Гипербола парабола прямая: Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы. Полярный параметр.

Краткий справочник для инженеров и студентов

Краткий справочник для инженеров и студентов

Краткий справочник для инженеров и студентов: Высшая математика. Физика. Теоретическая механика. Сопротивление материалов. / Полянин А. Д., Полянин В. Д., Попов В. А., Путятин Б. В., Сафрай В. М., Черноуцан А. И. — М.: Международная программа образования, 1996. — 432 с. Краткий многопрофильный справочник содержит основные понятия, законы, формулы, теоремы и методы высшей математики, физики, теоретической механики и сопротивления материалов. Предельно сжатое и ясное изложение позволяет читателю быстро найти (или восстановить в памяти) необходимую информацию. Во всех разделах разобраны примеры, поясняющие существо рассматриваемых вопросов и методов решения задач. Книга не имеет аналогов в справочной литературе и окажет неоценимую помощь широкому кругу инженеров и студентов (и будет полезна для преподавателей вузов и научных работников). Ее удобно использовать для систематизации знаний и при подготовке к экзаменам и зачетам. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ 1. Аналитическая геометрия на плоскости 1.1. Декартовы и полярные координаты. Расстояние между точками 1.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь многоугольника 1.3. Различные виды уравнения прямой 1.4. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой 1.5. Окружность, эллипс, гипербола и парабола 1.6. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 2. Аналитическая геометрия в пространстве 2.2. Векторы 2.3. Действия над векторами. Скалярное произведение 2.4. Векторное и смешанное произведения 2.5. Плоскость в пространстве 2.6. Прямая в пространстве 2. 7. Прямая и плоскость в пространстве 2.8. Поверхности второго порядка 3. Линейная алгебра 3.2. Матрицы 3.3. Системы линейных уравнений 3.4. Системы n-мерных векторов. Собственные значения и собственные векторы матрицы 4. Основные понятия математического анализа 4.2. Элементарные функции и их графики 4.3. Предел последовательности 4.4. Предел функции 4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 4.6. Непрерывность 4.7. Асимптоты графика функции 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 5.2. Таблица производных и правила дифференцирования 5.3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя 5.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора 5.5. Экстремумы. Точки перегиба 5.6. Общая схема исследования функции и построение графика 6. Функции нескольких переменных 6.1. Точечные множества. Функции. Предел и непрерывность 6.2. Дифференцирование функций нескольких переменных 6. 3. Производная по направлению. Геометрические приложения 6.4. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Неопределенный интеграл 7.1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства 7.2. Таблица основных интегралов. Примеры интегрирования 7.3. Интегрирование по частям. Метод замены переменной 7.4. Интегрирование рациональных функций 7.5. Интегрирование иррациональных функций 7.6. Интегрирование показательных и тригонометрических функций 8. Определенный интеграл 8.1. Основные определения. Геометрический смысл определенного интеграла 8.2. Свойства определенного интеграла 8.3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла 8.4. Несобственные интегралы 9. Двойные и тройные интегралы 9.1. Определение и свойства двойного интеграла 9.2. Вычисление двойного интеграла 9.3. Геометрические и физические приложения двойного интеграла 9.4. Определение и свойства тройного интеграла 9.5. Вычисление тройного интеграла. Некоторые приложения 10. Криволинейные и поверхностные интегралы 10.2. Криволинейный интеграл второго рода 10.3. Поверхностный интеграл первого рода 10.4. Поверхностный интеграл второго рода 10.5. Дифференциальные операции и интегральные формулы теории поля 11. Ряды 11.1. Числовые ряды 11.2. Функциональные ряды 11.3. Степенные ряды 11.4. Ряд Фурье 11.5. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье 12. Обыкновенные дифференциальные уравнения 12.2. Дифференциальные уравнения высших порядков 12.3. Линейные уравнения n-го порядка 12.4. Решение линейных однородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами 12.5. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка 12.6. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 13. Приближенные вычисления 13.1. Метод наименьших квадратов 13.2. Приближенное решение алгебраических уравнений 13.3. Вычисление определенного интеграла 13.4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений 14. Теория вероятностей 14.1. Правила и формулы комбинаторики 14.2. Основные понятия теории вероятностей 14.3. Условная вероятность. Теоремы и формулы теории вероятностей 14.4. Математическое ожидание и дисперсия 14.5. Закон больших чисел 1. Физические основы механики 1.1. Кинематика точки 1.2. Кинематика твердого тела 1.3. Динамика 1.4. Закон сохранения импульса 1.5. Закон сохранения энергии 1.6. Закон сохранения момента импульса 1.7. Задана двух тел и движение в центральном поле 1.8. Поле тяготения 1.9. Неинерциальные системы отсчета 1.10. Динамика твердого тела 1.11. Специальная теория относительности 2. Молекулярная физика и термодинамика 2.2. Первое начало термодинамики 2.3. Второе начало термодинамики 2.4. Энтропия. Свободная энергия 2.5. Кинетическая теория идеального газа 2.6. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса 2.7. Равновесие фаз. Фазовые переходы 2.8. Поверхностное натяжение 2. 9. Явления переноса в газах 3. Электродинамика 3.1. Электрический заряд. Закон Кулона 3.2. Электрическое поле. Напряженность поля 3.3. Электростатическое поле. Принцип суперпозиции для напряженности и потенциала 3.4. Теорема Гаусса 3.5. Электростатика проводников 3.6. Электростатика диэлектриков 3.7. Конденсаторы 3.8. Энергия электростатического поля 3.9. Постоянный ток 3.10. Магнитное поле. Сила Лоренца и закон Ампера 3.11. Вычисление магнитной индукции 3.12. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции 3.13. Магнитное поле в веществе 3.14. Электромагнитная индукция 3.15. Уравнения Максвелла 4. Колебания и волны 4.1. Гармонические колебания. Сложение колебаний 4.2. Свободные незатухающие колебания 4.3. Затухающие и вынужденные колебания 4.4. Упругие волны 4.5. Электромагнитные волны 5. Оптика 5.1. Геометрическая оптика. Фотометрия 5.2. Интерференция света 5.3. Дифракция 5.4. Поляризация света. Формулы Френеля 5.5. Дисперсия и поглощение света 5.6. Тепловое излучение 5.7. Световые кванты Список литературы 1. Кинематика 1.1. Кинематика точки 1.2. Кинематика твердого тела 1.3. Плоскопараллельное движение твердого тела 1.4. Произвольное движение твердого тела 1.5. Сложное движение точки 2. Основные понятия и аксиомы механики 2.2. Аксиомы механики 3. Статика 3.2. Условия уравновешенности систем сил, приложенных к твердому телу 3.3. Решение задан статики 3.4. Центр параллельных сил. Центр тяжести твердого тела 3.5. Распределенные силы 3.6. Законы трения (законы Кулона) 4. Динамика материальной точки 4.2. Первая и вторая задачи динамики 5. Общие теоремы динамики механической системы 5.2. Теорема о движении центра масс 5.3. Теорема об изменении количества движения 5.4. Теорема об изменении кинетического момента 5.5. Теорема об изменении кинетической энергии 6. Принцип Даламбера. Элементы аналитической механики 6. 2. Классификация механических связей. Обобщенные координаты 6.3. Принцип возможных перемещений 6.4. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа) 6.5. Уравнения Лагранжа второго рода 1. Основные понятия 1.1. Введение. Внешние и внутренние силы 1.2. Напряжения и деформации в точке 1.3. Основные понятия и допущения 2. Напряженно-деформированное состояние в точке 2.2. Одноосное растяжение и сжатие 2.3. Чистый сдвиг 3. Центральное растяжение и сжатие 3.2. Напряжения и деформации при растяжении или сжатии 3.3. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии 4. Кручение 4.2. Напряжения и деформации при кручении 4.3. Расчеты на прочность при кручении 5. Прямой изгиб 5.2. Напряжения и деформации при прямом чистом изгибе 5.3. Напряжения и деформации при прямом поперечном изгибе 5.4. Расчет на прочность при прямом изгибе 6. Сложное сопротивление 6.2. Внецентренное растяжение или сжатие 6.3. Изгиб с кручением 7. Устойчивость сжатых стержней 7.2. Формула Эйлера 7.3. Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы 7.4. Пределы применимости формулы Эйлера 7.5. Расчеты сжатых стержней на устойчивость ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Элементарные функции и их свойства 2. Таблица неопределенных интегралов 3. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений 4. Ортогональные криволинейные системы координат 5. Некоторые физические постоянные

