Сумма степеней положительных целых чисел — Пьер де Ферма (1601-1665), Франция
Автор(ы):
Джанет Бири (Университет Редлендс)
Пьер де Ферма, большую часть жизни проживший в Тулузе, Франция , был юристом, который проводил свободное время, занимаясь математикой. Как и Харриот, он никогда не публиковал свои работы, но намекал на них в письмах Марину Мерсенну, Жилю Персону де Робервалю и другим. Ферма известен тем, что сформулировал, но не доказал Великую теорему Ферма, которая, наконец, была доказана Эндрю Уайлсом в 1919 г.94.
В письмах к Мерсенну и Робервалю в 1636 г. Ферма сформулировал следующие результаты об обобщенных треугольных числах (Махони, стр. 230-231):
Последняя сторона, умноженная на следующую большую, дает удвоенный треугольник. Последняя сторона, умноженная на треугольник следующей большей стороны, в три раза больше пирамиды. Последняя сторона, умноженная на пирамиду следующей большей стороны, дает в четыре раза больше треугольника.
И так далее в той же последовательности до бесконечности.
И так далее в той же последовательности до бесконечности.Мы видели треугольные числа. Треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15, 21, … являются суммами последовательных положительных целых чисел; пирамидальные числа 1, 4, 10, 20, 35, 56, … являются суммами последовательных треугольных чисел; треугольные числа (как назвал их Ферма) 1, 5, 15, 35, 70, 126, … являются суммами последовательных пирамидальных чисел; и так далее. Например, четвертое треугольное число 10 задается как 10 = 1 + 2 + 3 + 4, а третье пирамидальное число 10 задается как 10 = 1 + 3 + 6. Если мы обозначим n -е треугольное число через \(T_n,\) n -е пирамидальное число через \(P_n,\) и n -е треугольное число через \(TT_n,\), то мы можем перевести первые три предложения Ферма к следующим трем уравнениям в наших обозначениях: $$n(n + 1) = 2T_n, \ nT_{n + 1} = 3P_n, \ {\rm and}\ nP_{n + 1} = 4TT_n. $$
Первое уравнение дает нам формулу $$T_n = {{n(n + 1)} \over 2}$$
для n
-го треугольного числа или, что то же самое, сумма первых n целых положительных чисел.
Этот результат, подставленный во второе уравнение, дает $$n\cdot{(n + 1)(n + 2) \over 2} = 3P_n\ {\rm or}\ P_n = {n(n + 1)( n + 2)\over 2 \cdot 3}$$для n -го пирамидального числа. Наконец, этот последний результат, подставленный в третье уравнение, дает $$TT_n = {{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \over {2 \cdot 3 \cdot 4}}$$
для n й треугольный номер.
В тех же письмах Ферма дал два намека на суммы степеней целых чисел. Во-первых, он написал следующую формулу для суммы четвертых степеней первых 93 } \over 3} — {n \over {30}}.$$
Было бы логично, если бы Ферма сообщил свою формулу для суммы четвертых степеней, потому что это была бы первая такая формула, которую он считал неизвестной ( Махони, стр. 232). В своем письме к Робервалю Ферма объяснил свое использование формул, описанных выше (Махони, стр. 231).
Все эти предложения, какими бы красивыми они ни были сами по себе, помогли мне в квадратуре, которую я рад, что вы оценили.
Биограф Ферма, Майкл Махони, утверждал, что, как и у Архимеда, результаты Ферма в «квадратурах» потребовали бы, чтобы у него были вербальные формулы для сумм степеней целых чисел (Махони, стр. 231-233). В частности, успех Ферма в вычислении определенного интеграла функции вида cx k потребовал бы, чтобы он описал формулу для суммы k -х степеней первых n положительных целых чисел. На самом деле было бы достаточно неравенства, подобного неравенству Архимеда, или предела, включающего только члены с показателем степени k + 1, поэтому мы не можем с уверенностью сказать, что у Ферма были формулы, отличные от той, которую он описал для суммы четвертых степеней.
Основываясь на приведенных выше доказательствах, Махони предположил, что Ферма использовал следующий метод для получения сумм степеней (Махони, стр. 231-232). Будем считать, что Ферма уже знал или вывел формулы для сумм первых 9n k .$$
Если теперь мы подставим в наши формулы суммы первых n натуральных чисел и их квадратов и кубов, умножим обе части уравнения на 24 и упростим, то получим одно (или все) формул для сумм четвертых степеней, приведенных выше.
На самом деле Харриот написал символические формулы, подобные тем, что помечены как \(T_n,\) \(P_n,\) \(TT_n,\) и \(TP_n\) (Харриот, листы 108-109; или Бири и Стедалл, стр. 58). -61), но, как мы видели, он использовал другой метод для вывода своих формул для сумм степеней целых чисел. Этот метод, подробно описанный выше, был описан более кратко в книге Бири и Стедалла (стр. 19).-20).
УПРАЖНЕНИЕ 15: Показать, как написать формулу Ферма для суммы первых N Четвертые силы в качестве (рациональные) кратные N ( N + 1) (2 N + 1)// 6.
Упражнение 16: Напишите формулу Ферма для треугольных чисел шестого порядка, 1, 7, 28, 84,… В словах и в символах, возможно, обозначающих N TH Шестой порядок треугольный номер как T N 6 . Примечание: Треугольные числа второго порядка — это треугольные числа 1, 3, 6, 10, …; треугольные числа третьего порядка пирамидальные числа 1, 4, 10, 20, …; треугольные числа четвертого порядка — треугольные числа 1, 5, 15, 35, …; а треугольные числа пятого порядка — треугольные пирамидальные числа 1, 6, 21, 56, ….
Упражнение 17: Используйте вашу формулу для n треугольного числа шестого порядка T n 6 из упражнения 16 вместе с формулой для n th треугольно-пирамидальное число TP n (или T n 5 ) и уже выведенные четыре формулы для сумм первых n 900 16 натуральных чисел и их квадраты, кубы и четвертые степени , чтобы вывести формулу суммы первых n пятых степеней.
Для решения этих упражнений щелкните здесь.
Джанет Бири (Университет Редлендса), «Суммы степеней положительных целых чисел — Пьер де Ферма (1601-1665), Франция», Convergence (июль 2010 г.), DOI: 10.4169/loci003284
Power Summations
Power Summations| Дом | |||||
|
|
|
. + п 4 
. + п 7 