Если определитель равен то определитель равен нулю то: Линейная алгебра

Глава 4. Свойства определителей

Глава 4. Свойства определителей

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю.

Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой — вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, ,

, .

Текст издания:	© Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:	© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

Теорема о свойствах определителя » ProcMem.Ru Линейная Алгебра

Воскресенье, 12 июля 2009 г.
Рубрика: Перестановки. Определитель
Просмотров: 27621
Подписаться на комментарии по RSS

Определение. Два столбца определителя называются пропорциональными, если один из них можно получить из другого умножением на ненулевой скаляр:

,

где .

Аналогично определяется понятие пропорциональных строк.

Определение. Пусть  – столбцы определителя (матрицы). Линейной комбинацией столбцов называется столбец равный

,

где – произвольные скаляры.

Аналогично определяется понятие пропорциональных строк и понятие линейной комбинации строк.

Теорема. (Свойства определителя.)

1. Определитель, имеющий нулевой столбец (нулевую строку) равен нулю.

2. Определитель меняет знак при любой транспозиции его столбцов (строк).

3. Определитель, имеющий два равных столбца (две равные строки), равен нулю.

4. Определитель, имеющий два пропорциональных столбца (строки), равен нулю.

5. Определитель не меняет своего значения, если к какому-либо его столбцу (строке) прибавить любую линейную комбинацию других его столбцов (строк).

Доказательство. В силу равноправности строк и столбцов любое свойство достаточно доказать или для строк или для столбцов.

1) Пусть определитель имеет нулевой столбец. Каждый член определителя имеет точно один множитель из нулевого столбца и поэтому равен нулю. Следовательно, и определитель равен нулю.

2) Докажем это свойство для строк.

Пусть в определителе

переставили местами i-ю и k-ю строки:

,

где

.

Мы видим, что в начальной перестановке строк

(1, …, i-1, i, i+1, …, k-1, k, k+1, …, n)

произошла транспозиция (i k):

(1, …, i-1, k, i+1, …, k-1, i, k+1, …, n).

Первоначальная перестановка является четной, а после транспозиции (i k) перестановка получается нечетной.

Следовательно,

.

Таким образом, при такой перестановке строк каждый член определителя меняет свой знак на противоположный, откуда и следует первое утверждение теоремы.

3) Пусть определитель имеет два равных строки.

Переставим их друг с другом. С одной стороны, определитель изменил свой знак на противоположный, а с другой стороны матрица осталась прежней, в силу равенства переставляемых строк, откуда следует, что

.

Если в поле K верно неравенство , т.е. характеристика поля не равна 2, тогда получаем:

и утверждение доказано.

Пусть в определителе равны строки с номерами i и k, , и пусть характеристика поля равна 2, т.е. , тогда  и все члены определителя имеют одинаковый знак.

Каждый член определителя содержит ровно один элемент из i-й строки, например,  и ровно один элемент из k-й строки, например, , причем, . Переставим в члене определителя

эти сомножители друг с другом:

Так как  и , то последний член определителя равен

Таким образом, получаем, что, с одной стороны, член определителя не изменится (от перестановки множителей произведение не меняется), а с другой стороны это другой член определителя, т.к. элементы из i-й и k-й строк взяты из других столбцов.

Получается, что каждый член определителя встречается в алгебраической сумме дважды. Но в поле характеристики 2 сумма двух одинаковых слагаемых равна нулю:

.

Тем самым и определитель равен нулю, ч.т.д.

4) Пусть в определителе пропорциональны столбцы с номерами j и k. Это означает, что  для некоторого скаляра . Тогда по уже доказанным свойствам

, ч.т.д.

5) Для простоты записи, допустим, что к первому столбцу определителя мы прибавили линейную комбинацию других столбцов этого же определителя. Используя доказанные свойства, получаем:

.

Теорема доказана.

Определение. Пусть дана система столбцов (строк) . Линейной комбинацией данной системы называется выражение

,

где  скаляры из поля K, которые называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение. Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует их линейная комбинация равная нулевому столбцу (нулевой строке), причем хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен 0:

.

В противном случае данная система столбцов (строк) называется линейно независимой.

Теорема. Если система столбцов (строк) определителя линейно зависимая, тогда определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть система линейно зависимая и

,

где . Пусть,  для определенности, . Тогда

,

где , . Отсюда получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Если определитель не равен нулю, то система его столбцов (строк) является линейно независимой.

линейная алгебра — определитель равен нулю

спросил

12 лет, 1 месяц назад

Изменено 12 лет, 1 месяц назад

Просмотрено 5к раз

$\begingroup$

Я хочу продемонстрировать следующую теорему:

Исходный вопрос: Если квадратная матрица порядка $n\gt 1$ имеет строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией параллельных ей строк (столбцов), то определитель этой матрицы равен нулю.

