| Распределение ГауссаGaussian distribution Распределение Гаусса (нормальное распределение)
− плотность распределения вероятностей случайной величины n. Функция GXσ называется функцией Гаусса.
Говорят, что результаты измерений имеют нормальное распределение, если они
описываются функцией Гаусса. Распределение Гаусса, в отличие от распределения
Пуассона, характеризуется двумя независимыми параметрами X и σ. X − среднее
число отсчетов, которое мы ожидаем получить в случае многократного повторения
измерений. σ − среднее стандартное отклонение. На рис. Сравним распределения Гаусса GXσ(n) и Пуассона .
Pμ(n) ≈ GXσ(n), при X = μ, σ = √μ.
|
Боттомоний
Чармоний
1 показано два нормальных или
гауссовых распределения, соответствующие различным измерениям с одинаковыми
значениями X и разными σ. В первом случае X = 50, σ = 0.5, во втором случае
− X = 50, σ = 1. Величина σ в знаменателе экспоненты обеспечивает для более
узкого распределения большую высоту в максимуме.
к. ширина распределения Пуассона σ автоматически определяется величиной
μ (σ = √μ).
Нормальное распределение (закон Гаусса, кривая Гаусса)
Теория
1. Общие положения
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:
(3.20)
где а – произвольный, а – положительный параметры.
Закон (распределение) Гаусса имеет огромное значение в теории вероятностей и её приложениях. Основное отличие этого закона от рассмотренных выше законов заключается в том, что он является предельным законом, к которому при некоторых условиях приближаются другие законы распределения. Нормальное распределение считается заданным, если заданы его параметры a, σ. Оно позволяет анализировать случайные погрешности измерений изготовленных изделий, осуществлять контроль технологических процессов, анализировать ошибки стрельбы, исследовать различные классы шумов радиотехнических устройств и др. В частности, это распределение позволяет определять вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал, определять вероятность отклонения размеров изделий от их средних значений (математических ожиданий), вычислять интервалы, в которых будут заключаться размеры изделий, если задана некоторая вероятность, и другие задачи – прямые и обратные, связанные с использованием формулы (3.
20) и вытекающих из неё других формул.
Покажем, что функция f(x) удовлетворяет основному свойству плотности распределения – условию нормировки: .
Кроме того, f(x) > 0 в силу свойства показательной функции и f(x) – непрерывна при . Кривая, соответствующая (3.20) называется кривой Гаусса, и она имеет вид, показанный на рисунке 3.22.
Рис. 3.22 |
Функция распределения имеет вид .
Параметр a характеризует сдвиг кривой Гаусса вправо (a > 0) или влево (a < 0). Если a = 0, а σ = 1, то точка максимума располагается на оси OY, и нормальное распределение тогда называется стандартным. Для такого распределения плотность выражается формулой: . В этом случае совпадает с функцией Гаусса, которая использовалась ранее при вычислении вероятности по формулам Лапласа (см.
подраздел 2.6.2).
Установим смысл параметров a и σ, определяющих нормальное распределение. С этой целью необходимо найти M(x) и D(x) с использованием функции f(x) .
Таким образом, a = M(x). (Первый интеграл в преобразуемом выражении равен нулю в силу нечетности функции и симметрии пределов интегрирования относительно начала координат).
Аналогично вычисляется и дисперсия, соответствующая нормальному распределению с f(x) (3.20).
Таким образом, , а – среднеквадратичное отклонение ( как параметр нормального распределения равен σ как среднеквадратичному отклонению).
Замечание. Начальный момент, равный медиане, для нормального распределения равен a, а коэффициент асимметрии A = 0 и коэффициент «островершинности» E = 0. Поэтому кривая Гаусса симметрична относительно прямой x = a.
2.
Исследование поведения функции f(x) нормального распределения
1) Функция f(x) > 0 при всех , т.е. график f(x) расположен выше оси абсцисс.
2) , т.е. ось абсцисс является горизонтальной асимптотой f(x).
3) при x=a и при x<a, при x>a. Таким образом, в точке x = a реализуется максимум f(x) и точка максимума есть (см. рисунок 3.23).
4) Как было отмечено выше, график функции f(x) симметричен относительно прямой x=a т.к. разность x – a в формуле для f(x) возведена в квадрат.
5) ;
Таким образом, в точках , расположенных симметрично относительно прямой x = a, функция f(x) имеет перегиб, т.е. точками перегиба являются
.
6) Влияние изменения параметров a и на поведение кривой f(x).
Изменение параметра а не изменяет форму кривой Гаусса, а приводит только к сдвигу ее вдоль оси (рисунок 3.23 a).
Рис. 3.23
Параметр σ изменяет точку максимума (см. п.3) , т.е. чем больше σ, тем ближе расположена точка максимума к оси Ox. Кроме того, чем меньше параметр σ, тем ближе расположены точки перегиба к прямой x = a и тем выше эти точки (рисунок 3.23 б).
2}{2}\ справа\} ду.$$
Этот интеграл не имеет решения в замкнутой форме. Тем не менее из-за важности
нормальное распределение, значения $F_Z(z)$ сведены в таблицы, и многие калькуляторы и
пакеты программного обеспечения имеют эту функцию. Обычно мы обозначаем стандартную нормальную CDF через $\Phi$. 92}{2}\right\} du.$$| $F_X(x)$ | $=P(X \leq x)$ |
| $=P( \sigma Z+\mu \leq x) \hspace{20pt} \big(\textrm{где} Z \sim N(0,1)\big)$ | |
| $=P\left(Z \leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right)$ | |
$=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right). $ |
Чтобы найти PDF, мы можем взять производную от $F_X$,
| $f_X(x)$ | $=\frac{d}{dx} F_X(x)$ 92}\справа\},$$
$$F_X(x)=P(X \leq x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),$$
$$P(a На рис. 4.8 показана PDF нормального распределения для нескольких значений $\mu$ и $\sigma$. Рис.4.8 – PDF нормального распределения. Пример
Важным и полезным свойством нормального распределения является то, что линейное преобразование нормального случайная величина сама по себе является нормальной случайной величиной. В частности, справедлива следующая теорема: 92_Х).$$ ← предыдущая следующая → Печатная версия книги доступна на Amazon здесь. |
Нормальное распределение | Определение, примеры, графики и факты
нормальное распределение
Просмотреть все носители
- Связанные темы:
- функция распределения стандартное нормальное распределение
Просмотреть весь связанный контент →
нормальное распределение , также называемое распределением Гаусса , наиболее распространенная функция распределения для независимых, случайно сгенерированных переменных.
Его знакомая колоколообразная кривая повсеместно используется в статистических отчетах, от анализа опросов и контроля качества до распределения ресурсов.
График нормального распределения характеризуется двумя параметрами: средним, или средним значением, которое является максимумом графика и относительно которого график всегда симметричен; и стандартное отклонение, которое определяет степень отклонения от среднего значения. Небольшое стандартное отклонение (по сравнению со средним) дает крутой график, тогда как большое стандартное отклонение (опять же по сравнению со средним) дает плоский график. См. рисунок.
Викторина по Британике
Дайте определение: математические термины
Нормальное распределение получается с помощью функции нормальной плотности, 0243 /σКвадратный корень из √2π. В этой экспоненциальной функции e — это константа 2,71828…, это среднее значение, а σ — это стандартное отклонение. Вероятность попадания случайной величины в любой заданный диапазон значений равна доле площади, заключенной под графиком функции между заданными значениями и выше x — ось.
Поскольку знаменатель (σквадратный корень из √2π), известный как нормирующий коэффициент, приводит к тому, что общая площадь, заключенная в графике, точно равна единице, вероятности могут быть получены непосредственно из соответствующей площади, т. е. площадь 0,5 соответствует вероятность 0,5. Хотя эти площади можно определить с помощью исчисления, в 19 веке были созданы таблицы для особого случая = 0 и σ = 1, известного как стандартное нормальное распределение, и эти таблицы можно использовать для любого нормального распределения после того, как переменные соответствующим образом перемасштабированы путем вычитания их среднего значения и деления на их стандартное отклонение ( x − μ)/σ. Калькуляторы почти исключили использование таких таблиц. Для получения дополнительной информации см. теория вероятностей.
Термин «распределение Гаусса» относится к немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу, который впервые разработал двухпараметрическую экспоненциальную функцию в 1809 году в связи с исследованиями ошибок астрономических наблюдений.
Это исследование привело Гаусса к формулировке закона ошибки наблюдения и развитию теории приближения методом наименьших квадратов. Другое известное раннее применение нормального распределения принадлежит британскому физику Джеймсу Клерку Максвеллу, который в 1859 г.сформулировал свой закон распределения молекулярных скоростей, позже обобщенный как закон распределения Максвелла-Больцмана.
Французский математик Абрахам де Муавр в своей книге «Доктрина шансов » (1718 г.) впервые отметил, что вероятности, связанные с дискретно сгенерированными случайными величинами (такими, которые получаются при подбрасывании монеты или бросании игральной кости), могут быть аппроксимированы площадью под графиком показательной функции. Этот результат был расширен и обобщен французским ученым Пьером-Симоном Лапласом в его Theorie analytique des probabilités (1812; «Аналитическая теория вероятностей»), в первую центральную предельную теорему, которая доказала, что вероятности почти для всех независимых и одинаково распределенных случайных величин быстро сходятся (с размером выборки) к области под экспоненциальной функции, то есть к нормальному распределению.