Мерзляк 6 класс — § 3. Признаки делимости на 9 и на 3
- Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк
- Переход на главную страницу сайта
Вопросы к параграфу
1. Как узнать, делится ли число нацело на 9?
Надо посчитать сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.
Например:
- В числе 387 сумма цифр равна 3 + 8 + 7 = 18 — делиться на 9. Значит и само число должно делиться на 9. Действительно, 387 : 9 = 43 — число делится на 9 нацело.
- В числе 115 сумма цифр равна 1 + 1 + 5 = 7 — не делится на 9. Значит и само число не должно делиться на 9. Действительно, 115 : 9 = 12 (ост. 7).
2. Как по записи натурального числа определить, кратно оно 3 или нет?
Надо посчитать сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.
Например:
- В числе 285 сумма цифр равна 2 + 8 + 5 = 15 — делиться на 3.
- В числе 460 сумма цифр равна 4 + 6 + 0 = 10 — не делится на 3. Значит и само число не должно делиться на 3. Действительно, 460 : 3 = 153 (ост. 1).
Решаем устно
1. Буквой n обозначили некоторое чётное число. Чётным или нечётным является число:
- n + 1 — нечётное число
- n + 2 — чётное число
2. Какой цифрой оканчивается произведение:
1) 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 — цифрой 0, так как в произведении есть множители 2 и 5, которые дают произведению 0 на конце.
2) 1 • 3 • 5 • 7 • 9 • 11 • 13 — цифрой 5, так как в произведении есть цифра 5, но нет цифры 2. Значит произведение будет кратно 5, но не кратно 10.
3. Какие из чисел 184, 162, 243, 145, 210, 144, 153, 105, 230, 201 делятся нацело:
1) на 2
184, 162, 210, 144, 230 — все чётные числа.
2) на 5
145, 210, 105, 230 — все числа, оканчивающиеся на 5 или на 0.
3) на 10
210, 230 — все числа, оканчивающиеся на 0.
4) на 3
162, 243, 210, 144, 153, 105, 201 — все числа, сумма цифр которых делится на 3.
5) на 9
162, 243, 144, 153 — все числа, сумма цифр которых делится на 9.
4. Какое из чисел 2 045, 4 750, 7 254, 6 225 делится нацело на 3, но не делится на 2?
6 225 — так как это нечётное число, сума цифр которого делится на 3.
5. Какую из цифр 5, 8, 2, 1 надо поставить вместо звёздочки, чтобы число 5 6*5 было кратным 9?
- 5 + 6 + 5 = 16
- Ближайшее кратное 9 число, большее 16 — это 18.
- Значит нам не хватает цифры 2 (18 — 2 = 16).
Ответ: 5 625.
6. Сколько существует двузначных чисел, кратных числу:
1) 5
Это все двузначные числа, оканчивающиеся на 0 или на 5:
- 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 — всего 18 чисел.
2) 9
Это все двузначные числа, сумма цифр которых делится на 9:
- 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 — всего 10 чисел.
Упражнения
73. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «—» в ином случае).
74. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «—» » ином случае).
75. Из чисел 8 937, 6 585, 37 828, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 выпишите те, которые делятся нацело:
1) на 38 937, 6 585, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 — так как сумма их цифр делится на 3.
2) на 9
8 937 — так как сумма цифр этого числа делится на 9.
3) на 3 и на 2
44 292, 9 462, 23 646 — так как это чётные числа и сумма их цифр делится на 3.
76. Из чисел 7 826, 1 215, 4 075, 2 880, 3 921, 9 319, 6 072, 8 142 выпишите те, которые делятся нацело:
1) на 3
1 215, 2 880, 3 921, 6 072, 8 142 — так как сумма цифр этих чисел делится на 3.
2) на 9
1 215, 2 880 — так как сумма цифр этих чисел делится на 9.
3) на 9 и на 5
1 215, 2 880 — так как эти числа заканчиваются на 0 или на 5, а сумма их цифр делится на 9.
77. Найдите все значения у, кратные:
1) числу 3, при которых верно неравенство 143 < у < 162
144, 147, 150, 153, 156, 159
2) числу 9, при которых верно неравенство 92 < у < 128
99, 108, 117, 126.
