Формулы сокращенного умножения 7 класс правила и примеры: Формулы сокращённого умножения — урок. Алгебра, 7 класс.

ФСУ: таблица, примеры использования

Определение

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) используются для возведения в степень и умножения чисел, выражений. ФСУ помогают производить вычисления быстрее и делают их более компактными.

В нашей статье будут перечислены все необходимые формулы сокращенного умножения, а также, для удобства запоминания, формулы структурируем в таблицу, разберём примеры применения ФСУ, рассмотрим, как сократить формулы сокращенного умножения, наибольшее внимание уделим способам доказательства ФСУ.

Формулы сокращенного умножения (ФСУ): таблица

Тема «Формулы сокращенного умножения» занимает центральное место в школьном курсе алгебры. Математика без формулы сокращенного умножения была бы скучна и сложна. Школьники начинают знакомство с этими формулами в 7 классе курса алгебры. Ниже приведены основные ФСУ формулы сокращенного умножения.

Чтобы с лёгкостью использовать формулы, их нужно заучить наизусть. Сгруппируем их в таблицу и представим ниже, заключив в рамку. {k}=\frac{(n) !}{(k) !(n-k) !}=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-(k-1))}{(k) !} \]

Треугольник Паскаля – это арифметический треугольник. Он назван в честь Блеза Паскаля. Он состоит из коэффициентов одночленов, входящих в состав формулы степени суммы двух чисел. Если схематично очертить этот треугольник Паскаля, то получим равнобедренный треугольник, у которого по бокам стоят единицы. Каждое нижнее число получается путем сложения двух чисел, стоящих выше него.

Можно заметить, что формулы сокращенного умножения квадрат(куб) суммы (разности) – это частный случай формулы бинома Ньютона, когда n=2 и n=3.

Если слагаемых больше, чем два, как выполнить возведение в степень? Полезно вывести формулу квадрата суммы слагаемых, больших, чем два.

Помимо, запоминания формулы, её нужно научиться правильно читать. Данная выше формула, читается так: «Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых».

Еще одной нужной формулой в вычислениях является формула разности n-ых степеней 2-х слагаемых. {2}\]

Практическое применение формул сокращенно умножения, особенности преподавания в школе

В современной системе образования преобладает системно-деятельностный подход. Это означает, что инициатива к поглощению знаний должна исходить от ученика, а учителю следует только направлять его в нужном направлении. У многих учащихся отсутствует интерес к учёбе, они ссылаются на то, что эти знания нигде не пригодятся в жизни. Как быть учителю в данной ситуации? Какие способы мотивации изучения формул сокращенного умножения найти? Эти замечательные формулы еще как пригодятся в житейских ситуациях. В частности, при подборе строительного материала для дома. Например, вы пришли в супермаркет, и продавец по размеру пола (106 м) навязывает 13 000 м² паркетной доски. Зная ФСУ, вы с лёгкостью в уме сможете проверить, не обманывает ли вас работник магазина.

(106 м)²=(100+6) ²=10 000+2*100*6+36= 11236 м²

Оказывается, вам достаточно будет 11236 м². {3}\]

И так можно вывести абсолютно любую формулу. Главное, уметь упрощать выражения, умножать, приводить подобные слагаемые. Кроме аналитического доказательства формул сокращенного умножения, имеет место быть еще и геометрический. О нём нельзя не упомянуть на уроках алгебры. Полезно будет дать это задание в качестве домашнего в рамках исследовательской деятельности учащихся.

Урок алгебры 7 класс «Формулы сокращенного умножения» | План-конспект урока по алгебре (7 класс):

Дата: 17.01.2019

Класс: 7 «А»

Тема урока: Формулы сокращённого умножения

Цель урока: научить учащихся применять формулы сокращенного умножения   при  выполнении упражнений  различной сложности  и творческих  заданий.

Задачи урока:

1)Образовательная:  

• Повторить знание формул сокращённого умножения;
• Закрепить знание формул сокращённого умножения и их применение при упрощении выражений;
• Отработка вычислительных навыков;
• Формирование у учащихся мотивации к изучению предмета.

2)Развивающая:

• Формировать умение анализировать,
• Обобщать, развивать математическое мышление.
• Формировать навыки самоконтроля, адекватной самооценки и саморегуляции деятельности.

3)Воспитательная:

• Воспитание ответственности за выполненную  работу;
• Воспитывать умение правильно оценивать результаты своего труда

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование:  демонстрационный материал, карточки с заданиями,  раздаточный материал,  тесты в печатном виде, формулы сокращённого умножения.

Структура урока:

1) Организационный момент. (1мин)

2)  Актуализация знаний. (10 мин)

3) Обобщение и систематизация знаний. (20мин)

4) Контроль знаний. (6мин)

5) Постановка домашнего задания. (1мин)

6) Итог урока. (1мин)

7) Рефлексия. (1мин)

Ход урока:

1) Организационный момент.

