Формулы х1 х2 дискриминант: какая формула х1,х2 после нахождения дискрименанта

Презентация к уроку «Формулы корней квадратного уравнения»

12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 — 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058
Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация

 

Педагогическое сообщество
УРОК.РФ

 

Бесплатные всероссийские конкурсы

Бесплатные сертификаты
за публикации 

Нужна помощь? Инструкции для новых участников

Бесплатная   онлайн-школа для 1-4 классов

Всё для аттестацииПубликация в сборникеВебинарыЛэпбукиПрофтестыЗаказ рецензийНовости

БиблиотекаПубликацииСтатьи

Презентации

Материал опубликовала

#8 класс #Алгебра #ФГОС #Учебно-дидактические материалы #Контрольные / проверочные работы #Учитель-предметник #Школьное образование #УМК А. Г. Мордковича

Решите анаграммы (в словах изменен порядок букв) Таиимдкисрнн Ниваренуе Фэкоцинетиф Ерокнь дискриминант уравнение коэффициент корень

Математический диктант 1. Квадратным уравнением называется уравнение вида … 2. Числа а, в, с называются … квадратного уравнения. 5. Квадратное уравнение называется приведённым, если … 6. Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле D = … . 7. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет … . 3. В уравнении 3х² – 5х + 2 = 0 а = …, в = …, с = … . 4. Составьте квадратное уравнение, если а = 2, в = 4, с = – 5.

8. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет… . 11. Закончите решение уравнения: 3х² – 5х + 2 = 0. D = в² – 4ac, D = (–5)² – 4·3·2 = 25 – 24 = 1, х1 = …, х2 = … . Математический диктант 9. Если D < 0, то квадратное уравнение … . 10.Корни квадратного уравнения находятся по формулам: х1 = …, х2 = … .

Проверяем 1. ах² + вх + с = 0, а ≠ 0 2. коэффициентами 5. a = 1 7. два корня 9. не имеет корней 10. 11. х1 = 1, х2 = Х 1= 3. a = 3, b = – 5, c = 2 6. в² – 4ac 4. 2х² + 4х – 5 = 0 8. один корень

х² – 3175 х + 3174 = 0 ? ?

Сначала я делал открытия всем давно известные, потом не так известные, а потом новые. К.Э.Циолковский

Связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами 1-я группа 2-я группа 3-я группа 1. 5х² – 8х + 3 = 0 2. – х² + 4х – 3 = 0 3. 2х² + 3х – 5 = 0 4. х² – 3х + 2 = 0 1. х² – 4х – 5 = 0 2. – х² + 4х + 5 = 0 3. 2х² + 5х + 3 = 0 4. 5х² – 3х – 8 = 0 1. х² – 5х + 6 = 0 2. х² + 7х + 12 = 0 3. х² + 3х – 18 = 0 4. х² – 2х – 15 = 0

1-я группа 1. 5х² – 8х + 3 = 0 2. – х² + 4х – 3 = 0 3. 2х² + 3х – 5 = 0 4. х² – 3х + 2 = 0

2-я группа 1. х² – 4х – 5 = 0 2. – х² + 4х + 5 = 0 3. 2х² + 5х + 3 = 0 4. 5х² – 3х – 8 = 0

3-я группа 1. х² – 5х + 6 = 0 2. х² + 7х + 12 = 0 3. х² + 3х – 18 = 0 4. х² – 2х – 15 = 0

х² – 3175 х + 3174 = 0 х1 = 1, х2 = 3174

1. 3х² – 7х + 4 = 0 2. 5х² + 9х + 4 = 0 3. х² – 7х + 10 = 0 4. х² – х – 6 = 0 5. 4х² – 9х + 5 = 0 6. 2х² – 9х – 11 = 0 1. 3х² – 7х + 4 = 0 5. 4х² – 9х + 5 = 0 2. 5х² + 9х + 4 = 0 6. 2х² – 9х – 11 = 0 3. х² – 7х + 10 = 0 4. х² – х – 6 = 0

1. 3х² – 7х + 4 = 0 5. 4х² – 9х + 5 = 0 3 + (–7) + 4 = 0, х1 = 1, х2 = 4 + (–9)+ 5 = 0, х1 = 1, х2 =

2. 5х² + 9х + 4 = 0 6. 2х² – 9х – 11 = 0 2 – (– 9)+ (–11) = 0 или – 9 = 2 – 11, х1 = –1, х2 = 5 – 9 + 4 = 0 или 9 = 5 + 4, х1 = –1, х2 = –

3. х² – 7х + 10 = 0 4. х² – х – 6 = 0 х1 + х2 = 7, х1· х2 = 10, х1 = 2, х2 = 5 х1 + х2 = 1, х1 · х2 = – 6, х1 = 3, х2 = –2

«5» 16 и более «4» 14 — 15 «3» 13 и менее

А я и не знал . ..