18.Эллипс, гипербола парабола. Каноническое уравнение.

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Аx2 + 2Вxy + Сy2 + 2Dx + 2Еy + F = 0,

где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

— эллипс,

— гипербола,

px — парабола.

Эллипс – геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:.

Эллипс, заданный каноническим уравнением:

симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки ,,,называются его вершинами.

Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии от центра эллипса О.

Число ()

называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при эллипс является окружностью, а прион вырождается в отрезок длиною).

Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY и ,.

Гипербола – геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:.

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и- вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.

Параметр а называется вещественной полуосью, b – мнимой полуосью.

Число , ()

называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, заданная каноническим уравнением : ( или),

называется сопряжённой ( имеет те же асимптоты ). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках и- вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.

В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a – мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле: , ().

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой

фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси ОY.

Парабола имеет фокуси директрису.

Парабола имеет фокуси директрису.

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 – в отрицательную сторону.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=; (3.3)

3) точкой M 1 (x 1, y 1, z 1 ), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор aназывается направляющим вектором прямой.

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [ n 1, n 2 ], где n 1 (A 1, B 1, C 1 ) и n 2 (A 2, B 2, C 2 ) — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x 1, y = y 1 ; прямая параллельна оси Oz.

Coordinate Geometry: The Straight Line, Circle, Parabola, Ellipse and Hyperbola, by Kingsley Augustine

Coordinate Geometry: The Straight Line, Circle, Parabola, Ellipse and Hyperbola обеспечивает простой способ получить четкое представление об основах коническое сечение в математике. Не предполагая никакого базового знания предмета, это ясное и самообучающееся руководство объясняет решенные проблемы простым для понимания способом. В конце каждой главы даны упражнения, которые учащиеся могут использовать для проверки своего понимания темы. Решения к упражнениям приведены в конце книги.
Эта книга по математике является идеальным пособием для учащихся средних школ и колледжей/университетов, а также для тех, кто готовится к поступлению и должен сдать вступительный тест или экзамен.
В этом учебнике рассматриваются следующие темы:

• Координаты точки
• Градиент прямой линии.
• Уравнение прямой.
• Градиент параллельных линий.
• Градиент перпендикулярных линий.
• Пересечение по осям x и y.
• Точка пересечения двух линий.
• Расстояние между двумя точками.
• Середина линии.
• Деление линии в заданном отношении.
• Угол наклона линии.
• Перпендикулярное расстояние между точкой и линией.
• Угол между двумя линиями.
• Площадь треугольника в плоскости x-y
• Площадь четырехугольника в плоскости x-y
• Геометрическое место точек в плоскости x-y
• Общее уравнение окружности.
• Уравнение окружности при наличии центра и точки.
• Уравнение касательной и нормали к окружности.
• Длина касательной к окружности из внешней точки.
• Уравнение параболы, когда вершина не находится в начале координат
• Уравнение параболы с учетом фокуса и директрисы, а вершина не находится в начале координат.
• Уравнение параболы при заданных фокусе и вершине.
• Уравнение параболы при заданных вершине и директрисе.
• Latus Прямая кишка эллипса.
• Эксцентриситет эллипса
• Площадь и периметр эллипса
• Уравнение касательной к эллипсу
• Уравнение нормали к эллипсу
• Уравнение эллипса с учетом фокусов и вершин, а центр не в начале координат (0, 0 )
• Уравнение гиперболы, когда центр не в начале координат.
• Широкая прямая кишка гиперболы
• Эксцентриситет гиперболы.
• Уравнение касательной к гиперболе.
• Уравнение нормали к гиперболе.

