Формула тангенса косинуса синуса: Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс.

Синус, косинус и тангенс, тригонометрия, чистая математика

Главная >> ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА, тригонометрия, синус, косинус, тангенс

Общий угол

Синус

Косинус

Касательная

 

 

 

Общий угол

 

Рассмотрим радиус длины ‘1’ , вращающийся против часовой стрелки вокруг начала координат .

 

 

Координаты любой точки на окружности дают значения смежных и противоположных сторон прямоугольного треугольника с радиусом гипотенузы.

 

 

Общий угол ( θ тета) — это внутренний угол между радиусом и координатой x точки.

 

По мере вращения радиуса значения x и y изменяются.

Следовательно, значения синуса, косинуса и тангенса также меняются.

 

 

 

 

 

 

Результат представлен на диаграмме ниже.

 

 

 

 

Пример №1

 

 

 

 

 

 

 

Пример №2

 

 

 

вернуться к началу

 

 

Синус

 

 

 

 

Достопримечательности :

 

‘Синусоида’ начинается с ноль .

 

Повторяется каждые 360 градуса (или 2 пи).

 

y никогда не больше 1 и не меньше -1

(вертикальное смещение от оси x называется амплитудой ).

 

Sin-график опережает a cos-график на 90 градусов

 

 

вернуться к началу

 

 

Косинус

 

 

 

 

Достопримечательности:

 

‘Косинусный график’ начинается с один .

 

Повторяется каждые

360 градуса (или 2 pi).

 

y никогда не больше 1 и не меньше -1

(смещение от оси абсцисс называется амплитудой ).

 

«график cos» отстает от «графика sin» на 90 градусов (pi/2) — это называется фазовым сдвигом

 

 

вернуться к началу

 

 

Касательная

 

 

 

 

Достопримечательности:

 

«Касательная диаграмма» начинается с ноль .

 

Повторяется каждые 180 градусов.

 

y может варьироваться между числами, приближающимися к бесконечности и минус бесконечность.

 

 

Дальнейшее сравнение

 

Только функция косинуса симметрична (зеркальному отражению самой себя) относительно оси Y.

 

Все функции циклические — повторяется осциллограмма по горизонтальной оси.

 

 

 

 

вернуться к началу

 

Формулы сложения и вычитания для синуса и косинуса

Вербализация/вызов формул суммы

Формула суммы для косинуса 9{\text{  синус секунды}}} $$

Вот способ вспомнить по памяти формулу для $\,\cos(a + b)\,$:

• сначала напишите шаблон: $\cos\,\cos\ \ \ \ \sin\,\sin$
• отзывать: «синус тот же»; косинус другой:
  таким образом, знак плюс в $\,\cos(a \color{red}{+} b)\,$ заменяется на знак минус:
  $\cos\,\cos\ \color{red}{-}\ \sin\,\sin$
• поставить слагаемые на место (дважды), в том же порядке, в котором они появляются в $\,\cos(a+b)\,$:
  $\cos a\,\cos b\ \color{red}{-}\ \sin a\,\sin b$ 9{\text{  синус секунды}}} $$

  Вот способ вспомнить по памяти формулу для $\,\sin(a + b)\,$:

  • сначала напишите шаблон: $\sin\,\cos\ \ \ \ \cos\,\sin$
  • напомнить: ‘синус тот же’:
    таким образом, знак плюс в $\,\sin(a \color{red}{+} b)\,$ остается знаком плюс:
    $\sin\,\cos\ \color{red}{+}\ \cos\,\sin$
  • поставить слагаемые на место (дважды), в том же порядке, в котором они появляются в $\,\sin(a+b)\,$: 9\circ\,$), чтобы придать некоторую уверенность в разностных формулах.

    Доказательство формул суммы для синуса и косинуса

    Тождество — это математическое предложение, которое всегда верно .
    Формулы суммы, приведенные выше, не могут быть доказаны с помощью простого стратегии, изложенные в Проверка тригонометрических тождеств.
    Они требуют некоторого ума!

    Однажды, когда я говорила об этих личностях, мой гениальный муж (Рэй) нарисовал эскиз, который дает обе формулы.
    Эскиз показан ниже вместе с пошаговой информацией о том, как получить сумму формулы из эскиза. Я люблю это!
    Поместите начало координат в точку $\,A\,$; предположим, что и $\,a\,$, и $\,b\,$ измеряются в градусах.