8 класс. Алгебра. Квадратные уравнения. — Теорема Виета.

Комментарии преподавателя

Познакомимся с теоремой Виета, с соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, научимся раскладывать квадратный трёхчлен на множители.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 +bx + c = 0, где a, b, c-коэффициенты, х – переменная, причём a ≠ 0. Левая часть квадратного уравнения

ax2 + bx +c – это многочлен второй степени, его называютквадратным трехчленом. Если в квадратном уравнении коэффициент при х2 или, можно сказать, старший коэффициент a равен 1, то такое квадратное уравнение называют приведенным.

Впервые зависимость в виде соотношений между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами обнаружил французский математик Франсуа Виет.

Теорема Виета справедлива и для квадратных уравнений, имеющих один корень. В этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня.

Теорему Виета удобно применять для приведенного квадратного уравнения:

Приведенное квадратное уравнение можно записать в виде:

Тогда сумма корней х1 +х2 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, то есть – р, а произведение корней х1∙ х2 равно свободному члену q.

х1 +х2 = – р

х1∙ х2 = q

По теореме Виета можно подбором найти корни уравнения. 
Например, решим квадратное уравнение х2 – х – 12 = 0. 
Уравнение является приведенным, так как коэффициент a равен 1. Тогда сумма корней х1 + х2 = 1, а произведение х1 

∙ х2= –12. Если х1 и х2 целые числа, то они являются делителями числа –12. Нетрудно догадаться, что х1 = –3; х2 = 4.

По теореме обратной теореме Виета можно выполнить проверку правильности нахождения корней квадратного уравнения. 
Обратное утверждение теоремы Виета:

Если х1 и х2 – корни квадратного уравнениятакие, чтох1 + х2 = –р, х1 ∙ х2 = q, то эти числа0 – корни уравнения х2 + рх + q = 0.

Решим уравнение 3х2 – 4х – 4 = 0.

Дискриминант D = (-4)2 -4 ∙ 3 ∙ (-4) = 64, D > 0.

Найдем корни:

Значит, квадратный трехчленможно разложить на множители ax2 + bx + c = a(х– х1) (х –х2),где х1и х2 – корни квадратного трехчлена, которые можно найти, решая квадратное уравнение ax2 + bx +c = 0.

Если х1 = х2 , т.е. дискриминант квадратного трехчлена равен нулю (D = 0), то доказанная формула будет иметь вид ax2 + bx + c = a(х– х1)2.

Разложим на множители квадратный трехчлен 3х2 – 10х + 3. 
Для этого решим квадратное уравнение 3х2 – 10х + 3 = 0.

Дискриминант D =  = (-10)2 – 4 ∙ 3 ∙ 3 = 64, D > 0.

 

Тогда сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком х1 +х2 = –р, а произведение корней равно свободному члену х1∙ х2 = q. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет.

По теореме Виета можно подбором найти корни уравнения.

Если свободный член q – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. По теореме, обратной теореме Виета, можно проверить правильность нахождения корней.

С помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трёхчлена на множители a x2 + bx +c= a(х — х1) (х -х2), где х1; х2 – корни квадратного трехчлена.

 

Источник конспекта: http://znaika.ru/catalog/8-klass/algebra/Teorema-Vieta.-Razlozhenie-kvadratnogo-tryokhchlena-na-mnozhiteli

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=bO7s5qOo7zk

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.

Дискриминант

Дискриминант

Краткий обзор квадратичной формулы

Квадратное уравнение представляет собой уравнение вида любое такое квадратное уравнение, квадратная формула:

Корни (x 1 , x 2 ) = −b ± √ б2 — 4ас
         2a          


Объяснение дискриминанта

В приведенной выше квадратной формуле величина «b 2 — 4ac» , стоящая под знаком квадратного корня, называется дискриминантом квадратного уравнения.

Дискриминант = b 2 — 4ac

Пример вычисления дискриминанта

Для квадратного уравнения x 2 + 4x + 4 = 0, определите определятель

Ответ

x 2 + 5x + 5 = 0

Дискриминанту = B 2 — 4AC

, A = 1, B = 5 , c = 5

Дискриминант = b 2 — 4ac = 5 2 — 4(1)(5) = 5

Использование дискриминанта

говорит о природе квадратичных корней уравнение. Корни могут быть действительными, равными или мнимыми.

В зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь:

два действительных и неравных корня при значении дискриминанта > 0

только один действительный и равный корень при значении дискриминанта = 10 904

нет действительных корней т.е. оба корня являются мнимыми, когда значение дискриминанта < 0

Случай I. Когда дискриминант > 0

Для квадратного уравнения x 2 — 12x + 32 = 0, определить дискриминант и корни квадратного уравнения = 32

Дискриминант = (-12) 2 — 4(1)(32) = 144 — 128 = 16

Мы знаем, что квадратичная формула равна

2 ) = −b ± √ б2 — 4ас
         2a          

х 1 = −(-12) + √ (-12)2 − 4(1)(32) = 8
         2(1)            

х 1 = −(-12) — √ (-12)2 — 4(1)(32) = 4
         2(1)            

Следовательно, для квадратного уравнения x 2 — 12x + 32 = 0 мы получаем два действительных и различных корня — 8 и 4

Следовательно, при Дискриминанте > 0 квадратное уравнение имеет 2 действительных и различные корни

Случай II – когда дискриминант = 0

Для квадратного уравнения x 2 — 12x + 36 = 0, определите дискриминанту и корни квадратного уравнения

Ответ

Дискриминанте = 1, b = -12 , c = 36

Дискриминант = (-12) 2 — 4(1)(36) = 144 — 144 = 0

Мы знаем, что квадратичная формула равна

Корни(х 1 , х 2 ) = −b ± √ б2 — 4ас
         2a          

х 1 = −(-12) + √ (-12)2 − 4(1)(36) = 6
         2(1)            

х 1 = −(-12) — √ (-12)2 — 4(1)(36) = 6
         2(1)            

Следовательно, для квадратного уравнения x 2 — 12x + 36 = 0 мы получаем только один действительный и равный корень, равный 6.

Следовательно, при Дискриминанте = 0 квадратное уравнение имеет только один действительный и равный корень

Случай III, когда дискриминантирует <0

для квадратного уравнения x 2 + 4x + 10 = 0, определите дискриминанту и корни квадратичного уравнения

Ответ

Дискриминант = b 2 – 4ac

Здесь a = 1, b = 4 , c = 10

Дискриминант = (4) 2 — 4(1)(10) = 16 — 40 = -24

Мы знаем что квадратичная формула равна

Корни (х 1 , х 2 ) = −b ± √ б2 — 4ас
         2a          

х 1 = −(4) + √(4)2 − 4(1)(10)  = −(4) + √ -24
         2(1)                      2         

х 1 = −(4) — √(4)2 — 4(1)(10)  = −(4) — √-24
         2(1)                      2         

Следовательно, для квадратного уравнения x 2 + 4x + 10 = 0 мы не получаем действительных корней

Следовательно, при Дискриминанте < 0 квадратное уравнение не имеет действительных корней

Резюме Значение дискриминанта Случаи Корни квадратного числа Факторизация квадратного числа Значение дискриминанта > 0 два действительных различных корня два различных линейных коэффициента Значение дискриминанта = 0 два одинаковых действительных корня два одинаковых линейных коэффициента Значение дискриминанта < 0 Нет настоящих корней Невозможно разложить на множители

Решение квадратного уравнения в Excel (простой учебник)

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. Квадратное уравнение можно решить с помощью квадратной формулы. Вы также можете использовать функцию поиска цели Excel для решения квадратного уравнения.

1. Например, у нас есть формула у = 3х 2 — 12х + 9,5. Легко вычислить y для любого заданного x. Для x = 1, y = 0,5

2. Для x = 2, y = -2,5

3. Но что, если мы хотим узнать x для любого заданного y? Например, у = 24,5. Нам нужно решить 3x 2 — 12x + 9,5 = 24,5. Мы можем решить квадратное уравнение 3x 2 — 12x + 9,5 — 24,5 = 0, используя квадратную формулу.

3x 2 — 12x -15 = 0
а = 3, б = -12, с = -15
D = b 2 — 4ac = (-12) 2 — 4 * 3 * -15 = 144 + 180 = 324

x = -б + √D или х = -b — √D
х = 12 + √324 или х = 12 — √324
6 6
х = 12 + 18 или х = 12 — 18
6 6
х = 5 или х = -1

4.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *