Формула площади прямоугольника 4 класс математика: Площадь прямоугольного треугольника — урок. Математика, 4 класс.

Формула площади прямоугольника (Слупко М.В.) | Математика | 5 класс

Введение

Представьте ситуацию. Мама хочет испечь торт. Но у неё осталось мало глазури, которой она его покроет сверху. На какой из этих трёх тортов уйдёт меньше всего глазури (Рис. 1)?

Рис. 1. Торты разной формы

Казалось бы, все просто: какая фигура меньше, на ту меньше глазури и понадобится. Но что такое «меньше»? Для отрезков было понятно: сравнивали длины. А что можно сравнивать у фигур? Для этого используют другую характеристику – площадь. Чем меньше будет площадь торта, тем меньше глазури понадобится маме.

А как определить площадь фигуры? Как сравнивать площади разных фигур? На этом уроке мы поговорим о том, как посчитать площадь прямоугольника.

Почему мы начинаем именно с него? Во-первых, прямоугольники в нашей жизни встречаются часто, поэтому возникает много практических задач, связанных с вычислением площади прямоугольника: сколько стекла надо, чтобы застеклить оконный проём, сколько лака надо, чтобы покрыть дверь, сколько бумаги надо, чтобы обернуть подарок и т. д. (Рис. 2).

Рис. 2. Примеры практических задач на вычисление площади прямоугольника

Во-вторых, прямоугольники легко укладывать плотно друг к другу (сравните: чем проще заполнить коробку – прямоугольными плитками или, например, круглыми, при условии, что пустого места должно оставаться как можно меньше) (Рис. 3).

Рис. 3. Заполненные прямоугольные коробки

Поэтому площадь любой фигуры можно посчитать достаточно точно, «разрезав» эту фигуру на прямоугольники (Рис. 4).

Рис. 4. Фигура разбита на прямоугольники

То есть если уметь находить площадь прямоугольников, то можно приближенно посчитать площади других фигур.

---

 

Аксиомы площади

На самом деле площадь прямоугольника важна не только для того, чтобы научиться считать площади других фигур. Она нужна, чтобы вообще дать определение: а что же такое площадь.

Интуитивно каждый из нас понимает, что такое площадь. Но сформулировать определение не так просто. Обычно говорят, что площадь – это место, которое фигура занимает на плоскости (чем больше площадь, тем больше места она занимает и наоборот).

Давайте попробуем строго определить, что же такое площадь фигуры, каким требованиям она должна удовлетворять, чтобы результат согласовывался с нашим жизненным опытом и здравым смыслом.

Итак, пусть у нас есть фигура (Рис. 1).

Рис. 1. Произвольная фигура

Чтобы найти её площадь, надо задать какой-то стандарт, то есть определить площадь известной фигуры. В математике такой фигурой считается единичный квадрат (квадрат со стороной ). Его площадь считается равной  (Рис. 2).

Рис. 2. Единичный квадрат

Теперь, если фигура состоит из двух квадратов, логично считать, что она занимает в  раза больше места, то есть её площадь равна сумме площадей двух квадратов, или равна  (Рис. 3).

Рис. 3. Фигура площадью 

Это свойство площади можно обобщить: если фигура состоит из двух фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур (Рис. 4). Действительно, эта фигура занимает столько же места, сколько те две фигуры вместе взятые.

Рис. 4. Фигура состоит из двух фигур

Наконец, совсем очевидно, что у одинаковых фигур (под одинаковыми мы имеем в виду те, которые можно совместить при наложении) площади должны быть равны, так как они занимают одинаковое место (Рис. 5).

Рис. 5. Одинаковые фигуры совместились при наложении

---

 

Этих свойств достаточно, чтобы научиться считать площадь любой известной нам фигуры.

Площадь прямоугольника

Площадь фигуры равна количеству единичных квадратов, которые укладываются внутрь фигуры.

Возьмем прямоугольник: высота  см, а длина  см. Заполним его квадратами со стороной  см. Площадь каждого такого квадрата . Всего поместилось  квадратов (Рис. 5).

