12.2: Линейные уравнения — Статистика LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 797
- OpenStax
- OpenStax
Линейная регрессия для двух переменных основана на линейном уравнении с одной независимой переменной. Уравнение имеет вид:
\[y = a + b\text{x}\номер \]
, где \(a\) и \(b\) — постоянные числа. Переменная \(x\) является независимой переменной , и \(y\) является зависимой переменной . Обычно вы выбираете значение для замены независимой переменной, а затем вычисляете зависимую переменную.
Пример \(\PageIndex{1}\)
Следующие примеры представляют собой линейные уравнения.
\[y = 3 + 2\text{x}\nonumber \]
\[y = -0,01 + 1,2\text{x}\nonumber \]
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Является ли следующий пример линейным уравнением?
\[y = -0,125 — 3,5\text{x}\номер \]
- Ответ
да
График линейного уравнения вида \(y = a + b\text{x}\) представляет собой прямую . Любая линия, которая не является вертикальной, может быть описана этим уравнением.
Пример \(\PageIndex{2}\)
Нарисуйте уравнение \(y = -1 + 2\text{x}\).
Рисунок \(\PageIndex{1}\).Упражнение \(\PageIndex{2}\)
Является ли следующий пример линейным уравнением? Почему или почему нет?
Рисунок \(\PageIndex{2}\).- Ответить
Нет, график не прямой; следовательно, это не линейное уравнение.
Пример \(\PageIndex{3}\)
Служба обработки текстов Аарона (AWPS) выполняет обработку текстов.
Найдите уравнение, которое выражает общую стоимость через количество часов , необходимых для выполнения работы.
Ответ
Пусть \(x =\) количество часов, которое требуется для выполнения работы.
Пусть \(y =\) общая стоимость клиента.
$31,50 — это фиксированная стоимость. Если выполнение задания занимает \(x\) часов, то \((32)(x)\) — это стоимость только обработки текста. Общая стоимость: \(y = 31,50 + 32\text{x}\)
Упражнение \(\PageIndex{3}\)
Emma’s Extreme Sports нанимает инструкторов по дельтапланеризму и платит им вознаграждение в размере 50 долларов США за занятие, а также 20 долларов США за каждого ученика в классе. Общая стоимость, которую платит Эмма, зависит от количества учеников в классе.
- Ответить
\(у = 50 + 20\текст{х}\)
Наклон и Y-пересечение линейного уравнения
Для линейного уравнения \(y = a + b\text{x}\), \(b =\) наклона и \(a = y\)-отрезка. Из алгебры напомним, что наклон — это число, описывающее крутизну линии, а \(у\)-отрезок — это \(у\) координата точки \((0, а)\), где линия пересекает \(y\)-ось.
Рисунок \(\PageIndex{3}\):. Три возможных графика \(y = a + b\text{x}\) (a) Если \(b > 0\), линия наклонена вверх вправо. (b) Если \(b = 0\), линия горизонтальна. (c) Если \(b < 0\), линия наклонена вниз вправо.Пример \(\PageIndex{4}\)
Светлана с репетиторами подрабатывает в колледже. За каждое занятие она взимает единовременную плату в размере 25 долларов плюс 15 долларов за час занятий. Линейное уравнение, выражающее общую сумму денег, которую Светлана зарабатывает за каждую сессию, которую она ведет, имеет вид \(y = 25 + 15\text{x}\).
Что такое независимые и зависимые переменные? Что такое \(y\)-отрезок и каков наклон? Интерпретируйте их, используя полные предложения.
Ответить
Независимая переменная (\(x\)) — это количество часов, в течение которых Светлана занимается с репетиторами на каждом занятии. Зависимая переменная (\(y\)) — это сумма в долларах, которую Светлана зарабатывает за каждую сессию.
Пересечение \(y\) равно 25 (\(a = 25\)). В начале занятия Светлана взимает единовременную плату в размере 25 долларов США (это когда \(x = 0\)). Наклон равен 15 (\(b = 15\)). За каждое занятие Светлана зарабатывает 15 долларов за каждый час репетиторства.
Упражнение \(\PageIndex{4}\)
Итан ремонтирует бытовую технику, такую как посудомоечные машины и холодильники. За каждое посещение он берет 25 долларов плюс 20 долларов за час работы. Линейное уравнение, выражающее общую сумму денег, которую Итан зарабатывает за одно посещение, имеет вид \(y = 25 + 20\text{x}\).
Что такое независимые и зависимые переменные? Что такое \(y\)-отрезок и каков наклон? Интерпретируйте их, используя полные предложения.