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Запишите, пожалуйста,  в тетрадях число и классная работа, а тему урока вы узнаете, разгадав анаграмму. Правильно, это слово «Формула». А как это слово связанно с нашим уроком? (Ребята отвечают: мы изучаем формулы сокращенного умножения). Верно, тема нашего урока «Формулы сокращенного умножения» — запишите в тетрадях.

 Девиз урока: «У математиков существует свой язык – это формулы».  (С.Ковалевская)

 Прежде, чем приступить к работе, каждый из вас должен поставить перед собой цель сегодняшнего урока. Перед вами лежат оценочные листы, подпишите их, в левом столбце написаны цели, выберите те, которые соответствуют вашим, и поставьте напротив знак “+” или допишите свою цель. На каждом этапе урока вы будете оценивать себя, выставляя количество заработанных баллов  от 1 до 5 в оценочные листы.

Учитель спрашивает несколько учеников, какую цель они поставили перед собой.

Оценочный лист

“Я познание сделал своим ремеслом…” Фамилия и имя:_____________________________ Цели:   Задания Баллы 1. Получить новые знания   1. Тест – соответствие   2. Показать свои знания   2. Смотри не ошибись   3. Получить хорошую оценку   3. Математическая эстафета   4.   4. Тест   5.     Итог Оценка Достиг ли ты своих целей? Оцени степень усвоенности: усвоил полностью усвоил частично не усвоил Смайлик

Сначала мы повторим пройденный материал.

2) Актуализация знаний:

Ребята, мы с вами говорили, что  формулы сокращенного умножения имеют широкое применение в математике, особенно в старших классах. Скажите мне, пожалуйста, где мы можем использовать формулы сокращенного умножения. Ответы: Их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, разложении многочленов на множители, нахождении значений выражений.

Правильно, молодцы. Поэтому надо хорошо знать эти формулы и уметь применять их в преобразованиях выражений.
а) А сейчас мы начнем наш путь с повторения формул и правил. На доске записана левая честь формулы, нужно продолжить формулу  и рассказать правило.

а2 – в2 = (а – в)(а + в) разность квадратов двух выражений	Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму.
(а + в) 2 = а2 + 2ав + в2 квадрат суммы двух выражений	Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе и плюс квадрат второго выражения.
(а  – в) 2 = а2 – 2ав + в2 квадрат разности двух выражений	Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе и плюс квадрат второго выражения.

Молодцы,  формулировку формул вы хорошо знаете. А теперь проверим, как вы умеете применять формулы для быстрого счета.

На доске выражения, надо быстро, не используя столбиков вычислить их значения.

Молодцы, все верно.

б) Устный счет по математическому тренажеру

1. (10+1) 2 =                                                                 121
2.  412-312=                                                                                       720
3.  242-232 =                                                                  47
4. 732-632 =                                                                 1360          
5. 992 =                                                                          9801
6. 512 =                                                                       2601

3)Обобщение и систематизация знаний.

ЗАДАНИЕ №1: У вас на столах лежат пронумерованные листы. Возьмите, пожалуйста, лист с номером 1. Тест – соответствие.  Расшифровка. Для каждого выражения из левого столбца подберите ему тождественно равное в правом:  («5» — все верно,  «4» — 1- 2  ошибки, «3» — 3 ошибки)

№ формулы	формула	№ ответа	ответ	буква
1	(x+3)²	1	4x²-9	О
2	x²-16	2	16x²-40xy+25y²	А
3	(2x-3)(2x+3)	3	(x-4)(x+4)	И
4	81-18x+x²	4	(3y+6x)²	Т
5	(4x-5y)²	5	x²+6x+9	Д
6	25x²-49y²	6	(9-x)²	Ф
7	9y²+36yx+36x²	7	(5x-7y)(5x+7y)	Н

Каждый ученик получает карточку, выполняет задание, получает соответствия:
1→5(Д), 2→3(И), 3→1(О), 4→6(Ф), 5→2(А), 6→7(Н), 7→4(Т).

Молодцы ребята, вы получили имя великого математика.  Показываю его портрет.

Ребята, скажите пожалуйста, почему мы разгадывали имя именно этого математика?

Историческая справка:  рассказ ученика. Очень давно, в Древней Греции жили и работали замечательные ученые-математики, которые всю свою жизнь отдали служению науке. В то время,  все алгебраические утверждения выражали в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, а произведение двух чисел сравнивали с площадью, трех чисел-с объемом и т.д. первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям был древнегреческий ученый-математик, живший в 3 веке до нашей эры Диофант. Появились формулы, которые стали называться формулами сокращенного умножения.

ЗАДАНИЕ №2:  Теперь работаем с листами №2.

Смотри не ошибись. Необходимо восстановить выражения.

(х … у)2 = х2 — 2х + …

(… — …)2 = 9х2 …   … + 25у2 

(. .. … …)2 = … — 28ху … 49х2 

(х —  … )2 = … … 20х … …

25a2 +  …  +  b2 = (… … …)2

Ребята по очереди выходят восстанавливают выражения, после того как все выражения написаны проверяем. В оценочных листах выставляем отметку.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА!

Продолжаем работать и выполняем следующее задание.

ЗАДАНИЕ №3:  Применение формул.  На листах №3 написаны задания. 1 вариант выполняет задания группы 1, вариант 2 задания группы 2. По 2 человека вызываем к доске

Математическая эстафета

          I группа                                                        II группа

    1.Преобразуйте в многочлен:

    а) (у-4)2                                               а) (3а+4)2   

    б) (7х+а)2                                                                    б) (2х-в)2 

    в) (5с-1)(5с+1)                                    в) (с+3)(с-3)

    г) (3а+2в)(3а-2в)                                г) (5у-2х)(5у+2х)

   2. Упростите выражение.

    (а-9)2 — (81+2а)                                    (с+в)(с-в) — (5с2-в2)

   3. Разложите на множители.

   а) х2-49                                                 а) 25у2-а2  

    б) с2+2ас+а2                                        б)25х2-10ху+у2

4. Решить уравнение.

25у2 – 64 = 0.                               100х2 – 16 = 0.

Молодцы, и с этим заданием вы справились. А теперь давайте, расширим наши знания. Выполним с Вами проект№1. Научимся возводить в квадрат сумму трёх, четырёх, и т.д. слагаемых.

Проект №2 «Научиться возводить двучлен в любую натуральную степень».

4)Контроль знаний.  Лист №4.  Следующий тест проверит ваше умение применять формулы сокращенного умножения при вычислении значений выражений и разложении на множители. Ваша цель – выбрать правильный ответ и записать нужную букву.

Учащиеся получают карточки с пятью заданиями. При правильных ответах из выбранных букв должно получиться слово «ВЕРНО».

Вариант 1:

1)Вычисли:  412 – 312

б) 72
в) 720
г) 730

2)Вычисли:   262  – 742

е) – 4800
ж) 4800
з) – 480

3)Разложи на множители:   a4 – 8a2 + 16

c) (a2 + 4)2
n) (a – 4)2
p) (a2 – 4)2

4)Разложи на множители:   a2 – 4

н) (а – 2) (а + 2)
к) (а – 2) (а – 2)
л) (а2 – 4) (а2 + 4)

5)Разложи на множители:   25b2 – 16c4

a) (5b – 4c2)2
o) (5b – 4c2) (5b + 4с2)
д) (5b – 4c) (5b + 4c)

Вариант 2:

1)Вычисли:   762 – 242

а) – 520
в) 5200
c) 52

2)Вычисли:    832 –732

e)1560
ж) 156
з) 1540

3)Разложи на множители:    4 + 4b2 + b4

к) (2 – b2)2
п) (2 + b)2
р) (2 + b2)2

4)Разложи на множители:  1 – c2

н) (1 – c) (1 + c)  
м) (1 – c) (1 – c)
л) (1 – c2) (1 + c2)

5)Разложи на множители:   36×4 – 49y2

e) (6×2 – 7y)2
o) (6×2 – 7y) (6×2 + 7y)
a) (6x – 7y) (6x + 7y)

Для проверки теста учащиеся показывают запись учителю и вместе с ним оценивают свою работу.

5)Постановка домашнего задания.  Дифференцированная домашняя работа. На листах №5, ваше домашнее задание. Применив формулы сокращенного умножения, необходимо  заполни таблицу: даны 5 пар выражений на «3» 3 любых пары, «4» — 4 пары, «5» заполнена вся таблица. Учить формулы и правила.

1 и 2 выражения	Многочлен равный квадрату суммы этих выражений	Многочлен равный квадрату разности этих выражений	Многочлен равный кубу суммы этих выражений	Многочлен равный кубу разности этих выражений	Разность квадратов этих выражений
-5а и b
3а и   b
5а2 и   0,2b2
a2b  и   –4
6 и х2у2

6)Итог урока.

— Итак, ребята урок подошел к концу.

—  Оценка ваша за урок будет в оценочном листе, который вы мне сейчас сдадите. Я их посмотрю, учту вашу работу на уроке и выставлю отметки. Вы все молодца, уверена, что отметки будут положительные.

Ребята, достигли ли Вы своей цели на этом уроке? В оценочном листе подчеркните свой ответ.

7) Рефлексия. В оценочном листе нарисуйте смайлик, который будет выражать ваше настроение после сегодняшнего урока.

— Урок закончен. Спасибо. До свидания!

        

Самоанализ   открытого урока алгебры  в 7-ом  «А» классе

Учитель : Борисова А.Н.

