Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл — Мегаобучалка
При вычислении двойного интеграла элемент площади нам удобно представить в ином виде. Будем разбивать область интегрирования D в плоскости Oxy на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Этими линиями служат прямые, параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями — прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Ясно, что площадь каждой частичной области будет равна произведению соответствующих и . Поэтому элемент площади мы запишем в виде т.е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных. Мы имеем
. (*)
При вычислении двойного интеграла (*) мы будем опираться на тот факт, что он выражает объём V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью . Напомним, что мы уже занимались задачей об объёме тела, когда рассматривали применения определённого интеграла к задачам геометрии и получили формулу
(**)
Рис.3
где S(х) — площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а и — уравнения плоскостей, ограничивающих тело. Применим теперь эту формулу к вычислению двойного интеграла
Предположим сначала, что область интегрирования D удовлетворяет следующему условию: любая прямая, параллельная оси Ox или Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках. Соответствующее цилиндрическое тело изображено на рис.3
Область D заключим внутрь прямоугольника
стороны которого касаются границы области в точках А, В, С, Е. Интервал [а, b] является ортогональной проекцией области D на ось Ох, а интервал [c, d] — ортогональной проекцией области D на ось Oy. На рис.5 область D показана в плоскости Оху.
Точками A и C граница разбивается на две линии: ABC и AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси Oy, в одной точке. Поэтому, их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно y:
(ABC),
(AEC).
Аналогично точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ и ВСЕ, уравнения которых можно записать так:
(BAE),
(BCE).
Двукратный интеграл
Двукратный (повторный) интеграл . Пусть D — область, простая в направлении оси Oy. Рассмотрим выражение . Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная) и подстановки по у в пределах от до получается функция, зависящая только от х, которая интегрируется в пределах от a до b. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:
.
Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:
Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь областиD: ;
теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться — это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область D разбита на две подобласти D1 и D2 прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области D равен сумме интегралов по D1 и D2: J(D) = J(D1) + J(D2).
Первый случай: прямая x = a1 параллельна оси Oy. Тогда
megaobuchalka.ru
ЛЕКЦИИ по теме: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
ПОНЯТИЕ ДВУКРАТНОГО ИНТЕГРАЛА
СВОЙСТВА ДВУКРАТНОГО ИНТЕГРАЛА
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ в ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА через ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ через ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
ПОНЯТИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
ПОНЯТИЕ ТРЕХКРАТНОГО ИНТЕГРАЛА
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
СЛАЙДЫ30_ЛЕКЦИИ Кратные интегралы.pdf
Adobe Acrobat Document 2.0 MB
ФАЙЛ
11 Лекции по кратным интегралам.pdf
Adobe Acrobat Document 855.1 KB
fedorovkniga.jimdo.com
25. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.
Основные свойства двойного интеграла:
Свойство аддитивности:
Свойства линейности:
а)
б)
Модуль интеграла меньше или равен интегралу от модуля:
Теорема о среднем. Так как
то, проинтегрировав это неравенство, получим:
Где
Сведение двойного интеграла к повторному.
Теорема. Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольнике, указанном на рисунке, и если и существует интеграл, тогда существует повторный интеграли он равен двойному:=.
Замечание. Если f(x, y) интегрируема в прямоугольнике, указанном на рисунке, и и существует интегралтогда существует повторный интеграл.
Предположим, что область D произвольного вида. Делаем разбиение и проводим параллельные линии. Заключим область (D) в прямоугольник (D*), , и в нём определим функцию f*(x,y):.
Формула в общем виде: . Так же доказывается, что
Тройной интеграл, сведение его к повторному.
Определение тройного интеграла. Пусть в некоторой области (V) с границей (S) задана в каждой точке функция f(x,y,z). Разобьём тело (V) сеткой поверхностей на частичные области (Vi). В каждой (Vi) возьмём произвольную точку (ξi, ηi, ζi) и составим интегральную сумму:. Устремим максимальный диаметр (макс. расстояние между любой парой точек в области) к нулю:. Тогда, если существует предел интегральных сумм, то он равен тройному интегралу:.
На всякий случай определение интегральной суммы. Пусть на нек-ом отрезке задана. Произведём разбиение отрезка:. Число, называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению T(ξi;xi) сегмента [a;b] и данному выбору промежуточных точек ξi на частичных сегментах [xi-1;xi], Δ –хар-тика разбиения:
Сведение к повторному интегралу. Рассмотрим первый простейший случай. Пусть тело V – прямоугольный параллелепипед. Проведём секущую плоскость. Возьмём приращение плоскости (жирные линии). Тогда:.
Рассмотрим второй случай.
Рассмотрим третий случай – область (V) цилиндрического типа.
26. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.