Рис. 5. Площадь данного прямоугольника

Значит, по определению площади фигуры, площадь нашего прямоугольника равна .

Обязательно ли нужно выкладывать все единичные квадраты внутри прямоугольника, чтобы понять, сколько их поместится? Давайте посмотрим еще раз. Выложим внизу прямоугольника один ряд единичных квадратов. Длина прямоугольника  см, а длина стороны квадрата  см. Их поместится  штук (Рис. 6).

Рис. 6. Первый ряд

Выложим второй ряд. Он будет содержать тоже  квадратов (Рис. 7).

Рис. 7. Второй ряд

Сколько всего таких рядов? Так как высота прямоугольника  см, то поместится  ряда (Рис. 8).

Рис. 8.  ряда

Итак,  ряда по  штук в каждом. Всего  квадратов. То есть, чтобы понять, сколько квадратов поместится, не обязательно их рисовать.

А если бы мы считали ряды по-другому? Каждый вертикальный ряд содержит  квадрата, и всего помещается  таких рядов (Рис. 9): .

Рис. 9.  рядов

Рассмотрим прямоугольник побольше. Если бы мы стали рисовать единичные квадраты, то получилось бы  рядов по  штук в каждом (Рис. 10), или, наоборот,  столбиков по  в каждом.

Рис. 10.  рядов

Рис. 11.  рядов

Но этого делать необязательно. Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой, причем в любом порядке: .

Итак, мы получили основной вывод: площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних сторон:  (Рис. 12).

Рис. 12. Прямоугольник

Если длины сторон измерены в сантиметрах, то площадь по этой формуле получится в: . Если длины в метрах, то значение площади получатся в: .

Примеры

Пример 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами  м и  м (Рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к примеру 

Решение

Ответ: .

Пример 2. Найти площадь прямоугольника со сторонами  мм и  мм.

Решение

Чтобы найти площадь, нам необязательно рисовать прямоугольник. Все нужные данные у нас есть: .

Ответ: .

Может оказаться, что стороны будут измерены в разных единицах.

Пример 3. Найти площадь прямоугольника со сторонами  м и  см (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3

В такой ситуации нужно выразить длины сторон в одних и тех же единицах измерения.

Переведем  м в сантиметры: . Так как теперь длины у нас в см, то площадь мы получим в : .

Ответ: .

Площадь квадрата

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом (Рис. 15).

Рис. 15. Квадрат

К нему тоже применима формула площади прямоугольника. Но так как стороны равны, то формулу можно записать короче: .

Пример: найти площадь квадрата со стороной  м  см.

Решение

Запишем длину стороны в одних единицах, в сантиметрах: .

Найдем площадь квадрата: .

Ответ: .

Другой тип задач

Встречаются задачи, где уже известна площадь прямоугольника и длина одной стороны. Требуется найти другую сторону. Разберем этот случай на конкретном примере.

Пример: поле имеет ширину  метров. Какова должна быть длина поля, что площадь поля получилась  га (Рис. 16)?

Рис. 16. Иллюстрация к примеру

Решение

Начнем с единиц, в которых нам дана площадь. Вспомним, что такое  га. Гектар – мера площади, используемая в сельском хозяйстве. Она равна площади квадратного участка земли со стороной  м. Вычислим эту площадь в : . То есть площадь в  и называют  га.

Теперь вернемся к условию задачи. Требуемая площадь поля  га. Переведем ее в : . Итак, нам известны ширина поля и его площадь. Не известна длина поля. Обозначим ее  (Рис. 17).

Рис. 17. Характеристики поля в 

Воспользуемся формулой площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: . Площадь и одну длину мы знаем. Подставим в формулу: .

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: .

Ответ:  м.

Заключение

Итак, подведем итоги.

• Если нам известны две стороны прямоугольника (длина и ширина), то площадь прямоугольника находится по формуле  (Рис. 18).

