Формула матрица – умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

Матрицы | Формулы и расчеты онлайн

Матрицы — это прямоугольные таблицы из чисел, содержащие m строк и n столбцов.

Числа m и n называются порядками матрицы.

Запись матриц

Матрицы записываются с помощью больших круглых скобок

\[ \lbig   a_{11}    a_{12}    …    a_{1n}   
  a_{21}    a_{22}    …    a_{2n}   
. . . . . . . . . . . . . . . 
  a_{m1}    a_{m2}    …    a_{mn}    \rbig \]

Для краткого обозначения матрицы используется большая латинская буква, например A, или символ a_i,j или подробно

\[ A = a_{i,j} = (a_{i,j})(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n;) \]

Элементы матрицы

Числа a_i,j, входящие в состав матрицы, называются ее элементами. Здесь i — номер строки матрицы, j — номер столбца матрицы.

Квадратные матрицы

Если

\[ m = n \]

то матрицы называются квадратными

\[ \lbig   a_{11}    a_{12}    …    a_{1n}   
  a_{21}    a_{22}    …    a_{2n}   

. . . . . . . . . . . . . . . 
  a_{n1}    a_{n2}    …    a_{nn}    \rbig \]

Главная диагональ матрицы

Главной диагональю матрицы называется диагональ

\[a_{11}    a_{22}    …    a_{nn}\]

идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол.

Побочная диагональ матрицы

Побочной диагональю матрицы называется диагональ

\[a_{n1}    a_{(n-1)2}    …    a_{1n}\]

идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Равенство матриц

Две матрицы равны, если эти матрицы имеют одинаковые размеры, и все их соответствующие элементы совпадают.

Действия над матрицами и типы матриц

В помощь студенту

Матрицы	стр. 128

www.fxyz.ru

Основные сведения о матрицах.

Матрицей размерности m×n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m– строк и n– столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Элемент, стоящий на пересечении строки с номером i(i‒ той строки),

i = 1, 2…m и столбца с номером j(j‒ того столбца),

j = 1, 2…n – обозначается a_ij.

Матрица обозначается заглавными буквами A,B,C…, а их элементы ‒ соответствующими прописными буквами.

A_{m× n}=

Пример:

A_{3×2 =}

А₁₁ = 3

А₂₁ = – 2

А₂₂ = 5

А₃₂ = –1

Виды матриц

1. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей ‒ строкой или вектором – строкой. В_1×n= (b₁₁ b₁₂…b_1n).

2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей ‒ столбцом или вектором – столбцом. С_m×1 =

3. Матрица называется квадратной n‒ го порядка, если у нее число строк равно числу столбцов и равно n.

A =– квадратная матрица третьего порядка

Главная диагональ

Элементы квадратной матрицы, у которых совпадает номер строки и столбца, образуют главную диагональ.

Квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0, называется

единичной матрицей.

E= – единичная матрица второго порядка.

E=– единичная матрица третьего порядка.

Операции над матрицами и их свойства.

1.Произведение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число λназывается такая матрица B, каждый элемент которой находится по формуле:

b_ij=λ × a_ij

Пример:

A=

‒ 3A= =

2. Сумма матриц.

Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C, каждый элемент которой находится по формуле: (C_ij= A_ij +B_ij), т.е. матрицы складываются поэлементно.

Пример: + ==

3. Разность матриц.

А ‒ В = А +

(‒1) × В

Пример: ‒ ==

4. Произведение матриц.

Произведением матрицы А_m×lна матрицу В_l×nназывается матрица С_m×n,каждый элемент которойc_ijравен сумме произведений всех элементов i – ой строки матрицы A на соответствующие элементыj ‒ того столбца матрицы B.

Пример:

A_2×3=,B_3×3 =

= =

5. Возведение в степень с натуральным показателем квадратных матриц.

= A×A….A

n ‒ раз.

Пример:

A=

= ==

=

6. Транспонирование матриц.