78. Найдите все значения m, кратные:
1) числу 3, при которых верно неравенство 324 < m < 345
327, 330, 333, 336, 339, 342.
2) числу 9, при которых верно неравенство 423 < m < 480
432, 441, 450, 459, 468, 477.
79. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):
1) 54 84*
54 840, 54 843, 54 846, 54 849.
2) 3*6 393
306 393, 336 393, 366 393, 396 393.
3) 7 9*8
7 908, 7 938, 7 968, 7 998.
80. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 9 (рассмотрите все возможные случаи):
1) 62 8*1
62 811
2) 57* 582
570 582, 579 582.
3) 7 *51
7 551
81. Запишите:
- наименьшее число, для записи которого используется только цифра 2 и которое делится нацело на 3 — 222
- наименьшее трёхзначное число, которое делится нацело на 9 — 108
82. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 6 27*. чтобы полученное число делилось нацело и на 3, и на 5?
Цифру 0, чтобы получилось число 6 270:
- сумма цифр этого числа равна 15, то есть делится на 3;
- на конце этого числа цифра 0, то есть делится на 5.
83. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 21 85*. чтобы полученное число делилось нацело на 3, но не делилось нацело на 2?
Цифру 5, чтобы получилось число 21 855:
- сумма цифр этого числа равна 21, то есть делится на 3;
- это число нечётное, то есть не делится на 2.
84. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 3 47*, чтобы полученное число делилось нацело и на 2, и па 3?
Цифру 4, чтобы получилось число 3 474:
- это чётное число, то есть делится на 2;
- сумма цифр этого числа равна 18, то есть делится на 3.
85. Запишите наименьшее:
- четырёхзначное число, кратное 3 — 1 023;
- пятизначное число, кратное 9 — 10 249;
- шестизначное число, кратное 3 и 2 — 102 354;
- четырёхзначное число, кратное 5 и 9 — 1 035.
Цифры в записи числа не могут повторяться.
86. Запишите наибольшее четырёхзначное число, которое делится нацело:
- на 2 и на 3 — 9 996;
- на 3 и на 5 — 9 990;
- на 3 и на 10 — 9 990;
- на 2 и на 9 — 9 990.
87. Какое наименьшее число надо прибавить к данному, чтобы получить число, кратное 9:
- 1 275 — число 3, так как 1 275 + 3 = 1 278 — делится на 9;
- 3 333 — число 6, так как 3 333 + 6 = 3 339 — делится на 9;
- 25 718 — число 4, так как 25 718 + 4 = 25 722 — делится на 9;
- 987 652 — число 8, так как 987 652 + 8 = 987 660 — делится на 9;
- 10 203 040 — число 8, так как 10 203 040 + 8 = 10 203 048 — делится на 9;
- 19 191 919 191 — число 3, так как 19 191 919 191 + 3 = 19 191 919 194 — делится на 9.
88. Запишите, используя по одному разу каждую из цифр 0, 1. 4, 7, наибольшее и наименьшее четырёхзначные числа, кратные 15.
- Наибольшее четырёхзначное число, состоящее из цифр 0, 1, 4, 7 и кратное 15 — 7 410, так как оно делится и на 5, и на 3.
- Наименьшее четырёхзначное число, состоящее из цифр 0, 1, 4, 7 и кратное 15 — 1 470, так как оно делится и на 5, и на 3.
89.
К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 15. Сколько решений имеет задача?
Чтобы число было кратно 15, надо чтобы оно делилось на 5 и на 3:
- на 5 делятся числа, в конце которых стоит 0 или 5;
- на 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3.
Значит подходят числа:
- 3 150, 6 150, 9 150,
- 1 155, 4 155, 7 155.
Ответ: Задача имеет 6 решений: 3 150, 6 150, 9 150, 1 155, 4 155, 7 155.
90. К числу 34 припишите слева и справа по одной цифре так. чтобы получившееся число было кратно 45. Сколько решений имеет задача?
Чтобы число было кратно 45, надо чтобы оно делилось на 5 и на 9:
- на 5 делятся числа, в конце которых стоит 0 или 5;
- на 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.
