плоскости OXY цилиндрической поверхностью называется основанием цилиндрического тела.
В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать (). Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел, и искомый объем определить как сумму объемов цилиндрических тел, составляющих это тело.
Два принципа, на которые следует обращать внимание при вычислении объема.
Если разбить тело на части, то его объем будет равен сумме объемов всех частей.
Объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной OXY, равен площади основания, умноженной на высоту тела.
Пусть z=f(x, y) – уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать f(x, y) непрерывной на области D. Предположим, что поверхность целиком лежит над OXY (f(x, y) > 0 в области D). V – объем цилиндрического тела.
Разобьем D на некоторое число n областей произвольной формы, будем называть их частичными областями.
Пронумеруем частичные области , а их площади.
Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую поверхность. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разбитым на n частичных цилиндрических тел. Заменим частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой. Получимn-ступенчатое тело.
Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным , будем считать, чтотем точнее выражаетV, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но и стремление к нулю всех ее размеров. Если назвать диаметром частичной области наибольшее расстояние между ее точками, то диаметры каждой из частичных областей должны стремиться к нулю. При этом сами области будут стягиваться в точку.
Мы принимаем объем V при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Эта сумма называется n-ой интегральной суммой для f(x, y) в области D соответствующей разбиению на n частей.
Опр. Предел, к которому стремится n-ая интегральная сумма при и при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичной области, называется двойным интегралом функцииf(x, y) по области D.
Теорема о существовании.
n-ая интегральная сумма, соответствующая конечной области D и непрерывной в этой области f(x, y) стремится к пределу при и при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел не зависит ни от способа подразделения областиD на частичные, ни от того, какие точки в частичных областях выбираются в качестве .
2 Свойства двойных интегралов
1) Линейность
2) Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла
3) Аддитивность
4) Если во всех точках D , то. Если подынтегральная функция в области интегрирования не меняет знак, то двойной интеграл есть число того же знака, что и функция. Если в двойном интеграле подынтегральная функция тождественно равна 1, то. Двойной интеграл выражает объем прямого цилиндра с высотой 1, т. е. численно равен площади основания цилиндра.
5) Если , то, гдеS-площадь области D6) Двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области на площадь области интегрирования .- среднее значение функцииf(x, y) в области D.
Геометрический смысл теоремы о среднем.
Существует цилиндр, основание которого совпадает с основанием D, высота равна аппликате поверхности в некоторой точке основания, а объем равен объему цилиндрического тела. Указанная аппликата изображает среднее значение на области D.
studfiles.net
Двойной и тройной интегралы, их свойства
Лекция 7. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Геометрический смысл двойного интеграла.
Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей (причем теми же символами будем обозначать и площади соответствующих частей) и выберем в каждой части точку Рi (рис.1).
Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(Pi)ΔSi : . (7.1)
Определение 7.1. Сумма вида называется интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.
Замечание. С геометрической точки зрения (при ) интегральная сумма (7.1) представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями ΔSi и высотами f(Pi).
Определение 7.2. Если существует один и тот же предел интегральных сумм (7.1) при и , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Pi , то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается . (7.2)
Область D при этом называется областью интегрирования.
Замечание 1. Для выяснения вопроса об условиях интегрируемости функции двух переменных можно по аналогии со случаем определенного интеграла ввести понятие верхней и нижней интегральных сумм, выбирая в каждой части области D точки, значение функции в которых является наибольшим и наименьшим для данной части. Тогда можно доказать, что необходимым и достаточным условием интегрируемости функции f(x, y) является, во-первых, ее ограниченность на D, а во-вторых, условие
(7.3)
где τ – некоторое разбиение, а Sτ и sτ – соответственно верхняя и нижняя интегральные суммы. Доказательство этого утверждения проводится так же, как для случая определенного интеграла.
Замечание 2. Аналогично одномерному случаю можно доказать еще одно утвержде-ние: если функция f(x, y) непрерывна на D, то она интегрируема по этой области.
Свойства двойных интегралов.
Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:
- Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом
(7.5)
3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y) , то
(7.6)
Докажем еще несколько свойств двойного интеграла:
4. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то
(7.7) Доказательство. Интегральную сумму по области D можно представить в виде:
где разбиение области D проведено так, что граница между D1 и D2 состоит из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при , получим равенство (7.7).
5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство
(7.8)
Доказательство.
откуда с помощью предельного перехода при получаем неравенство (7.8)
6. где SD – площадь области D. Доказательство этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 0.
7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству
m ≤ f(x, y) ≤ M,
то (7.9)
Доказательство проводится предельным переходом из очевидного неравенства
Следствие.
Если разделить все части неравенства (7.9) на D, можно получить так называемую теорему о среднем:
В частности, при условии непрерывности функции f в D найдется такая точка этой области (х0 , у0), в которой f(х0 , у0) = μ, то есть
–
- еще одна формулировка теоремы о среднем.
Тройной интеграл.
Понятие тройного (а в дальнейшем – т-мерного) интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δvi , считая объем каждой части равным Δvi , и составим интегральную сумму вида , (7.10)
где точка Pi принадлежит Δvi . Пусть ρ – наибольшее расстояние между двумя точками любой части области V.
Определение 7.3. Предел при интегральных сумм (7.10), не зависящий от способа разбиения области V, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V: (7.11)
Замечание 1. Условие непрерывности подынтегральной функции не является обязатель-ным для существования кратного (двойного, тройного и т.д.) интеграла, но исследование вопросов, связанных с интегрированием разрывных функций, выходит за рамки нашего курса.
Замечание 2. Все сформулированные ранее свойства двойного интеграла можно распространить на тройной интеграл.
Замечание 3. Подобным образом можно дать определение интеграла любой кратности, рассматривая функцию п переменных, заданную в замкнутой области п-мерного пространства.
Геометрический смысл двойного интеграла.
Рассмотрим тело V, ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнением z = f(x, y), проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и боковой цилиндрической поверхно-стью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверх-ности с их проекциями.
Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части ΔSi области D, а высотами – отрезки длиной f(Pi), где точки Pi принадлежат ΔSi. Переходя к пределу при , получим, что
(7.12)
то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу – областью D.
support17.com
Двойные и тройные интегралы.
Вычисление двойного
интеграла 
по области 
от функции 
производится по формуле
, (38)
если
область 
определяется неравенствамии
по формуле
(39)
если
область 
определяется условиями
Вычисление
тройного интеграла
аналогично формулам (38), (39) к нахождению
трех повторных определенных интегралов.
Значения двойного или тройного интегралов
и
равны, соответственно, площади плоской
фигуры
и объему тела
.
Векторные и скалярные поля
Векторное поле характеризуется такими величинами, как дивергенция, ротор, поток, циркуляция.
Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина , а его ротором вектор – функция вида
Потоком
векторного поля 
через поверхность σ в направлении
нормали 
называется значение поверхностного
интеграла
где 
единичный
нормальный вектор поверхности
. 
, 
, 
углы между 
и 
соответственно. Вычисление поверхностного
интеграла сводится к вычислению двойного
интеграла. Пусть уравнение поверхности
σ можно написать в виде Через 
обозначим
проекцию σ
на плоскости 
.
Тогда
(41)
При этом перед двойным интегралом берется знак плюс, если . аналогично вычисляются интегралы
и 
приведенные в правой части (40).
Циркуляцией
векторного поля
называется
криволинейный интеграл по замкнутой
кривой
Теорема
Стокса устанавливает связь между
циркуляцией векторного поля вдоль
замкнутой кривой 
и
его ротором.
, (42)
где
σ- поверхность, ограниченная кривой 
— единичный нормальный вектор к этой
поверхности. Направление вектора 
и обхода контура 
должны быть согласованы. Формула (42)
связывает также криволинейный и
поверхностный интегралы.
Теорема
Остроградского выражает связь между
потоком векторного поля 
через замкнутую поверхность в направлении
внешней нормали и дивергенцией поля:
(43)
где 
– тело , ограниченное поверхностью σ.
Криволинейные интегралы
Вычисление
криволинейного интеграла
вдоль кривой
от функции 
и 
cводится
к нахождению определенных интегралов:
Если кривая
задана уравнением , и – абсциссы крайних точек , дифференцируема, то
задана уравнением 
, 
и
– абсциссы крайних точек 
, 
дифференцируема, то(36)
2.
Если кривая 
задана параметрическими уравнениями 
, где 
,
дифференцируемые функции, то
(37)
Лекция 30
Основы теории вероятности.
