Ѐункция тангСнса: Ѐункция y = tgx ΠΈ Π΅Ρ‘ свойства β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 11 класс.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса, косинуса, тангСнса, котангСнса, арксинуса, арккосинуса. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. ВСст

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°->ВригономСтрия->тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ->

ВСстированиС ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

  • Ѐункция синуса, косинуса

  • Ѐункция тангСнса, котангСнса

Ѐункция синуса

На рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° синуса Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·Π΅ .

Рассмотрим основныС свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=sinx:

1) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

2) ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ

3) Ѐункция являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (0;0).

4) Ѐункция пСриодичСская. НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

5) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСсСкаСт ось ΠžΡ… (Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…

6) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСсСкаСт ось Оy Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0; 0).

7) Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

8) Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

9) Ѐункция возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

10) Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

11) Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°:

12) Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума:

13) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся синусоида

Ѐункция косинуса

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косинуса получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° синуса с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСноса Π½Π° расстояниС Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cosx:

1) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

2) ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ

3) Ѐункция являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠžΡƒ.

4) Ѐункция пСриодичСская. НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

5) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСсСкаСт ось ΠžΡ… (Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…

6) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСсСкаСт ось Оy Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0; 1).

7) Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

8) Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

9) Ѐункция возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

10) Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

11) Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°:

12) Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума:

13) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся косинусоида

Ѐункция тангСнса

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=tgx:

1) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

2) ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

3) Ѐункция являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (0;0).

4) Ѐункция пСриодичСская. НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

5) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСсСкаСт ось ΠžΡ… (Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…

6) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСсСкаСт ось Оy Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0; 0).

7) Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

8) Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

9) Ѐункция возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

10) ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ убывания ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚.

11) Π’ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π½Π΅Ρ‚.

12) Π’ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума Π½Π΅Ρ‚.

13) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся тангСнсоида:

Ѐункция котангСнса

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=сtgx:

1) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

2) ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

3) Ѐункция являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (0;0).

4) Ѐункция пСриодичСская. НаимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

5) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСсСкаСт ось ΠžΡ… (Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…

6) Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ пСрСсСкаСт ось Оy.

7) Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

8) Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…

9) Ѐункция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² возрастания.

10) ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ убывания:

11) Π’ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π½Π΅Ρ‚.

12) Π’ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ максимума Π½Π΅Ρ‚.

13) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся котангСнсоида:

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

1) Если T — основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x), Ρ‚ΠΎ число являСтся основным ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(ax), Π³Π΄Π΅ a — любоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

2) Если пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) ΠΈ y=g(x) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ T, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… сумма, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ T.

3) Если пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) ΠΈ y=g(x) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ соизмСримыС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ T1 ΠΈ T2, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.

4) ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=g(f(x)) совпадаСт с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x).

Ρ‡Ρ‚ΠΎ это, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, свойства, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅:

  • Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ тангСнс
  • Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ функция тангСнса: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°
  • Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  • Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ тангСнс
  • Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ функция тангСнса: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°
  • Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  • Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ тангСнс

ВангСнсом ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ острого ΡƒΠ³Π»Π° \(\alpha (tg \alpha)\)Β Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° (Π°) ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρƒ (b) Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 90Β°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ: \(tg \alpha = \frac{a}{b}\)Β 

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ тангСнса ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠžΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ½ΠΎ! Если ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΠ»Π°Π³ΠΈΠ°Ρ‚ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅, Π½Π΅ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ (Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ отчислСния). Если Π½Π΅Ρ‚ возмоТности Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ самому, Π·Π°ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΡƒΡ‚.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ: microexcel.ru

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Рассмотрим наглядный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ· опрСдСлСния тангСнса ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния: a = 3 b = 4 Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС справСдливо Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для расчСта тангСнса ΡƒΠ³Π»Π°: \(tg \alpha = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0,75\)Β 

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ функция тангСнса: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с тригономСтричСскими функциями, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ тангСнса. Π­Ρ‚Π° функция ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ спСцифичСскими свойствами, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‚ вычислСния. Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

\(Ρƒ = tg Ρ…\)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π° Ρƒ опрСдСляСт нСпосрСдствСнно Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ свойств Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ достаточно просто Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ самыС слоТныС ΠΈ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ закономСрности, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса:

  1. Ѐункция тангСнса опрСдСляСтся Π² области \((x\ne\frac\pi2+\pi k)\), Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° мноТСствС, Π² состав ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ для косинуса.
  2. Ѐункция Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части, поэтому Π΅Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ \(y\in\mathbb{R}\).
  3. Ѐункция тангСнса являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ цСлСсообразно Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ \(tg(-x)=-tgx\).
  4. ВригономСтричСская функция тангСнса являСтся пСриодичСской, Π° Π΅Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ составляСт pi. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:\(tg(x+\pi k)=tgx\) .
  5. Π‘Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(ΠΊ +\infty\)Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ сблиТСнии с Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ стороны с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ \(x=\frac\pi2+\pi k\). ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π° a, слСва Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: \(x\rightarrow\)Β \(a-0 \lim_{x\rightarrow\frac\pi2+\pi k-0} tgx=+\infty\) .
  6. Π‘Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(ΠΊ -\infty\)Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ сблиТСнии с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ стороны с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ \(x=\frac\pi2+\pi k\). ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π° Π°, справа слСдуСт Π·Π°Ρ„ΠΈΠΊΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ \(x\rightarrow\)Β \(a+0 \lim_{x\rightarrow\frac\pi2+\pi k+0} tgx=-\infty\).
  7. Нули рассматриваСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(y_{0}=0\)Β ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ \(x_0=\pi k\).
  8. ВозрастаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° всСй области, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°.
  9. Ѐункция разрываСтся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… \(x=\frac\pi2+\pi k\), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ пСрСсСчСны Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ асимптотами. На ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ функция Π½Π΅ прСрываСтся, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ \(\left(-\frac\pi2+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right).\)
  10. Ѐункция Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями.

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

Как ΠΈ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, тангСнс достаточно просто ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ГрафичСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса Π² ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ прСдставлСно Π½Π° рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ: microexcel.ru

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса нСслоТно. НуТно лишь ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ дСйствия согласно стандартному Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡƒ:

  • ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ для построСния;
  • Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ линию Π½Π° плоскости ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚;
  • для Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ располоТСны симмСтрично ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚;
  • Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎ цСлСсообразно ΡΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² области опрСдСлСния;
  • Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ тангСнсоида.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1

ВрСбуСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ примСнСния свойств тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² тСорСтичСском Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: \(y=\text{tg}\left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)\)Β 

РСшСниС

Зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция тангСнса Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ косинуса, запишСм справСдливоС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ прСобразования:

\(\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=0\)

\(2x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\)

\(x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2},n\in Z\)

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° функция ΠΈΠ· условия задания:

\(D(y)=\left( -\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2},\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2} \right),n\in Z\)

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β \(D(y):x\in \left( -\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2},\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2} \right),n\in Z\)Β 

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2

Π”Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ: \(\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=0\)Β 

РСшСниС

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ прСобразования исходного ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

\(\sin 2x=\sqrt{3}\cos 2x\)

ПослС дСлСния всСх частСй записи Π½Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \(\cos 2x\)Β ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ измСнится Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

\(\text{tg}2x=\sqrt{3}\)

ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠžΠ”Π— для ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

\(\left( -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2} \right),n\in Z.\)

Π”Π°Π»Π΅Π΅ цСлСсообразно ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ уравнСния:

\(2=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in Z\)

\(x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2},n\in Z\)

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΏΠΎ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π°ΠΌ расчСтов, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠžΠ”Π—. МоТно Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \(x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2},n\in Z\)

Насколько ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ Π±Ρ‹Π»Π° для вас ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ?

Π£ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ.

Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ тСкст ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ клавиши Β«CtrlΒ» ΠΈ Β«EnterΒ»

Поиск ΠΏΠΎ содСрТимому

Π’Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция

Горячая ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция прСдставляСт собой пСриодичСский функция, которая ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Π° Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ простой способ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ β€” ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΞΈ нарисуйтС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ нарисуйтС ΡƒΠ³ΠΎΠ» с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороной ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Икс -ось. Икс -ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны ΡƒΠ³Π»Π° с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( ΞΈ ) ΠΈ Ρƒ -ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π³Ρ€Π΅Ρ… ( ΞΈ ) .

Π•ΡΡ‚ΡŒ нСсколько Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слСдуСт Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° 30 Β° βˆ’ 60 Β° βˆ’ 90 Β° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ 45 Β° βˆ’ 45 Β° βˆ’ 90 Β° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π½ΠΈΡ…, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния тангСнса.

Π³Ρ€Π΅Ρ… ( ΞΈ )

ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( ΞΈ )

Π·Π°Π³Π°Ρ€ ( ΞΈ )

Π³Ρ€Π΅Ρ… ( 0 Β° ) «=» 0 ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( 0 Β° ) «=» 1 Π·Π°Π³Π°Ρ€ ( 0 Β° ) «=» 0 1 «=» 0
Π³Ρ€Π΅Ρ… ( 30 Β° ) «=» 1 2 ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( 30 Β° ) «=» 3 2 Π·Π°Π³Π°Ρ€ ( 30 Β° ) «=» 1 2 β‹… 2 3 «=» 3 3
Π³Ρ€Π΅Ρ… ( 45 Β° ) «=» 2 2 ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( 45 Β° ) «=» 2 2 Π·Π°Π³Π°Ρ€ ( 45 Β° ) «=» 2 2 β‹… 2 2 «=» 1
Π³Ρ€Π΅Ρ… ( 60 Β° ) «=» 3 2 ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( 60 Β° ) «=» 1 2 Π·Π°Π³Π°Ρ€ ( 60 Β° ) «=» 3 2 β‹… 2 1 «=» 3
Π³Ρ€Π΅Ρ… ( 90 Β° ) «=» 1 ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ( 90 Β° ) «=» 0 Π·Π°Π³Π°Ρ€ ( 90 Β° ) «=» 1 0 «=» Π½Π΅Π΄Π΅Ρ„ .

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

  • для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² с ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ»Π΅Ρ‡ΠΎΠΌ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ II, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ синус ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° косинус ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, тангСнс ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.
  • для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² с ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ»Π΅Ρ‡ΠΎΠΌ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ III, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ синус ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° косинус ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.
  • для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² с ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ»Π΅Ρ‡ΠΎΠΌ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ IV, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ синус ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° косинус ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, тангСнс ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ нанСсти эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0 ΠΈ 2 Ο€ .

Для Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΞΈ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ 0 ΠΈΠ»ΠΈ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ 2 Ο€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΞΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» .

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся вся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия, Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ βˆ’ ∞ ≀ Ρƒ ≀ ∞ .

APC Π’Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция

ΠœΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вопросы

  • Как опрСдСляСтся функция тангСнса с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса?

  • ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса Ρ‚Π°ΠΊ отличаСтся ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса?

  • ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ примСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса?

Π’ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈΒ 4.1.4 ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ \(A\) ΠΈ \(B\) Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… сторонах Ρ€Π΅ΠΊΠΈ, зная Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ вдоль ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π΅Ρ€Π΅Π³Π° Ρ€Π΅ΠΊΠΈ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π±Π΅Ρ€Π΅Π³Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 4.2.1. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ косинус ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(z\) ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ‚ΡƒΠ΄Π° смогли ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синус ΡƒΠ³Π»Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ \(w\text{,}\) ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ Ρ€Π΅ΠΊΠΈ, которая оказываСтся Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ

\begin{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*} w = 50 \cdot \frac{\sin(56.4)}{\cos(56.4)}\text{.} \end{equation*}

Рисунок 4.2.1. НахоТдСниС ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅ΠΊΠΈ.

ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π½Π°ΠΌ рСгулярно Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса ΠΏΠΎΠ΄ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, поэтому ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4.2.2. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция.

Для любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа \(t\), для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ \(\cos(t) \ne 0\text{,}\) ΠΌΡ‹ опрСдСляСм тангСнс \(t\) , ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ \(\tan(t)\text{,}\)

\begin{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*} \ tan (t) = \ frac {\ sin (t)} {\ cos (t)} \ text {.} \end{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*}

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ просмотр 4.2.1.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΠ² Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вопросы, ΠΌΡ‹ пытаСмся ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса.

  1. Π‘Π΅Π· использования Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ устройства Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\tan(t)\) ΠΏΡ€ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… значСниях: \(t = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4 }, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}\text{.}\ )

  2. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ \(\tan \left( \frac{\pi}{2} \right)\) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ? КакиС Π΅Ρ‰Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… значСния \(x\), для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… \(\tan(x)\) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹?

  3. ΠžΡ‚ΠΊΡ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π² Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π΅ страницу http://gvsu.edu/s/0yO  1  (Β«zero-y-OhΒ»), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист Desmos с ΡƒΠΆΠ΅ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса. НаТмитС Π½Π° нСсколько ΠΎΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ваши Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния Π² (Π°) с дСсятичными значСниями, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Desmos . Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ запись: \(x = \frac{11\pi}{24}\text{,}\) \(y = T(\frac{11\pi}{24})\text{.} \) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°? ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния \(\sin(\frac{11\pi}{24})\) ΠΈ \(\cos(\frac{11\pi}{24})\text{?}\) ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\tan(\frac{11\pi}{24})\) Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ большоС?

  4. Π’ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ части списка Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡Π΅Π³ΠΎ листа Desmos Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠΆΠΎΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ \(T(x) = \tan(x)\) ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ вмСстС с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π² ΠΎΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²ΠΎΠΌ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ свою Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ вопросы ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса:

    • Каков Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ \(y = \tan(x)\text{?}\)

    • Каков ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ \(y = \tan(x)\text{?}\)

    • Каков Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ \(y = \tan(x)\text{?}\)

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 4.2.1 Π”Π²Π° взгляда Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

Рисунок 4. 2.3. Π£Π³ΠΎΠ» \(t\) Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄ΡƒΠ³Ρƒ ΠΈΠ· \((1,0)\) Π² \((a,b).\)Рисунок 4.2.4. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со смСТными ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ \(\theta\text{.}\)

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ функция тангСнса опрСдСляСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ \(\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\text{,}\), ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ нашС ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ тангСнса. Π’ частности, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° с Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ зрСния: ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅.

Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния рисунка 4.2.3, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡƒΠ³Π»Ρƒ \(t\), пСрСсСкаСт ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ \((a,b)\text{,}\), ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\cos(t ) = a\) ΠΈ \(\sin(t) = b\text{,}\) ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция тангСнса отслСТиваСт ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΈ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ

\begin{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*} \ tan (t) = \ frac {\ sin (t)} {\ cos (t)} = \ frac {b} {a} \ text {. } \end{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*}

Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния любого ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности) с Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ Β«hypΒ» ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Β«adjΒ» ΠΈ Β«oppΒ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ соотвСтствСнно ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡ‹ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ извСстному ΡƒΠ³Π»Ρƒ \(\theta\text{,}\) ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 4.2.4, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\sin(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}\) ΠΈ \(\cos(\theta) = \frac {\text{adj}}{\text{hyp}}\text{.}\) ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² эти выраТСния вмСсто \(\sin(\theta)\) ΠΈ \(\cos(\theta)\) Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π΅ для ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

\begin{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*} \ tan (\ theta) = \ frac {\ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta)} = \ frac {\ frac {\ text {opp}} {\ text {hyp}}} {\ frac { \text{adj}}{\text{hyp}}} = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}\text{.} \end{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*}

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ пСрспСктиву отслСТивания ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ \(y\)-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊ \(x\)-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ пСрспСктиву Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ всякий Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ Π½Π°Π΄ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 4.2.2 Бвойства ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ функция тангСнса опрСдСляСтся Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, Π΅Π΅ значСния ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ этими двумя функциями. Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\tan(t)\) для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° \(t\) Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса. НапримСр, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

\begin{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*} \tan \left(\frac{\pi}{6} \right) = \frac{ \sin \left(\frac{\pi}{6} \right)}}{\cos \left(\frac{\pi {6} \right) } = \ frac{ \ frac {1} {2} }{ \ frac {\ sqrt {3}} {2} } = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ text {.} \end{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*}

Выполняя Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ вычислСния для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ извСстного ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 4.2.5 ΠΈ Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 4.2.6. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² любом мСстС \(\cos(t) = 0\text{,}\) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\tan(t)\) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ. ЗаписываСм Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ экзСмпляры Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, записывая Β«uΒ».

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 4.2.5.

\(Ρ‚\) \(0\) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\pi}{6}\) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\pi}{4}\) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{2\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{4}\) \(\frac{5\pi}{6}\) \(\ΠΏΠΈ\)
\(\sin(t)\) \(0\) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°{1}{2}\) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ sqrt {2}} {2} \) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ sqrt {3}} {2} \) \(1\) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ sqrt {3}} {2} \) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ sqrt {2}} {2} \) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°{1}{2}\) \(0\)
\(\cos(t)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ sqrt {2}} {2} \) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°{1}{2}\) \(0\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\)
\(\Π·Π°Π³Π°Ρ€(Ρ‚)\) \(0\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(1\) \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) ΠΈ \(-\frac{3}{\sqrt{3}}\) \(-1\) \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(0\)

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 4. 2.6.

\(Ρ‚\) \(\frac{7\pi}{6}\) \(\frac{5\pi}{4}\) \(\frac{4\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(\frac{5\pi}{3}\) \(\frac{7\pi}{4}\) \(\frac{11\pi}{6}\) \(2\ΠΏΠΈ\)
\(\sin(t)\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\)
\(\cos(t)\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°{1}{2}\) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ sqrt {2}} {2} \) \(\ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ sqrt {3}} {2} \) \(0\)
\(\Π·Π°Π³Π°Ρ€(Ρ‚)\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(1\) \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) ΠΈ \(-\frac{3}{\sqrt{3}}\) \(-1\) \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(0\)

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Β 4. 2.5 ΠΈ Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Β 4.2.6 ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π΄Ρ‹ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. НапримСр, ΠΌΡ‹ наблюдаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ \(\tan(t)\) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ I, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ II, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ III ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ IV. Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… ΠΈ ​​противополоТныС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ….

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ наблюдаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния \(t\)-Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ ΠΊ \(\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\sin(t)\) становится Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ \(1\text{,}\), Π° \(\cos(t)\) Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ \(0\) (всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅). ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\frac{\pi}{2} \ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 1,57\text{,}\), ΠΌΡ‹ наблюдаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

\begin{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*} \ tan (1,47) = \ frac {\ sin (1,47)} {\ cos (1,47)} \ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ \ frac {0,995} {0,101} = 9,887 \end{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*}

ΠΈ

\begin{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*} \ tan (1,56) = \ frac {\ sin (1,56)} {\ cos (1,56)} \ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ \ frac {0,9994}{0,0108} = 92,6205\тСкст{.} \end{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*}

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ \(1\), Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° числа Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ \(0\) (Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅), Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ возрастаСт, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\tan(t)\) Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ увСличиваСтся ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(t\) приблиТаСтся ΠΊ \(\frac{\pi}{2}\) с Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ стороны. Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ \(t\) Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ \(\frac{\pi}{2}\) Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ II, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\sin(t)\) остаСтся Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΊ \(1\text{,} \), Π½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\cos(t)\) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (ΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ). НапримСр, \(\cos(1,58) \ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ -0,0092\text{.}\) Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\tan(t)\) Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ (ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ ΠΎΡ‚ \(0\)) ΠΏΡ€ΠΈ \(t\), ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡΡ ΠΊ \(\frac{ \pi}{2}\) с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ стороны ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(h(t) = \tan(t)\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(t = \frac{\pi}{2}\text {.}\) ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(\sin(t)\) ΠΈ \(\cos(t)\) ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это асимптотичСскоС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ.

НанСся Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ вмСстС с ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ асимптотами ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ соСдинив Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса Π½Π° рисункС 4.2.7.

Рисунок 4.2.7. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ вмСстС со ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, исходящими ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† 4.2.5 ΠΈ 4.2.6, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ· рисунка 4.2.7 Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ \(P = \pi\) ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция возрастаСт Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°. ΠŸΠΎΠ΄Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π°ΡˆΡƒ нСдавнюю Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \(h(t) = \tan(t)\text{,}\)

  • Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния являСтся мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ \(t = \frac{\pi}{2} \pm k\pi\), Π³Π΄Π΅ \(k\) — любоС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число;

  • Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ β€” это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл;

  • Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \(P = \pi\text{;}\)

  • увСличиваСтся Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°.

Π₯отя функция тангСнса сама ΠΏΠΎ сСбС являСтся интСрСсной матСматичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π΅Π΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ примСнСния связаны с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΈ Π² ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ΅ΠΉΡΡ части этого Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° ΠΌΡ‹ сосрСдоточимся Π½Π° этой пСрспСктивС.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 4.2.3 ИспользованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ…

Ѐункция ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ с ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’ ситуации, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ извСстным ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, Ссли ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ синус, Π»ΠΈΠ±ΠΎ косинус ΡƒΠ³Π»Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон. Но Π² условиях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°, функция тангСнса Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ позволяСт Π½Π°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ простым способом ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°, Π° ΠΎΡ‚Ρ‚ΡƒΠ΄Π° β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.2.8.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ \(w\text{,}\) Ρ€Π΅ΠΊΠΈ Π½Π° рисункС 4.2.9. (ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь ΠΌΡ‹ возвращаСмся ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΠΈΠ· упраТнСния 4.1.4, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ Π±Π΅Π· использования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.) ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ?

Рисунок 4.2.9. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с извСстным ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ.

Раствор.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ пСрспСктиву, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\tan(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}\) Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, Π² этом контСкстС ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ 9\circ) = \frac{w}{50} \end{equation*}

ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, \(w = 50\tan(56. 4)\) — точная ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° Ρ€Π΅ΠΊΠΈ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ устройство, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(w \ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 75,256\тСкст{.}\)

Зная ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ Ρ€Π΅ΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ синуса для опрСдСлСния расстояния ΠΎΡ‚ \(P\) ΠΊ \(A\text{,}\), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ извСстны всС \(6\) частСй Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Ѐункция ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ поискС Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ извСстна информация ΠΎΠ± ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… сторонах Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 9{\circ}\) с Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ. Какой Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Π±Π΅Π»ΠΈ ΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии ΠΎΡ‚ основания башни ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Ρ‹?

ΠœΠ΅Ρ€ΠΎΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ΅ 4.2.3.

Supertall  2  высотных Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚ ΠœΠ°Π½Ρ…ΡΡ‚Ρ‚Π΅Π½Π°. Π­Ρ‚ΠΈ нСбоскрСбы извСстны своСй нСбольшой ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΈΡ… высотой, с ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊ высотС самоС большСС \(1:10\text{,}\), Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ \(1:24\text{.} \) ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нСвысокий свСрхвысокий ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ высотой \(635\) Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рис. 4.2.10, ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ свСрхвысокий ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ построСн поблизости. Учитывая Π΄Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ здания, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° высота \(s\text{,}\) Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ здания ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° \(d\text{,}\) Π΄Π²Π΅ башни? 9ΡƒΠ³ΠΎΠ» \circ\), Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ \(x\) ΠΈ \(h\text{.}\)

  • Наша Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π² (a) ΠΈ (b) ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ систСмС Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя нСизвСстными \(x\) ΠΈ \(h\text{.}\) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ \(h\ ), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ \(x\text{.}\)

  • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· (c), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \(x\) ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ \(3\) Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.

  • Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ \(h\), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ \(3\) Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.

  • Если ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ измСрСния гСодСзистов Π±Ρ‹Π»ΠΈ сдСланы Π½Π° высотС \(78\) Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ΠΌ моря, Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ высотС Π½Π°Π΄ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ΠΌ моря находится Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° Ρ…ΠΎΠ»ΠΌΠ°?

  • ΠŸΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 4.

    2.4 РСзюмС
    • Ѐункция тангСнса ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса Π² соотвСтствии с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ

      \begin{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*} \ тангСнс (Ρ‚) = \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ Π³Ρ€Π΅Ρ… (Ρ‚)} {\ соз (Ρ‚)} \end{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*}

      для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ \(t\), для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… \(\cos(t) \ne 0\text{.}\)

    • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса сущСствСнно отличаСтся ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π³Π΄Π΅ \(\cos(t) = 0\text{,}\) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \(\frac{\ sin(t)}{\cos(t)}\) Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ увСличиваСтся ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, образуя Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \(P = 2\pi\text{,}\), ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \(P = \pi\) ΠΈΠ·-Π·Π° Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ значСния (с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСкаСт Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³.

    • Ѐункция тангСнса Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ построСнии ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° извСстСн ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ извСстСн ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· нСпрямых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². ВычислСниС тангСнса извСстного ΡƒΠ³Π»Π°, скаТСм, \(\alpha\text{,}\) ΠΈ использованиС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

      \begin{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*} \ Π·Π°Π³Π°Ρ€ (\ Π°Π»ΡŒΡ„Π°) = \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° {\ тСкст {ΠΎΠΏΠΏ}} {\ тСкст {ΠΏΡ€ΠΈΠ»}} \end{ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅*}

      ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΈ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π°.

    УпраТнСния 4.2.5 УпраТнСния

    1.

    По ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ находится конСчная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, опрСдСляСмая \(t\). Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ I, II, III ΠΈΠ»ΠΈ IV.

    (a) \(\sin (t)\lt 0\) ΠΈ \(\cos (t)\lt 0\text{,}\) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ ;

    (b) \(\sin (t)>0\) ΠΈ \(\cos (t)\lt 0\text{,}\) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ ;

    (c) \(\sin (t)>0\) ΠΈ \(\cos (t)>0\text{,}\) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ ;

    (d) \(\sin (t)\lt 0\) ΠΈ \(\cos (t)>0\text{,}\) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚ ; 9\circ\text{,}\) Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ стороны. Π”Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ с 3 дСсятичными Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

    АВ =

    Π’Π‘ =

    \(\Π°Π»ΡŒΡ„Π°\)=

    4.

    Если \(\cos(\phi) = 0,8347\) ΠΈ \(3 \pi /2 \leq \phi \leq 2 \pi\text{,}\) аппроксимируйтС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ число Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.

    (a) \(\sin( \phi )\) = (ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.)

    (b) \(\tan( \phi )\) = (ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.)

    5.

    ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\displaystyle \sin{ \theta } = \frac{x}{8}\) ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \(\theta\) находится Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ алгСбраичСскиС выраТСния для \(\cos(\theta)\) ΠΈ \(\tan(\theta)\) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· \(x\text{.}\)

    (a) \(\cos(\theta)\) =

    (b) \(\tan(\theta)\) =

    6.

    Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ уравнСния. Π”Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ значСния \(t\) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ \(0 \leq t \leq 2 \pi\text{.}\) Если имССтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°, Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ свои Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² список, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ запятыми.

    (a) \(\displaystyle \sin{(t)} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(t =\)

    (b) \(\displaystyle \cos{ (t)} = — \frac{\sqrt{2}}{2}\), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(t =\) 9{\circ}\text{.}\) Если пандус Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΎΡ‚ΡƒΠ°Ρ€Π° Π΄ΠΎ ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΡŒΡ†Π° Π½Π° высотС \(3\) Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пандус? На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии ΠΎΡ‚ ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΡŒΡ†Π° ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚Ρ€ΠΎΡ‚ΡƒΠ°Ρ€? Какой ΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ½ пандуса?

    8.

    Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

    Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *