Формула синус суммы: Формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов — урок. Алгебра, 10 класс.

Синус суммы. Сумма и разность синусов и косинусов, вывод формул, примеры. Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Тема урока. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.

(Урок усвоения новых знаний.)

Цели урока.

Дидактические :

вывести формулы суммы синусов и суммы косинусов и способствовать их усвоению в ходе решения задач;

продолжить формирование умений и навыков по применению тригонометрических формул;

проконтролировать степень усвоения материала по теме.

Развивающие:

способствовать развитию навыка самостоятельного применения знаний;

развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;

продолжить работу по развитию логического мышления и устной математической речи при поиске решения поставленной проблемы.

Воспитательные:

приучать к умению общаться и выслушивать других;

воспитывать внимательность и наблюдательность;

стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии.

Оборудование: презентация, интерактивная доска, формулы.

Ход урока:

Организационный момент. — 2 мин.

Актуализация опорных знаний. Повторение. – 12 мин.

Целеполагание. – 1 мин.

Восприятие и осмысливание новых знаний. – 3 мин.

Применение приобретённых знаний. – 20 мин.

Анализ достижений и коррекция деятельности. – 5 мин.

Рефлексия. — 1мин.

Домашнее задание. – 1 мин.

1. Организационный момент. (слайд 1)

– Здравствуйте! Тригонометрия – один из интереснейших разделов математики, но почему-то большинство учащихся считают его самым трудным. Объяснить это, скорее всего можно тем, что в этом разделе формул больше, чем в любом другом. Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Многие формулы уже изучены, но оказывается, не все. Поэтому девизом этого урока станет изречение Пифагора «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».

Давайте мыслить!

2. Актуализация опорных знаний. Повторение.

1) математический диктант с взаимопроверкой (слайды 2-5)

Первое задание. Используя изученные формулы вычислить:

1 вариант

2 вариант

sin 390 0

cos 420 0

1 – cos 2 30 0

1 – sin 2 60 0

сos 120 0 ∙cos 30 0 + sin 120 0 ∙sin 30 0

sin 30 0 ∙cos 150 0 + cos 30 0 ∙sin 150 0

Ответы: ; 1 ; -; ; — ; — 1 ; 1 ; ; ; 0 ; ; 3 . – взаимопроверка.

Критерии оценок: (работы сдаются учителю)

«4» — 10 – 11

2) задача проблемного характера (слайд 6) – доклад учащегося.

Упростить выражение, используя тригонометрические формулы:

А можно ли эту задачу решить иначе? (Да, с помощью новых формул.)

3. Целеполагание (слайд 7)

Тема урока:
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов. – запись в тетради

Цели урока:

вывести формулы суммы и разности синусов, суммы и разность косинусов;

4. Восприятие и осмысливание новых знаний. (слайд 8-9)

Выведем формулу суммы синусов: — учитель

Аналогично доказываются остальные формулы: (формулы преобразования суммы в произведение)

Правила запоминания!

В доказательстве каких ещё тригонометрических формул использовались формулы сложения?

5. Применение приобретённых знаний. (слайды 10-11)

С помощью новых формул:

1)Вычислить: (у доски) – Что будет ответом? (число)

Под диктовку с учителем

6. Анализ достижений и коррекция деятельности. (слайд 13)

Дифференцированная самостоятельная работа с самопроверкой

Вычислить:

7. Рефлексия.

(слайд 14)

Удовлетворены ли вы своей работой на уроке?

Какую оценку вы поставили бы себе за весь урок?

Какой момент наиболее интересен был на уроке?

Где вам пришлось больше всего сконцентрироваться?

8. Домашнее задание: выучить формулы, индивидуальные задания на карточках.

). Эти формулы позволяют от суммы или разности синусов и косинусов углов и перейти к произведению синусов и/или косинусов углов и . В этой статье мы сначала перечислим эти формулы, дальше покажем их вывод, а в заключение рассмотрим несколько примеров их применения.

Навигация по странице.

Список формул

Запишем формулы суммы и разности синусов и косинусов. Как Вы понимаете, их четыре штуки: две для синусов и две для косинусов.

Теперь дадим их формулировки. При формулировании формул суммы и разности синусов и косинусов угол называют полусуммой углов и , а угол — полуразностью. Итак,

Стоит отметить, что формулы суммы и разности синусов и косинусов справедливы для любых углов и .

Вывод формул

Для вывода формул суммы и разности синусов можно использовать формулы сложения , в частности, формулы
синуса суммы ,
синуса разности ,
косинуса суммы и
косинуса разности .

Также нам потребуется представление углов и в виде и . Такое представление правомерно, так как и для любых углов и .

Теперь подробно разберем вывод формулы суммы синусов двух углов вида .

Сначала в сумме заменяем на , а на , при этом получаем . Теперь к применяем формулу синуса суммы, а к — формулу синуса разности:

После приведения подобных слагаемых получаем . В итоге имеем формулу суммы синусов вида .

Для вывода остальных формул нужно лишь проделать аналогичные действия. Приведем вывод формул разности синусов, а также суммы и разности косинусов:

Для разности косинусов мы привели формулы двух видов или . Они эквивалентны, так как , что следует из свойств синусов противоположных углов .

Итак, мы разобрали доказательство всех формул суммы и разности синусов и косинусов.

Примеры использования

Разберем несколько примеров использования формул суммы синусов и косинусов, а также разности синусов и косинусов.

Для примера проверим справедливость формулы суммы синусов вида , взяв и . Чтобы это сделать, вычислим значения левой и правой частей формулы для данных углов. Так как и (при необходимости смотрите таблицу основных значений синусов и косинусов), то .

При и имеем и , тогда . Таким образом, значения левой и правой частей формулы суммы синусов для и совпадают, что подтверждает справедливость этой формулы.

В некоторых случаях использование формул суммы и разности синусов и косинусов позволяет вычислять значения тригонометрических выражений, когда углы отличны от основных углов (). Приведем решение примера, подтверждающего эту мысль.

Пример.

Вычислите точное значение разности синусов 165 и 75 градусов.

Решение.

Точных значений синусов 165 и 75 градусов мы не знаем, поэтому непосредственно вычислить значение заданной разности мы не можем. Но ответить на вопрос задачи нам позволяет формула разности синусов . Действительно, полусумма углов 165 и 75 градусов равна 120 , а полуразность равна 45 , а точные значения синуса 45 градусов и косинуса 120 градусов известны.

Таким образом, имеем

Ответ:

.

Несомненно, главная ценность формул суммы и разности синусов и косинусов заключается в том, что они позволяют перейти от суммы и разности к произведению тригонометрических функций (по этой причине эти формулы часто называют формулами перехода от суммы к произведению тригонометрических функций). А это в свою очередь может быть полезно, например, при преобразовании тригонометрических выражений или при решении тригонометрический уравнений . Но эти темы требуют отдельного разговора.

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Формулы приведения

Формулы приведения дают возможность находить значения тригонометрических функций для любых углов (а не только острых). С их помощью можно совершать преобразования, упрощающие вид тригонометрических выражений.

Рисунок 1.

Кроме формул приведения при решении задач используются следующие основные формулы.

1) Формулы одного угла:

2) Выражение одних тригонометрических функций через другие:

Замечание

В этих формулах перед знаком радикала должен быть поставлен знак $»+»$ или $»-«$ в зависимости от того, в какой четверти находится угол.

Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов

Формулы суммы и разности функций:

Кроме формул суммы и разности функций, при решении задач бывают полезны формулы произведения функций:

Основные соотношения между элементами косоугольных треугольников

Обозначения:

$a$, $b$, $c$ — стороны треугольника;

$A$, $B$, $C$ — противолежащие перечисленным сторонам углы;

$p=\frac{a+b+c}{2} $ — полупериметр;

$S$ — площадь;

$R$ — радиус описанной окружности;

$r$ — радиус вписанной окружности. \circ -\left(A+B\right)$.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α — β 2 . Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

Формулы суммы и разности для косинусов

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 cos α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · β — α 2

Данные формулы справедливы для любых углов α и β . Углы α + β 2 и α — β 2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета.

Дадим формулировку для каждой формулы.

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α — β) = sin α · cos β — cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

α = α + β 2 + α — β 2 = α 2 + β 2 + α 2 — β 2 β = α + β 2 — α — β 2 = α 2 + β 2 — α 2 + β 2

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

sin α + sin β = sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму — формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

sin α + β 2 + α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α — β 2

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

sin α — sin β = sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 — sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

Вывод формулы суммы косинусов

cos α + cos β = cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 + cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α — β 2

Вывод формулы разности косинусов

cos α — cos β = cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 — cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = — 2 sin α + β 2 sin α — β 2

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α = π 2 , β = π 6 . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 — π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α = 165 ° , β = 75 ° . Вычислим значение разности синусов этих углов.

Пример 2. Применение формулы разности синусов

α = 165 ° , β = 75 ° sin α — sin β = sin 165 ° — sin 75 ° sin 165 — sin 75 = 2 · sin 165 ° — 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · — 1 2 = 2 2

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Преобразование суммы (разности) косинусов двух углов в произведение

Для суммы и разности косинусов двух углов верны следующие формулы:

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна минус удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности этих углов.

Примеры

Формулы (1) и (2) могут быть получены многими способами. Докажем, например, формулу (1).

cos α cos β = 1 / 2 .

Полагая в ней (α + β) = х , (α — β) = у , мы и приходим к формуле (1). Этот способ аналогичен тому, с помощью которого в предыдущем параграфе была получена формула для суммы синусов двух углов.

2-й способ. В предыдущем параграфе была доказана формула

Полагая в ней α = х + π / 2 , β = у + π / 2 , получаем:

Но по формулам приведения sin (х + π / 2) == cos x , sin (у + π / 2) = cos у ;

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Формулу (2) мы предлагаем учащимся доказать самостоятельно. Попробуйте найти не менее двух различных способов доказательства!

Упражнения

1. Вычислить без таблиц, используя формулы для суммы и разности косинусов двух углов:

а). cos 105° + cos 75°. г). cos 11π / 12 — cos 5π / 12 ..

б). cos 105° — cos 75°. д). cos 15° -sin 15°.

в). cos 11π / 12 + cos 5π / 12 .. е). sin π / 12 + cos 11π / 12 .

2 . Упростить данные выражения:

а). cos ( π / 3 + α ) + cos ( π / 3 — α ).

б). cos ( π / 3 + α ) — cos ( π / 3 — α ).

3. Каждое из тождеств

sin α + cos α = \/ 2 sin (α + π / 4 )

sin α — cos α = \/ 2 sin (α — π / 4 )

доказать не менее чем двумя различными способами.

4. Данные выражения представить в виде произведений:

а). \/ 2 + 2cos α . в). sin x + cos y.

б). \/ 3 — 2 cos α . г). sin x — cos y .

5 . Упростить выражение sin 2 (α — π / 8 ) — cos 2 (α + π / 8 ) .

6 .Разложить на множители данные выражения (№ 1156-1159):

а). 1 + sin α — cos α

б). sin α + sin (α + β) + sin β .

в). cos α + cos 2α + cos 3α

г). 1 + sin α + cos α

7. Доказать данные тождества

8. Доказать, что косинусы углов α и β равны тогда и только тогда, когда

α = ± β + 2 nπ,

где n — некоторое целое число.

Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, нажав на «sin», выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Выведем формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Начнем с формулы

Как мы знаем, угол между векторами не может быть больше 180° (π). На рисунке Рис.1 угол между векторами и равен . На рисунке Рис.2 угол между векторами и равен .

Рассмотрим, теперь косинусы этих углов. Из формул приведения мы знаем (подпрбнее о формулах приведения смотрите на странице Формулы приведения тригонометрических функций онлайн):

Cкалярное произведение векторов и равно:

Так как точка имеет координаты , а имеет координаты (смотрите статью на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор), то скалярное произведения векторов и по координатам равно:

Поскольку левые части формул (2) и (3) равны, то равны и правые части этих формул. Следовательно выполнено равенство (1).

Докажем, далее, справедливость следующей формулы

Представим косинус суммы углов α и β в виде косинуса разности двух углов и воспользуемся формулой (1) и тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:

Перейдем к доказательству формул синусов суммы и разности углов:

Для доказательства формулы (5) воспользуемся формулами приведения тригонометрических функций и формулой (1):

Для доказательства формулы (6), представим разность углов в виде суммы и воспользуемся тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:

Формулы тангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:

Докажем формулу (7):

Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (9) на (, ):

Для доказательства формулы (9) представим разность углов в виде суммы, воспользуемся формулой (8) и учтем, что тангенс нечетная функция:

Формулы котангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:

Докажем формулу (10):

Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (12) на (, ):

Для доказательства формулы (11), представим разность углов α и β в виде суммы и учтем, что котангенс нечетная функция:

Умножив числитель и знаменатель в правой части уравнения (13) на −1, получим формулу (11).

Примеры использования формул суммы и разности углов тригонометрических функций

Пример 1. Найти точное значение .

Решение:

Ответ:

Пример 2. Найти косинус для угла 15°.

Решение:

Ответ:

Пример 3. Найти точное значение тангенса для угла 15° .

Решение:

Тангенсы для углов 45° и 15° известны. Подставим эти значения в (14):

Дробь в правой части уравнения (15) можно упростить, умножив числитель и знаменатель дроби на :

Ответ:

Мэтуэй | Популярные задачи

92

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	тан(пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найти точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	сек(60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найти точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	загар((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 пи)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	угловой синус(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	КСК(45)
83	Упростить	арктан(квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	грех(135)
85	Найти точное значение	грех(105)
86	Найти точное значение	грех(150 градусов)
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	загар((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	пи/4
90	Найти точное значение	грех(пи/2)
91	Найти точное значение	сек(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	угловой синус(0)
95	Найти точное значение	грех(120 градусов)
96	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97	Найти точное значение	соз(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразование градусов в радианы	88 градусов

Формулы суммы и разности углов: примеры и методы

На уроке тригонометрии наш учитель математики сказал, что сумма 30° и 40° даст 70°, а сумма sin30° и sin40° не даст sin70°, и это вызвало некоторый переполох в классе. Как же тогда сложить и вычесть синусов или косинусов углов ? Далее будет объяснено все, что вам нужно знать о таких операциях.