Вычислим интеграл , используя замену переменных. Рассмотрим интеграл как предел интегральных сумм. Область (D) сеткой кривых разделяется на частичные области Di, внутри каждой частичной области берём произвольные точки (xi, yi). Составляем интегральную сумму:, где Di – площадь i-ой частичной области. Устремим максимальный диаметр к нулю:. По определению,. Совершим замену переменных (*). При замене (*) площадь.
Если , тои, следовательно,
– якобиан преобразования (*).
Пример с полярными координатами.
studfiles.net
3.3. Двойной и тройной интегралы.
Двойной интеграл. Пусть функцияf(x, y)определена в замкнутой ограниченной областиDв плоскостихОу. Разобьем областьDнаnэлементарных областей, имеющих площадиS1, S2,…,Sn
Рис. 7.1
называется сумма вида (7.1).
При f(x, y) 0каждое слагаемое можно рассматривать как объем малого цилиндра с основаниемSiи высотойf (i, i), а сумму – как объем некоторого “ступенчатого” тела (геометрическая интерпретация). Способы разбиения областиDна элементарные могут быть различны, однако, если максимальный диаметр (диаметр наибольшей элементарной области) стремится к нулю (при этомn ), то справедлива следующая теорема:
Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной суммы (7.1) при max di 0 существует и не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные, ни от выбора точек внутри элементарных областей(теорема существования двойного интеграла). Этот предел называется двойным интегралом от функцииf(x, y) по областиD и
обозначается так: (7.2).
Область Dназывается областью интегрирования. Еслиf(x, y) 0в областиD, то двойной интегралчисленно равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностьюz = f(x, y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными осиОz(направляющая- граница областиD), и снизу областьюDплоскостихОу.
Основные свойства двойного интеграла определяются теоремами:
1. Двойной интеграл от суммы функций (х,у) и f(x, y) по области D равен сумме двойных интегралов по области D от каждой из функций, т.е.
(7.3)
2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла, т.е. если C = const, то (7.4).
3.
Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних 
точек, то (7.5).
Вычисление двойного интеграла. Пусть областьDтакова, что всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку области параллельно одной из осей координат пересекает границу области не более чем в двух точках (рис.7.2.). Если при этом областьDограничена линиямиу = 1(х), у = 2(х), х =а, х = b,причем1(х) 2(х),а < b, а функции1(х)и2(х)непрерывны на отрезке[a, b], то область называютправильной в направлении осиОу. Аналогично определяется область правильная в направлении осиОх. Область, правильную в направлении обеих осей, называют простоправильной.
Рис.7.2
Для вычисления двойного интеграла по правильной области используется разновидность определённого интеграла по плоской области Dназываемаядвукратным интегралом и определяемая выражением:
(7.6)
В этом выражении сначала вычисляется интеграл по dy(«внутренний» интеграл, стоящий в скобках),при этомх считаетсяпостоянной. В результате получится непрерывная (доказательство не приводим) функция отх:. Эта функция интегрируется похв пределах отадоb:.
Пример: вычислить (ОбластьDпредставляет собой треугольник: а = 0;b= 1;1(x) = 0 и2(x) = х2). Вычислим
и затем.
Основные свойства двукратного интеграла:
1. Если правильную в направлении оси Оу(Ох) область D разбить на две области D1 и D2 прямой, параллельной оси Оу(Ох) то двукратный интеграл ID по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D1 и D2, т.е. ID = ID1 + ID2.
Следствие: двукратный интеграл по области D равен сумме двукратных интегралов по частичным областям, т.е. ID = I D1 + I D2 + … +I Dn (области Di выбором границ можно сделать правильными в направлении оси Оу(Ох)).
2. (Оценка двукратного интеграла). Если m и М наименьшее и наибольшее значения функции f(x, y) в области D и S – площадь области D, то справедливо неравенство .
3. (Теорема о среднем) Двукратный интеграл от непрерывной функции f(x, y) по области D с площадью S равен произведению полощади S на значение функции в некоторой точке Р области D т.е. .
Свойства двукратного интеграла позволяют доказать теорему, открывающую путь к вычислению двойного интеграла: Двойной интеграл от непрерывной функцииf(x, y)по областиDравен двукратному интегралу от этой функции по областиD т.е. (7.7)
(Полагаем область Dправильная по осиОуи ограничена линиямиу = 1(х), у = 2(х), х =а, х = b).
Пример: Вычислить , если областьDограничена линиями у = 1 – х2, у = 2х, х = – 2, х = 0. Построим областьD(рис.7.3). Очевидно, она правильная в направлении оси Оу и искомый интеграл равен двукратному интегралу
Отметим, что если областьDправильная в направлении осиОхи ограничена линиямих = 1(у), х = 2(у), у = с, у = dпричем1(у) 2(у), то
(7.8).
Таким образом, двойной интеграл может быть вычислен по формулам (7.7) или (7.8). Пример: Изменить порядок интегрирования в интеграле . Область интегрирования ограничена прямой у = х и параболой(рис.7.4) и, очевидно, правильная, т.е. интеграл можно вычислить и по формуле (7.8)
полагая у2=1(у), у =2(у), с = 0,d= 1
откуда .
В случае, когда область Dне является правильной ни по одной из осей, двойной интеграл по этой области представить в виде двукратного нельзя. Однако, если областьDразбить на частичные, правильные в направлении той или иной оси, то двойной интеграл по областиDможно представить в виде суммы двойных интегралов по этим областям, а каждое слагаемое – в виде двукратного интеграла по соответствующей частичной области.
Вычисления с помощью двойного интеграла.
1. Объем.Напомним, что объемVтела, ограниченного сверху поверхностьюz = f(x, y)( f(x, y) 0), снизу – плоскостьюz = 0, а сбоку – цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница областиD, а образующая параллельна осиOz, определится соотношением
(7.9).
1.1. Если тело ограничено сверху поверхностью z = f1(x, y) 0, снизу – поверхностьюz = f2(x, y) 0, причем проекцией обеих поверхностей на плоскостьхОуявляется областьD, то объемVэтого тела равен разности объемов двух цилиндрических тел: оба имеют нижним основанием областьD, а верхним – поверхностиz = f1(x, y) 0для первого иz = f2(x, y) 0для второго,
(7.10)
Формула (7.10) верна и тогда, когда f1(x, y)иf2(x, y)– любые непрерывные функции, удовлетворяющие неравенствуf1(x, y) f2(x, y).
1.2. Если в области Dфункцияf(x, y)меняет знак, то следует разбить область на две части:D1, гдеf(x, y) 0иD2, гдеf(x, y) 0. Если областиD1иD2таковы, что двойные интегралы по ним существуют, то первый будет равен объему тела, лежащего выше плоскостихОу, а второй – объему тела, лежащего ниже плоскостихОу.
2. Площадь плоской области. Площадь областиDв плоскостихОучисленно равна объему рассмотренного цилиндра, ограниченного сверху в нашем случае поверхностьюz = f(x, y) = 1, т.е.или, если областьDправильная(7.11).
3. Площадь поверхности, заданной уравнениемz = f(x, y)и ограниченной некоторой замкнутой линиейС. Проекцию этой линии на плоскостьхОуобозначим черезL, а область, ограниченную линиейL,обозначим черезD. Если функцияf(x, y)непрерывна и имеет непрерывные частные производные в этой замкнутой области, то искомая площадь поверхности определится выражением(7.12).
С помощью двойного интеграла можно решить и целый ряд “физических” задач: вычисление массы плоских пластин с известной поверхностной плотностью = f(x, y), момента инерции плоской фигуры и т.д.
Тройной интеграл. Пусть в декартовых трехмерных координатах задана «объемная» областьV, ограниченная замкнутой поверхностьюSи пусть в каждой точке этой области, включая границу, определена непрерывная функцияf(x, y, z). Разобьем областьVпроизвольным образом на малые области (объемы)Vi, выберем в каждой произвольную точкуРi(xi, yi, zi)и составиминтегральную сумму вида. Устремляя максимальный диаметрmaxdi(и, соответственно, объемVi) к нулю(maxdi 0)перейдем к пределу интегральной суммы. При условиях, перечисленных выше, этот предел существует и называется тройным интегралом:
(7.13).
где dxdydz = dVэлемент объема в декартовых координатах. Еслиf(x, y, z) 0описывает плотность распределения вещества в объемеV, то (7.13) даст массу этого вещества.
Если: 1. Всякая прямая, параллельная оси Оzи проходящая через внутреннюю точку областиV, пересекает поверхностьSв двух точках;
2. Область Vпроектируется на плоскостьхОув правильную двумерную областьD; 3. всякая часть областиV, отсеченная плоскостью, параллельной одной из координатных обладает свойствами 1. и 2. – областьVназываютправильной.
Введем понятие трехкратного интеграла Ivпо областиVот функцииf(x, y, z)определенной и непрерывной в этой области. Пустьz = 1(x,y)иz = 2(x,y)уравнения поверхностей, ограничивающиxобластьVснизу и сверху (вместе они описывают замкнутую поверхностьS), а областьD– проекцияVна плоскостьxОу– ограничена линиямиу = 1(х), у = 2(х), х = а, x = b.