Рис. 18. Произвольный прямоугольник

• Если длины сторон даны в м, то площадь получится в , если в мм, то площадь в , если длины в км, то площадь в .
• Если длины сторон указаны в разных единицах измерения (например, в метрах и километрах), то, прежде чем применять формулу, нужно выразить длины в одних и тех же единицах измерения (например, только в метрах).
• Формулу площади квадрата можно записать короче: .
• Если известна площадь и одна сторона прямоугольника, то мы можем найти другую сторону. Для этого площадь нужно разделить на длину известной стороны: .

Нахождение площади прямоугольника – простая, но очень важная задача. В дальнейшем мы будем ее использовать, чтобы получить формулы площадей других фигур.

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс. М.: Мнемозина, 2013.
2. Ерина Т.М. Математика 5 класс. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. М.: Экзамен, 2013.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика 5 класс. М.: Вентана-Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «school-assistant.ru» (Источник)
2. Интернет портал «school-assistant.ru» (Источник)
3. Интернет портал «edufuture. biz» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Стороны прямоугольника равны  см и  см. Чему равна его площадь?
2. Сторона квадрата равна  метров. Чему равна его площадь?
3. Площадь прямоугольника равна . Чему равна ширина, если его длина равна  см?

Конспект урока по теме Площадь прямоугольника 4 класс

Конспект урока математика

Тема: Площадь прямоугольника. Составление краткой записи к задаче в виде рисунка-схемы.

Тип урока: открытие новых знаний

Автор: учитель начальных классов Кузнецова К.Ю.

УМК: «Школа России»

Авторы: М.И. Моро, М.А. Бантоваа и др.

Класс: 3

Цель урока: формирование представления о площади; обеспечение усвоения детьми способа нахождения  площади прямоугольника по составленной формуле.

Способствовать формированию ключевых компетентностей: познавательной, информационной, коммуникативной, развивающей.

Планируемые результаты:

Личностные результаты:

-осознание алгоритма учебного действия;

-способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные результаты:

Регулятивные УУД

—умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

— проговаривать последовательность действий на уроке и высказывать своё предположение на основе работы с материалом учебника;

-уметь работать по коллективно составленному плану и оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки;

-вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

— планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей.

Познавательные УУД

— выведение алгоритма нахождения площади прямоугольника;

— научить составлять рисунок-схему;

— научить ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя;

-научить добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Коммуникативные УУД

-уметь оформлять свои мысли в устной форме; с

-слушать и понимать речь других;

-учиться работать в группе, формулировать собственное мнение и позицию.

Предметные результаты:

-уметь использовать в речи термины «длина», «ширина», «площадь»;

— уметь вычислять площадь прямоугольника;

-знать основные понятия длина, ширина, площадь.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

Урок я хочу начать словами французского философа Ж.Руссо:

«Вы талантливы, дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, как много и хорошо умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению».

Ребята, на каждом уроке вы стремитесь сделать для себя открытие, получить новые знания. Вот и сегодня мы постараемся углубить математические знания, узнать новое. С маленькой удачи начинается большой успех. Улыбнитесь и пожелайте друг другу удачи. В добрый путь за знаниями!

2.Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.

Устный счет.

   1)Найдите в каждом ряду числа, которые не являются результатом табличного умножения.

 6,18,17,12, 41

 24,30,16,11,28

2. Уменьшите на 4
6,18,17,12, 41
– Увеличить на 7
24,30,16,11,28

2)Игра “ Кто быстрее” (дети друг другу задают примеры на умножение)

5•7=	6 •5=	4•7=
9• 6=	7•9=	8 •7=
3• 7=	8•3=	6•7=
63:9=	54:9=	45:9=
49:7=	42:7=	35:7=

3) Школьники посадили 3 ряда берез по 8 берез в каждом ряду, и еще им осталось посадить 6 берез. Сколько всего берез надо было посадить?

 Послушайте математическую сказку.