Значит подходят числа:
- 2 340
- 6 345
Ответ: Задача имеет 2 решения: 2 340, 6 345.
91.
Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число *74* делилось нацело на 18. Найдите все решения.
Чтобы число было делилось нацело на 18, надо чтобы оно делилось на 2 и на 9:
- на 2 делятся все чётные числа, то есть числа оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 и 8;
- на 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.
Значит подходят числа:
- 7 740,
- 5 742,
- 3 744,
- 1 746,
- 8 748.
Ответ: Задача имеет 5 решения: 7 740, 5 742, 3 744, 1 746, 8 748.
92. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число 3 *4* делилось нацело на 9. Найдите все решения.
- Чтобы число делилось нацело на 9, надо чтобы сумма его цифр делилась на 9.
- Мы знаем, что в числе 3 * 4* уже есть цифры 3 и 4. Сумма этих цифр равна 3 + 4 = 7.
- Значит сумма оставшихся цифр может быть равна 2 либо 11.
- Подойдут следующие варианты:
- 3 042, 3 141, 3 240 — в которых сумма дописанных цифр равна 2, а общая сумма чисел равна 9;
- 3 249, 3 348, 3 447, 3 546, 3 645, 3 744, 3 843, 3 942 — в которых сумма дописанных цифр равна 11, а их общая сумма равна 18.
93. Папа Карло купил три пакета кефира, пачку масла за 45 сольдо, несколько буханок хлеба по 24 сольдо, шесть коробков спичек. Может ли вся покупка стоить 200 сольдо?
Пусть папа Карло заплатил за покупку:
- 3a сольдо за кефир, если он купил 3 пачки кефира по а сольдо за каждую;
- 45 сольдо за масло;
- 24b сольдо за хлеб, если он купил b буханок хлеба по 24 сольдо за каждую;
- 6c сольдо за спички, если он купил 6 коробков по с сольдо за каждый.
Предположим, что такая покупка могла стоить ровно 200 сольдо. Тогда можно записать:
- 3а + 45 + 24b + 6с = 200
Мы видим, что каждое из слагаемых кратно 3. Значит можно записать:
- 3 • а + 3 • 15 + 3 • 8b + 3 • 2с = 200
Согласно распределительному свойству умножения, мы можем вынести число 3 за скобку:
- 3 • (а + 15 + 8b + 2с) = 200
Чтобы найти сумму в скобках, придётся 200 : 3
- (а + 15 + 8b + 2с) = 200 : 3
Это невозможно, так как 200 не делится на 3 нацело.
Значит наше предположение неверно и такая покупка не могла стоить 200 сольдо.
Ответ: Вся покупка не может стоить 200 сольдо.
94. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению 1 • 2 • 3 • … • 999 • 1 000. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за число?
Как мы видим, в данном произведении находятся множители кратные всем натуральным числам, в том числе и кратные 2, 3, 5, 9 и 10.
- Это значит, что произведение будет чётным числом, оканчивающимся на 0.
- Кроме того, сумма цифр этого числа будет делиться на 3 и 9, согласно признаку делимости чисел на 3 и на 9.
- Отметим, что не все числа, делящиеся на 3, делятся и на 9, но все числа делящиеся на 9 точно делятся на 3. Так что для нас важно, что установить, что произведение будет точно делиться на 9.
Так как сумма цифр числа произведения делится на 9, то и число, обозначающее эту сумму цифр тоже будет обязательно делиться на 9.
После многократного повторения такого действия в результате останется число, сумма цифр которого равна 9.
Это значит, что в результате получиться число 9.
Ответ: 9.
95. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую — Дима, третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?
Представим, как могут развиваться события:
Вариант 1:
1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;
2 ход: Дима хочет помешать и ставит цифру, которая сделает число не кратным 3, например 4;
3 ход: Рома видит, что сумма записанных цифр равна 5 и ставит цифру 1 или цифру 4, что позволит ему исправить ситуацию.
Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр не кратную 3, а Рома исправляет ситуацию.
19 ход. Рома ходит последним и делает сумму цифр полученного числа кратную 3.
Рома выигрывает, поскольку он ходит последним, а цифр 1, 2 и 4 ему достаточно, чтобы сделать кратным число, некратное 3.