Собственно вопрос: Если определитель квадратной матрицы порядка $n\gt 1$ равен нулю, то эта матрица имеет некоторую строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией параллельных ей строк (столбцов).

• линейная алгебра

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Если вы знаете, что определитель полилинейный (линейный в каждой строке/линейный в каждом столбце), то выразите определитель как сумму определителей матриц, которые имеют повторяющиеся строки/столбцы. Затем покажите, что определитель матрицы с двумя одинаковыми строками/столбцами всегда равен нулю.

Если вы делаете , а не , знаете, что определитель является полилинейным в строках/столбцах, и вы знаете определение в терминах сумм произведений по всем перестановкам, то тот же аргумент работает, чтобы показать, что определитель является суммой определителей матриц с повторяющимися строками/столбцами.

Если ваше единственное определение определителя дано индуктивно (по младшим), то докажите его по индукции, разложив по строке или столбцу, который не является линейной комбинацией других строк/столбцов.

Редактировать: Вы отредактировали свой вопрос, и теперь вопрос является точной конверсией того, что вы изначально разместили. Это немного дурной тон, поскольку любые уже опубликованные ответы автоматически будут выглядеть совершенно ошибочными. В будущем рассмотрите возможность редактирования до добавить новый вопрос к старому, указав, что это редактирование или дополнение.

Итак, теперь вы хотите показать, что если определитель равен нулю, то строка/столбец является линейной комбинацией других строк/столбцов. Глядя на транспозицию, при необходимости достаточно рассмотреть случай строк. Обратите внимание, что применение операций с элементарными строками не меняет того, равен ли определитель нулю или не равен нулю (элементарная операция со строками либо умножает определитель на ненулевую константу, либо не меняет определитель). Таким образом, определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда определитель ее ступенчато-строчной формы равен нулю; определитель строчно-ступенчатой ​​формы равен нулю тогда и только тогда, когда имеется ряд нулей.

Отслеживание элементарных операций над строками будет выражать исходную строку как линейную комбинацию других строк. 9n$ и T будут включены. Таким образом, один из столбцов должен быть линейной комбинацией других.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Свойства определителей матриц

Улучшить статью

Сохранить статью

• Уровень сложности: Hard
• Последнее обновление: 30 мая, 2019

Читать

Обсудить

Практика

Видео

Курсы

Улучшить статью

Сохранить статью

Определитель матрицы — это скалярное свойство этой матрицы. Определитель — это специальное число, которое определено только для квадратных матриц (множественное число для матрицы). Квадратная матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов.

Определитель используется, чтобы узнать, можно ли инвертировать матрицу, он полезен при анализе и решении одновременных линейных уравнений (правило Крамера), используется в исчислении, используется для нахождения площади треугольников (если заданы координаты) и т. д. . Определитель матрицы A обозначается через |A| или det(A) .

Свойства определителей матриц:

1. Определитель, оцениваемый по любой строке или столбцу, одинаков.
2. Если все элементы строки (или столбца) равны нулю, то значение определителя равно нулю.
3. Определитель единичной матрицы () равен 1 .
4. Если поменять местами строки и столбцы, то значение определителя останется прежним (значение не изменится). Следовательно, det(A) = det() , здесь транспонирование матрицы A.
5. Если поменять местами любые две строки (или два столбца) определителя, значение определителя умножается на -1 .
6. Если все элементы строки (или столбца) определителя умножить на некоторое скалярное число k, значение нового определителя будет в k раз больше заданного определителя. Следовательно, если A — квадратная матрица с n строками, а K — любой скаляр. Затем |КА| = |А| .
7. Если две строки (или столбца) определителя совпадают, значение определителя равно нулю.
8. Пусть A и B — две матрицы, тогда det(AB) = det(A)*det(B) .
9. Если A — матрица, то || = .
10. Определитель обратной матрицы можно определить как || = .
11. Определитель диагональной матрицы, треугольной матрицы (верхней треугольной или нижней треугольной матрицы) является произведением элемента главной диагонали.
12. В определителе каждый элемент в любой строке (или столбце) состоит из суммы двух членов, тогда определитель можно представить в виде суммы двух определителей одного порядка. Например,

    
    

13. Если B получается добавлением c раз строки A к другой строке, то .
14. Тогда пусть A будет матрицей,
    |adj(A)| =
    |прил(прил(А))| = ,
    Здесь adj(A) является присоединенным к матрице A.
15. Если значение определителя становится равным нулю при подстановке x = , то x- является множителем .
16. Здесь cij обозначает кофактор элементов aij в .

    No related posts.