Формулы приведения синус косинус: Формулы приведения

В чем суть формул приведения. Формулы приведения

Для использования формул приведения существует два правила.

1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет.

2. Правило «каким ты был, таким ты и остался».

Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Вычислить Sin(150˚)

Воспользуемся формулами приведения:

Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен +.

Значит у приведенной функции тоже будет знак «плюс». Это мы применили второе правило.

Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

При желании все формулы приведения можно свести в одну таблицу. Но все же легче запомнить эти два правила и пользоваться ими.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

Как запомнить формулы приведения тригонометрических функций? Это легко, если использовать ассоциацию.Данная ассоциация придумана не мной. Как уже говорилось, хорошая ассоциация должна «цеплять», то есть вызывать яркие эмоции. Не могу назвать эмоции, вызываемые этой ассоциацией, позитивными. Но она дает результат — позволяет запоминать формулы приведения, а значит, имеет право на существование. В конце концов, если она вам не понравится, вы же ее можете не использовать, правильно?

Формулы приведения имеют вид: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Запоминаем, что +α дает движение против часовой стрелки, — α — движение по часовой стрелке.

Для работы с формулами приведения нужны два пункта:

1) ставим знак, который имеет начальная функция (в учебниках пишут: приводимая. Но, чтобы не запутаться, лучше назвать ее начальной), если считать α углом I четверти, то есть маленьким.

2) Горизонтальный диаметр — π±α, 2π±α, 3π±α… — в общем, когда нет дроби — название функции не меняет. Вертикальный π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α…- когда дробь есть — название функции меняет: синус — на косинус, косинус — на синус, тангенс — на котангенс и котангенс — на тангенс.

Теперь, собственно, ассоциация:

вертикальный диаметр (есть дробь) —

пьяный стоит. Что с ним случится рано

или поздно? Правильно, упадет.

Название функции изменится.

Если же диаметр горизонтальный — пьяный уже лежит. Спит, наверное. С ним уже ничего не случится, он уже принял горизонтальное положение. Соответственно, название функции не меняется.

То есть sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) и т.д. дают ±cosα,

а sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … — ±sinα.

Как , уже знаем.

Как это работает? Смотрим на примерах.

1) cos(π/2+α)=?

Становимся на π/2. Поскольку +α — значит, идем вперед, против часовой стрелки. Попадаем во II четверть, где косинус имеет знак «-«. Название функции меняется («пьяный стоит», значит — упадет). Итак,

cos(π/2+α)=-sin α.

Становимся на 2π. Так как -α — идем назад, то есть по часовой стрелке. Попадаем в IV четверть, где тангенс имеет знак «-«. Название функции не меняется (диаметр горизонтальный, «пьяный уже лежит»). Таким образом, tg(2π-α)=- tgα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Примеры, в которых функция возводится в четную степень, решаются еще проще. Четная степень «-» убирает, то есть надо только выяснить, меняется название функции или остается. Диаметр вертикальный (есть дробь, «пьяный стоит», упадет), название функции меняется. Получаем: ctg²(3π/2-α)= tg²α.

Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду. О важности их знания написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!» – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:

– задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.

– задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.

– задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.

– стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов:

угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов

* * *

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

1. Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

2. Запомните следующее:

функция изменяется на кофункцию

функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Вот и всё!

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов, значит:

Вот вам ещё дополнительное подтверждение того, что синусы смежных углов равны:

Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов, значит:

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

***

В статье на решение был отмечен такой факт – синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

И еще одна задача B11 на ту же тему — из реального ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите значение выражения:

В этом коротком видеоуроке мы узнаем, как применять формулы приведения для решения реальных задач B11 из ЕГЭ по математике. Как вы видите, перед нами — два тригонометрических выражения, каждое из которых содержит синусы и косинусы, а также довольно зверские числовые аргументы.

Прежде чем решать эти задачи, давайте вспомним, что такое формулы приведения. Итак, если у нас есть выражения вида:

То мы можем избавиться от первого слагаемого (вида k · π/2) по специальным правилам. Начертим тригонометрическую окружность, отметим на ней основные точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. Затем смотрим на первое слагаемое под знаком тригонометрической функции. Имеем:

1. Если интересующее нас слагаемое лежит на вертикальной оси тригонометрического круга (например: 3π/2; π/2 и т. д.), то исходная функция заменяется на ко-функцию: синус заменяется косинусом, а косинус — наоборот, синусом.
2. Если же наше слагаемое лежит на горизонтальной оси, то исходная функция не меняется. Просто убираем первое слагаемое в выражении — и все.

Таким образом, мы получим тригонометрическую функцию, не содержащую слагаемых вида k · π/2. Однако на этом работа с формулами приведения не заканчивается. Дело в том, что перед нашей новой функцией, полученной после «отбрасывания» первого слагаемого, может стоять знак плюс или минус. Как определить этот знак? Вот сейчас и узнаем.

Представим, что угол α, оставшийся внутри тригонометрической функции после преобразований, имеет очень малую градусную меру. Но что значит «малая мера»? Допустим, α ∈ (0; 30°) — этого вполне достаточно. Рассмотрим для примера функцию:

Тогда, следуя нашим предположениям, что α ∈ (0; 30°), заключаем, что угол 3π/2 − α лежит в третьей координатной четверти, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Вспоминаем знак исходной функции, т.е. y = sin x на этом интервале. Очевидно, что синус в третьей координатной четверти отрицателен, поскольку по определению синус — это ордината конца подвижного радиуса (короче синус — это координата y ). Ну, а координата y в нижней полуплоскости всегда принимает отрицательные значения. Значит, и в третьей четверти y тоже отрицателен.

На основании этих размышлений мы можем записать окончательное выражение:

Задача B11 — 1 вариант

Вот эти же самые приемы вполне подходят для решения задачи B11 из ЕГЭ по математике. Разница лишь в том, что во многих реальных задачах B11 вместо радианной меры (т.е. чисел π, π/2, 2π и т.д.) используется градусная мера (т.е. 90°, 180°, 270° и т.д.). Давайте посмотрим на первую задачу:

Сначала разберемся с числителем. cos 41° — это нетабличное значение, поэтому мы ничего не можем сделать с ним. Пока так и оставим.

Теперь смотрим на знаменатель:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно, что перед нами формула приведения, поэтому синус заменился на косинус. Кроме того, угол 41° лежит на отрезке (0°; 90°), т.е. в первой координатной четверти — именно так, как требуется для применения формул приведения. Но тогда 90° + 41° — это вторая координатная четверть. Исходная функция y = sin x там положительна, поэтому мы и поставили перед косинусом на последнем шаге знак «плюс» (другими словами не поставили ничего).

Осталось разобраться с последним элементом:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Здесь мы видим, что 180° — это горизонтальная ось. Следовательно, сама функция не поменяется: был косинус — и останется тоже косинус. Но вновь возникает вопрос: плюс или минус будет стоять перед полученным выражением cos 60°? Заметим, что 180° — это третья координатная четверть. Косинус там отрицательный, следовательно, перед косинусом в итоге будет стоять знак «минус». Итого, получаем конструкцию −cos 60° = −0,5 — это табличное значение, поэтому все легко считается.

Теперь подставляем полученные числа в исходную формулу и получаем:

Как видим, число cos 41° в числителе и знаменателе дроби легко сокращается, и остается обычное выражение, которое равно −10. При этом минус можно либо вынести и поставить перед знаком дроби, либо «держать» рядом со вторым множителем до самого последнего шага вычислений. Ответ в любом случае получится −10. Все, задача B11 решена!

Задача B14 — 2 вариант

Переходим ко второй задаче. Перед нами снова дробь:

Ну, 27° у нас лежит в первой координатной четверти, поэтому здесь ничего менять не будем. А вот sin 117° надо расписать (пока без всякого квадрата):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно, перед нами снова формула приведения : 90° — это вертикальная ось, следовательно, синус поменяется на косинус. Кроме того, угол α = 117° = 90° + 27° лежит во второй координатной четверти. Исходная функция y = sin x там положительна, следовательно, перед косинусом после всех преобразований все равно остается знак «плюс». Другими словами, там ничего не добавляется — так и оставляем: cos 27°.

Возвращаемся к исходному выражению, которое требуется вычислить:

Как видим, в знаменателе после преобразований возникло основное тригонометрическое тождество: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Итого −4: 1 = −4 — вот мы и нашли ответ ко второй задаче B11.

Как видите, с помощью формул приведения такие задачи из ЕГЭ по математике решаются буквально в пару строчек. Никаких синусов суммы и косинусов разности. Все, что нам нужно помнить — это только тригонометрический круг.

Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство. \circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.
Само привило содержит 3 этапа:

1. 1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
   2. Для аргументов `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
   3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1. \circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)= — cos (\frac{\pi}2-\alpha)= — sin \alpha`.

Ответ: `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=- sin \alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac {\pi}2`, `\pi`, `\frac {3\pi}2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac {\pi}2` и `\frac {3\pi}2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка. \circ=-\frac{\sqrt 3}2`.

Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac {9\pi}8` и `cos \frac {9\pi}8`; 2) `sin \frac {\pi}8` и `cos \frac {3\pi}10`.

Решение: 1)`sin \frac {9\pi}8=sin (\pi+\frac {\pi}8)=-sin \frac {\pi}8`

`cos \frac {9\pi}8=cos (\pi+\frac {\pi}8)=-cos \frac {\pi}8=-sin \frac {3\pi}8`

`-sin \frac {\pi}8> -sin \frac {3\pi}8`

`sin \frac {9\pi}8>cos \frac {9\pi}8`.

2) `cos \frac {3\pi}10=cos (\frac {\pi}2-\frac {\pi}5)=sin \frac {\pi}5`

`sin \frac {\pi}8

`sin \frac {\pi}8

Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac {\pi}2 + \alpha`: ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них.

Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac {\pi}2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}{cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {cos \alpha}{-sin \alpha}=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}{sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {-sin \alpha}{cos \alpha}=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac {\pi}2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac {\pi}2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {\pi}2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2-\alpha)` соответственно.