Вариант 2:
1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;
2 ход: Дима, несмотря на своё намерение помешать, делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3;
3 ход: Роме приходится писать любую цифру, так как ни одно из разрешённых цифр не кратно 3.
Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр кратную 3, а от действий Ромы ничего не зависит.
18 ход. Дима опять делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3.
19 ход. Рома проигрывает, так как какие бы из цифр 1, 2 или 4 он не записал, сумма всех цифр уже не будет кратной 3.
Вывод:
Для того, чтобы Дима смог помешать Роме, ему надо «поддаться» и на каждом ходу сделать сумму цифр кратную 3. Тогда Рома, который ходит последним, не сможет исправить ситуацию.
Ответ: да, Дима сможет это сделать.
Упражнения для повторения
96. Как изменится — увеличится или уменьшится — и на сколько девятизначное число, последняя цифра которого 0, а предпоследняя — 5, если эти две цифры поменять местами?
Пусть все неизвестные цифры этого девятизначного числа будут спрятаны за х. Тогда можно записать:
- исходное девятизначное число — ххххххх50
- новое девятизначное число — ххххххх05
Мы видим, что исходное число больше, чем новое. Выполним вычитание столбиком:
Ответ: число уменьшится на 45.
97. Река Иртыш на 598 км длиннее реки Оби. Найдите длину каждой из этих рек, если их общая длина равна 7 898 км.
Пусть длина Оби х км, тогда длина Иртыша (х + 598 км). Можем составить уравнение:
х + (х + 598) = 7 898
2х + 598 = 7 898
2х = 7 898 — 598
2х = 7 400
х = 7 400 : 2
х = 3 700 (км) — длина Оби.
3 700 + 598 = 4 298 (км) — длина Иртыша.
Ответ: длина Иртыша — 4 298 км, а длина Оби — 3 700 км.
98. По маршруту Орёл — Тула — Москва выехал автомобиль. Какое расстояние между Орлом и Тулой, если оно на 5 км больше расстояния между Тулой и Москвой, а длина всего маршрута составляет 345 км?
Пусть х км расстояние между Тулой и Москвой. Тогда (х + 5) — расстояние между Орлом и Тулой. Можем составить уравнение:
х + (х + 5) = 345
2х + 5 = 345
2х = 345 — 5
2х = 340
х = 340 : 2
х = 170 (км) — расстояние межу Тулой и Москвой.
170 + 5 = 175 (км) — расстояние между Орлом и Тулой.
Ответ: между Москвой и Тулой 175 км.
99. Вычислите:
Готовимся к изучению новой темы
100. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью:
101. Найдите значение выражения:
102. Запишите число 64 в виде степени с основанием:
1) 8
2) 4
3) 2
Задача от мудрой совы
103.
В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?
Предположим, что возможно составить такое расписание. Для удобства разделим команды на 2 группы: красную и синюю. По 8 команд в каждой.
- 1, 3, 5 и 7 тур: Команды красной группы играют на своём поле с командами из синей группы, то есть синие будут играть на поле соперника.
- 2, 4, 6 и 8 тур: Команды синей группы играют на своём поле с командами из красной группы, то есть красные будут играть на поле соперника.
После 8 тура получится, что любая команда из красной группы уже сыграла с каждой командой из синей группы и наоборот.
Это значит, что дальше команды из красной группы должны играть между собой, а команды из синей группы — между собой.
Но, так как все команды одной группы одинаково чередовали свой и чужой стадион, то получиться, что у одного из соперников порядок чередования нарушится.
Например, если должны сыграть 1 и 2 команда из красной группы, то они будут играть на стадионах:
- свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — свой;
- свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — чужой.
То есть второй команде из красной группы придётся 2 раза подряд сыграть на стадионе соперника.
Это противоречит нашему предположению. Значит такое расписание составить невозможно.
Ответ: нет, невозможно.
- Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк
- Переход на главную страницу сайта
Признаки делимости на 9 и на 3 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Введение
Признак позволяет нам по первому взгляду понять что-то про объект.
Есть пословица: «Дыма без огня не бывает». То есть дым – это признак огня. На самом деле этот признак не всегда работает. Что-то может тлеть и дымить, а огня не будет.
