Аналитическая геометрия
- Подробности
- Просмотров: 259279
Рейтинг: 4 / 5
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$
Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$
— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число
$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.
$D=25-16=9$
$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$
Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$
{jumi[*4]}
3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$
Решение.
$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$
$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$
Ответ: $0.$
3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$
Решение.
$\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$
$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$
$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).
T=\det A.$
2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.
3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.
4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.
5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.
6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).
Примеры:
3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.
$
Доказательство.
$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.
$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$
$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$
$=8a+15b+12c-19d.$
Ответ: $8a+15b+12c-19d.$
{jumi[*4]}
3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$
Решение.
Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:
$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два
$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394.
Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.
3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$
Ответ: $-14.$
3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$
Ответ: $4.$
3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$
Ответ: $2a-8b+c+5d.$
3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$
Ответ: $665.$
{jumi[*4]}
Аналитическая геометрия | Открытые видеолекции учебных курсов МГУ
Курс «Аналитическая геометрия» читается студентам первого курса физического факультета МГУ имени М.
Аналитическая геометрия является одним из базовых курсов высшей математики, лежащих в основе физико-математического образования.
В курсе рассматриваются следующие вопросы: комплексные числа, матрицы и операции над ними, теория определителей, теория систем линейных алгебраических уравнений, элементы теории линейных пространств, системы координат, векторы и операции над ними, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, теория прямых и плоскостей, элементы теории кривых и поверхностей второго порядка. На примерах геометрических объектов малой размерности курс знакомит студентов с основными идеями метода координат и даёт общие навыки работы с простейшими алгебраическими системами.
Список всех тем лекций
Лекция 1. Понятие аналитической геометрии.
Понятие аналитической геометрии
Понятие системы координат
Криволинейные системы координат
Системы координат в пространстве
Отношение эквивалентности
Декартово произведение
Свойства отношений
Лекция 2. Операции над векторами.
Повторение
Отношения эквивалентности
Операции над векторами
Аксиомы
Определение линейной комбинации
Приемы, полезные для доказательств
Лекция 3. Линейно зависимые и линейно независимые векторы.
Повторение
Линейно зависимые и линейно независимые векторы
Разложение векторов по базису
Определитель
Лекция 4. Свойства определителя.
Определитель
Свойства определителя
Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя
Три вектора в пространстве
Основные свойства определителя третьего порядка
Лекция 5. Теорема о свойствах скалярного произведения.
Теорема об инвариантности определителя под действием операции транспонирования
Основные свойства определителя
Фальшивое разложение определителя
Скалярное произведение
Теорема о свойствах скалярного произведения
Векторное произведение
Теорема о свойствах векторного произведения
Смешанное произведение
Лекция 6. Геометрические объекты на плоскости и в пространстве.
Прямые
Взаимное расположение прямых
Плоскость в пространстве
Взаимное расположение прямой и плоскости
Лекция 7. Линии второго порядка.
Прямая в пространстве
Линии второго порядка
Лекция 8. Эллипс. Гипербола. Парабола.
Эллипс
Гипербола
Парабола
Лекция 9. Уравнения линий второго порядка в полярных координатах.
Уравнения линий второго порядка в полярных координатах
Матрицы
Свойства матриц
Умножение строки на столбец
Перемножение матриц
Диагональная матрица
Лекция 10. Свойства матричного умножения.
Свойства матричного умножения
Однородные системы линейных уравнений
Неоднородные системы линейных уравнений
Решение систем уравнений
Лекция 11. Приведение системы к упрощенному виду.
Приведение системы к упрощенному виду
Системы с двумя неизвестными и одним уравнением
Уравнения с тремя неизвестными
Система двух уравнений с тремя неизвестными
Метод преобразования матриц
Однородные системы линейных уравнений
Связь элементарных преобразований с элементами матрицы
Лекция 12. Теория определителей.
Теория определителей
Формула Крамера
Перестановки
Умножение перестановок
Инверсия
Лекция 13. Методы вычисления определителя.
Повторение
Функция, обладающая полилинейностью и кососимметричностью
Определитель при малых значениях матрицы
Теорема о транспонировании определителя
Определитель треугольной матрицы
Теорема об определителе блочной матрицы
Теорема о произведении определителей
Формула разложения определителя по строкам и столбцам
Теорема о фальшивом разложении
Теорема о существовании обратной матрицы
Преобразование с использованием матриц (геометрия, преобразования) – Mathplanet
Вектор может быть представлен упорядоченной парой (x,y), но также может быть представлен матрицей-столбцом:
$$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$
Многоугольники также можно представить в матричной форме, просто поместив все координаты вершин в одну матрицу. Это называется вершинной матрицей.
Пример
Вершины квадрата находятся в следующих координатах (1,1), (-1,1), (-1,-1) и (1,-1). Если мы хотим создать нашу матрицу вершин, мы вставляем каждую упорядоченную пару в каждый столбец матрицы из 4 столбцов:
$$\begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}= \ begin{bmatrix} 1 &-1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$
Мы можем использовать матрицы для перевода нашей цифры, если мы хотим перевести цифру x +3 и y+2 мы просто добавляем 3 к каждой координате x и 2 к каждой координате y.
$$\\\begin{bmatrix} x_{1}+3 & x_{2}+3 &x_{3}+3 &x_{4}+3 \\ y_{1}+2 &y_{2}+2 &y_{2}+2 & y_{2}+2 \end{bmatrix}$$
Если мы хотим растянуть фигуру, мы просто умножаем каждую координату x и y на масштабный коэффициент, с которым мы хотим растянуть.
$$3\cdot \begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix} $$
Когда мы хотим создать изображение отражения, мы умножаем матрицу вершин нашей фигуры на так называемую матрицу отражения. Наиболее распространенные матрицы отражения:
для отражения по оси x
$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$
для отражения по оси Y
$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
для отражения в начале координат
$$\begin{ bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$
для отражения в линии y=x
$$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{ bmatrix}$$
Пример
Мы хотим создать отражение вектора по оси x.
$$\overrightarrow{A}=\begin{bmatrix} -1 и 3\\ 2 & -2 \end{bmatrix}$$
Чтобы создать наше отражение, мы должны умножить его на правильную матрицу отражения
$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
Следовательно, матрица вершин нашего отражения
$$\\ \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 3\\ 2 & -2 \end{bmatrix}=\ \ \\\\\begin{bmatrix} (1\cdot -1)+(0\cdot2) & (1\cdot3)+(0\cdot-2)\\ (0\cdot-1)+(-1 \cdot2) & (0\cdot3)+(-1\cdot-2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 3\\ -2 & 2 \end{bmatrix}$$
Если мы хотим повернуть фигуру, мы действуем так же, как при создании отражения. Если мы хотим повернуть фигуру на 90° против часовой стрелки, мы умножаем матрицу вершин на
$$\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$
Если мы хотим повернуть фигуру против часовой стрелки цифра 180°, мы умножаем матрицу вершин на
$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0& -1 \end{bmatrix}$$
Если мы хотим повернуть фигуру против часовой стрелки на 270° или по часовой стрелке цифра 90°, мы умножаем матрицу вершин на
$$\begin{bmatrix} 0& 1\\ -1& 0 \end{bmatrix}$$
Поворачиваем вектор A на 90° против часовой стрелки и рисуем оба вектора в координате плоскость
$$\underset{A}{\rightarrow}=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}$$
Геометрия матрицы определяет оптимальную стратегию миграции раковых клеток и модулирует ответ на вмешательства
Sahai, E. & Marshall, C.J. Различные способы инвазии опухолевых клеток имеют разные требования к передаче сигналов Rho/ROCK и внеклеточному протеолизу. Нац. Клеточная биол. 5 , 711–719 (2003).
Артикул КАС Google ученый
Wolf, K. et al. Механизм компенсации миграции опухолевых клеток: мезенхимально-амебоидный переход после блокирования перицеллюлярного протеолиза. J. Cell Biol. 160 , 267–277 (2003).
Артикул КАС Google ученый
Санс-Морено, В. и др. Активация и инактивация Rac контролируют пластичность движения опухолевых клеток. Cell 135 , 510–523 (2008).
Артикул КАС Google ученый
Carragher, N. O. et al. Зависимость от Calpain 2 и Src различает мезенхимальный и амебоидный способы инвазии опухолевых клеток: связь с функцией интегрина. Онкоген 25 , 5726–5740 (2006).
Артикул КАС Google ученый
Чаррас Г. , Ярроу Дж., Хортон М., Махадеван Л. и Митчисон Т. Дж. Неуравновешивание гидростатического давления в пузырьковых клетках. Природа 435 , 365–369 (2005).
Артикул КАС Google ученый
Отто, А., Коллинз-Хупер, Х., Патель, А., Дэш, П. Р. и Патель, К. Миграция стволовых клеток взрослых скелетных мышц опосредована пузырчатым/амебоидным механизмом. Rejuvenation Res. 14 , 249–260 (2011).
Артикул КАС Google ученый
Кардаш, Э. и др. Роль Rho GTPases и межклеточной адгезии в подвижности одиночных клеток in vivo . Нац. Клеточная биол. 12 , 47–53 (2009).
Артикул Google ученый
Blaser, H. et al. Миграция первичных зародышевых клеток рыбок данио: роль сокращения миозина и цитоплазматического потока. Дев. Cell 11 , 613–627 (2006).
Артикул КАС Google ученый
Лорентцен, А., Бамбер, Дж., Садок, А., Элсон-Шваб, И. и Маршалл, С. Богатая эзрином жесткая уроподоподобная структура направляет движение амебоидных пузырьковых клеток. J. Cell Sci. 124 , 1256–1267 (2011).
Артикул КАС Google ученый
Poincloux, R. et al. Сократимость задней части клетки способствует инвазии клеток опухоли молочной железы в 3D Matrigel. Проц. Натл акад. науч. США 108 , 1943–1948 (2011).
Артикул КАС Google ученый
Тринкаус Дж. П. Образование выступов клеточной поверхности при движении клеток ткани. Прог. клин. биол. Рез. 41 , 887–906 (1980).
КАС пабмед Google ученый
Эстеха, А. и др. Moesin управляет кортикальной полярностью опухолевых клеток меланомы, чтобы инициировать трехмерную инвазию. J. Cell Sci. 122 , 3492–3501 (2009).
Артикул КАС Google ученый
Ламмерманн Т. и др. Быстрая миграция лейкоцитов за счет независимого от интегрина потока и сжатия. Природа 453 , 51–55 (2008).
Артикул Google ученый
Ly, D. & Lumsden, C. Трехмерная амебоидная миграция эукариотической клетки в волокнистом матриксе. Артиф. Жизненный робот. 14 , 1–6 (2009).
Артикул Google ученый
Нейлсон, М. и др. Хемотаксис: вычислительная модель на основе обратной связи надежно предсказывает множество аспектов реального поведения клеток. PLoS Биол. 9 , e1000618 (2011).
Артикул КАС Google ученый
Hawkins, R. J. et al. Отталкивание стенок: механизм подвижности клеток в заключении. Физ. Преподобный Летт. 102 , 058103 (2009).
Артикул КАС Google ученый
Янг Дж. и Митран С. Численная модель клеточного пузырения: сохраняющая объем модель взаимодействия жидкости и структуры всей клетки. Дж. Биомех. 43 , 210–220 (2010).
Артикул Google ученый
Тиневез, Д.Ю. и другие. Роль напряжения коры в росте пузырьков. Проц. Натл акад. науч. США 106 , 18581–18586 (2009 г.).
Артикул КАС Google ученый
Bagorda, A. & Parent, C.A. Краткий обзор хемотаксиса эукариот. J. Cell Sci. 121 , 2621–2624 (2008).
Артикул КАС Google ученый
Рорт, П. Откуда направленность: механизмы наведения при одиночной и коллективной миграции клеток. Дев. Cell 20 , 9–18 (2011).
Артикул КАС Google ученый
Iijima, M., Huang, Y.E., Luo, H., Vazquez, F. & Devreotes, P. Новый механизм регуляции PTEN с помощью мотива связывания фосфатидилинозитол-4,5-бисфосфата имеет решающее значение для хемотаксиса. J. Biol. хим. 279 , 16606–16613 (2004 г.).
Артикул КАС Google ученый
Wolf, K. et al. Модели миграции клеток на основе коллагена in vitro и in vivo . Семин. Сотовый Дев. биол. 20 , 931–941 (2009).
Артикул КАС Google ученый
Вольф, К. и Фридл, П. Картирование протеолитических раковых клеток-внеклеточного матрикса. клин. Эксп. Метастаз 26 , 289–298 (2009).
Артикул КАС Google ученый
Sims, J. R., Karp, S. & Ingber, D. E. Изменение баланса клеточных механических сил приводит к комплексным изменениям формы клетки, цитоскелета и ядра. J. Cell Sci. 103 , 1215–1222 (1992).
ПабМед Google ученый
Ямаути, К. и др. В режиме реального времени in vivo двухцветная визуализация внутрикапиллярных раковых клеток и деформации и миграции ядер. Рак Res. 65 , 4246–4252 (2005).
Артикул КАС Google ученый
Накаяма, М. и др. Активности Rho-kinase и myosin II необходимы для миграции, специфичной для типа клеток и окружающей среды. Клетка Генов. 10 , 107–117 (2005).
Артикул КАС Google ученый
Bellion, A., Baudoin, J-P., Alvarez, C., Bornens, M. & Métin, C. Нуклеокинез в тангенциально мигрирующих нейронах состоит из двух чередующихся фаз: поступательная миграция Гольджи/центросомы, связанная с расщеплением центросомы, и сокращение миозина сзади. Дж. Неврологи. 25 , 5691–5699 (2005).
Артикул КАС Google ученый
Tsai, JW., Bremner, H. & Vallee, R. Двойная субклеточная роль LIS1 и динеина в радиальной миграции нейронов в живой ткани мозга. Природа Неврологи. 10 , 970–979 (2007).
Артикул КАС Google ученый
Beadle, C. et al. Роль миозина II в инвазии глиомы головного мозга. Мол. биол. Cell 19 , 3357–3368 (2008).
Артикул КАС Google ученый
Гуилак Ф., Тедроу Дж. и Бургкарт Р. Вязкоупругие свойства клеточного ядра. Биохим. Биофиз. Рез. коммун. 269 , 781–786 (2000).
Артикул КАС Google ученый
Кайле Н., Тумин О., Тарди Ю. и Мейстер Дж.-Дж. Вклад ядра в механические свойства эндотелиальных клеток. Дж. Биомех. 35 , 177–187 (2002).
Артикул Google ученый
Clark, E.A., Golub, T.R., Lander, E.S. & Hynes, R.O. Геномный анализ метастазов показывает важную роль RhoC. Природа 406 , 532–535 (2000).
Артикул КАС Google ученый
Hegerfeldt, Y., Tusch, M., Brocker, E.B. & Friedl, P. Коллективное движение клеток в эксплантатах первичной меланомы: пластичность межклеточного взаимодействия, функция бета1-интегрина и стратегии миграции. Рак Res. 62 , 2125–2130 (2002).
КАС пабмед Google ученый
Заман М., Камм Р., Мацудайра П. и Лауффенбургер Д. Вычислительная модель миграции клеток в трехмерных матрицах. Биофиз. J. 89 , 1389–1397 (2005).
Артикул КАС Google ученый
Бейер Т. и Мейер-Херманн М. Многомасштабное моделирование клеточной механики и тканевой организации. IEEE англ. Мед. биол. Магаз. 28 , 38–45 (2009).
Артикул Google ученый
Mao, Y. et al. Плоская поляризация атипичного миозина Dachs ориентирует клеточные деления у Drosophila . Гены Дев. 25 , 131–136 (2011).
Артикул КАС Google ученый
Эйзенманн, К. М. и другие. Т-клеточные ответы у мышей с нокаутом формина mDia1, связанных с диафанозом млекопитающих. J. Biol. хим. 282 , 25152–25158 (2007 г.).
Артикул КАС Google ученый
Anderson, Chaplain, & Rejniak, Одноклеточные модели в биологии и медицине (взаимодействие математики и биологических наук) (Birkhäuser, 2007).
Книга Google ученый
Мари А., Джилкин А., Доус А., Гринайзен В.н. и Эдельштейн-Кешет, Л. Поляризация и движение кератоцитов: многомасштабный подход к моделированию. Бык. Мат. биол. 68 , 1169–1211 (2006).
Артикул КАС Google ученый
Herant, M. & Dembo, M. Cytopede: трехмерный инструмент для моделирования подвижности клеток на плоской поверхности. Дж. Вычисл. биол. 17 , 1639–1677 (2010).
Артикул КАС Google ученый
Боттино Д., Могилнер А., Робертс Т., Стюарт М. и Остер Г. Как ползают сперматозоиды нематод. J. Cell Sci. 115 , 367–384 (2002).
КАС пабмед Google ученый
Паппу, В., Додди, С. и Багчи, П. Компьютерное исследование адгезии лейкоцитов и ее влияния на картину кровотока в микрососудах. Ж. Теорет. биол. 254 , 483–498 (2008).
Артикул КАС Google ученый
Рейняк, К. Погруженная граничная структура для моделирования роста отдельных клеток: применение к раннему развитию опухоли. Ж. Теорет. биол. 247 , 186–204 (2007).
Артикул КАС Google ученый
Бентли, К.