Какие формулы суммы и разности углов в тригонометрии?

Формулы суммы и разности углов представляют собой уравнения, используемые при выполнении сложения и вычитания тригонометрических тождеств.

В отличие от обычных арифметических операций сложение и вычитание тригонометрических функций имеют другой подход. Например, cos (45° -15°) не совпадает с cos45° — cos15°. Это становится более сложной задачей, когда в таких арифметических операциях участвуют тригонометрические функции. Итак, для решения этой задачи необходимо вывести формулы.

Знание тригонометрических функций специальных углов, таких как синусы, косинусы и тангенсы 30, 45, 60 и 90 градусов означает, что сложение или вычитание этих углов может дать другие углы. Например, можно вывести sin15°, поскольку sin15° совпадает с sin(45-30)°. Далее мы будем выводить формулы для решения этих операций.

Доказательство суммы и разности функций косинуса

Разность функций косинуса

Рассмотрим рисунок ниже:

— StudySmarter Originals

Рисунок выше взят из стандартного положения единичного круга. Если a — это угол ∠ PON , а b — это угол ∠Q ON , то угол ∠ POQ равен ( a-b ). Следовательно, является горизонтальной составляющей точки P и является ее вертикальной составляющей. В то время как горизонтальная составляющая точки Q , а ее вертикальная составляющая. Таким образом, чтобы найти расстояние PQ, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками.

Где в пункте P , есть и в пункте Q , есть. Таким образом,

Перестановка уравнения

Помните:

Тогда:

, если угол (A-B

, если у Angle (A-B . O до точки S на рисунке ниже

Рисунок 2: Изображение угла ( a-b ), — StudySmarter Originals

Затем расстояние SN на рис. точки в S ( cos (a-b) , sin (ab) ) и N (1 , 0).

Использование

Где точка S и N , то

Переставить и привести подобные термины

Помните, что

тогда;

Remember that

then

Thus

Solve the algebra by subtracting 2 from both sides of the equation

Divide both sides by -2 on both sides

Summing функций косинуса

Таким образом, подставьте значение b вместо -b в уравнении.

Обратите внимание, что

и

Следовательно,

Доказательство суммы и разности синусоидальных функций

Суммирование синусоидальных функций

Нарисуйте прямоугольный треугольник ABC, как показано ниже.

Изображение прямоугольного треугольника, — StudySmarter Originals

Нарисуйте другую прямую, пересекающую A и касающуюся линии BC в точке D, так, чтобы угол BAD был равен β, а угол DAC равен α, как показано ниже.

Нарисуйте линию, перпендикулярную точке D, которая касается линии AB в точке E, как показано ниже.

Из точки E проведите линию, перпендикулярную линии AC, пересекающую линию AD в точке F и пересекающую линию AC в точке G, как показано ниже.

Проведите линию из точки D в точку H на линии EG, перпендикулярную линии EG, как показано ниже.

Обратите внимание, что для каждого последующего шага следует обращаться к рисунку выше.

Поэтому

Используя SOHCAHTOA

Обратите внимание, что строка EG = EH + HG, поэтому

Отзыв;

прямые HG и DC параллельны и равны.

Таким образом,

Видим, что

Это противоположные углы, потому что прямые HD и AC параллельны и пересекаются линией AD.

Примечание ниже

Напомним, что линия AD перпендикулярна линии ED. Следовательно,

Зная, что

, следовательно,

сумма углов в треугольнике равна 180°

Судя по их углам, треугольники ADC и EDH подобны. см. ниже

Изображение, доказывающее суммирование синуса углов, StudySmarter Originals

Из прямоугольного треугольника EDH

Напомним, что

Подставляем значение EH 90, 6 справа

90 -угольный треугольник AED, используя SOHCATOA

Подставьте значение в уравнение

Из прямоугольного треугольника ADC, используя SOHCAHTOA

Подставить значение DC в уравнение уравнение

Разность его функций

Зная, что

Таким образом, можно получить, заменив β на -β во всем уравнении.

Поэтому

Note that

and

therefore

Proving Sum and Difference of Tangent Functions

Summing of tangent functions

Recall that

Therefore

Thus

Разделить каждую часть правой части уравнения на cosAcosB

Разность тангенсов

Вспомним, что

Следовательно

Таким образом

Разделите каждую единицу правой части уравнения на cosAcosB

Ниже вы увидите, как применить сумму и разность формул 90 разностные формулы.

No related posts.