- Ответить
Независимая переменная (\(x\)) — это количество часов работы Итана за каждое посещение. Зависимая переменная (\(y\)) — это сумма в долларах, которую Итан зарабатывает за каждое посещение.
y -отрезок равен 25 (\(a = 25\)). В начале визита Итан взимает единовременную плату в размере 25 долларов (это когда \(x = 0\)). Наклон равен 20 (\(b = 20\)). За каждое посещение Итан зарабатывает 20 долларов за каждый час работы.
Резюме
Самый простой тип ассоциации — это линейная ассоциация. Этот тип взаимосвязи может быть определен алгебраически с помощью используемых уравнений, численно с фактическими или прогнозируемыми значениями данных или графически с помощью построенной кривой. (Линии классифицируются как прямые кривые.
) Алгебраически линейное уравнение обычно принимает вид \(y = mx + b\), где \(m\) и \(b\) — константы, \(x\) — независимая переменная, \(y\) — зависимая переменная. В статистическом контексте линейное уравнение записывается в виде \(y = a + bx\), где \(a\) и \(b\) — константы. Эта форма используется, чтобы помочь читателям отличить статистический контекст от алгебраического контекста. В уравнении \(y = a + b\text{x}\) константа b, на которую умножается переменная \(x\) (\(b\) называется коэффициентом), называется склон . Константа а называется \(у\)-перехватом.
Наклон линии — это значение, которое описывает скорость изменения между независимыми и зависимыми переменными. Наклон говорит нам, как зависимая переменная (\(y\)) изменяется в среднем на каждую единицу увеличения независимой (\(x\)) переменной. \(y\) -intercept используется для описания зависимой переменной, когда независимая переменная равна нулю.
Обзор формулы
\(y = a + b\text{x}\), где a — точка пересечения \(y\), а \(b\) — наклон. Переменная \(x\) является независимой переменной, а \(y\) является зависимой переменной.
Эта страница под названием 12.2: Linear Equations распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- ОпенСтакс
- Лицензия
- СС BY
- Версия лицензии
- 4,0
- Программа OER или Publisher
- ОпенСтакс
- Показать оглавление
- нет
- Теги
- линейные уравнения
- склон
- источник@https://openstax.
org/details/books/introductory-statistics - y-перехват
org/details/books/introductory-statisticsАлгебра — линейные уравнения
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Алгебра
/
Решение уравнений и неравенств
/ Линейные уравнения
Уведомление для мобильных устройств
Похоже, вы используете устройство с «узким» экраном ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 2.2: Линейные уравнения
Мы начнем часть этой главы с решения линейных уравнений. Линейное уравнение — это любое уравнение, которое можно записать в виде
. \[ах + б = 0\]где \(a\) и \(b\) — действительные числа, а \(x\) — переменная. Эту форму иногда называют стандартной формой линейного уравнения. Обратите внимание, что большинство линейных уравнений не будут начинаться с этой формы. Кроме того, переменная может быть или не быть \(x\), так что не зацикливайтесь на том, чтобы всегда видеть там \(x\).
Для решения линейных уравнений мы широко используем следующие факты.
- Если \(a = b\), то \(a + c = b + c\) для любого \(c\). Все это говорит о том, что мы можем добавить число \(c\) к обеим частям уравнения и не изменить уравнение.
- Если \(a = b\), то \(a — c = b — c\) для любого \(c\). Как и в случае с последним свойством, мы можем вычесть число \(c\) из обеих частей уравнения.
- Если \(a = b\), то \(ac = bc\) для любого \(c\). Подобно сложению и вычитанию, мы можем умножать обе части уравнения на число \(c\), не изменяя уравнения.
- Если \(a = b\), то \(\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{b}{c}\) для любого ненулевого \(c\). Мы можем разделить обе части уравнения на ненулевое число \(c\), не меняя уравнения.
Эти факты составляют основу почти всех методов решения, которые мы рассмотрим в этой главе, поэтому очень важно, чтобы вы их знали и не забывали о них. Один из способов представить эти правила следующий. То, что мы делаем с одной частью уравнения, мы должны делать и с другой частью уравнения. Если вы помните об этом, вы всегда будете правильно понимать эти факты.
В этом разделе мы будем решать линейные уравнения, и есть хороший простой процесс решения линейных уравнений. Давайте сначала подведем итоги процесса, а затем поработаем с некоторыми примерами.