Матрица А^Т (или А^I) называется транспонированной к матрице A, если строки матрицы A заменены соответствующими столбцами матрицы B, т.е. при транспонировании строки и столбцы меняются местами.

А_3×2 =

=

7. Свойства операций.

1. Коммутативность (переместительный закон)

A + B = B + A; т. е. сумма матриц коммутативна.

A × BB × A; т. е. произведение не коммутативно.

2. Ассоциативность (сочетательный закон)

A + (B + С) = (A + B) + С;

A × (B × С) = (A × B) × С;

3. Дистрибутивность (распределительный закон)

(A + B) × С = A×C + B×C;

4. A × E = A.

Определители квадратных матриц и способы их вычисления.

Определителем квадратной матрицы называется

число, характеризующее эту матрицу.

Определители обозначаются двумя вертикальными чертами:

│A│ или ∆ (дельта).

Определителем первого порядка квадратной матрицы первого порядка A = (а₁₁) называется число, равное элементу этой матрицы.

│а₁₁│= а_11.

Определителем второго порядка квадратной матрицы A = называетсячисло, вычисляемое по формуле:

Пример:

= – 3 × 7 – 6 × (– 5) = – 21+30 = 9.

Определителем третьего порядка квадратной матрицы третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле:

studfiles.net

Ιιι Обратная матрица.

Обратная матрица определяется только для квадратных матриц.

Определение 1. Матрицы В называется обратной к матрице А, если АВ = ВА = Е.

Матрица, имеющая обратную, называется обратимой. Обратная матрица обозначается А^-1.

Свойства обратной матрицы.

1^˚. Если В обратна к А, то А обратна к В.

Доказательство этого свойства следует непосредственно из определения. Таким образом, имеем (А^-1) ^-1 = А

2^˚. Если у матрицы А есть обратная, то она единственна.

Доказательство. Пусть Х и Y — две матрицы, обратные к А. Тогда XA = AX = E и YA = AY = E.

Рассмотрим X(AY) = XE = X.

С другой стороны X(AY) = (XA)Y = EY = Y.

Следовательно Х = У.

3^˚. Если матрицы А и В имеют обратные, то АВ имеет обратную, причем (АВ) ^-1 = В^-1А^-1.

Доказательство.

Явная формула обратной матрицы.

Пусть дана матрица

Пусть матрица А имеет ненулевой определитель. Тогда обратную к A матрицу можно найти по формуле

где — определитель матрицы А, — алгебраическое дополнение к элементам

матрицы А. Т.е. =,здесь- определитель, полученный из определителя матрицы А вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Доказательство формулы.

Для того, чтобы доказать, что эта формула задает обратную для А, необходимо показать, что . Сделаем это для матрицы порядка 3. (В общем случае доказательство точно такое же).

=

Здесь по главной диагонали стоит сумма произведений элементов j-того столбца на их алгебраические дополнения, тогда по теореме о разложении по любому столбцу это выражение равно определителю матрицы А. Вне главной диагонали стоит сумма произведений элементов j-того столбца на алгебраические дополнения к элементам к-того столбца (на месте kj), а это равно нулю по теореме о разложении по любому столбцу.

Применяем теорему о разложении по любой строке.

Например, ++= 0как сумма произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения к элементам второй строки, + += 0как сумма произведений элементов третьей строки на алгебраические дополнения к элементам второй строки, + +=как сумма произведений элементов второй строки (на свои) на алгебраические дополнения к элементам второй строки.

Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Теорема 2. (критерий обратимости). Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную. Тогда . Тогда det,detE = 1. det= detA (по теореме1). Следовательно

detA= 1. Значит detA.

Достаточность. Пусть определитель матрицы А отличен от 0. Тогда

Значит обратная матрица для А существует.

Нахождение обратной матрицы по методу Гаусса.

Рассмотрим следующие преобразования матрицы А:

1. поменять 2 строки местами

2. умножить строку на ненулевое число

3. к любой строке прибавить другую строку, умноженную на любое число.

К матрице А порядка n припишем единичную матрицу того же порядка

Применим к матрице (А|E) метод Гаусса (аналогично тому, как описано при вычислении определителя по методу Гаусса) так, чтобы на месте матрицы А получить единичную матрицу. То, что при этом получится на месте матрицы Е, будет обратной к А. Здесь можно применять только преобразования строк.

Пример 1. Показать, что матрица Аобратима и найти ее обратную

(Метод присоединения матрицы).

Вычислим определитель detA = 64 + 25 — 70 — 24 = -5 0.Т.к. определитель отличен от нуля, то А имеет обратную, т.е. обратима.

Проверка:

A

Пример2. Решить матричное уравнение AX + B = C, где А = ,

В = , С = .

Вычислим detC = (-2)(-4) — (-1)(-7) = 8 — 7 = 10

detA = (-2)(-3) – 15 = 6 — 5 = 10.

Значит матрицы С и А — обратимы. Найдем из уравнения матрицу Х.

AX = C- В

А(АХ) = А( C-В)

(АА)Х = А( C-В)

ЕХ = А( C-В)

Х = А( C-В)

Находим А^-1:

Находим C^-1:

C^-1— B =

X = A( C- B) =

Проверка. Подставим Х в исходное уравнение

Пример 3. Найти обратную к А методом элементарных преобразований (методом Гаусса)

~ ~

поменяем первую и четвертую строки меняем местами. Умножим первую строку на (-2) прибавим ко второй и четвертой, домножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей

~~

чтобы не переходить к дробным компонентам домножим четвертую строку на (-2) и прибавим ее ко второй строке.

~~~ ~~

Ниже главной диагонали стоят только нулевые элементы. Проведем “обратный ход” снизу вверх, чтобы получить над главной диагональю нулевые элементы.

~~~

Четвертую строку умножим на (-4) и прибавим к третьей, четвертую строку умножим на (-2) и прибавим ко второй и к первой.

~

Таким образом

Можно сделать проверку. AА^-1 должно равняться Е.

studfiles.net

Тема: «Матрицы и матричные формулы»

Цель работы:сформировать умения использовать функции Excel для выполнения различных операции над матрицами (массивами), решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы.

Основные понятия:

Формулу массива можно использовать для выполнения нескольких вычислений в целях получения одного результата.

При вводе формулы массива (формула, выполняющая несколько вычислений над одним или несколькими наборами значений, а затем возвращающая один или несколько результатов. Формулы массива заключены в фигурные скобки { } и вводятся нажатием клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.)

Этот тип формулы массива может упростить модель листа, заменив несколько отдельных формул одной формулой массива. Формулы массивов используют несколько множеств значений, которые называются массивами аргументов. Диапазон массива – это блок ячеек, который имеет общую формулу массива. Действия над массивами значительно отличаются от действий над отдельными ячейками.

Функция МУМНОЖ ( ) определяет результат произведения нескольких матриц. При использовании этой функции важно помнить, что можно перемножить не только 2 квадратные, но и 2 прямоугольные матрицы, но при этом количество строк второй матрицы должно быть равно количеству столбцов первой матрицы, а число столбцов второй числу строк первой.

Функция МОПРЕД ( ) вычисляет определитель квадратной матрицей. Результатом вычисления является число.

Функция МОБР ( )возвращает обратную матрицу.

Упражнение 1. Сложение, вычитание и произведение массивов.