1. Данный урок относится к теме: « Формулы сокращённого умножения». Урок  обобщения и систематизации знаний. Опирался на закреплении изученного материала, способствовать выработке навыков и умений в преобразовании выражений с помощью формул сокращённого умножения, закреплении  вычислительных навыков при возведении в квадрат  одночленов, создания  условии контроля усвоения знаний и умений приобретённых учащимися по данной теме.  На протяжении урока  была учтена работа в парах, что способствовало товарищескому отношению и сплочению коллектива.
2. Цель урока: научить учащихся применять формулы сокращенного умножения   при  выполнении упражнений  различной сложности  и творческих  заданий.
3. Урок обобщения  и систематизации знаний  выбран потому, чтобы перейти к следующему разделу изучения и написать успешно контрольную работу по данной теме. Все этапы и цели урока проговаривались и были взаимосвязаны между собой. Постепенно переходили от одного этапа к другому с предварительной подготовкой.  
4. Внимание акцентировалось на письменных приёмах выполнения заданий, записи формул, правилах, умении находить выражения, применять формулы сокращённого умножения  при решении заданий.
5. Для лучшего усвоения данного материала выбраны различные  методы и формы работы: работа в парах, индивидуальная работа, фронтальная работа с классом, устная работа,  задание творческого  характера —  расшифровка, замена пропусков.
6. На уроке использовались следующие средства обучения (первоначальные знания по записи формул сокращенного умножения,  умение читать формулы  и объяснять их применение, использовать алгоритм преобразования выражений, учебные пособия, тексты заданий, примеров, карточки для индивидуальных заданий, карточки с дифференцированной  домашней работой, листы  учета знаний . Таким образом, каждый ребёнок мог проверить свои знания на том или ином этапе, проанализировать свои умения. А для меня вывод: над чем поработать с отдельными учащимися, которые испытывали затруднения в тех или иных заданиях, с кем провести индивидуальную работу по тому или иному материалу, а где, провести коллективную работу с последующим объяснением сильных учеников слабым.
7.   Психологическая атмосфера поддерживалась тёплым обращением со стороны учителя к детям, их подбадривании, понимая при этом, как им тяжело сформулировать свой ответ на тот или иной поставленный вопрос, их волнение в присутствии гостей и переживания на ту или иную неудачу. «Ведь, никто из учеников не желает быть худшим или непонятым». К каждому ученику осуществлялся индивидуальный подход, учитывая характер и индивидуальность учащегося.
8. Задачи развития решались следующим образом: ученики сами обыгрывали ту или иную ситуацию, поправляли своих сотоварищей по классу, анализируя то или иное решение, сверяя своё решение с товарищем на   доске, развивалось внимание, умение сравнивать: почему так или иначе; находили и поправляли ответы одноклассников. Я, в свою очередь, старалась грамотно направлять ответы учеников. Тем самым, развивая их речь.
9.  Все поставленные цели и задачи достигнуты и выполнены.

Что такое порядок операций? – определение, правила и примеры

Порядок операций – это набор правил, которым необходимо следовать в определенном порядке при решении уравнения.

Все мы хорошо знаем четыре основных математических действия: сложение, умножение, деление и вычитание. С детства мы постоянно репетируем задачи, связанные с этими четырьмя операциями. Эти операции используются, от добавления счета за вашу покупку в торговом центре до разделения пиццы на четыре равные части. Но до сих пор мы решали проблемы, связанные с каждой операцией в отдельности.

Что, если у нас есть выражение, в котором все четыре операции работают вместе? Мы сначала умножаем или сначала вычитаем? Это может быть проблематично, если вы будете следовать неправильному подходу. Это может привести к неправильным ответам. Поэтому порядок действий вступил в действие.

Анализ любого математического утверждения с использованием арифметических операций, таких как деление, умножение, сложение и вычитание, в математике называется операциями. Давайте посмотрим на законы порядка операций и посмотрим, насколько хорошо мы можем их вспомнить, используя простые стратегии. В этой статье вы узнаете порядок операций, правила порядка операций, математический порядок операций и решите задачи на порядок операций.

Почему выполняется Порядок операций?

При оценке уравнений в арифметике может потребоваться выполнение множества операций, и упрощение, в конце концов, дает разные результаты. Однако на каждую фразу может быть только один правильный ответ. Мы используем принципы, чтобы упростить любое данное математическое выражение, чтобы найти правильный ответ. Эти принципы основаны на всех основных математических операторах.

С единственной целью всегда получать правильные ответы на любое математическое уравнение, был реализован порядок операций.

Каков порядок действий?

В математике такие операторы, как сложение (+), вычитание (-), умножение (×) и деление (÷), имеют приоритет друг над другом. Мы не можем самостоятельно решить выражение, содержащее любой из двух операторов. Мы должны следовать правилам порядка операций, которые гласят, что в любом выражении, как арифметическом, так и алгебраическом, первыми будут оцениваться скобки. Заказ будет рассчитываться во вторую очередь. Умножение и деление будут оцениваться третьими и, наконец, сложение и вычитание будут упрощены.

Приоритет решения любого выражения упоминается в таблице ниже:

Приоритет	Операция
Первые	Бркеки (), {}
.	Порядки (Экспоненты, Квадратный корень, Кубический корень, Логарифмический и т. д.)
Третьи	Деление или умножение (Операция, расположенная слева от выражения, будет оцениваться первой)
Четвертая	Сложение или вычитание (какая бы операция ни находилась в левой части выражения, будет оцениваться первой)

Определение порядка операций принципы приоритета, которые мы используем при решении любого математического уравнения, включающего множество операций. Когда между двумя операторами существует подвыражение, должен быть реализован оператор, который появляется первым в таблице, упомянутой в предыдущем разделе.

Давайте теперь разберемся с порядком операций, правило за правилом, в соответствии с установленным приоритетом: операторы, применяемые к выражению. При решении любого выражения всегда двигайтесь от левой стороны к правой.

Это поможет вам облегчить упрощение этого выражения. Теперь прочитайте правила, упомянутые ниже, чтобы полностью понять концепцию порядка операций:

Правило 1: Необходимо всегда проверять наличие скобок или круглых скобок в выражении. Чаще всего в математических выражениях встречаются скобки «()», «{}» и «[]». Когда терм содержит все три скобки, решите уравнение следующим образом:

• Сначала решите термины внутри круглой скобки «()» или круглых скобок.
• Решите условия внутри фигурных скобок «{}» секунды.
• Наконец, решите условия в квадратных скобках «[ ]».

Кроме того, помните, что если в любой из скобок есть несколько операций, обязательно используйте порядок операций для их решения.

Правило 2: После того, как вы решите числа в скобках, найдите любые термины в следующем порядке, такие как возведенные в степень термины, корневые термины, логарифмические термины, тригонометрические термины и т.

д., и решите их.

Правило 3: Осталось расставить четыре основных оператора в правильном порядке. Вы можете выполнять умножение или деление в зависимости от того, какой оператор стоит первым с левой стороны выражения.

Правило 4: Последним шагом является добавление или вычитание элементов в том же порядке слева направо.

Если вы помните эти пять правил, значит, вы усвоили порядок действий. Каким бы длинным ни было выражение, вы легко сможете решить его, не задумываясь. Если вы не уверены, что запомните эти правила, есть два простых способа их запомнить. Они известны как BODMAS и PEMDAS. В следующих разделах вы узнаете об этих двух аббревиатурах для порядка операций.

Способы запоминания порядка операций – BODMAS и PEMDAS

Существует два очень важных способа запоминания порядка действий. Они сокращенно называются правилом PEMDAS и правилом BODMAS. Буквы в этих аббревиатурах определяют математические операции. Буква, которая присутствует первой, применяется первой к любому уравнению.

Давайте теперь узнаем, что означает каждая из букв в этих аббревиатурах:

Порядок операций BODMAS

BODMAS — наиболее распространенная аббревиатура для порядка операций. Многие из вас наверняка слышали об этом где-то в своей жизни. В развернутом виде это означает:

• B – Скобки ( ), { }, [ ]
• О – Заказ
• D – Отдел (÷)
• M – Умножение (×)
• А – Дополнение (+)
• S – Вычитание (-)

Порядок работы PEMDAS

PEMDAS также является аббревиатурой от порядка работы. Тем не менее, его меньше слышно в нашей повседневной жизни, но он столь же эффективен, как и БОДМАС.

• P – Скобки (), {}, [].
• E – Показатель степени (a2) (Например, здесь a – это число с показателем степени 2 )
• М – Умножение (×)
• Д – Отдел (÷)
• A – означает Дополнение (+)
• S – означает вычитание (-)

Это самый эффективный метод запоминания последовательности событий. Забавная фраза « Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли »- хороший способ запомнить PEMDAS.

Оба эти метода используются для упрощения нашего понимания порядка операций. Мы увидим пример порядка операций, чтобы прояснить эту тему.

Каков порядок операций в математике?

Порядок операций — это правило, определяющее правильную последовательность шагов для вычисления математического выражения. Если у вас есть выражение только с одной операцией (например, только сложение, только вычитание, только умножение или только деление), правильный способ его решения — слева направо. Однако для выражений с несколькими операциями необходимо соблюдать порядок операций.

Пример порядка операций

Давайте рассмотрим различные примеры, упомянутые ниже, чтобы понять точность правил, используемых в порядке операций.

1. Для вычисления арифметических операторов

Выражение 1: 2 + 3 x 5 

• Правильный способ: Правильный способ решить это выражение — сначала умножить 3 x 5 = 15, а затем добавить 2 к результату. 15 + 2 = 17.
• Неверный путь: Если сначала добавить 2 + 3. Получаем 6 х 5 = 30, что неверно при решении этого выражения.

Выражение 2: 15 ÷ 3 x 2 – 6

• Правильный способ: Правильный способ решить это выражение – сначала разделить 15 и 3 = 5, потому что оно ближе к левой части выражения. Затем умножьте 5 на 2 = 10 и вычтите из этого 6, что дает 10 – 6 = 4. 
• Неверный способ: Если умножить 3 х 2 = 6, то вычесть из него 6, то получим 15 ÷ 0 = не определено. Это неправильный способ решения этого выражения.