Формулы суммирования и разности для синуса и косинуса
Разнообразие имен:	Для всех действительных чисел $\,a\,$ и $\,b\,$:	Стенографические обозначения
Формула сложения для косинуса Формула суммы для косинуса Формула сложения косинуса Формула суммы косинуса	$$\cos(a\color{blue}{\bf +}b) = \cos a\ \cos b \color{red}{\bf -} \sin a\ \sin b$$	Эти две формулы часто представляются с помощью этого сокращения: $$ \cos(a\pm b) = \cos a\ \cos b \ \mp\ \sin a\ \sin b $$ Обратите внимание, что: ‘$\,\pm\,$’ читается как ‘плюс или минус’ ‘$\,\mp\,$’ читается как ‘минус или плюс’ Знак плюс (вверху слева) в $\,\pm\,$ соответствует знаку минус (вверху справа) в $\,\mp\,$. Знак минус (внизу слева) в $\,\pm\,$ идет со знаком плюс (внизу справа) в $\,\mp\,$.
Формула вычитания для косинуса Формула разности для косинуса Формула вычитания косинуса Формула разности косинусов	$$\cos(a\color{red}{\bf -}b) = \cos a\ \cos b \color{blue}{\bf +} \sin a\ \sin b$$
Формула сложения для синуса Формула суммы для синуса Формула сложения синуса Формула суммы синусов	$$\sin(a\color{blue}{\bf +}b) = \sin a\ \cos b \color{blue}{\bf +} \cos a\ \sin b$$	Эти две формулы часто представляются с помощью этого сокращения: $$ \sin(a\pm b) = \sin a\ \cos b \\pm\ \cos a\ \sin b $$ Обратите внимание, что: ‘$\,\pm\,$’ читается как ‘плюс или минус’ Знак плюс (вверху слева) в $\,\pm\,$ идет со знаком плюс (вверху справа) в $\,\pm\,$. Знак минус (внизу слева) в $\,\pm\,$ соответствует знаку минус (внизу справа) в $\,\pm\,$.
Формула вычитания для синуса Формула разницы для синуса Формула вычитания синусов Формула синусоиды	$$\sin(a\color{red}{\bf -}b) = \sin a\ \cos b \color{red}{\bf -} \cos a\ \sin b$$
Запоминающее устройство: Для формул суммы/разности синуса: когда слева есть плюс, справа есть плюс; если слева минус, то справа минус. Таким образом, S ine является S ame. (Для формулы косинуса они разные.)

Начните с прямоугольного треугольника $\,\треугольника ABC\,$ (в основном желтого цвета). Он имеет острый угол $\,a\,$ и гипотенузу длины $\,1\,$. Таким образом: нижняя часть: $\,\cos a\,$ боковая нога: $\,\sin a\,$ Сложите прямоугольный треугольник $\,\треугольник ADE\,$ (в основном зеленый) на гипотенузе желтого треугольника. Он имеет острый угол $\,b\,$ и гипотенузу длины $\,1\,$. Таким образом: нижняя часть: $\,\cos b\,$ боковая нога: $\,\sin b\,$ синий прямоугольный треугольник: поскольку $\,\overline{DF}\, ||\, \overline{AB}\,$, $\,\угол CDF = a\,$ гипотенуза: $\,1 — \cos b\,$ Таким образом: нижняя часть: $\,(1-\cos b)(\cos a)\,$ боковая нога: $\,(1-\cos b)(\sin a)\,$ фиолетовый прямоугольный треугольник: 9\цирк — а\,$ таким образом: $\,\угол DEG = a\,$ гипотенуза: $\,\sin b\,$ таким образом, нижняя нога: $\,\грех б\,\грех а\,$ таким образом, боковая нога: $\,\sin b\,\cos a\,$

Со всеми длинами сторон формулы сумм теперь просты: $$ \begin{выровнять} {2} \cssId{s146}{\cos(a+b)} &\cssId{s147}{\ =\ \cos a — (1-\cos b)(\cos a) — \sin b\,\sin a} &\qquad&\cssId{s148}{\text{($x$-значение точки $\,E\,$) }}\cr\cr &\cssId{s149}{\ =\ \cos a — \cos a + \cos b\,\cos a — \sin b\,\sin a}&\qquad&\cssId{s150}{\text{(распределительный закон)}}\ кр\кр &\cssId{s151}{\ =\ \cos a\,\cos b — \sin a\,\sin b}&\qquad&\cssId{s152}{\text{(отмена; коммутативность умножения)}} \кр\кр\кр\кр \cssId{s153}{\sin(a+b)} &\ \cssId{s154}{=\ \sin a — (1-\cos b)(\sin a) + \sin b\,\cos a} &\qquad&\cssId{s155}{\text{($y$-значение точки $\,E\,$) }}\cr\cr &\cssId{s156}{\ =\ \sin a — \sin a + \cos b\,\sin a + \sin b\,\cos a}&\qquad&\cssId{s157}{\text{(дистрибутив закон)}}\cr\cr &\cssId{s158}{\ =\ \sin a\,\cos b + \cos a\,\sin b}&\qquad&\cssId{s159}{\text{(отмена; коммутативность умножения)}} \end{выравнивание} $$

Для приведенного здесь эскиза все углы острые: $$ \cssId{s161}{0 Или доказательство для всех действительных чисел можно найти в стандартных текстах.