Процесс решения линейных уравнений
- Если уравнение содержит какие-либо дроби, используйте наименьший общий знаменатель, чтобы очистить дроби. Мы сделаем это, умножив обе части уравнения на LCD. Также, если в знаменателях дробей есть переменные, определите значения переменной, которые дадут деление на ноль, так как нам нужно будет избегать этих значений в нашем решении.
- Упростите обе части уравнения. Это означает удаление любых скобок и объединение одинаковых терминов.
- Используйте первые два приведенных выше факта, чтобы получить все члены с переменной в них с одной стороны уравнений (конечно, объединяя их в один член) и все константы с другой стороны.
- Если коэффициент переменной не равен единице, используйте третий или четвертый факт выше (это будет зависеть только от числа), чтобы сделать коэффициент равным единице.
Обратите внимание, что мы обычно просто делим обе части уравнения на коэффициент, если это целое число, или умножаем обе части уравнения на обратную величину коэффициента, если это дробь.
- ПОДТВЕРДИТЕ ОТВЕТ!
Также, если в задаче были дроби и были значения переменной, дающие деление на ноль (вспомним первый шаг…) важно убедиться, что ни одно из этих значений не попало в набор решений. Как мы увидим в примере, эти значения могут отображаться в наборе решений. 92} — 6у + 9}}\)
- \(\displaystyle \frac{{2z}}{{z + 3}} = \frac{3}{{z — 10}} + 2\)
Мы сделаем это, умножив обе части уравнения на LCD. Также, если в знаменателях дробей есть переменные, определите значения переменной, которые дадут деление на ноль, так как нам нужно будет избегать этих значений в нашем решении.
С помощью этого шага вы можете узнать, дали ли вы правильный ответ, задолго до того, как ваш инструктор увидит его. Мы проверяем ответ, подставляя результаты предыдущих шагов в оригинальное уравнение . Очень важно подключиться к исходному уравнению, так как вы могли допустить ошибку на самом первом шаге, которая привела к неправильному ответу.В следующих задачах мы подробно опишем первую задачу и опустим большую часть объяснения следующих задач.
a \(3\left( {x + 5} \right) = 2\left( { — 6 — x} \right) — 2x\) Показать решение В этой задаче нет дробей, поэтому нам не нужно беспокоиться о первом шаге процесса.
Следующий шаг говорит об упрощении обеих сторон. Итак, мы удалим все скобки, умножив числа, а затем объединив одинаковые термины.
Следующим шагом будет получение всех \(x\) на одной стороне и всех чисел на другой стороне. На чьей стороне будут \(x\), зависит от вас и, вероятно, зависит от проблемы. Как правило, мы обычно помещаем переменные на ту сторону, которая дает положительный коэффициент. Это делается просто потому, что часто легко потерять знак минус на коэффициенте, и поэтому, если мы убедимся, что он положительный, нам не нужно об этом беспокоиться.
Итак, для нашего случая это будет означать добавление 4\(x\) к обеим сторонам и вычитание 15 с обеих сторон. Заметьте также, что, хотя мы фактически помещаем эти операции в это время, мы обычно делаем эти операции в нашей голове.
Следующим шагом является получение коэффициента 1 перед \(x\). В этом случае мы можем сделать это, разделив обе части на 7.
\[\begin{align*}\frac{{7x}}{7} &= \frac{{ — 27}}{7}\\ x & = — \frac{{27}}{7}\end{ выровнять*}\]Теперь, если мы выполнили всю нашу работу правильно, \(x = — \frac{{27}}{7}\) является решением уравнения.
Последним и последним шагом является проверка решения. Как указано в схеме процесса, нам нужно проверить решение в исходном уравнении . Это важно, потому что мы могли допустить ошибку на самом первом шаге, и если мы это сделали, а затем проверили ответ в результатах этого шага, может показаться, что решение верное, тогда как на самом деле мы этого не сделали.
У нас нет правильного ответа из-за ошибки, которую мы изначально сделали. 9? 2\left( { — \frac{{15}}{7}} \right) + \frac{{54}}{7}\\ \frac{{24}}{7} & = \frac{{24 }}{7}\hspace{0,5 дюйма}{\mbox{OK}}\end{align*}\]
Итак, мы сделали свою работу правильно и решение уравнения
\[x = — \frac{{27}}{7}\]Обратите внимание, что здесь мы не использовали обозначение набора решений. Для одиночных решений мы редко будем делать это в этом классе. Однако, если бы мы хотели, чтобы набор решений имел обозначение для этой задачи,
\[\left\{ { — \frac{{27}}{7}} \right\}\] Прежде чем перейти к следующей задаче, давайте сначала сделаем небольшой комментарий о «беспорядочности» этого ответа. НЕ ждите, что все ответы будут хорошими простыми целыми числами. Хотя мы стараемся, чтобы большинство ответов были простыми, часто они не будут такими, поэтому НЕ зацикливайтесь на идее, что ответ должен быть простым целым числом, что вы сразу предполагаете, что сделали ошибку из-за «беспорядок» ответ.