Эта книга основана на самостоятельном подходе, который позволяет вам продвигаться по материалу в своем собственном темпе—постепенно наращивая свои знания, укрепляя свое критическое мышление и навыки решения проблем. Эта книга по математике, насыщенная примерами, поможет вам быстро освоить основы построения прямых и конических сечений. на амазоне.с

Прямые линии и коники — Prepineer

[latexpage]

Линии

Если у нас есть две определенные точки в системе координат, скажем, точка $A({x_{{1}},y_{{1}})}$ и point B(${x_{{2}},y_{{2}})}$ , мы можем провести линию между ними. С помощью удивительного трюка мы можем определить наклон этой линии, найдя «изменение» обеих координат x и y и установив их вместе в соотношении. Соотношение, определяющее наклон, — это подъем над трассой, или в терминах уравнения:

\begin{equation*}
{m(\normalsubformula{\text{наклон}})=\frac{\normalsubformula{\text{подъем}}}{\normalsubformula{\text{run}}}=\frac {\ mathit {\ Delta
y}} {\ mathit {\ Delta x}} = \ frac {y_ {{2}} -y_ {{1}}} {x_ {{2}} -x_ {{1} }}}
\end{equation*}

Определив наклон, мы начинаем разрабатывать уникальное уравнение нарисованной прямой линии. Основное уравнение для линии:

\begin{equation*}
{y=\normalsubformula{\text{mx}}+b}
\end{equation*}

Константа b представляет собой точку пересечения y уравнения, сообщающую нам, где линия пересекает ось y, когда x установлен на 0.

Если мы определили наклон, то мы можем взять только один из определенных точки, чтобы определить, чему равна эта константа, используя следующие уравнения:

\begin{equation*}
{b=y_{{1}}-\normalsubformula{\text{mx}}_{{1}}}
\end {equation*}

Бывают случаи, когда вам дают только одну точку на линии вместе с наклоном и просят определить уравнение линии.

В этом случае использование уравнения прямой линии в форме точка-наклон сотворит для вас чудеса. Уравнение точки-наклона:

\begin{equation*}
{(y-y_{{1}})=m(x-x_{{1}})}
\end{equation*}

Зная наклон может рассказать нам кое-что о линии, даже не видя ее нарисованной.

Если m положительно, то мы знаем, что линия проходит по диагонали вверх и вправо.

Если, с другой стороны, m отрицательное, то линия будет идти по диагонали вниз, а идет вправо.

Большое значение m говорит нам о том, что линия крутая, тогда как меньшее значение m говорит о том, что линия более горизонтальна.

Если m = 0, то линия горизонтальна и ее уравнение просто y = b.

Следующие отношения могут сказать нам, параллельна или перпендикулярна пара прямых:

Две невертикальные прямые перпендикулярны, если наклоны \

точно равны ${m_{{1}}=m_{ {2}}}$

Две линии, определяемые наклонами ${m_{{1}}}$ и ${m_{{2}}}$, перпендикулярны

тогда и только тогда, когда ${m_{{1}}=-{\frac{1}{m_{{2}}}}}$

Окружности

Напомним на мгновение, что расстояние между двумя заданными точками в направление x равно $\delta x=x_2-x_1$, а направление y равно $\delta y=y_2-y_1$. Это всего лишь одномерные расстояния, которые не дают нам фактического расстояния между двумя точками. Однако, зная $\delta x$ и $\delta y$, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления фактического расстояния между двумя точками.

