Факториал. Теория соединений. Бином Ньютона.
Бином Ньютона – это название формулы, которая позволяет выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые данная формула была предложена Исааком Ньютоном в 1664-1665 годах.
Давайте подробнее рассмотрим содержание формулы.
Коэффициенты данной формулы в математике называются биномиальными коэффициентами. Если n является целым положительным числом, то все коэффициенты превращаются в ноль, при любом r>n. Именно поэтому разложение содержит исключительно конечное число членов. Во всех остальных случаях (если n – неположительное или нецелое число), разложение содержит бесконечное число членов и представляет собой своеобразный биноминальный (бесконечный) ряд. Что касается условий сходимости биноминального ряда, то впервые они были установлены еще в начале 19 века математиком Н. Абелем. Если n – целое положительное число, то биноминальный коэффициент в формуле бинома будет числом комбинаций из n по r.
Как видите, бином Ньютона совсем не такой страшный, как кажется в начале, если взглянуть на формулу.
Например: 10!
| Определение факториала | ||||||||||||||||||||||
| 1 * 2 * 3 * … * n = n! | ||||||||||||||||||||||
| Основное свойство факториала | ||||||||||||||||||||||
| n! = n * (n — 1)! | ||||||||||||||||||||||
| Формула Стирлинга (факториалы больших чисел) | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
Теории соединений | ||||||||||||||||||||||
| Размещения из n по m элементов — соединения, отличающиеся самими элементами или их порядком | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
| Перестановки — соединения, отличающиеся только порядком элементов | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
| Сочетания из n по m элементов — соединения, отличающиеся только самими элементами | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
| Свойства сочетаний | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
Бином Ньютона | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
|
.. )
.. (n — m + 1)
.. + b1.3.Понятие факториала
п-факториал — произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно.
.
Пример 1.4. 1) ,
2) .
Следует отметить, что 0! = 1.
1.4. Перестановки
Перестановки – комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Общее число перестановок из n элементов обозначается и равно:
.
Пример 1.5. Из букв A, B, C можно составить следующие перестановки:
ABC, ACB,
BAC, BCA,
CAB, CBA.
Всего перестановок Причем они отличаются друг от друга только порядком расположения букв.
Пример 1.6. Сколькими способами можно расставить на книжной полке собрание сочинений Диккенса, включающее 30 томов?
Решение:
Каждый такой способ — это перестановка из 30 элементов. Всего таких перестановок будет
30! = 265 252859 812191058636308 480 000000.
Число перестановок с повторениями можно найти применив формулу:
1.5. Размещения
Размещения – комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или их порядком.
Размещения обозначаются ,
где n – числи всех имеющихся элементов,
m – число элементов к каждой комбинации.
При этом полагают,
что .
Число размещений можно вычислить по
формулам:
.
Пример 1.7. Пусть имеются четыре буквы А, В, С, D. Составив все комбинации только из двух букв, получим: АВ, АС, АD,
ВА, ВС, ВD,
СА, СВ, СD,
DA, DB, DC.
Все полученные комбинации отличаются или буквами, или порядком (комбинации ВА и АВ считаются различными). Кратко это можно записать так:
Пример 1.8. На книжную полку влезает только 8 любых томов из 30-томного собрания Диккенса. Сколькими способами можно заполнить этими томами такую полку?
Решение:
Каждый способ — это размещение из 30 элементов по 8. Всего таких размещений будет
Число размещений с повторениями
равно:.
Сочетания
Сочетания –
все возможные комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от
друга по крайней мере хотя бы одним
элементом.
Сочетания обозначаются и находятся по формуле:
.
Пример 1.9. Из четырех различных букв А, В, С, D можно составить следующие комбинации, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом: АВ, АС, АD, ВС, ВD, СD.
Значит число сочетаний из четырех элементов по два равно 6.
Это можно найти и по вышеприведенной формуле:
Для сочетаний справедливы равенства:
,
,
Число перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством:
Литература:
Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — с.22 – 23.
Гусак А.А. Теория вероятностей: справ.
Пособие
к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова.
– 6-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2007. –
с.13 – 21.
Пособие
к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова.
– 6-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2007. –
с.13 – 21.Контрольные вопросы:
В чем сущность комбинаторики?
Сформулируйте правило сложения.
Сформулируйте правило умножения.
В чем отличие выбора элементов с возращениями и без возращений?