Жила на свете важная фигура. Важность её признавалась всеми людьми, так как при изготовлении многих вещей форма её служила образцом. Кого бы ни встретила она на своём пути, всем хвалилась: «Посмотрите, какой у меня красивый вид: противоположные стороны равны, все углы прямые. Красивее меня нет фигуры на свете!»

Как же тебя зовут? – спрашивали её.

А зовут меня просто….(Прямоугольник)

Как догадались? (Признаки прямоугольника: противоположные стороны равны, все углы прямые)

Найдите среди данных фигур прямоугольники. (На доске развешаны фигуры:круг, треугольник, прямоугольни)

О какой фигуре мы сегодня будем говорить? (О прямоугольнике)

Посмотрите на два прямоугольника, которые я держу в руках. Что вы о них можете сказать? Как определить площадь которого прямоугольника больше? (на глаз, способом наложения фигур, меркой – см²)

— Что это значит см²?

3. Выявление места и причины затруднения.

 Зачем нам надо уметь находить площадь прямоугольника? (поклеить обои, покрасить пол, поклеить потолок).

Всегда ли в жизни удобно сравнивать площади прямоугольников этими способами? (на глаз)

Как найти площадь, не расчерчивая каждый раз на квадратные сантиметры?

Какая проблема возникла? (найти более удобный способ нахождения площади прямоугольника)

Сформулируйте тему урока. («Площадь прямоугольника»)

Какова цель урока? (познакомимся с нахождением площади прямоугольника,

сформируем умения находить площадь прямоугольника)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Что же нужно сделать?

Чтобы узнать площадь, надо знать длину и ширину.  Это правило можно записать в виде формулы.

Давайте подумаем как?

Площадь в математике принято обозначать буквой –S. Длина прямоугольника – а. Ширина – в. Как узнать площадь? (S = а*в)

Вот вы сами и вывели формулу нахождения площади, с помощью которой мы будем находить площадь любого прямоугольника.

Сформулируйте вывод: как найти площадь?

Что для этого нужно знать?

В каких единицах измеряется площадь?

5.Физкультминутка.

«Мы чертёжники».

-Начертите глазами луч (на стене найдите точку и отправьте луч далеко сквозь окно), кончиком носа — окружность, правой рукой- прямой угол, а левой- острый! Чертите аккуратно! Левой ногой — квадрат, а правой прямоугольник.

6.Реализация построенного проекта.

Решим задачу:

Начертите в тетрадях прямоугольник длина которого 9см, а ширина —  2см. Составим рисунок-схему. Найдите его площадь. Выполняется задание с комментированием.

Какими еще могут быть длины сторон прямоугольника с такой площадью? (3 и 6)

Начердите данный прямоугольник. Вычислите площадь.

Сформулируйте вывод: как найти площадь?

Что нужно для этого знать?

7. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

Работа с цифровым ресурсом Учи.ру

Работа с учебником.

С.60, №1,№2.

С.61, №9, устно.

8. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Умение находить площадь прямоугольника в жизни нам необходимо. Людям каких профессий нужно хорошо знать математику, производить расчёты, находить площадь фигур? (архитектору, конструктору, инженеру, строителю)

Предлагаю вам побыть в роли строителей. Построим дом, пользуясь математическими знаниями. Работа в группах.

А) Кто знает, с чего начинается строительство дома? (Со строительства фундамента)

Задача

Длина прямоугольника 8 см, а ширина 2 см. Чему равна площадь прямоугольника? (16 см²).

Б) Следующий этап в строительстве дома. (возведение стен)

Начертите прямоугольник со сторонами 8 см и 5 см. Чему равна площадь прямоугольника? (40 см²).

в) Следующий этап в строительстве дома. (возведение крыши – 3 группа)

— Какой формы крыша? (Треугольной) Высота крыши – 3 см. (5см, 8см, 5см)

— Найти периметр треугольника — крыши. (18см)

Дом построен! Легко ли быть строителем? Пригодятся ли математические знания строителям? У кого из вас возникло желание быть строителем?

9. Включение в систему знаний и повторение.