В математике признаки действуют всегда. К таким относятся признаки делимости.
Мы уже знаем признак делимости на 2, 5 и 10.
Это признак по последней цифре. Если последняя цифра делится на это число, то и все число тоже делится.
756 делится на 2, не делится на 5 и 10.
На этом уроке мы рассмотрим делимость на 3 и на 9.
Признак делимости на 3 и на 9
18 делится на 9, 81 тоже делится.
27 делится на 9, 72 тоже делится.
45 делится на 3, 54 тоже делится на 3.
Похоже, не важно в каком порядке идут цифры.
Можете сами проверить: если в числах, которые делятся на 3 или 9, переставлять местами цифры, новые числа снова будут делиться.
Дело в том, что все зависит от суммы цифр, а не от порядка, в котором они идут.
Признак делимости на 3 и на 9 звучит так:
Если сумма цифр числа делится на 9 или на 3, то и само число тоже делится на 3 или на 9.
Понятно, что если переставить цифры местами, то сумма цифр не изменится.
Выясним, как получается этот признак.
Признак делимости на 3
Как увидеть, что число 72 делится на 3?
Например, так:
. 60 делится на 3 и 12 делится на 3, значит, и все число делится на 3.
Это правило очень полезное, и мы его часто используем.
Если в сумме оба слагаемых делятся на некое число, то вся сумма делится на это число.
Если одно делится, а другое нет, то и вся сумма не делится.
Вернемся к числу 72.
Разложение на 60 и 12 удобно, но не дает нам общего правила, алгоритма, как действовать с другими числами.
Вспомним, что обозначает десятичная запись числа.
Первое слагаемое делится на 3.
тоже делится на 3. Но это и есть сумма цифр. Если бы она не делилась, то и все число не делилось бы.
Например, разделим число 73 на 3.
И этот алгоритм можно применить к любому числу.
Задача 1
Возьмем число побольше, 2382, и попробуем понять, делится ли оно на 3 и на 9.
Шаг первый
Вспомним, что означает десятичная запись числа, и запишем число в эквивалентной форме:
Распишем каждое разрядное число:
Раскроем скобки:
Сгруппируем слагаемые:
Получили две суммы.
Шаг второй
Используем свойство делимости суммы: если оба слагаемых делятся, то сумма делится, если одно делится, другое нет, то сумма не делится.
У нас в первых скобках каждое слагаемое делится на 3 и на 9, значит, и вся сумма делится на 3 и на 9.
Таким образом, делимость всего нашего числа зависит теперь от последней суммы. Если она делится на 3 или 9, то и все число делится, если нет, то и все число нет.
Но во вторых скобках и есть сумма цифр исходного числа.
То есть число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или на 9.
Проверим делимость в нашем случае:
делится на 3, но не делится на 9.
Ответ: 2382 делится на 3, но не делится на 9.
Есть удобный инструмент – теория сравнений.
С помощью него объяснение признака делимости на 3 и на 9 очень короткое. О нем рассказывается в конце урока.
Задание
Потренируемся.
Самостоятельно определите, делится ли число на 3 и на 9.
1. 487 932
2. 7 549 358
3. 723 644 118 765
Проверяем:
1. 487 932
, значит, число делится на 3.
, значит, число не делится на 9.
2. 7 549 358
, значит, число не делится на 3.
, значит, число не делится на 9.
3. 723 644 118 765
Не обязательно складывать все цифры. Можно упростить себе задачу. Если какая-то часть в сумме уже делится, то ее можно откинуть и больше не учитывать.
Число делится на 9 и на 3.
Применение нескольких признаков деления
Посмотрим на применение сразу двух признаков: по последней цифре и по сумме цифр.
1. Делится ли число 12 348 на 6?
Чтобы делиться на 6, нужно делиться на 2 и на 3.
Число делится на 2, так как последняя цифра делится: .
Число делится на 3, так как сумма цифр делится на 3: .
Так как исходное число делится и на 2, и на 3, значит, оно делится и на 6.
2. Делится ли число 4525 на 15?
Число делится на 5, последняя цифра делится на 5:
делится, – не делится.