2. Для оценки заказов

Выражение 1: 6 x 32

• Правильный способ: Правильный способ решить это выражение — сначала решить порядок, то есть 32 = 9. Теперь умножьте это на 6. 9 x 6 = 54
• Неверный путь: Если умножить 6 х 3 = 18, то возведем в квадрат ответ, получим 182 = 324, что неверно.

Выражение 2: 2 x sin 30

• Правильный способ: Сначала оцените порядок sin 30 = ½. Теперь умножаем 2 на ответ. 2 х ½ = 1
• Неверный способ: Если умножить 30 на 2 = 60 и решить порядок, то получим sin 60 = 3/2. Какой ответ неверный

3. Для оценки кронштейнов

Выражение 1: (12 + 3) x 4

Решение: В этом выражении мы видим, что скобки присутствуют; следовательно, мы сначала решим содержимое в скобках. Следовательно, 12 + 3 = 15. Теперь умножаем 15 на 4 = 60.

Выражение 2:

4 – 32 ÷ 8 

4 – 32 ÷ 8 = 8 – 8 = 0 – это решение. (Это правильно. Это правильный способ.) 

Рассмотрим другой подход к тому же выражению.

4 – 32 ÷ 8 = (-28) ÷ 8 = -3,5 (Неверно (это неправильный метод).

Выражение 3: 8 x (6 + 6) 

8 x (12) = 96 (Это правильный способ решения скобок.) 

Рассмотрим другой метод для того же выражения. 

8 x (6 + 6) = 48 + 6 = 54 (Это неправильный способ решения скобок.) 

Примечание: Мы должны соблюдать шаблон операторов при выполнении порядка операций над любой заданной фразой.

Из вышеупомянутых правил мы узнаем, как выполнять несколько операций, если они входят в одно уравнение. Очень важно изучить эти понятия, чтобы исключить все возможные ошибки при выполнении расчетов. Более того, освоение порядка действий поможет получить больше баллов на экзаменах.

Алгебраическое мышление. Методы математики для детей младшего возраста

Что такое алгебраическое мышление?

Когда вы будете читать Канзасские стандарты математики, вы заметите предмет «Операции и алгебраическое мышление» во всех классах до 12 класса. Кроме того, алгебраическое мышление и концепции пронизывают все области математики. Алгебра — это больше, чем манипулирование символами или набором правил, это способ мышления.

Согласно K-5 Progressive on Counting & Cardinality and Operations & Algebraic Thinking (2011), алгебраическое мышление начинается с раннего подсчета и определения количества объектов в группе и строится на сложении, вычитании, умножении и делении. Операции и алгебраическое мышление посвящены обобщению арифметики и представлению шаблонов.

Алгебраическое мышление включает в себя способность распознавать закономерности, представлять отношения, делать обобщения и анализировать изменения вещей. В младших классах учащиеся замечают, описывают и расширяют закономерности; и они обобщают эти шаблоны.

Учащиеся начальной школы используют шаблоны в массивах и смотрят на шаблоны, чтобы узнать основные факты. По словам экс-президента NCTM Кэти Сили, «развитие алгебраического мышления — это процесс, а не событие. Это то, что может быть частью положительного, мотивирующего, обогащающего школьного опыта математики» (Seeley, 2004).

Алгебра должна быть включена в начальный класс, поскольку учащиеся видят закономерности, делают обобщения и перемещаются по представлениям. Очень важно, чтобы обучение алгебре было сосредоточено на осмыслении, а не на манипулировании символами (Battista & Brown, 1998). По словам Эрнеста и Балти, «когда учителя начальных классов не знакомы с начальной алгеброй, уроки, разработанные и обозначенные как алгебраические, могут стать арифметическими упражнениями; тогда алгебра остается скрытой как от учителя, так и от учеников в реализации. В результате стандарт алгебры рассматривается лишь поверхностно» (Earnest & Balti, 2008).

Блэнтон и Капут (2003) предлагают учителям «алгебраизировать» свои текущие учебные материалы и просят учащихся обнаружить закономерности, сделать предположения и обобщения и обосновать свои ответы. Они также рекомендуют учителям использовать эти подсказки для расширения мышления учащихся:

• Скажи мне, о чем ты думал.
• Вы решили это другим способом?
• Откуда вы знаете, что это правда?
• Это всегда работает?

Таким образом, все учителя начальных классов должны поддерживать алгебраическое мышление и создавать культуру в классе, которая ценит «моделирование, исследование, обсуждение, предсказание, предположение и проверку своих идей учащимися, а также отработку вычислительных навыков» (Blanton & Kaput, 2003).