Случайные события. Определение вероятности.
Случайным событием называется событие, которое при выполнении некоторого комплекса условий может произойти или не произойти. Будем рассматривать случайные события, которые обладают так называемой статистической устойчивостью или, иначе, устойчивостью частот.
Определение. Событие называется достоверным в данном испытании, если оно неизбежно происходит при этом испытании.
Определение. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно заведомо не происходит в этом испытании.
Примем как аксиому, что для каждого события Аможно определить, по крайней мере теоретически, вероятность этого события – числоР(А), представляющее, в некотором смысле «меру достоверности» данного события и подчиненное естественным требованиям. Предполагается, что вероятность любого события удовлетворяет неравенству
причем вероятность невозможного события равна нулю, а вероятность достоверного события равна единице.
Определение. Под суммой двух событий А и В понимается событие
которое имеет место тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А и В.
Определение. Произведением двух событий А и В называется событие
состоящее в одновременном появлении как события А, так и события В.
Определение. Под вероятностью Р(А) события А понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания.
Таким образом, если m – число элементарных исходов, благоприятных событию А и n – общее число всех элементарных исходов при данном испытании, и все эти исходы равновозможны, то на основании определения имеем формулу
.
Так как, очевидно, , то , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
Из определения вероятности вытекают следующие основные ее свойства.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие А невозможно, то число благоприятных ему элементарных исходов m=0, и мы имеем
.
2. Вероятность достоверного события равна единице.
В самом деле, если событие А достоверно то, очевидно m=n и, следовательно,
.
Определение. Два события А и В называются равными, если каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое и обозначается A=В.
Теорема 1. Равные события имеют равные вероятности, т.е. если А=В, то
Р(А)=Р(В).
Определение. Говорят,
что из события А следует событие В 
,
если событие В появляется всякий раз,
как только произошло событие А.
Теорема
2. Если 
,
то .
Определение. Событие 
,
происходящее тогда и только тогда, когда
не происходит событие А, называется
противоположным последнему.
Например,
если при бросании монеты событие А есть
выпадение герба, то событие 
представляет собой не выпадение герба,
т.е. выпадение решетки.
Из
определения 4 следует, что 1) А+
достоверно; 2) А
невозможно.
Теорема
3. Вероятность
противоположного события 
равна дополнению вероятности данного
события А до 1, т.е.
.
studfiles.net
32. Двойные и тройные интегралы, их свойства.
Двойные интегралы, их свойства
Пусть функция z=f(x;y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости xOy. Разобьем D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади ,,…,и диаметрыd1,d2,…,dn (наибольшее расстояние между двумя точками границы области называется диаметром области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Pk(ξk,ηk) и умножим значение функции в точке Pk на площадь данной области.
Выражение называетсяинтегральной суммой для функции f(x,y) по области D. Если при max dk →0 интегральная сумма имеет конечный предел , то этот предел называетсядвойным интегралом от функции f(x,y) в области D и обозначается =или=. Геометрический смысл двойного интеграла: еслиf(x,y)>0 в области D, то двойной интеграл численно равен объему цилиндрического тела с основанием D, ограниченному сверху поверхностью z=f(x,y). Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует. Основные свойства двойного интеграла:
1)
2)
3)
D=D1+D2.
4) m≤f(x,y)≤M → mS≤≤MS.
Тройные интегралы, их свойства
Пусть функция f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой пространственной области T. Разобьем T произвольным образом на n элементарных областей T1,T2,…,Tn с диаметрами d1, d2,…,dn и объемами ∆V1, ∆V2,… ∆Vn В каждой элементарной области возьмем произвольную точку Pk(xk, yk, zk) и умножим значение функции в точке Pk на объем этой области: .
Выражение называется интегральной суммой для функцииf(x;y;z) по области T.
Предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных областей называется тройным интегралом от функции f(x;y;z) по области T и обозначается:
Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. Если f(x;y;z) есть функция распределения плотности вещества в области T, то тройной интеграл численно равен массе всего вещества в этой области (физический смысл тройного интеграла).
33. Вычисление двойных и тройных интегралов в прямоугольных координатах.
Вычисление двойных интегралов в прямоугольных координатах
Если функция f(x;y) непрерывна в правильной области D, то двойной интеграл равен двукратному интегралу от этой же функции в области D: .
Сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором x считается постоянным.
Вычисление тройных интегралов в прямоугольных координатах
Если функция f(x;y) непрерывна в некотором правильном теле V, то тройной интеграл равен трехкратному интегралу по тому же телу и вычисляется по формуле:
34. Замена переменных в кратных интегралах, переход к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам.
В математическом анализекратным или многократным интегралом называют множество интегралов взятых отпеременных. Например:
Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число.Кратным интегралом (n-кратным) функции f на компактеB называется число I (если оно существует), такое что , такое что(разбиение) си любого выбора точек выполняется:
.
studfiles.net
Вычисление двойных и тройных интегралов
Правильно расставить пределы интегрирования в двойном и тройном интегралах не такое тяжелое задание, особенно если выполнено построение области интегрирования или имеете представление пространственного тела. Но в большинстве случаев — на практике, контрольной или экзамене студенты не имеют возможности качественно выполнить графический анализ, визуально проанализировать области, а еще большая проблема, что многие из них не владеют техникой изменения порядка интегрирования. В отдельных задачах такой подход позволяет возвести вычисление от интегрирования по 2 -3 областям к одной. В результате быстро удается найти площадь криволинейной трапеции (фигуры на плоскости) или объема тела. Для круговых, эллиптических и разных лепестковых фигур целесообразно выполнять переход к полярным координатам, а уже в них через несколько определенных интегралов найти площадь или объем. Детальный разбор готовых ответов к указанным примерам позволяет в быстрый срок выучить методику и лучше понимать теоретический материал на кратные интегралы. Все задания взяты из индивидуальной работы для студентов ЛНУ им. І. Франко, варианты хорошо подобраны и охватывают несколько тем из высшей математики.
ВАРИАНТ — 5
Вычисление двойных интегралов
ЗАДАНИЕ 1.23 Поменять порядок интегрирования в двойном интеграле:
Решение: Методика вычислений к подобным задачам заключается в следующем:
сначала выписываем область интегрирования из интеграла, которая ограничена кривыми
Дальше превращаем функции, чтобы найти их канонический вид.
Верхний предел y=2-x2/2 — парабола с вершиной в точке O(0;2) и ветками вниз.
Возводим к каноническому виду нижний предел интегрирования
Получили полуелипс с центром в точке S (0;0) и полуосями a=2, b=3.
Изобразим кривые в декартовой системе координат (СК)
Выражаем полученные функции через переменную y:
Из первой получим корневую зависимость , перед радикалом стоит знак «+» поскольку часть параболы находится в правой (положительной по x) части плоскости;
Для эллипса будем иметь
При изменении порядка интегрирования область нужно разбить на две части: D=D1+D2.
Расставим пределы интегрирования в каждой половине:
Изменяем пределы в двойном интеграле
ЗАДАНИЕ 2.24 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями: y=x2-4x+3, y=x+1, y=-2x+5.
Решение: Задание достаточно творческое, ведь искомая фигура имеет следующий график. Но это забегая наперед
На практике Вы этого не знаете, потому начинаете анализ с поиска точек пересечения графиков заданных функций:
Сначала 1 и 2
отсюда
Дальше 2 и 3
отсюда
И напоследок 1 и 3
Координаты точек пересечения содержат корень, ето значит что преподаватель, который готовил задание особенно не старался, чтобы облегчить работу студентам и получить напоследок хороший ответ.
Заданную область можно разбивать на 2-4 части, все зависит от порядка интегрирования.
Мы же заданную область будем разбивать на две области:
D=D1+D2, как на рисунке.
Расставим пределы в каждой области:
С помощью двойного интегралу вычислим площадь фигуры, ограниченной параболой и линиями, :
Интегрировать не трудно, однако комментировать пределы во второй раз не будем.
ЗАДАНИЕ 3.25 Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями:
, D: x+y=1, y=x2— 1 .
Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций : y=1 — x и y=x2— 1:
1 — x=x2-1, x2+x-2=0, (x-1)(x+2)=0, x=1, y=0.
Изобразим область интегрирования в декартовой СК 
Расставим пределы интегрирования при переходе от параболы к прямой:
Вычислим двойной интеграл заданной функции : 
.
Получили отрицательный интеграл I=-1/6.
ЗАДАНИЕ 4.6 Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты:
Решение: Сведем функции пределов интегрирования к каноническому виду
Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом корень из двух (нижняя половина).