Число не делится на 3, значит, не делится и на 15.
Этот метод не получится применить, если мы проверяем делимость на число, где есть повторяющиеся множители.
Пример 1
Делится ли 102 на 4?
102 делится на каждый простой множитель 4-х, на 2 и на 2, но на 4 все-таки нет.
Нельзя применять признак делимости несколько раз, если делитель разложен на одинаковые множители.
То есть если множители внутри числа не повторяются:
или , то можно использовать два признака по очереди.
Если повторяются, например или , то нельзя.
Вопросы
Самостоятельно ответьте на следующие вопросы.
Если мы знаем, делится или нет число на 9, нужно ли проверять, делится на 3 или нет?
Наоборот, если мы знаем, что число делится или не делится на 3, что можно сказать про делимость на 9?
Теория сравнений и признак делимости на 3 и 9
Выбираем число, например 3. Будем называть его модулем.
Два числа считаем одинаковыми, если они дают одинаковый остаток при делении на 3.
Например, ,
Такие числа будем называть сравнимыми по модулю 3.
,
,
Очевидно, все разрядные числа сравнимы с единицей по модулям 3 и 9.
,
,
,
,
,
,
Доказательство признака делимости на 3 и на 9
Рассмотрим число.
Все разрядные числа можно заменить на единицы, если сравнивать по модулям 3 и 9.
То есть любое число и число, полученное как сумма его цифр, сравнимы по модулям 3 и 9. Значит, они делятся или не делятся на них одновременно.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт «Математика онлайн» (Источник)
2.
Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)
3. Интернет-сайт math-prosto.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 64
2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 86
3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 92
корректура — Доказательство того, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3
Удачи!
Боюсь, я не согласен с той частью, где вы говорите «$\tfrac 19 (f(n) — f'(n)) = q, \forall q \in \Bbb N$»! Я думаю, что это, вероятно, опечатка, и вы хотели передать «для каких-то $q \in \Bbb N$», что вы бы написали с символом «$\exists$», а не «$\forall$» (или, еще лучше, просто на словах).
Точно так же ранее вы заканчивали некоторые равенства чем-то вроде случайного «$\forall k \in \Bbb N$».
Здесь это неуместно, так как в уравнении нет даже $k$, и вы не утверждаете, что уравнение выполняется для всех натуральных чисел! Всякий раз, когда вы пишете $\forall k, \dots$, вы должны убедиться, что то, что вы написали, имеет смысл, если вы замените символы «$\forall k$» словами «для всех $k$».
Ваш последний абзац тоже кажется мне немного хитрым. Как вы написали, не обязательно верно, что «$9 \mid f(n)$ и $9 \mid f'(n)$», и это не то, что вы пытаетесь показать (хотя этого было бы достаточно если бы это было правдой)! Помните, что ваше $f(n)$ было произвольным натуральным числом, например, $9\nmid 1$. Если ваши рассуждения были примерно такими: «мы разделили кое-что на 9 долларов и получили целое число, значит, то, что мы делили, должно было точно делиться на 9 долларов».$», то это неправильно, например, так как мы можем иметь такие вещи, как $\tfrac 19 — \tfrac 19 = 0$ или $\tfrac{10}9 — \tfrac 19 = 1$ и т. д.
Это также означает, что ваш вывод о том, что $3 \mid f(n)$ и $3 \mid f'(n)$, неверен.
следует предположить , что $9 \mid f(n)$ (и четко указать в доказательстве, что вы это предполагаете), и использовать это, чтобы доказать, что $9 \mid f'(n)$.0024
Это закончит ваше доказательство. Как говорит Артур, лучший способ сделать это — использовать тот факт, что разница делится на 9 долларов. Однако вы все еще можете сделать это, используя свое последнее уравнение, показывающее, что $f(n) / 9 — f'(n) / 9$ является целым числом, и тот факт, что $a/b$ является целым числом тогда и только тогда, когда $б\мид а$. Вот рассуждения:
- Предположим, что $9 \mid f(n)$. Тогда $f(n)/9$ является целым числом, поэтому $f(n)/9 — [f(n)/9 — f'(n)/9]$ является целым числом, поскольку оба они являются целыми числами. Это просто говорит о том, что $f'(n)/9$ является целым числом, то есть $9 \mid f'(n)$.