Хорошо, с этим мы не будем вдаваться в проблему так много объяснений.
В этом случае у нас есть дроби, поэтому, чтобы упростить нашу жизнь, мы умножим обе части на LCD, что в данном случае равно 21. После этого проблема будет очень похожа на предыдущую. Также обратите внимание, что знаменатели — это только числа, поэтому нам не нужно беспокоиться о делении на ноль.
Давайте сначала умножим обе стороны на LCD.
\[\begin{align*}21\left( {\frac{{m — 2}}{3} + 1} \right) & = \left({\frac{{2m}}{7}} \right ) 21 \\ 21 \ влево ( {\ гидроразрыва {{м — 2}} {3}} \ вправо) + 21 \ влево ( 1 \ вправо) & = \ влево ( {\ гидроразрыва {{2m}} {7} } \right)21\\ 7\left( {m — 2} \right) + 21 & = \left( {2m} \right)\left( 3 \right)\end{align*}\] Будьте внимательны, чтобы правильно распределить число 21 через круглые скобки с левой стороны.
Все, что находится внутри скобок, нужно умножить на 21, прежде чем мы упростим. На данный момент у нас есть проблема, похожая на предыдущую, и на этот раз мы не будем утруждать себя всеми объяснениями. 92} — 6\влево( 5 \вправо) + 9}}\\ \frac{5}{4} & = \frac{5}{4}\hspace{0,5 дюйма}{\mbox{OK}}\end {выровнять*}\]
В этом случае ЖК-дисплей выглядит как \(\left( {z + 3} \right)\left( {z — 10} \right)\), и нам также нужно избегать \(z = — 3\) и \(z = 10\), чтобы убедиться, что мы не получили деление на ноль.
Давайте начнем работу над этой задачей. 92} — 7z — 30} \right)\end{align*}\]
На этом месте давайте остановимся и признаем, что у нас есть z 2 в работе. Не волнуйтесь по этому поводу. Иногда они временно проявляются в этих проблемах. Вы должны беспокоиться об этом только в том случае, если он все еще там после того, как мы закончим работу по упрощению.
2} + 5x + 6}}\) 92} + 5x + 6}}\) Показать решение
Первым шагом является факторизация знаменателей, чтобы получить ЖК-дисплей.
\[\ frac{2}{{x + 2}} = \ frac{{ — x}}{{\left( {x + 2} \right)\left({x + 3} \right)}}\ ]Итак, LCD — это \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\), и нам нужно будет избегать \(x = — 2\) и \( x = — 3\), поэтому мы не получаем деление на ноль.
Вот работа над этой задачей.
\[\ begin{align*}\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\ frac {2}{{x + 2}}} \right) & = \ влево ( {\ гидроразрыва {{ — х}} {\ влево ( {х + 2} \ вправо) \ влево ( {х + 3} \ вправо)}}} \ вправо) \ влево ( {х + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ 2\left( {x + 3} \right) & = — x\\ 2x + 6 & = — x\\ 3x & = — 6 \\ х & = — 2\конец{выравнивание*}\] Итак, мы получаем «решение», которое находится в списке чисел, которых нам нужно избегать, чтобы мы не получили деление на ноль и поэтому мы не могли использовать его в качестве решения.
Однако это также единственно возможное решение. Это нормально. Это просто означает, что это уравнение не имеет решения .
LCD для этого уравнения равен \(x + 1\), и нам нужно будет избегать \(x = — 1\), чтобы не получить деление на ноль. Вот работа для этого уравнения.
\[\begin{align*}\left( {\frac{2}{{x + 1}}} \right)\left({x + 1} \right) & = \left({4 — \frac{ {2x}}{{x + 1}}} \right)\left( {x + 1} \right)\\ 2 & = 4\left( {x + 1} \right) — 2x\\ 2 & = 4x + 4 — 2x\\ 2 & = 2x + 4\\ — 2 & = 2x\\ — 1 & = x\end{align*}\]Итак, мы снова приходим к единственному значению \(x\), которого нам нужно было избежать, чтобы не получить деление на ноль. Следовательно, это уравнение имеет нет решения .
Итак, как мы видели, нам нужно быть осторожными с проблемами деления на ноль, когда мы начинаем с уравнений, содержащих рациональные выражения.