А `\frac {3\pi}2 + \alpha` и `\frac {3\pi}2 — \alpha` как `\pi +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\pi +(\frac {\pi}2-\alpha)`.

Формулы приведения

Если под знаком тригонометрической функции содержится выражение и вообще любое выражение вида , где n — любое целое число, то, оказывается, что такое выражение можно всегда привести к более простому виду, которые будут содержать лишь аргумент t, а это очень важно, особенно, при решении сложных заданий. Именно для этого и используются формулы приведения.

Формулы приведения

Некоторые формулы вы уже видели в моих предыдущих лекция по тригонометрии, а темах про синус, косинус, тангенс и котангенс.

Приведу еще раз эти формулы:

Итак, получилось 10 формул приведения, но это только те случаи, которые встречаются чаще всего, но имеются и другие формулы, о которых поговорим дальше.

Составление формулы приведения

Как я и сказал, формул приведения очень много и если по многим другим формулам в тригонометрии можно составить какую-нибудь таблицу и пользоваться ей, то по формулам приведения ничего не выйдет, а если и выйдет, то вам придется потратить очень много времени. Поэтому существует способ, благодаря которому вы сможете легко запомнить их все, запомнив три правила:

1. Если под знаком образующей тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида: , то наименование тригонометрической функции следует сохранить, иначе говоря функция остается прежней.
2. Если под знаком образующей тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида , то функцию следует заменить на противоположную, т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот.
3. Перед полученной функцией от аргумента t следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция, но при условии: .

Эти правила используются также и в тех случаях, когда аргумент задан в градусах, главное не забывать, какое значение градуса соответствует значению , т. е. и так далее.

 

ПРИМЕР 1. Преобразуем функцию.

Допустим дана следующая функция: .

Первое, что мы делаем это смотрим, нужно ли менять функцию на противоположную. В нашем случае, согласно правилу №2 функция требует замены, в итоге получится .

Далее смотрим, какой будет знак. Как мы видим, что , получим, что, — аргумент из третьей четверти, а в данной четверти, функция имеет знак «+».

Таким образом, получается следующий ответ:

 

ПРИМЕР 2. Преобразуем функцию

Ну а теперь давайте попробуем функцию с градусами. Допустим, .

Так как , то наименование функции следует сохранить, следовательно, останется синус.

Далее, — аргумент из четвертой четверти, а в ней синус имеет знак «минус».

Таким образом, 

 

Разумеется, формулы приведения можно применять и в более сложных выражениях.

Уроки по теории вероятности

Уравнения в полных дифференциалах Уравнение         (1) есть уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F (x, y). Это имеет место, если . Чтобы решить уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию , от которой полный дифференциал равен левой части уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1)

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность. Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то

Аксиоматическое определение теории вероятности Рассмотренные ранее классическое и статистическое определения вероятности события позволяют создавать основные соотношения, используемые в теории вероятностей и математической статистике. Однако существует и иной подход к построению основ теории вероятностей, опирающийся на специально вводимые в рассмотрение аксиомы. Этот подход был предложен А.Н. Колмогоровым. При аксиоматическом построении теории вероятностей первичным понятием является не элементарное случайное

Теоретическая часть Уравнение           (1) называется линейным. Чтобы решить его, надо сначала решить уравнение               (2) (это делается путем разделения переменных) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для , подставить в уравнение (1) и найти функцию

Пришлось достаточно долго думать о том, с чего же лучше всего будет начать, чтобы было как то проще и в то же время эффективней. Поэтому я решил начать с небольшого введения в такой раздел математики, как тригонометрия. Числовая окружность Из курса алгебры прошлых лет все вы, надеюсь, прекрасно знаете все об алгебраических функциях, т.е. функциях,

Формулы снижения мощности

Тождества приведения к степени позволяют упростить выражения, включающие степени тригонометрических функций. Эти формулы весьма полезны в расчетах. В частности, по этим формулам можно интегрировать степени тригонометрических выражений.

Формулы уменьшения мощности могут быть получены с помощью тождеств двойного и половинного угла, а также тождеств Пифагора.

Формулы снижения мощности для квадратов 9{2} \, ду. −∫(1−u2)u2du. Этот интеграл теперь очень легко вычислить; вам просто нужно расширить условия и использовать правило степени для первообразных. Но не забывай, что было у у у у! □_\квадрат□​

Случай 2: α \alpha α четно, β \beta β нечетно

Та же идея, что и «α \alpha α нечетно, β \beta β четно».

Случай 3: оба α \alpha α и β \beta β даже

В этом сценарии вы можете сделать две разные вещи. Вы можете использовать следующие тождества: 9{2} у \, ду. \qquad (2) 81​∫sin2udu.(2) Запомнить? У нас есть удостоверение личности для этого! Итак, (2)(2)(2) можно переписать как 18∫1−cos⁡2u2 du=u16−sin⁡2u32+C,\dfrac{1}{8} \int \dfrac{1-\cos 2u}{2} \, du = \dfrac{u}{16 } — \dfrac{\sin 2u}{32} + C,81​∫21−cos2u​du=16u​-32sin2u​+C, где ССС — постоянная интегрирования.