Трехкратный интегралIvопределяется выражением:
(7.14)
При интегрировании по zпеременныехиусчитаем постоянными. После интегрирования поzи подстановки пределов получаем двукратный интеграл, рассмотренный в предыдущем разделе. Трехкратный интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двукратного: 1.Если область V разбить на две областии V1 и V2 плоскостью, параллельной одной из координатных, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям V1 и V2. (При любом разбиении областиVна конечное числоV1, V2,…,Vnплоскостями, параллельными координатным, справедливо равенство:IV = IV1 + I V2 + … +IVn). 2.Если m и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x, y, z) в области V, то справедливо неравенство mV Iv MV, где V – объем области, Iv – трехкратный интеграл от f(x, y, z) по области V.
3. (теорема о среднем) Трехкратный интеграл Iv от непрерывной функции f(x, y, z) по области V равен произведению ее объема V на значение
функции в некоторой точке Р области V:
Приведенные свойства трехкратного интеграла позволяют доказать теорему о вычислении тройного интеграла:
Тройной интеграл от функции f(x, y, z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по этой же области:
(7.15)
(Как и в случае двукратного интеграла, можно изменить порядок интегрирования, если это позволяет сделать форма области V. Можно с этой целью разбить областьVна части).
Если подинтегральная функция f(x, y, z) = 1, то тройной интеграл по областиVдает значение ее объема(7.15`).
Пример: , если областьVопределяется неравенствами: 0х½, ху2х, 0z(т.е. а = 0,b= ½,1(x) =x,2(x) = 2x,1(x,y) = 0,2(x,y) =, областьVпредставляет собой часть сферы единичного радиуса с центром в начале координат, ограниченную снизу плоскостью хОу(z= 0), а «с боков» плоскостями у = х и у = 2х).
Нередко вычисление тройных интегралов значительно упрощается при переходе к цилиндрическимилисферическимпространственным координатам.
В цилиндрических координатахположение точкиРопределяется тремя числами, , z,гдеи– полярные координаты проекции точкиРна плоскостьхОу, аz– аппликата точкиР. Пространственную областьVразбивают на элементарные координатными поверхностями = i, = j, z = zk.Элементарный объемdVпримет вид:dV = dddz, а тройной интеграл:, пределы интегрирования в соответствующем трехкратном интеграле определятся формой областиV. Зная формулы связи:
х = cos, y = sin, z = zнесложно перейти от декартовых координат к цилиндрическим:.
Пример: , если областьVограничена цилиндром х2+ у2= 2х и плоскостями у = 0,z= 0,z=a. Перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение цилиндра примет вид2cos2+2sin2= 2cos=>2(cos2+sin2) = 2cos=>= 2cos. ОбластьVопределяется неравенствами: 02cos, 0/2, 0zа и
В сферических координатахположение точкиРопределяется числами,, , где– расстояние точки от начала координат,– угол междуи осьюОzи– угол между проекциейна плоскостьхОуи осьюОх(отсчитывается, как обычно, от осиОхпротив часовой стрелки). Декартовы координаты связаны со сферическими так:х = sincos, у = sinsin, z = cos (0 , 0 2, 0 ). Элемент объема в сферических координатахdV = 2sinddd. В итоге можем перейти от тройного интеграла в декартовых координатах к тройному интегралу в сферических координатах.
Пример: , если областьV– верхняя половина шараx2+y2+z2r2. Перейдя к сферическим координатам получим: 0r, 02, 0/2,x2+y2=2sin2cos2+2sin2sin2=2sin2и
studfiles.net
16. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.
16.1. Двойной интеграл.
16.1.1.
Определение двойного интеграла. Теорема
существования двойного интеграла. Пусть
на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на
области D определена функция 
.
Разобьём область D произвольным образом на 
подобластей
(не имеющих общих внутренних точек).
Символом 
будем обозначать площадь области 
;
символом 
здесь и дальше будет обозначаться
наибольшее расстояние между двумя
точками, принадлежащими области D:
;
символом 
обозначим наибольший из диаметров
областей 
:
.
В каждой из
подобластей
выберем произвольную точку ,
вычислим в этой точке значение функции
,
и составим интегральную сумму 
.
Если существует
предел последовательности интегральных
сумм при ,
не зависящий ни от способа разбиения
области D на подобласти 
,
ни от выбора точек 
,
то функция 
называется интегрируемой по области D,
а значение этого предела называется
двойным интегралом от функции 
по области D и обозначается 
.
Если расписать
значение 
через координаты точки 
,
и представить 
как ,
получим другое обозначение двойного
интеграла: 
.
Итак, кратко,
.
Теорема
существования двойного интеграла. Если
подынтегральная функция 
непрерывна на области D,
то она интегрируема по этой области.
16.1.2. Геометрический
смысл двойного интеграла. Геометрический
смысл каждого слагаемого интегральной
суммы: если
,
то
— объём прямого цилиндра с основанием 
высоты 
;
вся интегральная сумма 
— сумма объёмов таких цилиндров, т.е.