С.61. Вычисли площадь прямоугольника со сторонами 5см и 6 см.

Где можем применить умение находить площадь?

Для чего нужно умение измерять площадь и нужно ли оно?

10. Рефлексия деятельности.

 Что нового вы сегодня узнали?

— Как найти площадь прямоугольника?

Ребята, послушайте одну притчу.

Шёл мудрец и встретил 3 работников.

« Что ты сегодня делал?» — спросил он каждого.

Первый ответил:- «Я целый день таскал ненавистные камни».

Второй ответил:- «Я немного устал, но добросовестно выполнял свою работу».

Третий ответил:- «Сегодняшняя работа принесла мне радость и большое удовлетворение».

— Кто из вас на уроке был первым работником, вторым работником, третьим работником? Очень хорошо, что работа на этом уроке принесла вам радость, вы открыли новые знания. Оценки за урок.

11.Домашнее задание.

Учебник, с.61, №4.

MGSE4.MD.3, 8 — Площадь и периметр математики для 4-го класса Джорджии

Площадь и периметр

Описание

MGSE4.MD.3 Применение формул площади и периметра для прямоугольников в реальных и математических задачах. Например, найдите ширину прямоугольной комнаты, зная площадь пола и длину, рассматривая формулу площади как уравнение умножения с неизвестным коэффициентом. 8 Распознайте площадь как аддитивную. Находите площади прямолинейных фигур, разбивая их на непересекающиеся прямоугольники и добавляя площади непересекающихся частей, применяя эту технику для решения реальных задач.

Дополнительная информация

Ключевые слова

Другие темы Грузии

• MGSE4.NF.3ab

а) понимать сложение и вычитание дробей как соединение и разделение частей, относящихся к одному и тому же целому. (b) Разложите дробь на сумму дробей с одним и тем же знаменателем более чем одним способом, записав каждое разложение уравнением. Обоснуйте разложения, например, с помощью визуальной дробной модели. Примеры: 3/8 = 1/8 + 1/8 + 1/8; 3/8 = 1/8 + 2/8; 2 1/8 = 1 + 1 + 1/8 = 8/8 + 8/8 + 1/8.

• МГСЕ4.НБТ.2

MGSE4.NBT.2 Чтение и запись многозначных целых чисел с использованием десятичной системы счисления, имен чисел и расширенной формы. Сравните два многозначных числа на основе значений цифр в каждом разряде, используя символы >, = и < для записи результатов сравнения.

• МГСЕ4.НБТ.3

MGSE4.NBT.3 Используйте понимание разрядности для округления многозначных целых чисел до любого разряда.

• МГСЭ4.Г.3

MGSE4.G.3 Распознавать линию симметрии двумерной фигуры как линию, пересекающую фигуру, так что фигуру можно сложить по этой линии на соответствующие части. Определите линейно-симметричные фигуры и нарисуйте линии симметрии.

• МГСЭ4.МД.1

MGSE4.MD.1 Знать относительные размеры единиц измерения в пределах одной системы единиц, в том числе км, м, см; кг, г; фунт, унция; л, мл; ч, мин, сек. а. Понимать взаимосвязь между галлонами, чашками, квартами и пинтами. b. Выражайте более крупные единицы в единицах меньшего размера в той же системе измерения. c.Запишите эквиваленты измерений в таблицу из двух столбцов.

Вот навык, которым Грузия требует от вас овладеть

• Уровень образования 4
• Государственный тест GMAS (Система оценки вех в Грузии)
• ГОСТы Стандарты качества Грузии (GSE)
• Предмет Математика
• Название темы Площадь и периметр
• Стандартный идентификатор МГСЭ4. МД.3, 8
• Описание

  MGSE4.MD.3 Применение формул площади и периметра для прямоугольников в реальных и математических задачах. Например, найдите ширину прямоугольной комнаты, зная площадь пола и длину, рассматривая формулу площади как уравнение умножения с неизвестным коэффициентом. 8 Распознайте площадь как аддитивную. Находите площади прямолинейных фигур, разбивая их на непересекающиеся прямоугольники и добавляя площади непересекающихся частей, применяя эту технику для решения реальных задач.

