Формула уравнение касательной – . . .

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

      В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.

      Выведем уравнение секущей графика функции.

      Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

      Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

(1)

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

(2)

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

(4)

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Рис.2

      Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

B → A

и произносить   «B   стремится к   A».

      Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x₁ → x₀ .

      Определение 2. Если при   x₁ → x₀   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x₀;  f (x₀))  (рис. 3) .

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x₁ → x₀   отношение

(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x₀ ,   обозначают   f ′(x₀)   или и записывают так:

(6)

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x₀ ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x₀;  f (x₀))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)

(7)

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁)) (рис. 4).

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

(8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x₀;  f (x₀))   и   B = (x₁;  f (x₁))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x₀;  f (x₀))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Рис.6

      Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x₀   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x₀;  f (x₀)) :

f′(x₀) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Определение формулы касательной к окружности

Общая формула окружности

Уравнение касательной в указанной точке

Касательная к окружности

Если не использовать понятие производной, и взять объяснение из учебников середины прошлого века, то «Касательная к окружности — это прямая пересекающая окружность в двух совпадающих точках»

Окружность на  плоскости может быть представлена  в виде нескольких исходных данных

1. В виде  координат центра окружности (x0,y0) и её радиуса R.

2. В виде общего уравнения 

 

В виде параметрического вида и в полярных координатах мы рассматривать не будем, так как там формулы тоже на базируются на  координатах центра окружности и радиусе. 

Наша задача, зная параметры  окружности  и точку принадлежащую этой окружности вычислить параметры касательной к этой окружности.

Эта задача, является частным решением более общего калькулятор касательная к кривой второго порядка

Итак, если окружность выражена формулой

Уравнение касательной к окружности  если нам известны параметры общего уравнения  таково:

Таким  образом, зная все коэффициенты,   мы очень легко найдем уравнение касательной в заданной точке.

ВАЖНО: При указании точки, она должна быть обязательно(!!) принадлежать окружности,
и не быть точкой в какой либо стороне. В противном случае, уравнение касательной будет неверным.

Примеры

Вычислить уравнение касательной в точке (13.8, 0) к окружности выраженной формулой

Запишем коэффиценты этой кривой, взглянув на общую формулу

 

 

 

Общая формула окружности

Уравнение касательной в указанной точке

 

Второй пример:

Через окружность с центром (8.71, -4) и радиусом 7 проходит касательная и касается в точке (4,-4)

Найти уравнение этой прямой.

Раз у нас заданы радиус и коордианты центтра то уравнение имеет вид

раскроем скобки, получим 

Общая формула окружности

Уравнение касательной в указанной точке

Отрисовав, полученные линии в GeoGebra мы убедимся что расчет произведен верно.

Формально, используя вышеупомянутую программу, касательную можно провести там проще и быстрее. Смотрите где и как проще.

Удачных расчетов!

• Определить формулу окружности по трем точкам >>

abakbot.ru

Уравнение касательной к графику функции в заданной точке

Пусть у нас имеется график некоторой непрерывной и дифференцируемой на некотором отрезке функции y = f(x) и задана некоторая точка x₀ из этого отрезка.

Мы хотим написать уравнение касательной к графику функции в этой точке.

Касательная – это прямая, а уравнение прямой, как известно, выражается формулой y = kx+c, коэффициент k равен тангенсу угла между этой прямой и положительным направлением оси ОХ. 

Как, известно, геометрический смысл производной f'(x) – тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке x. Значит в нашем случае k = f'(x₀).

Уравнение прямой примет вид y = f'(x₀)×x+c (*).

Неизвестным остается только один коэффициент – с. Найдем его следующим образом, раз это касательная в точке x₀, то она проходит через принадлежащую графику точку (x₀; f(x₀)). А раз прямая проходит через эту точку, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой.

Получаем уравнение:

f(x0) = f'(x0)×x₀+c;

c = f(x₀)-f'(x₀)×x₀.

Подставляя выражение для с в уравнение (*), получаем уравнение касательной к графику функции в точке x₀:

y = f'(x₀)×x+f(x₀)-f'(x₀)×x₀ = f'(x₀)(x-x₀

)+f(x₀).

 

Пример.

Найти уравнение касательной к графику функции y = x²+2x в точке x₀ = 1.

Уравнение касательной имеет вид:

y = f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀).

В нашем случае:

f'(x) = (x²+2x)’ = 2x+2;

f'(x₀) = 2×1+2 = 4;

f(x0) = 1²+2×1 = 3.

Уравнение касательной запишется в виде:

y = 4×(x-1)+3 = 4x-4+3 = 4x-1;

y = 4x-1.

studyport.ru

11.3. Уравнение касательной

и нормали. Физический смысл производной

Производная функции в точкепредставляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке

где – угол наклона касательной к осиOx. В этом состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке гдеимеет вид:

(11.9)

Прямая, проходящая через точку графика функцииперпендикулярно касательной, проведенной в этой точке, называетсянормалью к графику функции

в точке(рис. 11.1). Уравнение нормали имеет вид:

(11.10)

где

Рис. 11.1

Физические приложения производной

1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией томгновенная скорость движения в момент времени есть производная от путиS по времени t:

(11.11)

2. Если функцией описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени

есть производная от скоростиv по времени t:

(11.12)

3. Если – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температурыT, то теплоемкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T:

4. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке есть производная от массыm по длине l:

5. Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т. е. производной от магнитного потока  по времени t:

6.

Сила тока в колебательном контуре в момент времени t₀ равна производной заряда q по времени t:

Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке с абсциссойx = 2.

Решение. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (11.9). Сначала найдем ординату точки касания Для этого значениеподставим в уравнение функции:

Для нахождения углового коэффициента найдем производную используя формулу дифференцирования дроби:

Найдем значение производной при

Подставив найденные значения в формулу (11.9), получаем уравнение касательной:

т. е.

Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (11.10):

Получим, что уравнение нормали, проведенной к заданной кривой в заданной точке, имеет вид

Пример 2. Определить, в какой точке кривой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45.

Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен значению производной в точке касания, найдем производную функции:

По условию Следовательно,

Отсюда:

Получили два значения абсциссы точки касания:

т. е. существуют две точки касания, в которых касательная образует угол 45 с осью Ох.

Найдем соответствующие ординаты точек касания, подставляя значения в формулу функции:

Приходим к ответу: в точках икасательная к заданной кривой образует с осьюОх угол 45.

Пример 3. Найти острый угол между параболами ив точке их пересечения, имеющей отрицательную абсциссу.

Решение. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения – это угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке их пересечения. Тангенс этого угла вычислим по формуле

(11.13)

где k₁ и k₂ – угловые коэффициенты касательных, проведенных к параболам в заданной точке.

Найдем точку пересечения этих парабол. Для этого решим систему:

Отсюда Условию задачи удовлетворяет точкаНайдем коэффициентk₁:

Аналогично найдем k₂:

Воспользуемся формулой (11.13) и получим:

откуда

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону

Найти скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.

Решение. Согласно формуле (11.11), скорость есть производная функции S(t), а, согласно формуле (11.12), ускорение а(t) есть производная скорости v(t).

Последовательно вычислим производные:

Найдем момент времени, когда ускорение равно нулю:

Вычислим скорость движения тела в момент времени

Задания

studfiles.net

Уравнение касательной к графику функции

Лекция

Тема: Уравнение касательной к графику функции

Цель: Рассмотреть уравнений касательной к графику функции

 1. Уравнение касательной к графику функции

На предыдущих занятиях были рассмотрены задачи на технику дифференцирования. Это очень важные задачи, и нахождение производных необходимо в разных задачах, в том числе и в составлении уравнения касательной.

 Построим кривую  (см. рис.1).

 

Рис. 1. График функции .

Зафиксируем точку . Если , то значение функции равно . Значит, имеем точку с координатами (.

Задача: составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции  в точке с абсциссой , в которой  — существует.

Уравнение касательной – это прямая,  которая задается формулой  

Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами: и . Исходя из геометрического смысла производной  (тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент .

Параметр  найдем из условия, что касательная проходит через точку (, то есть  . 

 .

Стало быть  .

Запишем уравнение касательной

.

Или, .

Получили уравнение касательной к кривой  в точке с абсциссой .

 2. Смысл элементов уравнения касательной

Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.

1) ( – точка касания касательной и графика функции.

2)  — угловой коэффициент касательной к графику функции.

3)  – произвольная точка на касательной.

Очень много задач, когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что   – это произвольная точка на касательной.

Итак, получили уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной, и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.

 3. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

Задача.

К кривой  в точке с абсциссой  провести касательную. Проиллюстрируем поиск касательной на рисунке (см. рис.2).

 

Рис. 2. Касательная к графику функции .

Зафиксируем точку . Значение функции в этой точке  равно 1.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:

1)  Найти  и точку касания. 

 — дано.Точка касания: (;.

2) Найти производную в любой точке .

.

3) Найти значение производной в точке с абсциссой .

 .

4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.

.

Упрощаем и получаем:  .

Ответ: .

 4. Сопутствующие задачи

Задача 1.

Пусть дано уравнение касательной .

Найдите точки пересечения касательной с осями координат.

Если , то .  – это первая точка.

Если , то  .  — вторая точка.

Итак, первая точка – это точка  с координатами . Вторая точка – точка пересечения с осью  , точка  с координатами  (см. рис.3).

Рис.3. Точки пересечения касательной к графику функции  с осями координат. Задача 2.

Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка .

Рассмотрим прямоугольный треугольник (Рис. 3). Длина катета  равна 1. Длина катета   . Длину отрезка  из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:

 

Задача 3.

Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Ясно, что это площадь треугольника (Рис. 3) — площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Следующая задача для самостоятельного решения.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около треугольника .

 5. Касательная к графику тригонометрической функции

Рассмотрим пример.

Дана функция . Написать уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.

Рассмотрим графическую иллюстрацию (см. рис.4).

Рис. 4. Касательная к  графику функции .

Нахождение точки касания.

1.   Точка касания имеет координаты .

2. Найти .

3. Найти 

И, последнее действие, – написать уравнение касательной.

4. .

 Упростим и получим  .

Заметим в точке  синусоида и касательная соприкасаются. В районе точки  синусоида и прямая почти не различаются.

Задачи для самостоятельного выполнения.

1. Написать уравнение касательной к графику функции   в точке .

2. Написать уравнение касательной к графику функции   в точке .

3. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции  параллельны оси абсцисс.

4. Дано уравнение касательной у=3х-1. Найдите точки пересечения касательной с осями координат. Если , то .  – это первая точка. Если , то  .  — вторая точка.

infourok.ru

Уравнение касательной и нормали к графику функции

Поиск Лекций

---

Известно из школьного курса математики, что уравнение прямой линии, проходящей через точку с координатами и имеющей угловой коэффициент , имеет вид:

(7.1)

Подставляя в эту формулу вместо значениепроизводная функции в точке , получим уравнение касательной к графикуфункции в точке с координатами : или .

Определение 7.7. Нормальюк графику функции в точке с координатами называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через те же точку .

Уравнение нормали к графику функции в точке с координатами получается из уравнения (7.1) прямой линии, имеющей угловой коэффициент , путем замены углового коэффициента

при условии, что .

Поэтому уравнение нормали имеет вид или .

Правила дифференцирования

Теорема 7.2.Постоянная функция имеет в любой точке производную, равную нулю.

 

Рисунок 7.2 Изображение функции

 

Рассмотрим функцию , её графиком будет прямая линия (см. рис.7.2). Возьмем произвольную точку , лежащую на графике функции. Дадим приращение . Получим точку , тоже лежащую на графике функции. Приращение значений функции будет равно нулю: . Поэтому , что и требовалось.

Теорема 7.3. Если каждая из функций и имеет производную в произвольной точке , то сумма , разность , произведение и частное ( при условии ) этих функций тоже имеет производную в этой точке , причем имеют место формулы

1) – производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных каждой функции;

2) – производная произведения двух функций равна сумме производной первого множителя умноженной на второй множитель и первого множителя умноженного на производную второго множителя;

3) – производная частного двух функций равна частному от деления разности производной числителя умноженного на знаменатель и числителя умноженного на производную знаменателя, на квадрат знаменателя.

Следствие 7.1. Из второй формулы получаем свойство: постоянный множитель можно выносить за знак производной, если взять , тогда , и получаем или .

Доказательство формулы производной суммы (разности)

Обозначим .

Тогда .По определению производной и основным теоремах о пределах, получаем

Следствие 7.2. Свойство производной суммы (разности) двух функций можно распространить на любое конечное число функций: производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.

 

Доказательство формулы производной произведения двух функций.

Обозначим .

Тогда . По определению производной и основным теоремах о пределах, получаем

Прибавим и отнимем в числителе произведение , тогда

.

Отсюда

, или , что и требовалось.

 

 

Доказательство формулы производной частного двух функций.

Пусть

Отсюда

Прибавим и отнимем в числителе произведение , тогда

 

.

Переходим к пределу при и .

, что и требовалось.

 

 

Таблица дифференцирования основных функций

 

Вывод формулы производной степенной функции .

Рассмотрим функцию .

Тогда . Отношение

.

Заменяем бесконечно малый множитель в числителе на эквивалентную бесконечно малую и переходим к пределу при .

Частные случаи к формуле № 1:

 

 

Вывод формулы производной показательной функции . . Рассмотрим функцию ,тогда . Используя свойства показательной функции, преобразуем отношение

Отношение

.

Заменяем бесконечно малый множитель в числителе на эквивалентную бесконечно малую и переходим к пределу при .

.

В частном случае, когда основание показательной функции совпадает с Неперовым числом , то производная , т.к. .

Вывод формулы производной логарифмической функции

при .

Функция , тогда . Используя свойства логарифмов преобразуем отношение

.

Заменяя числитель на эквивалентную бесконечно малую и переходя к пределу при , получаем

.

В частном случае, когда основание логарифмической функции совпадает с Неперовым числом , то производная , т.к. .

 

Таблица дифференцирования тригонометрических функций

 

 

Вывод формулы .

Рассмотрим функцию . Отношение

.

В числителе заменили разность синусов на удвоенное произведение синуса полу-разности и косинус полу-суммы аргументов.

Переходим к пределу при , и учитывая, что , получаем

 

Аналогично, выводится формула .

Рассмотрим функцию .

Отношение

В числителе разность косинусов заменим на удвоенное произведение синуса полу-разности и синус полу-суммы аргументов, взятого со знаком минус.

Переходим к пределу при и учитывая, что , получаем

.

Вывод формулы осуществляется по правилу дифференцируемости отношения двух функций.

.

Аналогично,

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

No related posts.