Для перехода к полярной системе координат применяем замену переменных :
При этом подинтегральную функцию следует умножить на якобиан перехода:
Превратим подинтегральную функцию под полярные координаты:
Запишем пределы интегрирования в полярной системе координат :
Вычислим двойной интеграл в полярной СК:
Он равен 0, это значит, что подинтегральная функция непарная в заданной области. Это легко видеть из ее начальной записи.
ЗАДАНИЕ 5.7 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями:
D: y2=4x, x2=4y.
Решение: За инструкцией находим точку пересечения двух графиков
x1=0, y1=0; x2=4; y2=4.
Расставим пределы интегрирования в заданной области D:
Построим график фигуры за известными уравнение функций
Площадь фигуры находим за формулой:
Внутренний интеграл предусматривает подстановку пределов интегрирования и только во внешнем придется использовать формулы интегрирования.
Площадь фигуры ровна S=16/3 единиц квадратных.
ЗАДАНИЕ 6.8 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры :
Решение: Уравнение rho=a (1 — cos (phi)) описывает кардиоиду в полярной системе координат.
График кардиоиды имеет вид 
Поскольку заданная функция парная, то вычислим половину площади и результат умножим на 2.
Записываем пределы интегрирования для верхней половины фигуры :
Через двойной интеграл находим площадь кардиоиды :
Под интегралом пришлось использовать формулы понижения степени для квадрату косинуса.
Также, обратите внимание, что во всех примерах при нахождении интегралов в полярных координатах функция под интегралом должна содержать множителем якобиан перехода.
Вычисление тройных интегралов
ЗАДАНИЕ 7.9 Найти объем тела, заданного поверхностями, что его ограничивают:
x2/9+y2/4+z2=1, x2+y2=2x, z=0
Решение: Первая поверхность x2/9+y2/4+z2=1 — эллипсоид с полуосями a=3, b=2, c=1.
Вторую сведем к каноническому виду x2+y2=2x, (x-1)2+y2=12 — коловий цилиндр вытянут вдоль оси Oz.
Запишем функции заданных поверхностей в той плоскости, где будем искать объем тела :
Построим трехмерную модель тела и его проекцию в декартовую плоскость 
Объем тела, которое ограничено заданными поверхностями, найдем как разницу объемов полэллипсоида и полуцылидндра, который ограничен снизу плоскостью z=-1. При расстановке пределов интегрирования будем учитывать четность заданных функций и результат умножим на 2.
Сначала найдем объем тела, которое ограничено півеліпсоїдом.
Расставим пределы интегрирования в заданной области:
через двойной интеграл найдем объем полэллипсоида
согласно рекомендаций, для упрощения вычислений перейдем к полярной системе координат (запишем формулы перехода и якобиан)
Найдем объем полцилиндра, который ограничен плоскостью z=-1.
Поверхность ограничена следующими пределами:
Подставляем их в формулу объема тела и рассчитываем
Конечный объем вычисляем как разницу между полуелипсом и полуцылиндром :
он равен V=3pi кубических единиц.
ЗАДАНИЕ 8.10 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями:
V: x=2, y=4x
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Уравнение поверхности в пространстве запишем из последнего условия: z=y2/4 — это параболический цилиндр.
Пересечение поверхностей в пространстве и проекция тела в декартовую плоскость изображено на рисунку ниже 
Пределы интегрирования расставим следующим образом:
V:
Записываем тройной интеграл с учетом найденных пределов
ЗАДАНИЕ 9.11 Вычислить тройные интегралы: , где V: .
Решение: Выполняем построение поверхностей интегрирования
Заданная область V является параллелепипедом, кроме этого подинтегральная функция задана в явном виде xy+2z.
Подставляем пределы в тройной интеграл и находим его значение
Формулы интегрирования для примера не тяжелые и его по силам найти всем.
ЗАДАНИЕ 10.12 Используя тройной интеграл, вычислить объем тела : где y=2x, y=3,
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Сначала выполняем построение вспомогательного рисунка. Проекция тела на плоскость дает прямоугольный треугольник
Запишем пределы интегрирования, учитывая условие и выполненный рисунок :
Подставим пределы в тройной интеграл и найдем объем тела :
Само интегрирование расписано в деталях, потому проанализируйте расчеты из формулы.
На этом контрольная из высшей математики решена, выводы относительно эффективности тех или других приемов каждый должен сделать самостоятельно.
В дополнение можем лишь сказать, что Вы всегда можете обратиться к нам за консультацией относительно вычислений двойных и тройных интегралов.
yukhym.com
Двойные и тройные интегралы — PDF
Транскрипт
1 Кафедра медицинской и биологической физики Дифференциальное и интегральное исчисление Тема лекции: Двойные и тройные интегралы Лекция 1 Для студентов 1 курса обучающихся по специальности «Медицинская кибернетика» Лектор: Титов Л.С. Красноярск 216
2 ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Дать определения и методы вычисления кратных интегралов, а также их приложения к геометрическим и физическим задачам.
3 ПЛАН ЛЕКЦИИ: 1. Предел интегральных сумм. 2. Сведение двойного интеграла к повторному. 3. Использование цилиндрической и сферической системы координат. 4. Интеграл Эйлера-Пуассона. 5. Геометрические и физические приложения.
4 1. Предел интегральных сумм. Определим двойной интеграл ff xx, yy dddd по некоторой области SS в плоскости XXXX как предел интегральных сумм ff xx, yy dddd = lim ff xx kk, yy kk SS kk, max SS kk аналогично тому, как определялся определенный интеграл в лекции 8. Произвольные точки xx kk, yy kk лежат в ячейке с площадью SS kk. Размер ячеек стремится к нулю. Интеграл тогда даст объем цилиндра с высотой ff xx, yy.
5 1. Предел интегральных сумм. Двойным интегралом ff xx, yy dddd называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа ячеек SS kk и стремлении к нулю их наибольшего диаметра при условии, что этот предел существует и не зависит от способа дробления области SS на элементарные ячейки SS kk и выбора точек xx kk, yy kk в них. Теорема. Интеграл существует, если функция ff xx, yy непрерывна в области S, а область ограничена кусочно-гладкой границей.
6 1. Предел интегральных сумм. Заметим, что значение двойного интеграла определяется не только функцией ff xx, yy, но и формой границы, определяющей область SS. Поэтому нельзя ввести понятие двойного неопределенного интеграла. Обычно на плоскости XXXX используется прямоугольная сетка. В этом случае элементарными ячейками являются прямоугольники с площадью SS kk = xx kk yy kk. Тогда ff xx, yy dddd = ff xx, yy ddxxxxxx. SS SS
7 1. Предел интегральных сумм. Аналогично, можно определить тройной интеграл, как предел интегральных сумм VV ff xx, yy, zz dddd = lim ff xx kk, yy kk, zz kk VV kk. max VV kk Физически, тройной интеграл можно рассматривать, как вычисление массы неоднородного тела с плотностью массы ff xx, yy, zz. Так же можно определить следующие n-кратные интегралы.
8 1. Предел интегральных сумм. Свойства двойных/тройных интегралов очевидны 1) Линейность (AA, BB константы, функции ff и gg интегрируемы) AAAA xx, yy + BBBB xx, yy 2) Оценка по модулю dddd = AA ff xx, yy dddd + BB gg xx, yy dddd. ff xx, yy dddd ff(xx, yy dddd. 3) Площадь плоской области, объем тела SS = dddd, VV = dddd.
9 2. Сведение двойного интеграла к повторному. При вычислениях, в большинстве случаев, двойной интеграл сводят к повторному. a) Пусть область есть прямоугольник aa xx bb, cc yy dd. Заштрихованная площадь σσ yy = aa bb ff xx, yy dddd при фиксированном yy = yy oo. Интеграл V = ff xx, yy dddd = = cc dd σσ yy dddd = cc dd dddd aa bb ff(xx, yy) ddxx.
10 2. Сведение двойного интеграла к повторному. Можно было выполнить интегрирование в другом порядке и получить формулу ff xx, yy dddd = aa bb ddxx cc dd ff(xx, yy) ddyy = cc dd dddd aa bb ff(xx, yy) dddd. К сожалению, так просто замена порядка интегрирования выполняется только для прямоугольной области. dd cc
11 2. Сведение двойного интеграла к повторному. b) Если область ограничена при aa xx bb кривыми yy 1 (xx) yy yy 2 (xx) (правильная или стандартная область вдоль оси yy), то ff xx, yy dddd = aa bb yy 2 (xx) dddd yy 1 (xx) ff(xx, yy) dddd.