Что называют перестановками?
По какой формуле вычисляют число перестановок из п различных элементов?
По какой формуле вычисляют число перестановок из п различных элементов с повторениями?
Что называют размещениями?
По какой формуле вычисляют число размещений из п различных элементов по m элементов?
Что называют сочетаниями?
По какой формуле вычисляют число сочетаний из элементов п различных элементов по m элементов?
Каким равенством связаны числа перестановок, размещений и сочетаний?
Чем отличаются сочетания от размещений? Что и во сколько раз больше?
Упрощение факториалов с переменными — ChiliMath
На этом уроке мы научимся упрощать факториальные выражения с переменными, находящимися в числителе и знаменателе.
Суть в том, чтобы сравнить факториалы и определить, какой из них больше по значению. Предположим, мы хотим сравнить факториалы \left( {n + 3} \right)! и \left( {n + 1} \right)! .
Легко видеть, что \left( {n + 3} \right)! > \влево( {n + 1} \вправо)! верно для всех значений n, если определен факториал, то есть в круглых скобках содержится целое число, большее или равное нулю.
- Это означает, что мы можем расширить \left( {n + 3} \right)! до тех пор, пока выражение \left( {n + 1} \right)! появляется в последовательности.
Как насчет for \left( {n — 5} \right)! и \left( {n — 2} \right)! ? На этот раз мы вычитаем переменную на некоторое число. Большим выражением является выражение с меньшим вычитаемым или значением, вычитаемым из уменьшаемого. Следовательно, \left( {n — 2} \right)! > \влево( {n — 5} \вправо)! .
- Отсюда следует выражение \left( {n — 2} \right)! будет \left( {n — 5} \right)! в развернутом виде.
Что если у них разных знаков ?
Очевидно, большее факториальное выражение имеет операцию сложения.
Например, \left( {n + 1} \right)! > \left( {n — 4} \right)! .
- Заметьте, мы можем расширить \left( {n + 1} \right)! включить \left( {n — 4} \right)! в последовательности.
- Сравните факториалы в числителе и знаменателе.
- Расширьте больший факториал так, чтобы он включал меньшие в последовательности.
- Сократите общие делители между числителем и знаменателем.
- Дальнейшее упрощение путем умножения или деления оставшихся выражений.
Давайте рассмотрим шесть (6) примеров разного уровня сложности.
Примеры упрощения факториалов с переменными
Пример 1: Упростить
Поскольку факториал в числителе больше знаменателя, я могу частично расширить n! до выражения \left( {n — 2} \right)! показывает, что является значением в знаменателе.
Тогда я отменю общие факторы. Примените распределительное свойство, чтобы получить окончательный ответ.
Пример 2: Упростить
Очевидно, знаменатель больше числителя, потому что к «n» прибавляется 3, а не 1. Я оставлю числитель неизменным, а знаменатель расширим \left( {n + 3} \правильно)! до выражения \left( {n + 1} \right)! появляется в знаменателе. Что мы делаем, так это сопоставляем общие факторы, чтобы мы могли их отменить. Умножьте два двучлена в знаменателе, чтобы завершить его.
Пример 3: Упростить
Числитель \влево( {k + 2} \вправо)! можно разложить на множители, включающие знаменатель \left( {k — 1} \right)! . Таким образом, мы можем исключить повторяющиеся множители между числителем и знаменателем. Перемножьте оставшиеся множители: два двучлена и одночлен.
Пример 4: Упростить
Знаменатель — это большее факториальное выражение, поэтому я разложу его так, чтобы получить числитель.
Отмените общие множители и умножьте биномы, чтобы получить окончательный ответ. 92} = \left( {n!} \right)\left( {n!} \right) . В рамках нашей стратегии мы также можем разделить исходную задачу на две отдельные части. Это позволяет нам лучше видеть происходящее. Выполните необходимые расширения и сократите общие факторы. Упростите, записав окончательный ответ в виде одной дроби.
Вас также может заинтересовать:
Обозначение факториала, формулы и основные примеры
Деление факториалов
Факториал нуля
Объяснение урока: Факториалы | Нагва
В этом объяснении мы узнаем, как найти факториал любого числа 𝑛, которое является произведение всех целых чисел, меньших или равных 𝑛 и больших или равных единице, и мы будем научиться находить факториалы для решения задач.
Рассматривая количество различных четырехзначных чисел, которые мы можем составить из цифр 3,
5, 7 и 9, мы находим, что их всего 4×3×2×1.