объём некоторого ступенчатого тела
(высота ступеньки, расположенной над
подобластью 
,
равна 
).
Когда ,
это ступенчатое тело становится всё
ближе к изображенному на рисунке телу,
ограниченному снизу областью 
,
сверху — поверхностью ,
с цилиндрической боковой поверхностью,
направляющей которой является граница
области 
,
а образующие параллельны оси 
.
Двойной интеграл 
равен объёму этого тела.
16.1.3. Свойства двойного интеграла.
16.1.3.1. Линейность. Если функции
, интегрируемы по области ,
то их линейная комбинация
тоже интегрируема по области ,
и
.
, 
интегрируемы по области 
,
то их линейная комбинация
тоже интегрируема по области 
,
и
.Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство . Переходя к пределу при и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе 4.4.6. Арифметические действия с пределами (конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.
16.1.3.2. Аддитивность. Если область 
является объединением двух областей 
и ,
не имеющих общих внутренних точек, то .
Док-во. Пусть
область 
разбита на подобласти ,
область 
разбита на подобласти .
Тогда объединение этих разбиений даст
разбиение области 
: на 
подобластей. Интегральная сумма по
области 
равна сумме сумм по областям 
и 
:
.
Как и в предыдущем случае, переходя к
пределу при ,
получим требуемое равенство.
Интеграл от единичной функции по области
равен
площади этой области: .
равен
площади этой области: 
. Док-во: Для
любого разбиения 
,
т.е. не зависит ни от разбиения, ни от
выбора точек 
.
Предел постоянной равен этой постоянной,
поэтому
.
16.1.3.4. Интегрирование
неравенств. Если в любой точке 
выполняется неравенство ,
и функции
интегрируемы по области 
,
то
.
Док-во. В любой точке 
выполняется неравенство ,
поэтому .
По теореме о переходе к пределу в
неравенствах отсюда следует требуемое
утверждение.
Теоремы об оценке интеграла.
16.1.3.5.1. Если функция 
интегрируема по области 
,
и для
выполняется ,
то .
Док-во. 
(цифрами над знаками импликации обозначены
номера применяемых ранее доказанных
свойств).
16.1.3.5.2. Если функция 
интегрируема по области 
,
то .
Док-во. Эти неравенства непосредственно следуют из того, что и свойства 16.1.3.4. Интегрирование неравенств.
16.1.3.6. Теорема о
среднем. Если
функция 
непрерывна на области 
,
то существует точка 
,
такая что .
Док-во. Непрерывная на ограниченной замкнутой
области 
функция 
принимает в некоторых точках этой
области своё минимальное 
и максимальное 
значения. Так как ,
то ,
или .
Непрерывная функция принимает, кроме
того, любое значение, заключённое между 
и 
,
в частности, значение 
.
Следовательно, ,
откуда и следует доказываемое утверждение.
Вычисление двойного интеграла. Двукратный (повторный) интеграл.
Определение простой (правильной) области. Область
на плоскости Oxy будем
называть простой
(правильной) в направлении оси Oy,
если любая прямая, проходящая через
внутреннюю точку области и параллельная оси Oy,
пересекает границу в двух точках.
на плоскости Oxy будем
называть простой
(правильной) в направлении оси Oy,
если любая прямая, проходящая через
внутреннюю точку области 
и параллельная оси Oy,
пересекает границу 
в двух точках. Аналогично
определяется область, простая
(правильная) в направлении оси Ox:
любая прямая, проходящая через внутреннюю
точку области 
и параллельная оси Oх,
пересекает границу 
в двух точках.
Область, правильную (простую) в направлении обеих осей, будем называть правильной.
О
граниченную
замкнутую область
,
правильную в направлении оси Oy,
можно описать неравенствами
.
Числа 
и 
существуют вследствие ограниченности
области 
,
функция 
образована нижними точками пересечения
прямой 
при
с границей области 
,
функция 
— верхними точками пересечения этой
прямой с границей области 
:
Аналогичным
образом область 
,
ограниченную, замкнутую и правильную
в направлении оси Oх,
можно описать неравенствами
.
Функция 
образована левыми точками пересечения
прямой 
при
с границей области 
,
функция 
— правыми точками пересечения этой
прямой с границей области 
.
Для правильной области (т.е. области, правильной в направлении обеих осей) существуют оба способа представления: и , и .
Двукратный (повторный) интеграл. Пусть
— область, простая в направлении оси Oy.
Рассмотрим выражение .
Эта конструкция определяется через
два обычных определённых интеграла.
После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная)
и подстановки по у в пределах от до получается функция, зависящая только
от х,
которая интегрируется в пределах от a до b.
В дальнейшем мы будем обычно записывать
этот объект без внутренних скобок:
— область, простая в направлении оси Oy.
Рассмотрим выражение 
.
Эта конструкция определяется через
два обычных определённых интеграла.
После интегрирования по у во внутреннем интеграле (переменная х при этом рассматривается как постоянная)
и подстановки по у в пределах от 
до 
получается функция, зависящая только
от х,
которая интегрируется в пределах от a до b.
В дальнейшем мы будем обычно записывать
этот объект без внутренних скобок: 
.
Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:
Свойства линейности
и интегрирования неравенств следуют
из этих свойств определённого интеграла;
интеграл от единичной функции даёт
площадь области
:
;
теоремы
об оценке и о среднем следуют из
перечисленных свойств. Единственное
свойство, с которым придётся повозиться
— это свойство аддитивности. Мы докажем
его в простой, но достаточной для нас
форме: если область
разбита на две подобласти 
и 
прямой, параллельной одной из координатных
осей, то двукратный интеграл по области 
равен сумме интегралов по 
и 
:
.
Первый
случай: прямая
параллельна оси Oy.
Тогда
(аддитивность внешнего интеграла) .
Второй случай:
прямая 
параллельна оси Oх.
Воспользуемся сначала аддитивностью
внешнего интеграла:
(первая фигурная
скобка даёт повторный интеграл по 
,
второй — по 
) .
Понятно,
что воэможны различные случаи взаимного
расположения прямых
, 
, 
и функций , ,
но логика доказательства во всех случаях
такая же.
Обобщим доказанное
свойство. Пусть прямая разбивает область 
на две подобласти 
и 
.
Проведём ещё одну прямую, параллельную
какой-либо координатной оси. Пусть эта
прямая разбивает 
на 
и
; 
— на 
и 
.
По доказанному, ,
,
поэтому .
Продолжая рассуждать также, убеждаемся
в справедливости следующего утверждения:
если область 
с помощью прямых, параллельных координатным
осям, разбита на подобласти ,
то .
Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному. Пусть
— простая в направлении оси Oy область. Тогда двойной интеграл от
непрерывной функции по области равна повторному интегралу от той же
функции по области :
.
— простая в направлении оси Oy область. Тогда двойной интеграл от
непрерывной функции по области 
равна повторному интегралу от той же
функции по области 
:
. Док-во. Разобьём область
с помощью прямых, параллельных координатным
осям, на подобласти .
По доказанному выше,
.
К каждому из итегралов 
применим теорему о среднем: в любой
области 
найдётся точка 
такая, что
.
Следовательно,
.
В последнем равенстве справа стоит
интегральная сумма для двойного интеграла 
.
Будем мельчить разбиение области так,
чтобы .
Вследствие непрерывности функции 
по теореме существования интегральная
сумма при этом стремится к двойному
интегралу 
,
т.е. в пределе получим
,
что и требовалось доказать.
Если область 
правильная
в направлении оси Oх,
то аналогично доказывается формула
.
Если 
правильна
в направлении обеих осей, то для вычисления
двойного интеграла можно применять
любую из эти формул:
.
Если область не является правильной, её разбивают на правильные подобласти.
studfiles.net
Свойства двойного интеграла / Двойной интеграл / 3dstroyproekt.ru
Постоянный множитель может быть вынесен за знак двойного интеграла
(\iint\limits_R { c\left( { x,y }\right)dA } = c\iint\limits_R { f\left( { x,y }\right)dA } ,) где (c) — константа;
Линейность
Если функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $, $\mathbf { \textit { y } } )$, $\mathbf { \textit { g } } (\mathbf { \textit { x } } $, $\mathbf { \textit { y } } )$ интегрируемы по области $\mathbf { \textit { D } } $, то их линейная комбинация $\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)$ тоже интегрируема по области $\mathbf { \textit { D } } $, и $\iint\limits_D { \left[ { \alpha f(P)+\beta g(P) }\right]ds= } \alpha \iint\limits_D { f(P)ds } +\beta \iint\limits_D { g(P)ds } $.
Док-во:
Для интегральных сумм справедливо равенство
$$\sum\limits_ { i=1 } ^n { \left[ { \alpha f(P_i )+\beta g(P_i ) }\right]s(D_i ) } =\alpha \sum\limits_ { i=1 } ^n { f(P_i )s(D_i ) } +\beta \sum\limits_ { i=1 } ^n { g(P_i )s(D_i ) } $$
Переходя к пределу при $d=\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,\ldots ,n } diam(D_i )\to 0$ и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе Арифметические действия с пределами { здесь должна быть ссылка, но пока ее нет } , получим требуемое равенство.
Аддитивность
Если область $\mathbf { \textit { D } } $ является объединением двух областей $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $, не имеющих общих внутренних точек, то $\iint\limits_D { f(P)ds } =\iint\limits_ { D_1 } { f(P)ds } +\iint\limits_ { D_2 } { f(P)ds } $.