12 2. Сведение двойного интеграла к повторному. c) Если область ограничена при A yy BB кривыми xx 1 (yy) xx xx 2 (yy) (правильная область вдоль оси xx), тогда ff xx, yy dddd = BB = AA xx 2 (yy) ddyy ff(xx, yy) ddxx. xx 1 (yy) В общем случае имеет смысл разбить область интегрирования на участки, вида a), b), c).
13 2. Сведение двойного интеграла к повторному. Пример. II = SS xx 2 yyyyyyyyyy, где SS треугольник, ограниченный прямыми yy =, yy = xx/2, xx = 2. 1) Вначале можно выполнить интегрирование по yy от до yy = xx/2, затем по x от до 2: II = 2 2 = xx 2 dddd xx 2 dddd xx/2 yy 2 2 xx/2 yyyyyy = 2 xx 4 = 8 xx 5 2 dddd = =
14 2. Сведение двойного интеграла к повторному. 2) Можно сделать наоборот. Область интегрирования выпуклая (правильная вдоль обеих осей). Можно вначале выполнить интегрирование по xx в пределах xx = 2yy до 2, а затем по yy от до 1. = II = 1 yy ddyy 2 2yy yy yy 4 ddyy = 1 xx 2 ddxx = yyddyy 8 3 yy 2 2 yy5 5 1 xx 3 = yy = = 4 5. Результаты, очевидно, совпадают. Следует выбирать способ который проще.
15 2. Сведение двойного интеграла к повторному. Для тройного интеграла процедура сведения к повторному проводится аналогично. Понятно, что в этом случае она усложняется из-за трехмерной области интегрирования. Вычислите xxxxxx dddddddddddd по объему пирамиды, ограниченной следующими плоскостями xx =, yy =, z =, xx + yy + zz = 1. Ответ: 1/72.
16 3. Использование цилиндрической и сферической системы координат. Если область интегрирования в двойном/тройном интеграле обладает соответствующей симметрией, то вычисления упрощаются при использовании цилиндрической или сферической системы координат вместо прямоугольной декартовой. В математических курсах переход к другим координатам осуществляется путем замены переменных в двойном/тройном интеграле и вычисления якобиана перехода. Мы ограничимся геометрическим преобразованием площади/объема ячейки интегрирования.
17 3. Использование цилиндрической и сферической системы координат. 1) Цилиндрическая система координат задает положение точки в пространстве с помощью трех координат rr, φφ, zz. Часто вместо rr zz используют букву ρρ. Величина rr всегда положительна, φφ < 2ππ, < zz <. Цилиндрические координаты связаны с декартовыми xx = rr cos φφ, yy = rr sin φφ, zz = zz. На плоскости zz = используются полярные координаты rr, φφ.
18 3. Использование цилиндрической и сферической системы координат. Элемент площади в полярных координатах dddd = rrrrrrrrφφ. Элемент объема в цилиндрических координатах dddd = rrrrrrrrφφφφφφ.
19 3. Использование цилиндрической и сферической системы координат. Найдем, к примеру, площадь сектора с углом при вершине φφ и радиусом rr. rr φφ SS = dddd = rrrrrrrrφφ = rrrrrr dddd двойной интеграл превратился в произведение интегралов SS = rr 2 2 φφ 2 = ππrr φφ 2ππ. Получили — произведение площади круга на отношение угла φφ к полному углу 2ππ.
20 3. Использование цилиндрической и сферической системы координат. 2) Сферическая система координат задает положение точки в пространстве с помощью трех координат rr, θθ, φφ. rr — расстояние до начала координат; θθ < ππ зенитный (полярный) угол; φφ < 2ππ азимутальный угол. xx = rr sin θθ cos φφ, yy = rr sin θθ sin φφ, zz = rr cos θθ.
21 3. Использование цилиндрической и сферической системы координат. Элемент площади на сфере dddd = rr 2 sin θθ ddθθddφφ. Элемент объема в сферических координатах dddd = rr 2 sin θθ ddddddθθddφφ.
22 4. Интеграл Эйлера-Пуассона. В качестве примера использования полярной системы координат рассмотрим интеграл Эйлера-Пуассона II = ee xx2 dddd. Интеграл возникает в задачах статистики и относится к «неберущимся» интегралам (первообразная бесконечный ряд). Вычислим квадрат интеграла II 2 = ee xx2 dddd ee yy2 ddyy = ee (xx2 +yy 2) dddddddd.
23 4. Интеграл Эйлера-Пуассона. Имеем двойной интеграл по всей площади плоскости XXXX. Интегрируемая функция зависит только от xx 2 + yy 2 = rr 2, поэтому удобно перейти к интегрированию в полярных координатах II 2 = ee (xx2 +yy 2) dddddddd = 2ππ dddd ddφφ rrrr rr2, где было заменено dddd = dddddddd = rrrrrrrrφφ и расставлены пределы интегрирования по всей плоскости. Интегрирование по φφ дает II 2 = 2ππ rrrr rr2 ddrr.
24 4. Интеграл Эйлера-Пуассона. Получившийся интеграл теперь легко найти из-за наличия множителя rr II 2 = 2ππ rrrr rr2 dddd = ππ Искомый интеграл II = ee uu dduu = ππ ee xx2 dddd = ππ. ee uu = ππ. В силу четности подынтегральной функции ee xx2 dddd = ππ 2.
25 5. Геометрические и физические приложения. Двойные и тройные интегралы широко используются для нахождения объемов, площадей, масс, моментов. Ограничимся двумя приложениями. 1) Центр тяжести плоской фигуры можно найти вычисляя отношение момента (силы) к массе (весу). Координаты центра тяжести xx cc = xx ρρ xx, yy dddddddd SS yy cc = yy ρρ xx, yy dddddddd SS, ρρ xx, yy dddddddd ρρ xx, yy dddddddd SS SS где ρρ xx, yy — распределение плотности вещества в пластине.
26 5. Геометрические и физические приложения. В случае однородной пластины на плотность можно сократить xx cc = xx dddddddd SS = xx dddddddd SS ; dddddddd SS SS yy cc = SS SS yy dddddddd dddddddd = SS yy dddddddd. SS Буквой SS здесь обозначена площадь пластины и область интегрирования по пластине.
27 5. Геометрические и физические приложения. 2) Моменты инерции тела относительно осей координат вычисляются следующим образом JJ xx = (yy 2 +zz 2 )ρρ(xx, yy, zz) dddd; JJ yy = (xx 2 +zz 2 )ρρ(xx, yy, zz) dddd; JJ zz = (xx 2 +yy 2 )ρρ(xx, yy, zz) dddd. Моменты инерции во вращении играют ту же роль, что и массы при поступательном движении.
28 5. Геометрические и физические приложения. а) Вычислим, к примеру, момент инерции однородного диска относительно оси вращения, проходящей через его центр. Диск радиуса rr толщиной h, плотностью ρρ. Используем цилиндрические координаты, ось вращения zz JJ zz = rr 2 ρρ dddd = rr 2 ρρ hrrrrrrrrrr, поскольку элемент объема hrrrrrrrrrr. Получим rr rr JJ zz = 2πππππ 3 dddd = 1 2 πππππrr 4 = 1 2 πππππrr 2 rr 2 = 1 2 mmrr 2, где mm масса диска.
29 5. Геометрические и физические приложения. б) Найдем момент инерции однородного шара массы mm, радиуса rr относительно оси, проходящей через центр шара (ось zz ). В сферических координатах расстояние до оси вращения равно rr sin θθ, поэтому JJ zz = (rr sin θθ) 2 ρρ dddd = ρρrr 4 sin 3 θθ dddddddddddd. ππ Интеграл sin 3 1 θθdddd = 1 1 uu 2 dddd = 4 3 (uu = cos θθ). Получим JJ zz = 8ππ = 2 5 ρρ 4 ππrr 3 3 rr 2 = 2 mmrr 5 2, где mm масса шара.
30 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная: 1. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для вузов — М.: АСТ, 21 (глава 24). 2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике М.: Высшая школа, 23. Электронные ресурсы: ЭБС КрасГМУ Ресурсы интернет
31 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Дополнительная: 1. Высшая математика /К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев — М.: ФЛИНТА, Богомолов Н.В. Практические занятия пр математике М.:Юрайт, Математика в примерах и задачах: учебное пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др.- М.: ИНФРА-М, 21.
32 БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ
docplayer.ru