Ключевые идеи, лежащие в основе алгебраического мышления:

• Равенство и концепция эквивалентности
  • Учащиеся часто ошибочно полагают, что знак равенства означает «ответ есть», хотя на самом деле он означает «такой же, как». Уравнения «верно/неверно» — это способ показать учащимся значение равенства, например, 5 + 2 = 3 + 4 или 8 = 2 + 6.
• Неравенство
  • Развивайте у учащихся концептуальное понимание больше и меньше чем как реляционных символов, а не полагайтесь на уловки памяти.
• Положительные и отрицательные числа
  • В начальных классах учащиеся должны знакомиться с некоторыми отрицательными числами. Когда учителя говорят: «Вы не можете вычесть 6 из 3» или «Вы не можете вычесть маленькое число из большого числа», учителя дают ученикам информацию, которая просто не соответствует действительности.
• Решение проблем и критическое мышление
  • Учащиеся, обладающие навыками решения проблем и критического мышления, могут решать задачи в новых условиях и могут обобщать на новые ситуации.
• Делая обобщения
  • Важно, чтобы учащиеся обнаруживали закономерности, включая математические правила, чтобы делать предположения о растущей закономерности.
• Узоры
  • «Нам нужно учить детей искать и ожидать, что они найдут закономерности во всех математических работах, которые они выполняют» (Bahr, 2008).
• Переменные
  • Переменные неизвестны, могут изменяться и представлены символами. Учителя должны четко объяснить учащимся, что однобуквенный символ является аббревиатурой (Bahr, 2008).
• Реляционное мышление
  • Реляционное мышление фокусируется на том, почему правильный ответ. Например, 5 х 3 = 15, но почему? Это потому, что есть три группы, а в каждой группе по пять человек.
• Символическое представление математических идей
  • Знание того, что уравнения связывают отношения между числами, имеет решающее значение для концептуального понимания символов.

Источник: Алгебраическое мышление (де Гарсия, 2008)

 

Связь чисел с операциями и алгебраическим мышлением

В детском саду и до 3 класса все стандарты операций и алгебраического мышления связаны с числом и операциями с основанием десять.

 

Детский сад

Ученики в детском саду решают задачи на сложение и вычитание различными способами, поскольку они понимают и понимают принципы сложения и вычитания. Учащиеся дошкольного возраста должны видеть уравнения на сложение и вычитание, и их следует поощрять к написанию уравнений, таких как 4 + 3 = 7 и 7 – 3 = 4, но не требуйте этого от учащихся на этом уровне. Крайне важно, чтобы учащиеся видели взаимосвязь между числами, и учителя должны предоставить учащимся опыт манипулирования числами с использованием объектов, рисунков, мысленных образов и т. д., чтобы учащиеся могли переходить от конкретного к изобразительному и абстрактному уровням.

Учащиеся детского сада работают с числами до 10, решая текстовые задачи. Обязательно сосредоточьтесь на этих трех типах проблем: результат неизвестен, изменение неизвестно и начало неизвестно. См. Главу 4 для получения дополнительной информации об этих типах задач, а также Таблицу 1 в Приложении к Канзасским математическим стандартам.

Начиная с детского сада, учащиеся также должны воспринимать знак равенства как символ отношения, а не как действие по поиску ответа. Помогите учащимся увидеть взаимосвязь между обеими частями уравнения как имеющую одинаковое значение.

Первый класс

Все стандарты первого класса в области операций и алгебраического мышления были рассмотрены в главе 4, поскольку учащиеся представляют и решают задачи на сложение и вычитание, применяют свойства операций и видят взаимосвязь между сложением и вычитанием, а также складывают и вычитают в пределах 20

Некоторые учащиеся неправильно понимают значение знака равенства, и очень важно как можно раньше исправить это неправильное представление.  – это относительный символ, означающий «такой же, как». Знак равенства не является символом операции. Многие дети считают, что знак равенства означает «ответ есть», что неверно. Рассмотрим задачу 3 + 7 = 9+ 1. Ответа нет, хотя обе стороны одинаковые. Также дайте учащимся задачи, где в начале задачи стоит знак равенства, например, 8 = 3 + 5.

Задания «Операции и алгебраическое мышление» на веб-сайте «Иллюстративная математика» — хороший ресурс для соединения чувства чисел с алгебраическим мышлением.

Второй класс

Все стандарты второго класса в области операций и алгебраического мышления были рассмотрены в главах 4, 5 и 7, поскольку учащиеся представляют и решают задачи на сложение и вычитание, используют умственные стратегии для сложения и вычитания в пределах 20, определяют четное и нечетное, и используйте сложение, чтобы найти общее количество объектов в прямоугольном массиве.

Общие типы вычислительных ситуаций, на которые учителям следует обратить внимание, приведены в Таблице 1: Общие ситуации сложения и вычитания в стандартах математики штата Канзас. Это следующие типы ситуаций: неизвестный результат, неизвестное изменение и неизвестное начало. Дополнительную информацию об этих типах ситуаций см. в «Главе 9. Вычисление целых чисел».

Когда учащиеся решают одно- и двухшаговые задачи, ожидайте, что они будут использовать манипулятивные средства, такие как десятичные блоки, числовую прямую, диаграммы сотен и т. д. Во втором классе не сосредотачивайтесь на традиционных алгоритмах или правилах, а вместо этого на смысл операций.

Задания «Операции и алгебраическое мышление» на веб-сайте «Иллюстративная математика» — хороший ресурс для соединения чувства чисел с алгебраическим мышлением. Иллюстративная математика 2 класс Операции и задачи алгебраического мышления

Третий класс

Все стандарты третьего класса в области операций и алгебраического мышления были рассмотрены в главах 5 и 7, поскольку учащиеся представляют и решают задачи на умножение и деление, понимают взаимосвязь между умножением и делением и понимают свойства умножения. Кроме того, учащиеся третьего класса решают задачи, связанные с четырьмя операциями, определяют и объясняют 9 операций.0423 .

Задания «Операции и алгебраическое мышление» на веб-сайте «Иллюстративная математика» — хороший ресурс для соединения чувства чисел с алгебраическим мышлением. Иллюстративная математика 3 класс Операции и задачи алгебраического мышления

 

Алгебраическое мышление и алгебраические понятия в начальных классах

Детский сад

В детском саду учащиеся определяют, дублируют и расширяют простые числовые шаблоны, готовясь к созданию правил, описывающих отношения (NCTM, 2006). Учащиеся в детском саду видят уравнения сложения и вычитания, когда они разлагают набор объектов на два набора. На этом уровне учащиеся разлагают числа от 1 до 10, используя предметы или рисунки. Они должны зафиксировать каждое разложение, нарисовав картинку. Если учащиеся пишут уравнение, они также должны поделиться графическим представлением или показать, используя манипуляции. Кроме того, учащиеся используют символы +, — и = в своих разложениях.

Учащиеся детского сада должны иметь несколько возможностей использовать Ten-Frame, поскольку они «делают десять». Например, рассмотрите следующие три способа, которыми учащиеся могут решить эту задачу: В упаковке 10 карандашей. В упаковке 7 карандашей. Сколько карандашей не хватает?

Воспитанники детского сада бегло решают задачи, что означает эффективно, точно и гибко. Точность означает получение правильного ответа, эффективность означает решение задачи за разумное количество шагов, а гибкость означает использование таких стратегий, как сделать десять, подсчет, использование удвоения, использование свойства коммутативности, использование семейств фактов и т. д. Беглость не означает зная ответ мгновенно. Прочтите статью «Свободное владение языком — это больше, чем скорость», нажав здесь.

Первый класс

Учащиеся первого класса выявляют, описывают и применяют числовые шаблоны и свойства, чтобы разработать стратегии для основных фактов (NCTM, 2006). Учащиеся первого класса решают задачи на сложение и вычитание с числом 20. На этом уровне не используйте буквы для неизвестных символов; вместо этого используйте рамку, картинку или вопросительный знак.

Пример:

 

 

В первом классе ученики учатся до  при моделировании сложения и вычитания с помощью предметов, пальцев и рисунков. Это основа алгебраического мышления и решения проблем. Крайне важно, чтобы учащиеся понимали проблемную ситуацию и представляли проблему.

Ознакомьтесь с генератором словесных задач Грега Танга здесь. Вы можете выбрать операцию, тип проблемы, неизвестную переменную и количество проблем, которые нужно сгенерировать.

Когда учащиеся решают текстовые задачи, очень важно, чтобы они не полагались на ключевые слова. Когда учащиеся используют ключевые слова при решении задачи, они удаляют числа из задачи и не учитывают контекст проблемы. Кроме того, многие «ключевые слова» имеют несколько значений, например «в целом» и «слева». Использование стратегии ключевых слов не развивает осмысление и не создает структуры для более углубленного обучения. Вместо этого обсудите суть проблемы и переместите вопрос в начало проблемы. Разыграйте задачу и напишите соответствующее уравнение.

Второй класс

Во втором классе учащиеся используют числовые шаблоны, чтобы расширить свои знания о свойствах (NCTM, 2006). Они представляют и решают задачи на сложение и вычитание в пределах 100. Продолжайте ожидать, что учащиеся будут использовать десятичные блоки, таблицы сотен, числовые линии, рисунки или уравнения для поддержки своего понимания.

Учащиеся второго класса становятся беглыми (эффективными, точными и гибкими), когда они мысленно складывают и вычитают в пределах 20. Предоставьте учащимся несколько возможностей написать уравнения с двумя равными слагаемыми, например, 2 + 2 = 4 или 3 + 3 = 6. Это закладывает основу для умножения.

Третий класс

Учащиеся третьего класса понимают свойства умножения и видят взаимосвязь между умножением и делением (NCTM, 2006). Это фундаментальный шаг в развитии алгебраической готовности. Студенты сосредотачиваются на двух моделях деления: и .

Во втором классе учащиеся использовали прямоугольные массивы, чтобы найти общее количество объектов, и написали уравнения для представления суммы, например, массив 5 x 5 можно записать как 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. См. модулей в EngageNY для обучения алгебраическому мышлению учащихся третьего класса. Учащиеся используют свойства умножения (коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства) при умножении и делении и понимают отношения часть/часть/целое при установлении связей между умножением и делением. Для развития алгебраического мышления и рассуждений учащиеся объясняют арифметические закономерности, используя свойства операций.

No related posts.