Док-во:
Пусть область $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ разбита на подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 1,2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } _ { 1, n1 } $; область $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $ разбита на подобласти $\mathbf { \textit { D } } _ { 2,1 } $, $\mathbf { \textit { D } } _ { 2,2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } _ { 2, n2 } $. Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области $\mathbf { \textit { D } } $: $D=\left( { \bigcup\limits_ { i_1 =1 } ^ { n_1 } { D_ { 1,i_1 } } }\right)\cup \left( { \bigcup\limits_ { i_2 =1 } ^ { n_2 } { D_ { 2,i_2 } } }\right)$ на $\mathbf { \textit { n } } _ { 1 } +\mathbf { \textit { n } } _ { 2 } $ подобластей. Интегральная сумма по области $\mathbf { \textit { D } } $ равна сумме сумм по областям $\mathbf { \textit { D } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { D } } _ { 2 } $: $\sum\limits_ { i=1 } ^ { n_1 +n_2 } { f(P_i )\cdot s(D_i ) } =\sum\limits_ { i_1 =1 } ^ { n_1 } { f(P_ { i_1 } )\cdot s(D_ { i_1 } ) } +\sum\limits_ { i_2 =1 } ^ { n_2 } { f(P_ { i_2 } )\cdot s(D_ { i_2 } ) } $. Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при $d=\mathop { \max } \limits_ { i=1,2,\ldots ,n;\;j=1,2 } diam(D_ { i_j } )\to 0$, получим требуемое равенство.
Интеграл от единичной функции по области
$\mathbf { \textit { D } } $ равен площади этой области: $\iint\limits_D { ds } =s(D)\textbf { . } $
Док-во:
Для любого разбиения $\sum\limits_ { i=1 } ^n { s(D_i ) } =s(D)$, т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек $\mathbf { \textit { P } } _ { i } $. Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому $\iint\limits_D { ds } =\mathop { \lim } \limits_ { d\to 0 } \sum\limits_ { i=1 } ^n { s(D_i ) } =s(D)$.
Интегрирование неравенств
Если в любой точке $P\in D$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, и функции $\mathbf { \textit { f(P } } )$, $\mathbf { \textit { g } } (\mathbf { \textit { P } } )$ интегрируемы по области $\mathbf { \textit { D } } $, то $\iint\limits_D { f(P)ds } \leqslant \iint\limits_D { g(P)ds } $.
Док-во:
В любой точке $P_i \in D$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, поэтому $\sum\limits_ { i=1 } ^n { f(P_i )s(D_i ) } \leqslant \sum\limits_ { i=1 } ^n { f(P_i )s(D_i ) } $. По теореме о переходе к пределу в неравенствах отсюда следует требуемое утверждение.
Теоремы об оценке интеграла
Если функция $\mathbf { \textit { f(P } } )$ интегрируема по области $\mathbf { \textit { D } } $ и для $\forall P\in D$ выполняется $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits_D { f(P)ds } \leqslant M\cdot s(D)$.
Док-во:
$m\leqslant f(P)\leqslant M \quad \mathop \Rightarrow \limits^ { ссылки-еще-нет } \quad \sum\limits_ { i=1 } ^n { m\cdot s(D_i ) } \leqslant \sum\limits_ { i=1 } ^n { f(P_i )s(D_i ) } \leqslant \sum\limits_ { i=1 } ^n { M\cdot s(D_i ) } \mathop \Rightarrow \limits^ { ссылки-еще-нет } \\ \quad \mathop \Rightarrow \limits^ { ссылки-еще-нет } m\sum\limits_ { i=1 } ^n { s(D_i ) } \leqslant \sum\limits_ { i=1 } ^n { f(P_i )s(D_i ) } \leqslant M\sum\limits_ { i=1 } ^n { s(D_i ) } \mathop \Rightarrow \limits^ { ссылки-еще-нет } m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits_D { f(P)ds } \leqslant M\cdot s(D)$
Цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств.
Если функция $\mathbf { \textit { f(P } } )$ интегрируема по области $\mathbf { \textit { D } } $, то $\left| { \iint\limits_D { f(P)ds } }\right|\leqslant \iint\limits_D { \vert f(P)\vert ds } $.
Док-во:
Эти неравенства непосредственно следуют из того, что $-\vert f(P)\vert \leqslant f(P)\leqslant \vert f(P)\vert $ и свойства Интегрирование неравенств
Теорема о среднем
Если функция $\mathbf { \textit { f(P } } )$ непрерывна на области $\mathbf { \textit { D } } $, то существует точка $P_0 \in D$, такая что $\iint\limits_D { f(P)ds } =f(P_0 )\cdot s(D)$.
Док-во:
Непрерывная на ограниченной замкнутой области $\mathbf { \textit { D } } $ функция $\mathbf { \textit { f(P } } )$ принимает в некоторых точках этой области своё минимальное $\mathbf { \textit { m } } $ и максимальное $\mathbf { \textit { M } } $ значения. Так как $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits_D { f(P)ds } \leqslant M\cdot s(D)$, или $m\leqslant \frac { 1 } { s(D) } \iint\limits_D { f(P)ds } \leqslant M$. Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между $\mathbf { \textit { m } } $ и $\mathbf { \textit { M } } $, в частности, значение
$\frac { 1 } { s(D) } \iint\limits_D { f(P)ds } \leqslant M$. Следовательно, $\exists P_0 \in D\vert \;f(P_0 )=\frac { 1 } { s(D) } \iint\limits_D { f(P)ds } $, откуда и следует доказываемое утверждение.
3dstroyproekt.ru
Лекции кратные интегралы, двойной интеграл
Скачать с Depositfiles
Лекции 5-6
Тема2. Кратные интегралы.
Двойной интеграл.
Контрольные вопросы.
1. Двойной интеграл, его геометрический и физический смысл
2. Свойства двойного интеграла.
3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
4. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Замечание. Ниже будем считать все рассматриваемые кривые кусочно-гладкими. Диаметром замкнутой ограниченной области будем называть наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области
Пусть функция z = f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости. Разобьём область D произвольным образом на n
элементарных замкнутых областей 1, … ,n, имеющих площади 1, …, n и диаметры d1 , …, dnсоответственно. Обозначим d наибольший из диаметров областей 1, … ,n . В каждой области k выберем произвольную точку Pk (xk ,yk) и составим интегральную сумму функции f(x,y)
S = 
(1)
Определение. Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел интегральной суммы
, (2)
если он существует.
Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pk (k=1, …, n). Однако, предел 
, если он существует, не зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pk .
Достаточное условие существования двойного интеграла. Двойной интеграл (1) существует, если функция f(x,y) непрерывна в D за исключением конечного числа кусочно-гладких кривых и ограничена в D. В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы существуют.
Геометрический смысл двойного интеграла.
Если f(x,y) ≥0 в области D, то двойной интеграл (1) равен объему «цилиндрического” тела, изображенного на рисунке:
V = 
(3)
Цилиндрическое тело ограничено снизу областью D, сверху частью поверхности z=f(x,y), с боков вертикальными отрезками прямых, соединяющих границы этой поверхности и области D.
Физический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластины.
Пусть задана плоская пластина D с известной функцией плотности γ(х,у), тогда разбивая пластину D на части Di и выбирая произвольные точки , получим для массы пластины 
, или, сравнивая с формулой (2):
(4)
4. Некоторые свойства двойного интеграла.
Линейность. Если С – числовая константа, то
,
Аддитивность. Если область D «разбита” на области D1 и D2, то
.
3) Площадь ограниченной области D равна
(5)
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть задана область
Рисунок 1
D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y≤ φ2(x)} (6)
Область D заключена в полосе между прямыми x = a, y = b, снизу и сверху ограничена соответственно кривыми y = φ1(x) и y = φ2(x) .
Двойной интеграл (1) по области D (4) вычисляется переходом к повторному интегралу:
(7)
Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутренний интеграл
по переменной y, при этом x считается постоянной. В результате получится функция от переменной x, а затем вычисляется «внешний” интеграл от этой функции по переменной x.
Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (7) часто называют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов интегрирования нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть константами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внешнего интеграла.
Пусть теперь область D имеет вид
D = { (x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y) } . (8)
Тогда
. (9)
Предположим, что область D можно представить в виде (6) и (8) одновременно. Тогда имеет место равенство
(10)
Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (10) называется изменением порядка интегрирования в двойном интеграле.
Примеры.
1) Изменить порядок интегрирования в интеграле
Решение. По виду повторного интеграла находим область
D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y≤ 2} .
Изобразим область D. По рисунку видим, что эта область расположена в горизонтальной полосе между прямыми y=0, y=2 и между линиями x =0и x = y 2. Это значит, что
D = {(x, y): 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x≤ y/2} .
Тогда по формуле (10) получаем
2)Вычислить интеграл где D область из примера 1.
Решение. Расставим пределы интегрирования в интеграле подобно примеру 1:
Вычислим внутренний интеграл по переменной y, считая x константой:
Теперь вычислим внешний интеграл по x:
Замена переменных в двойном интеграле.
Иногда для упрощения вычислений делают замену переменных:
, (11)
Если функции (11) непрерывно дифференцируемы и определитель (Якобиан) отличен от нуля в рассматриваемой области:
(12)
то: (13)
greleon.ru