Теорема Пифагора утверждает: 9{{2}}}
\end{equation*}

Конические сечения

Конические сечения используются для описания всех возможных способов пересечения плоскости и двойного прямого конуса. При образовании четырех основных коник плоскость не проходит через вершины конусов. Четыре основные коники:

Параболы

Траектория объекта, строго подчиненного силе тяжести, всегда является приближением к параболе.

Все параболы имеют свободную форму буквы «U». У каждого есть уникальная вершина, верхняя или нижняя, в которой меняется направление. В зависимости от того, как точки приближаются к этой вершине, параболы могут открываться либо вверх, либо вниз, и могут иметь или не иметь пересечения по оси x, но всегда будут иметь по крайней мере одно пересечение по оси y.

Парабола имеет ось симметрии, каждая из сторон которой является зеркальным отражением противоположной стороны. Зная это, с одной заданной точкой мы можем определить точку прямо противоположную.

Проще говоря, парабола — это просто набор точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и фиксированной линии. Неподвижная точка называется фокусом, а неподвижная линия — директрисой. Зная эти значения и подставив их в формулу расстояния, мы можем вывести уравнение параболы как: 9{{2}}+\normalsubformula{\text{bx}}+C}
\end{equation*}

Если это выглядит знакомо, значит, так и должно быть. Вышеупомянутое уравнение является общей формой квадратного уравнения, и на графике результат представляет собой параболу.

В этой форме знак $a$ по-прежнему скажет вам, будет ли парабола открываться вверх или вниз. Однако, в отличие от предыдущего формата, нам не обойтись простым просмотром уравнения для определения вершины. После определения констант используйте следующее уравнение для определения вершины. 9{{2}}}{4c})}
\end{equation*}

Эллипсы

Подобно параболе, эллипс представляет собой набор точек на плоскости, где при задании любой точки P сумма расстояния от P до двух фиксированных точек ${F_{{1}}}$ и ${F_{{2}}}$ (известных как фокусы) постоянны.

Формулируя это, мы получаем:

\begin{equation*}
{|\normalsubformula{\text{PF}}_{{1}}|+|\normalsubformula{\text{PF}}_{{2 }}|=2a}
\end{equation*}

Важно отметить, что фокусы (множественное число для фокуса) расположены и зафиксированы на большой оси эллипса, которая является осью, идущей от A к B в иллюстрацию выше. Длина большой оси 2а.

Малая ось, напротив, проходит от C к D и имеет длину 2b. Переменные длины a и b известны как большая и малая полуоси.

Эксцентриситет, обозначаемый ${e}$, является важной безразмерной величиной, полученной из эллипса. Термин эксцентриситет определяется как отношение расстояния между фокусами и длины большой оси. Другими словами, расстояние между фокусами равно ${\text{2ea}}$, а расстояние от фокуса (одного из фокусов) до центра эллипса равно ${\text{ea}}$. 9{{2}}}=1}
\end{equation*}

Гиперболы

Последняя коника, которую мы коснемся, это гипербола. Как и эллипс, гипербола зависит от двух фиксированных фокусов, ${F_{{1}}}$ и ${F_{{2}}}$, расположенных в плоскости на расстоянии 2a друг от друга. Однако, в отличие от эллипса, уравнение гиперболы включает в себя разницу между двумя расстояниями $(PF_1)$ и $(PF_2)$, а не абсолютные значения расстояний.

$d(PF_1)-d(PF_2)=2a$

Графически мы получаем:

Все гиперболы состоят из двух кривых, одна слева от оси и одна справа. Линия слева построена по значениям, которые управляют уравнением ${d\left(\normalsubformula{\text{PF}}_{{1}}\right)-d\left(\normalsubformula{\text{PF }}_{{2}}\right)}$ должен быть отрицательным. Линия справа построена по значениям, которые делают уравнение положительным. Эти две линии никогда не соприкасаются и завершаются отдельными кривыми.

Эксцентриситет гиперболы можно найти так же, как и эллипса.