- Вместо этого предположим, что $9 \mid f'(n)$. Тогда $f'(n)/9$ является целым числом, поэтому $f'(n)/9 + [f(n)/9 — f'(n)/9]$ является целым числом, которое просто говорит $f (n) / 9$ — целое число, т. е. $9 \mid f(n)$.
Следовательно, $9 \mid f(n) \iff 9 \mid f'(n)$. КЭД.
Чтобы вывести из вашего доказательства, что $3 \mid f(n) \iff 3 \mid f'(n)$, вы можете заметить, что, поскольку $f(n) — f'(n)$ кратно $9$, оно также кратно 3 долларам, поэтому с этого момента вы можете снова использовать то же доказательство, но только за 3 доллара. На самом деле, мы могли бы расширить доказательство, чтобы показать, что в общем случае, если $n \mid a — b$, то $n \mid a \iff n \mid b$, что является своего рода тем, что некоторые из приходят другие ответы.
Я согласен, что ваша запись $f(n)$ немного сбивает с толку. Лично я также стараюсь не использовать буквы $q$ или $v$ для произвольных натуральных чисел, пока не исчерпаю по крайней мере $n$, $m$, $k$, $l$, $a$, $b$, $c$ (поскольку $q$ — хорошая буква для рационального или простого числа, а $v$ — хорошая буква для вектора или скорости).
Я бы рекомендовал структурировать ваше доказательство примерно так: 9n k_n \in \Bbb N$ — произвольное $n$-значное натуральное число, где каждое $k_i \in \Bbb N$. Напишите $s = k_0 + k_1 + \dotsb + k_n$ для цифровой суммы.
Тогда (из-за некоторой алгебры) $9 \mid k — s$. В частности, мы можем написать $k — s = 9m$ для некоторого целого числа $m$.
Итак, предположим, что $9 \mid k$, т.е. мы можем написать $k = 9a$ для некоторого целого числа $a$. Тогда $s = k — (k — s) = 9(a — m)$, так что действительно $9 \mid s$.
Наоборот, предположим, что $9 \mid s$. Запишите $s = 9b$ для некоторого целого числа $b$. Тогда $k = s + (k — s) = 9(b + m)$, так что действительно $9 \mid k$.
Отсюда $9 \mid k \iff 9 \mid s$. КЭД. (и если все, что вы хотели доказать, это то, что $3 \mid k \iff 3 \mid s$, то буквально просто замените все $9$ на $3$).
Обратите внимание, что мне вообще не нужно было использовать какие-либо квантификаторы (такие символы, как $\forall$ или $\exists$)! Квантификаторы прекрасны, но не злоупотребляйте ими.
Написание слов словами почти всегда является хорошей идеей.
Надеюсь, что-то из этого было вам полезно. Опять же, я должен сказать, что когда вы только начинаете, написание корректуры может быть очень запутанным, и ваше доказательство многообещающее!
Q1 Какое из следующих утверждений верно a Если число делится на 3, оно должно делиться на 3 b…
Перейти к
- Упражнение 3.1
- Упражнение 3.2
- Упражнение 3.3
- Упражнение 3.4
- Упражнение 3. 5
- Упражнение 3.6
- Упражнение 3.7
5- Зная наши цифры
- Целые числа
- Игра с числами
- Основные геометрические идеи
- Понимание элементарных форм
- Целые числа
- Фракции
- Десятичные
- Обработка данных
- Измерение
- Алгебра
- Соотношение и пропорция
- Симметрия
- Практическая геометрия
Главная >
Решения НЦЭРТ
Класс 6
Математика
>
Глава 3.
Игра с числами
>
Упражнение 3.5
>
Вопрос 4
Вопрос 4 Упражнение 3.5
Q1. Какие из следующих утверждений верны?
(a) Если число делится на 3, оно должно делиться на 9.
(b) Если число делится на 9, оно должно делиться на 3.
(c) Число делится на 18, если оно делится и на 3, и на 6.
(d) Если число делится и на 9, и на 10, то оно должно делиться на 90.
(e) Если два числа взаимно просты, по крайней мере один из них должен быть простым.