1. Переименуйте Книгу на Лаб_11_Матрицы, а Лист 1 на Задание 1

2. Оформите следующие таблицы:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Пример 1

Пример 2

Пример 3

А=

В=

C=

А+В=

В-С=

А2=

 

3. Для выполнения Примера 1 выполните следующие действия:

§ Выделите диапазон ячеек, в который требуется ввести формулу массива, т.е B6:D8

§ Нажмите на знак =

§ Выделите диапазон матрицы А

§ Нажмите на знак +

§ Выделите диапазон матрицы В

§ Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

§ У вас в строке формулы должно получится следующая формула: = {B2:D4+G2:I4}

4. Аналогичные действия выполните и для примера 2 и примера 3

Упражнение 2. Умножение матриц А и В, нахождение обратной матрицы и определителя матриц

1. Переименуйте Лист 2 на Задание 2

2. Оформите следующие таблицы:

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

-1

3,1

А =

3,1

7,1

В =

2,3

С=А*В=

-1,1

-0,2

3,22

А-1=

А*А-1=

Det(A)=

3. Вычислите произведение матриц А*В. Для этого:

§ Выделите область L1:N3

§ Вызовите Мастер функций, выберите категорию Математические и функцию МУМНОЖ, откроется окно Палитры формул.

§ Для ввода аргумента функции в поле Массив 1 выделите первую матрицу, затем перейдите в поле Массив 2 и выделите вторую матрицу, т.е матрицу В

§ Подтвердите ввод формулы массива <Ctrl>+<Shift>+<Enter>

4. Найдите обратную матрицу к матрице А. Для этого:

§ Выделите область, в которую хотите поместить результат, B5:D7

§ Введите формулу, для этого:

§ Вызовите мастер функции и в категории математические выберите функцию МОБР.

§ В поле Массив выделите матрицу А

§ Для подтверждения ввода формулы, содержащей массив, нажмите <Ctrl>+<Shift>+<Enter>

§ Проверьте результат, вычислив произведение исходной матрицы и обратной к ней

5. Вычислите определитель матрицы А. Для этого

§ Установите курсор в ячейку L6,вызовите функциюМОПРЕД,и выделите значения матрицы А.

Упражнение 3.Необходимо решить систему линейных уравнений

Для реконструкции 3 цехов завода выделены деньги. Для 1 цеха 510000, для второго 180000, для третьего 480000. Для всех цехов необходимо купить станки трех видов А, В, С. Причем для 1 цеха 4 станка А, 8 станков В и 1 станок С. Для 2 цеха 1 станок А, 2 станка В и 1 станок С и для 3 цеха 1 станок А, 5 станков В и 4 станка С. По какой максимальной цене можно покупать станки.

Обозначим максимальные цены . Тогда

Представим данные в виде матриц А, х, b,

где матрица А – матрица коэффициентов, х – матрица неизвестных и b-матрица свободных чисел

Итак, для решения поставленной задачи необходимо решить систему линейных уравнений , где

Наиболее простыми методами решения системы линейных уравнений является метод Крамера и метод обратной матрицы.

Технология работы.

1. Переименуйте Лист1 на Задание 3

2. Вычислим A^-1 описанным ранее методом. Так как Ax=b , то x=A^-1 b. Для определения х необходимо перемножить полученную обратную матрицу A^-1 и столбец свободных членов . Алгоритм представлен на рис. 1 а результаты решения на рис. 2

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

=МОБР(C2:E4)

=МУМНОЖ(K2:M4;h3:h5)

A

B

A-1

X

Рис.1

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

510 000

-0,3333

-0,667

A

B

180 000

A-1

0,33333

-1,6667

0,333

X

480 000

-0,3333

1,3333

 

Задания для самостоятельной работы:

1. Сложите массивы А+В=…

2. Вычислите произведение матриц А*В=…

3. Найдите обратную матрицу к матрице (А+В). Проверьте результат, вычислив произведение исходной матрицы и обратной к ней.

4. Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

 

 

Контрольные вопросы:

1. Что представляет с собой массив?

2. С помощью каких клавиш обеспечивается ввод формул во все элементы массива?

3. Что выполняет функция МОПРЕД?

4. Какая функция выполняет умножение массивов?

5. Как решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы?

 

Лабораторная работа № 13



infopedia.su