различные возможные числа. В более общем смысле, если мы хотим знать, сколькими способами мы можем переставить
набор из 𝑛 элементов, мы находим, что общее количество равно 𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×⋯×2×1. Этот расчет по нахождению
произведение всех натуральных чисел, меньших или равных 𝑛, получается
достаточно регулярно в различных областях математики, что математики
название: факториал 𝑛.
Определение: Факториал
Факториал натурального числа 𝑛 — это произведение всех положительных целые числа меньше или равные 𝑛. Мы используем обозначение 𝑛, который читается как 𝑛 факториал, чтобы обозначают факториал. Следовательно, 𝑛=𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×⋯×2×1.
Мы определяем факториал нуля равным единице; то есть 0=1.
Из определения нетрудно увидеть, что для любого целого числа 𝑛≥1 𝑛=𝑛𝑛−1.
Во многих отношениях это ключевое свойство факториала, и, как мы увидим, оно будет
неоднократно применялся для решения задач, связанных с факториалами.
Давайте попрактикуемся в вычислении факториала в нашем первом примере.
Пример 1. Нахождение факториалов
Вычислить 4
Ответ
Напомним, что определение 𝑛 есть произведение всех положительные целые числа, меньшие или равные 𝑛, или эквивалентно 𝑛=𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)×⋯×2×1.
Следовательно, 4=4×3×2×1=24.
Есть два факториала, равных 1, то есть 0 и 1. Мы будем использовать это свойство факториалов для решения следующего примера.
Пример 2. Решение задач с факториалами нуля
Найдите набор решений 𝑛−26=0.
Ответ
У нас может возникнуть соблазн рассуждать следующим образом: поскольку
𝑛−26=0,
𝑛−26=0. Следовательно, 𝑛=26. К сожалению, это не тот
полный ответ. Вместо этого нам нужно помнить, что 0=1
и ноль — не единственное число, факториал которого равен единице. В частности,
факториал единицы также равен единице: 1=1. Следовательно, чтобы
решить 𝑛−26=0, мы должны рассмотреть
оба случая: где 𝑛−26=0 и где 𝑛−26=1.
Следовательно, мы
найти, что 𝑛=26 и 𝑛=27 оба возможны
решения. Таким образом, набор решений равен {26, 27}.
В большинстве научных калькуляторов есть кнопка для вычисления факториала числа. В примеры, подобные приведенному выше, было бы совершенно законно просто использовать калькулятор для оценить выражения. Однако, это не всегда возможно. Фактически факториалы становятся настолько быстро, что большинство калькуляторов не могут вычислить факториалы больших чисел чем 69. Однако это не означает, что мы не умеем с ними работать. Вместо этого, используя свойства факториалов позволят нам решать задачи, связанные с числами, которые слишком большой для наших калькуляторов.
В нашем следующем примере мы будем использовать свойства факториалов для вычисления заданного выражения, включающего факториалы.
Пример 3. Свойства факториалов
Не используя калькулятор, вычислите выражение 210209−210.
Ответ
Используя следующее свойство факториала: 𝑛=𝑛𝑛−1, мы видим, что 210(209)=210
Отсюда 210(209)−210=210−210=0.
Мы также можем применять это свойство при работе с выражениями, включающими факториал неизвестный номер.
Рассмотрим пример в этом направлении.
Пример 4. Упрощение выражений с факториалами
Упростить 𝑛+2𝑛.
Ответ
Используя следующее свойство факториалов: 𝑟=𝑟𝑟−1,
, мы можем переписать 𝑛+2=(𝑛+2)𝑛+1.
Снова применив то же свойство, мы можем написать 𝑛+2=(𝑛+2)(𝑛+1)𝑛.
Подставляя это в данное выражение, мы имеем 𝑛+2𝑛=(𝑛+2)(𝑛+1)𝑛𝑛.
Сократив общие члены в числителе и знаменателе, получим 𝑛+2𝑛=(𝑛+2)(𝑛+1).
Рассмотрим пример, в котором мы используем свойства факториалов для решения уравнения с факториалами.
Пример 5. Использование свойств факториалов для решения задач
Найдите значение 𝑛, удовлетворяющее уравнению 𝑛+48𝑛+47=65.
Ответ
Используя следующее свойство факториалов: 𝑟=𝑟𝑟−1, мы можем переписать
𝑛+48=(𝑛+48)𝑛+47.
Подставляя это в данное уравнение, мы имеем 6=𝑛+48𝑛+47=(𝑛+48)𝑛+47𝑛+47.
Отменив общие множители в числителе и знаменателе, мы можем переписать это как 65=𝑛+48.
Перестановка дает 𝑛=17.
Рассмотрим еще один пример, в котором мы используем свойства факториалов для решения уравнения с факториалами.
Пример 6. Решение уравнения факториала
Найдите набор решений 1𝑛+7+1𝑛+8=256𝑛+9.
Ответ
Начнем с умножения обеих частей уравнения на 𝑛+9который дает 𝑛+9𝑛+7+𝑛+9𝑛+8=256.
Используя следующее свойство факториалов: 𝑟=𝑟𝑟−1, мы можем переписать 𝑛+9=(𝑛+9)𝑛+8 и 𝑛+9=(𝑛+9)(𝑛+8)𝑛+7. Подставляя их в уравнение в числителях, мы имеем (𝑛+9)(𝑛+8)𝑛+7𝑛+7+(𝑛+9)𝑛+8𝑛+8=256.
Отменив общие множители в числителях и знаменателях, мы можем переписать это как (𝑛+9)(𝑛+8)+(𝑛+9)=256.
Раскрывая скобки, имеем 𝑛+17𝑛+72+𝑛+9=256.
Переставляя, мы приходим к квадратичному 𝑛+18𝑛−175=0.
Разлагая на множители или применяя квадратичную формулу, мы можем выразить это как (𝑛+25)(𝑛−7)=0.
Следовательно, 𝑛=−25 или 𝑛=7. Так как факториалы только определенное для неотрицательных целых чисел, мы можем отбросить решение 𝑛=−25. Следовательно, набор решений уравнения равен {7}.
До сих пор мы могли использовать свойства факториалов для упрощения уравнений и
изолировать любые неизвестные как решения линейных или квадратных уравнений. Однако эти приемы
не поможет нам, когда нам нужно найти неизвестное число по его факториалу. Для этого мы используем
тот факт, что факториал — это произведение положительных целых чисел, меньших или равных
конкретный номер. Следовательно, данное число мы можем последовательно разделить на последовательные
положительные целые числа, пока не останется целое число. Следующий пример продемонстрирует это
процесс.
Пример 7. Нахождение неизвестного числа по факториалу
Найдите значение 𝑛 такое, что 𝑛=720.
Ответ
Поскольку факториал представляет собой произведение последовательных положительных целых чисел, мы можем разделить 720 на последовательные положительные целые числа следующим образом. Начиная с 1: с 7201=720, мы можем переписать 720=720×1.
Затем мы делим 720 на 2, что дает нам 7202=360.
Следовательно, 720=360×2×1.
Разделив 360 на 3, мы получим 120. Следовательно, мы можем написать 720=120×3×2×1.
Точно так же, разделив 120 на 4, мы получим 30. Следовательно, 720=30×4×3×2×1.
Наконец, разделив 30 на 5, мы получим 6, что дает 720=6×5×4×3×2×1.
Используя этот процесс, мы выразили 720 как произведение первых 6 последовательных
целые числа. Следовательно, у нас 720=6. Мы можем написать это
более кратко: 720=720×1=360×2×1=120×3×2×1=30×4×3×2×1=6×5×4×3×2×1=6.
Следовательно, наш окончательный ответ: 𝑛=6.
Мы закончим рассмотрением другого примера, где мы можем применить все изученные нами приемы. решить последнюю факториальную задачу.
Пример 8. Решение задач с факториалами
Найдите значение 𝑛 такое, что 𝑛8𝑛−1=5040.
Ответ
Сначала рассмотрим значение 5 040. Так как у нас есть произведение факториала и целое число в левой части уравнения, мы хотели бы выразить 5 040 как факториал или как произведение факториала и другого целого числа. Для этого мы можем разделить это последовательно по натуральным числам следующим образом: 5040=5040×1=2520×2×1=840×3×2×1=210×4×3×2×1=42×5×4×3×2×1 =7×6×5×4×3×2×1=7.
Теперь мы можем рассмотреть другую сторону уравнения. Помните, что для положительного целого числа 𝑛𝑛=𝑛𝑛−1.
В настоящее время у нас нет двух последовательных чисел 𝑛 и
𝑛−1, чтобы применить эту формулу.