(f) Все числа, которые делятся на 4, должны также делиться на 8.
(g) Все числа, которые делятся на 8, также должны делиться на 4.
(h) Если число точно делится на два числа по отдельности, оно должно точно делить их
сумму.
(i) Если число точно делит сумму двух чисел, оно должно точно делить два
числа по отдельности.
Ответ:
РЕШЕНИЕ:
i) неверно, потому что существует множество чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 9.
Например, 30.
ii) верно
iii) неверно, например, число 30 делится на 3 и 6, но не делится на 18.
iv) верно
v) неверно, мы знаем, что два числа, имеющие только 1 в качестве общего делителя, называются взаимно простыми числами, поэтому нет необходимости, чтобы одно из них было простым.
vi) неверно, пример № 36 делится на 4, но не делится на 8.
vii) верно
viii) верно
ix) неверно, пример № 5 делит сумму двух чисел 2 и 3 точно, но не точно разделите эти два числа.
Стенограмма видео
«Хорошо, подожди, пока ты сегодня не работаешь. Это номер один, который нас двое. Итак, давайте пройдемся по всем из них с первым, если число делится на 3. Оно должно делиться на 9 веревка Это неверно, потому что, например, получает значительно, но это не должно быть Давайте модель второй.
Четное число делится на 9. Оно должно делиться на 3. Это правильно. Потому что если любое число вы берете, если оно когда я нужно извиниться, когда нам нравится, что второе число — это число 18, если оно делится и на 3, и на 6. Хорошо. Так что да, это правильно. Если число делится и на три, и на шесть, вы всегда можете связаться с ними. Дайте мне знать, что даже если число делится на 9и 10 оба должны быть делимыми. Любые права принадлежат мне
Получите представление о том, устойчиво ли это утверждение о еде. Давайте перейдем к нумерации пап, и тогда хотя бы один из них должен быть прав. Итак, что вы думаете об этом, если два числа четырежды? Он один из главных. Это очень неправильно. Так что это положительный момент по моей вине, потому что одно из чисел также может быть единицей, но одно не является простым числом, одно не является ни домашним животным, нуждающимся в простом, ни составном, верно? В F1 есть нечто большее, все числа, которые делятся на, также должны делиться на 8. Это неправильно, что абсолютно рок, потому что возьмите число 28.
Это аэропорт Джайсал, но он не делится на P, такой маленький
Что будет на следующей неделе? Ага, так что демон все числа делятся на 8 надо тоже делить на 4 это да, это правда. Да. Это верно H или если число точно делит два числа по отдельности. Он должен точно разделить это. Если число делит два числа по отдельности. Это должно также разделить это некоторое. Хорошо. Так что это неправильно. Это неверно. Итак, давайте возьмем пример и для этого. Так, например, скажем, 3 делит 6 также 3 устройства. И чтобы, когда вы их добавите, этого не произошло, верно?
Флип-режим Ивана Иванова ровно в два раза больше суммы двух чисел должен ровно устройства к номерам по отдельности. Хорошо. Спасибо. Каждый будет правдой. Да, сэр, кому-то, потому что пример, который я привел, это транс, чтобы написать, но Иван очень важен. Вы можете разделить их, как, так что это легко на первый вопрос. Если у вас есть какие-либо сомнения, пожалуйста, я не знаю комментарий ниже. Я свяжусь с вами как можно скорее, вместо того, чтобы поблагодарить вас, ребята, и, пожалуйста, поставьте лайк видео и подпишитесь на канал.
Большое спасибо.
Связанные вопросы
Q7) Произведение трех последовательных чисел всегда делится на 6. Проверьте это утверждение с помощью…
Q12) Я — наименьшее число, имеющее четыре различных простых делителя. Ты можешь меня найти?
Q3) HCF взаимно простых чисел 4 и 15 был найден с помощью факторизации следующим образом: 4 = 2 × 2 и 15 = 3 × 5…
Q3) Какие множители не входят в простую факторизацию составного числа?
Q8) Сумма двух последовательных нечетных чисел делится на 4. Проверьте это утверждение с помощью…
В4) Запишите наибольшее четырехзначное число и выразите его через простые множители.