Определение темы

Площадь — это пространство внутри границы плоского (двухмерного) объекта. Измеряется в квадратных единиц.

Формула — это факт или правило, записанное математическими символами.

Площадь прямоугольника
Площадь = длина × ширина

Периметр  – это расстояние  вокруг фигуры или формы.

Чтобы найти периметр добавьте длины сторон.

Периметр прямоугольника
Периметр = 2 × длина + 2 × ширина

Фигуры с одинаковым периметром могут иметь различных площадей . Фигуры с одинаковой площадью могут иметь

разных периметров .

Education Galaxy предлагает студентам онлайн-подготовку к GMAS

Education Galaxy обеспечивает онлайн-подготовку к GMAS (Система оценки вех Джорджии) для учащихся классов K-6, чтобы помочь достичь мастерства в соответствии со стандартами качества штата Джорджия (GSE) и улучшить баллы EOG. Наша уникальная онлайн-программа проста в использовании, доступна на английском и испанском языках и доставляет удовольствие как учителям, так и ученикам. Учащиеся работают над своими учебными планами, практикуя важные концепции, в то время как учителя составляют отчеты о формативной оценке, чтобы определить сильные и слабые стороны своего класса и отдельных учеников.

Математическое проектное обучение: площадь и периметр прямоугольников

Этот 5-дневный математический ресурс, основанный на проектах, применяет математические концепции в реальном сценарии, чтобы научить учащихся

площади и периметру r . В этом 5-дневном модуле учащиеся вычислят площадь и периметр прямоугольников, чтобы построить здание клуба. Этот математический проект увлекательный и аутентичный. Кроме того, он доступен как в цифровом, так и в печатном виде.

Этот математический ресурс, основанный на проекте, охватывает понятия площади и периметра.0050 согласовано со следующим общим базовым государственным стандартом по математике для 4-го класса:

CCSS.MATH.CONTENT.4.MD.A.3

Применение формул площади и периметра для прямоугольников в реальном мире и математических задачах. Например, найдите ширину прямоугольной комнаты, зная площадь пола и длину, рассматривая формулу площади как уравнение умножения с неизвестным коэффициентом .

Этот ресурс доступен как в печатной, так и в цифровой версии Google Slides.

Что включено в этот ресурс:

• Базовые знания: Используя KWL, учащиеся получат базовые знания об идеях клубных домов и начнут планировать свой клубный дом.

• Понятия площади и периметра: С помощью прилагаемых страниц с инструкциями учащиеся узнают разницу между площадью и периметром.

• Вычислить периметр: С помощью прилагаемых страниц с инструкциями учащиеся узнают, как вычислить периметр прямоугольника, используя формулу периметра.

•Планирование базы клуба: Используя концепции периметра, учащиеся спроектируют базу клуба.

• Вычислить площадь: С помощью прилагаемых страниц с инструкциями учащиеся узнают, как вычислить площадь прямоугольника, используя формулу площади.

• Планирование стен здания клуба: Используя концепции площади, учащиеся спроектируют стены здания клуба.

• Завершение проекта: Используя понятия площади и периметра, учащиеся добавят детали к проекту своего клуба и рассчитают окончательные размеры своего клуба.

• Материалы для планирования: Используя концепции площади и периметра, учащиеся будут планировать, сколько материалов им нужно купить для строительства своего клуба.

•Добавить детали: Используя понятия площади и периметра, учащиеся будут добавлять детали, такие как мебель и украшения, к дизайну своего клуба.

•Добавить табличку: Учащиеся придумают табличку, которую повесят на здании своего клуба.

•Подведение итогов: Учащиеся составляют окончательный план своего клуба и объясняют свои решения.

****************************************************** ***************************

Советы покупателям:

Как получить кредит TPT для будущих покупок:

• После входа в систему перейдите на страницу Мои покупки .