Граф (математика) | это… Что такое Граф (математика)?
У этого термина существуют и другие значения, см. Граф (значения).
Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами
В математической теории графов и информатике граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин (связей между вершинами).
Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.
Многие структуры, представляющие практический интерес в математике и информатике, могут быть представлены графами. Например, строение Википедии можно смоделировать при помощи ориентированного графа (орграф), в котором вершины — это статьи, а дуги (ориентированные рёбра) — гиперссылки (см. Тематическая карта).
Содержание
|
1 ГрафОпределения
Теория графов не обладает устоявшейся терминологией. В различных статьях под одними и теми же терминами понимаются разные вещи. Ниже приведены наиболее часто встречаемые определения.
Граф
Граф, или неориентированный граф — это упорядоченная пара , для которой выполнены следующие условия:
- — это непустое множество вершин, или узлов,
- — это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.
(а значит и, , иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов. Это происходит потому, что ряд соображений становится ложным в случае бесконечных множеств.
Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе — порядком, число рёбер — размером графа.
Вершины и называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра . Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.
Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.
Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.
Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть .
Степенью вершины называют количество инцидентных ей рёбер (при этом петли считают дважды).
Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.
Ориентированный граф
Основная статья: Ориентированный граф
Ориентированный граф (сокращённо орграф) — это упорядоченная пара , для которой выполнены следующие условия:
- — это непустое множество вершин или узлов,
- — это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.
Дуга — это упорядоченная пара вершин , где вершину называют началом, а — концом дуги. Можно сказать, что дуга ведёт от вершины к вершине .
Смешанный граф
Смешанный граф — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой , где , и определены так же, как выше.
Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.
Изоморфные графы
Граф называется изоморфным графу , если существует биекция из множества вершин графа в множество вершин графа , обладающая следующим свойством: если в графе есть ребро из вершины в вершину , то в графе должно быть ребро из вершины в вершину и наоборот — если в графе есть ребро из вершины в вершину , то в графе должно быть ребро из вершины в вершину . В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.
Прочие связанные определения
Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.
Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин , для которой все пары являются (ориентированными) рёбрами.
Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. Заметим, что если вершины и являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.
Путь (или цикл) называют простым, если ребра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются. Несложно видеть, что:
- Всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины.
- Всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл.
- Всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро).
- Петля — элементарный цикл.
Бинарное отношение на множестве вершин графа, заданное как «существует путь из в », является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивает это множество на классы эквивалентности, называемые компонентами связности графа.
Если у графа ровно одна компонента связности, то граф связный. На компоненте связности можно ввести понятие расстояния между вершинами как минимальную длину пути, соединяющего эти вершины.
Всякий максимальный связный подграф графа G называется связной компонентой (или просто компонентой) графа . Слово «максимальный» означает максимальный относительно включения, то есть не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов
Ребро графа называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент.
Дополнительные характеристики графов
Граф называется:
- связным, если для любых вершин , есть путь из в .
- сильно связным или ориентированно связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.
- деревом, если он связный и не содержит простых циклов.
- полным, если любые его две (различные, если не допускаются петли) вершины соединены ребром.
- двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества и так, что всякое ребро соединяет вершину из с вершиной из .
- k-дольным, если его вершины можно разбить на непересекающихся подмножества , , …, так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.
- полным двудольным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
- планарным, если граф можно изобразить диаграммой на плоскости без пересечений рёбер.
- взвешенным, если каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.
- хордальным, если граф не содержит индуцированных циклов с длиной больше трех.
Также бывает:
- k-раскрашиваемым
- k-хроматическим
Обобщение понятия графа
Простой граф является одномерным симплициальным комплексом.
Более абстрактно, граф можно задать как тройку , где и — некоторые множества (вершин и рёбер, соотв.
- ориентированные графы (орграфы) — когда всегда является упорядоченной парой вершин;
- неориентированные графы — когда всегда является неупорядоченной парой вершин;
- смешанные графы — в котором встречаются как ориентированные, так и неориентированные рёбра и петли;
- Эйлеровы графы — граф в котором существует циклический эйлеров путь (Эйлеров цикл).
- мультиграфы — графы с кратными рёбрами, имеющими своими концами одну и ту же пару вершин;
- псевдографы — это мультиграфы, допускающие наличие петель;
- простые графы — не имеющие петель и кратных рёбер.
Под данное выше определение не подходят некоторые другие обобщения:
- гиперграф — если ребро может соединять более двух вершин.
- ультраграф — если между элементами и существуют бинарные отношения инцидентности.
Способы представления графа в информатике
Матрица смежности
Основная статья: Матрица смежности
Таблица, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа. В каждой ячейке этой матрицы записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот).
Недостатком являются требования к памяти, прямо пропорциональные квадрату количества вершин.
- Двумерный массив;
- Матрица с пропусками;
- Неявное задание (при помощи функции).
Матрица инцидентности
Основная статья: Матрица инцидентности
Каждая строка соответствует определённой вершине графа, а столбцы соответствуют связям графа. В ячейку на пересечении -ой строки с -м столбцом матрицы записывается:
- 1
- в случае, если связь «выходит» из вершины ,
- −1,
- если связь «входит» в вершину,
- 0
- во всех остальных случаях (то есть если связь является петлёй или связь не инцидентна вершине)
Данный способ является самым ёмким (размер пропорционален ) для хранения, но облегчает нахождение циклов в графе.
Список рёбер
Список рёбер — это тип представления графа, подразумевающий, что каждое ребро представляется двумя числами — номерами вершин этого ребра.
Языки описания и программы построения графов
Для описания графов в целях, пригодных для машинной обработки и одновременно удобном для человеческого восприятия используется несколько стандартизированных языков, среди которых:
- DOT (язык)
- GraphML
- Trivial Graph Format
- GML
- GXL
- XGMML
- DGML
Отметим специализированные коммерческие программы для построения графов:
- ILOG
- GoView
- Lassalle AddFlow
- LEDA (есть бесплатная редакция).
Из бесплатных можно отметить:
- Boost Graph Library.
Для визуализации графов можно использовать:
- Graphviz
- LION Graph Visualizer.
- Графоанализатор — русскоязычная программа, с простым пользовательским интерфейсом.
- Gephi — графическая оболочка для представления и изучения графов.
См. также
- Словарь терминов теории графов
- Визуализация графов
- Система графов
- Прямое произведение графов
- Теоремы теории графов
- Boost Graph — Библиотека для работы с графами на языке C++
Литература
- Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968. 336с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ore1965ru.djvu
- Ошемков А.А. Лекции по наглядной геометрии и топологии http://dfgm.math.msu.su/files/0ngit/oshemkov/00ngit.pdf
- Уилсон Р. Введение в теорию графов. Пер с англ. М.: Мир, 1977. 208с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Uilson1977ru.djvu
- Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Harari1973ru.djvu
- Кормен Т. М.и др. Часть VI. Алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1
- Салий В. Н. Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Физико-математическая литература, 1997. — ISBN 5-02-015033-9
- Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.)
- Кирсанов М. Н. Графы в Maple. М.: Физматлит, 2007. — 168 c. http://vuz.exponenta.ru/PDF/book/GrMaple.pdf http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kirsanov2007ru.pdf
Н. Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Физико-математическая литература, 1997. — ISBN 5-02-015033-9Граф (математика) | это… Что такое Граф (математика)?
У этого термина существуют и другие значения, см. Граф (значения).
Неориентированный граф с шестью вершинами и семью рёбрами
В математической теории графов и информатике граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин (связей между вершинами).
Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.
Многие структуры, представляющие практический интерес в математике и информатике, могут быть представлены графами. Например, строение Википедии можно смоделировать при помощи ориентированного графа (орграф), в котором вершины — это статьи, а дуги (ориентированные рёбра) — гиперссылки (см. Тематическая карта).
Содержание
|
Определения
Теория графов не обладает устоявшейся терминологией. В различных статьях под одними и теми же терминами понимаются разные вещи.
Ниже приведены наиболее часто встречаемые определения.
Граф
Граф, или неориентированный граф — это упорядоченная пара , для которой выполнены следующие условия:
- — это непустое множество вершин, или узлов,
- — это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.
(а значит и, , иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов. Это происходит потому, что ряд соображений становится ложным в случае бесконечных множеств.
Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе — порядком, число рёбер — размером графа.
Вершины и называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра . Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины.
Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.
Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.
Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.
Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть .
Степенью вершины называют количество инцидентных ей рёбер (при этом петли считают дважды).
Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.
Ориентированный граф
Основная статья: Ориентированный граф
Ориентированный граф (сокращённо орграф) — это упорядоченная пара , для которой выполнены следующие условия:
- — это непустое множество вершин или узлов,
- — это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.
Дуга — это упорядоченная пара вершин , где вершину называют началом, а — концом дуги. Можно сказать, что дуга ведёт от вершины к вершине .
Смешанный граф
Смешанный граф — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой , где , и определены так же, как выше.
Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.
Изоморфные графы
Граф называется изоморфным графу , если существует биекция из множества вершин графа в множество вершин графа , обладающая следующим свойством: если в графе есть ребро из вершины в вершину , то в графе должно быть ребро из вершины в вершину и наоборот — если в графе есть ребро из вершины в вершину , то в графе должно быть ребро из вершины в вершину . В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.
Прочие связанные определения
Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.
Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин , для которой все пары являются (ориентированными) рёбрами.
Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. Заметим, что если вершины и являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.
Путь (или цикл) называют простым, если ребра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются. Несложно видеть, что:
- Всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины.
- Всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл.
- Всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро).
- Петля — элементарный цикл.
Бинарное отношение на множестве вершин графа, заданное как «существует путь из в », является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивает это множество на классы эквивалентности, называемые компонентами связности графа. Если у графа ровно одна компонента связности, то граф связный. На компоненте связности можно ввести понятие расстояния между вершинами как минимальную длину пути, соединяющего эти вершины.
Всякий максимальный связный подграф графа G называется связной компонентой (или просто компонентой) графа . Слово «максимальный» означает максимальный относительно включения, то есть не содержащийся в связном подграфе с большим числом элементов
Ребро графа называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент.
Дополнительные характеристики графов
Граф называется:
- связным, если для любых вершин , есть путь из в .
- сильно связным или ориентированно связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.
- деревом, если он связный и не содержит простых циклов.
- полным, если любые его две (различные, если не допускаются петли) вершины соединены ребром.
- двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества и так, что всякое ребро соединяет вершину из с вершиной из .
- k-дольным, если его вершины можно разбить на непересекающихся подмножества , , …, так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.
- полным двудольным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
- планарным, если граф можно изобразить диаграммой на плоскости без пересечений рёбер.
- взвешенным, если каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.
- хордальным, если граф не содержит индуцированных циклов с длиной больше трех.
Также бывает:
- k-раскрашиваемым
- k-хроматическим
Обобщение понятия графа
Простой граф является одномерным симплициальным комплексом.
Более абстрактно, граф можно задать как тройку , где и — некоторые множества (вершин и рёбер, соотв.), а — функция инцидентности (или инцидентор), сопоставляющая каждому ребру (упорядоченную или неупорядоченную) пару вершин и из (его концов). Частными случаями этого понятия являются:
- ориентированные графы (орграфы) — когда всегда является упорядоченной парой вершин;
- неориентированные графы — когда всегда является неупорядоченной парой вершин;
- смешанные графы — в котором встречаются как ориентированные, так и неориентированные рёбра и петли;
- Эйлеровы графы — граф в котором существует циклический эйлеров путь (Эйлеров цикл).
- мультиграфы — графы с кратными рёбрами, имеющими своими концами одну и ту же пару вершин;
- псевдографы — это мультиграфы, допускающие наличие петель;
- простые графы — не имеющие петель и кратных рёбер.
Под данное выше определение не подходят некоторые другие обобщения:
- гиперграф — если ребро может соединять более двух вершин.
- ультраграф — если между элементами и существуют бинарные отношения инцидентности.
Способы представления графа в информатике
Матрица смежности
Основная статья: Матрица смежности
Таблица, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа. В каждой ячейке этой матрицы записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот).
Недостатком являются требования к памяти, прямо пропорциональные квадрату количества вершин.
- Двумерный массив;
- Матрица с пропусками;
- Неявное задание (при помощи функции).
Матрица инцидентности
Основная статья: Матрица инцидентности
Каждая строка соответствует определённой вершине графа, а столбцы соответствуют связям графа. В ячейку на пересечении -ой строки с -м столбцом матрицы записывается:
- 1
- в случае, если связь «выходит» из вершины ,
- −1,
- если связь «входит» в вершину,
- 0
- во всех остальных случаях (то есть если связь является петлёй или связь не инцидентна вершине)
Данный способ является самым ёмким (размер пропорционален ) для хранения, но облегчает нахождение циклов в графе.
Список рёбер
Список рёбер — это тип представления графа, подразумевающий, что каждое ребро представляется двумя числами — номерами вершин этого ребра.
Языки описания и программы построения графов
Для описания графов в целях, пригодных для машинной обработки и одновременно удобном для человеческого восприятия используется несколько стандартизированных языков, среди которых:
- DOT (язык)
- GraphML
- Trivial Graph Format
- GML
- GXL
- XGMML
- DGML
Отметим специализированные коммерческие программы для построения графов:
- ILOG
- GoView
- Lassalle AddFlow
- LEDA (есть бесплатная редакция).
Из бесплатных можно отметить:
- Boost Graph Library.
Для визуализации графов можно использовать:
- Graphviz
- LION Graph Visualizer.
- Графоанализатор — русскоязычная программа, с простым пользовательским интерфейсом.
- Gephi — графическая оболочка для представления и изучения графов.
См. также
- Словарь терминов теории графов
- Визуализация графов
- Система графов
- Прямое произведение графов
- Теоремы теории графов
- Boost Graph — Библиотека для работы с графами на языке C++
Литература
- Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968. 336с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Ore1965ru.djvu
- Ошемков А.А. Лекции по наглядной геометрии и топологии http://dfgm.math.msu.su/files/0ngit/oshemkov/00ngit.pdf
- Уилсон Р. Введение в теорию графов. Пер с англ. М.: Мир, 1977. 208с. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Uilson1977ru. djvu
- Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Harari1973ru.djvu
- Кормен Т. М.и др. Часть VI. Алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1
- Салий В. Н. Богомолов А. М. Алгебраические основы теории дискретных систем. — М.: Физико-математическая литература, 1997. — ISBN 5-02-015033-9
- Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.)
- Кирсанов М. Н. Графы в Maple. М.: Физматлит, 2007. — 168 c. http://vuz.exponenta.ru/PDF/book/GrMaple.pdf http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Kirsanov2007ru.pdf
djvuМатематика | Основы теории графов — набор 1
Граф — это структура данных, которая определяется двумя компонентами:
- узел или вершина.
- Ребро E или упорядоченная пара — это соединение между двумя узлами u,v , которое идентифицируется уникальной парой (u,v). Пара (u,v) упорядочена, потому что (u,v) не совпадает с (v,u) в случае ориентированного графа. Ребро может иметь вес или установлено равным единице в случае невзвешенного графа.
Рассмотрим приведенный ниже график. Чтобы узнать о «графическом представлении», нажмите здесь
Приложения: График — это структура данных, которая широко используется в нашей реальной жизни.
- Социальная сеть: Каждый пользователь представлен в виде узла, а все его действия, предложения и список друзей представлены в виде ребра между узлами.
- Карты Google: Различные местоположения представлены в виде вершин или узлов, а дороги представлены в виде ребер, а теория графов используется для поиска кратчайшего пути между двумя узлами.
- Рекомендации для веб-сайтов электронной коммерции: Раздел «Рекомендации для вас» на различных веб-сайтах электронной коммерции использует теорию графов, чтобы рекомендовать элементы аналогичного типа по выбору пользователя.
- Теория графов также используется для изучения молекул в химии и физике.
Подробнее о графах: Характеристики графов:
- Смежный узел: Узел ‘v’ называется смежным узлом узла ‘u’, только если существует ребро и между «у» и «в».
- Степень узла: В неориентированном графе число вершин, инцидентных узлу, является степенью узла. В случае ориентированного графа Inстепень узла представляет собой количество ребер , прибывающих в узел. Степень исхода узла — это число исходящих ребер к узлу.
Примечание: 1 петля считается дважды
2 сумма степеней всех вершин в графе G четна.
- Путь: Путь длины «n» от узла «u» до узла «v» определяется как последовательность из n+1 узлов.
P(u,v)=(v0,v1,v2,v3…….
vn)
- Путь является простым, если все узлы различны, исключение – источник и пункт назначения одинаковы.
- Изолированный узел: Узел со степенью 0 известен как изолированный узел. Изолированный узел можно найти с помощью поиска в ширину (BFS). Находит свое применение в Сеть LAN при определении того, подключена ли система или нет.
Типы графов:
- Ориентированный граф: Граф, в котором направление ребра определено к определенному узлу, является ориентированным графом.
- Направленный ациклический граф: Это ориентированный граф без цикла. Для вершины «v» в DAG нет направленного ребра, начинающегося и заканчивающегося вершиной «v». а) Применение: критический анализ игры, оценка дерева выражений, оценка игры.
- Дерево: Дерево — это просто ограниченная форма графа. То есть это группа DAG с ограничением, согласно которому дочерний элемент может иметь только одного родителя.
- Неориентированный граф: Граф, в котором направление ребра не определено. Таким образом, если ребро существует между узлами ‘u’ и ‘v’, то существует путь от узла ‘u’ к ‘ v’ и наоборот.
- Связный граф: Граф является связным, если между каждой парой вершин имеется путей. В связном графе нет недостижимых узлов.
- Полный граф: Граф, в котором каждая пара вершин графа соединена ребром. Другими словами, каждый узел «u» смежн с каждым другим узлом «v» в графе «G». Полный граф будет иметь n(n-1)/2 ребер. Доказательство см. ниже.
- Двусвязный граф: Связный граф, который нельзя разбить на какие-либо дополнительные части путем удаления какой-либо вершины. Это граф без точки сочленения.
Доказательство для полного графа:
- Рассмотрим полный граф с n узлами. Каждый узел соединен с другими n-1 узлами. Таким образом, получается n * (n-1) ребер. Но при этом каждое ребро считается дважды, потому что это неориентированный граф, поэтому разделите его на 2.
- Таким образом, получится n(n-1)/2.
Но при этом каждое ребро считается дважды, потому что это неориентированный граф, поэтому разделите его на 2.Рассмотрим данный граф, //опускаем повторяющиеся ребра Ребра на узле A = (A,B),(A,C),(A,E),(A,C). Ребра на узле B = (B,C),(B,D),(B,E). Ребра в узле C = (C,D),(C,E). Ребра в узле D = (D,E). Ребра в узле E = EMPTY.https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory Всего ребер = 4+3+2+1+0=10 ребер. Количество узлов = 5. Таким образом, n(n-1)/2=10 ребер. Так доказано. Читать следующий набор – Основы теории графов
Еще несколько графов:
1. Регулярный граф: Граф, в котором каждая вершина x имеет одинаковую/равную степень. k-регулярный граф означает, что каждая вершина имеет степень k.
Каждый полный граф K n будет иметь (n-1)-регулярный граф, что означает степень n-1.
Регулярные графы
2. Двудольный граф: Это граф G, в котором множество вершин можно разделить на два подмножества U и V так, что каждое ребро G имеет один конец в U, а другой конец в V.
Двухпартийный график
3. Полный двухпартийный график: Это простой график с набором вершины, разделенные на два подмножества: u = {v 1 , V 2 ……… ..V M } W={w 1 ,w 2 ,………..w n }
i. Существует ребро от каждого v i до каждого w j .
ii. селп-петли нет.
Полный двудольный граф
4. Граф циклов : Граф из n вершин (n≥3) . v 1 ,v 2 ,………………..v n с ребрами (v 1 ,v 2 ),(v 2 ,v 3 ),… …..,(v n-1 ,v n ),(v n ,v 1 ).
Циклическая диаграмма
Рисование графиков математических функций с помощью Math Assistant в OneNote
Одна запись
Делать заметки
Делать заметки
Рисование графиков математических функций с помощью Math Assistant в OneNote
OneNote для Интернета OneNote 2010 Math Assistant Дополнительно.
.. Меньше
Создавайте графики рукописных или напечатанных уравнений с помощью Math Assistant в OneNote. Вы даже можете манипулировать переменными, чтобы увидеть визуальный эффект изменений, превращая Math Assistant в мощного тренера по математике.
Примечание. Эта функция доступна только в OneNote для Интернета или OneNote для Windows 10. У вас должна быть действующая подписка на Microsoft 365. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.
Откройте настольное приложение OneNote или войдите в Office.com и выберите OneNote .
Совет: Если вы не видите OneNote сразу, откройте Средство запуска приложений , чтобы найти его.
Выберите вкладку Draw и напишите или введите свое уравнение.
Используйте инструмент Lasso Select , чтобы нарисовать круг вокруг уравнения.
Выберите Math , чтобы открыть панель Math Assistant.
В раскрывающемся меню Выберите действие На панели Математика выберите График в 2D или График с обеих сторон в 2D .
org/ListItem»>Откройте существующий блокнот или создайте новый блокнот.
Чтобы настроить график, созданный Math Assistant, выполните любое из следующих действий, если оно доступно:
Примечание. Если вы используете OneNote на устройстве с сенсорным экраном, график можно настроить пальцами. Используйте один палец для перемещения графика. Сведите два пальца, чтобы изменить уровень увеличения. В OneNote для Интернета вы можете использовать стрелки по бокам графика, чтобы изменить его положение.
Выберите или коснитесь значка с двойной стрелкой Сброс , чтобы восстановить исходное состояние графика.
Когда график будет выглядеть так, как вы хотите, выберите или коснитесь Вставить на страницу , чтобы поместить его в виде снимка экрана на текущую страницу.
Примечание. Чтобы изменить способ представления графика (градусы, радианы, граданы), выберите или коснитесь Настройки при открытой области математических вычислений.
Дополнительные функции построения графиков
В зависимости от типа графика могут быть доступны следующие функции:
Чтение значений x-y: Наведите указатель мыши на точку на линии графика, чтобы увидеть значения x и y в OneNote для Windows 10. В OneNote для Интернета — линию, чтобы увидеть значения.
Управление параметрами: Если у вас есть уравнение с параметрами, такими как ax+b, используйте знаки + и — под графиком, чтобы изменить значения a и b.
Основные характеристики графика: Математический помощник вычисляет интересную информацию о графике, такую как нули, точки пересечения, минимумы, максимумы и многое другое. Используйте флажки, чтобы выбрать, какие функции вы хотите отобразить на графике.
Узнать больше
Создавайте математические уравнения с помощью рукописного ввода или текста с помощью помощника по математике в OneNote.
Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote
Типы задач, поддерживаемые Math Assistant
Создайте тренировочную математическую викторину
Типы задач, которые можно отображать в 2D-графике
При использовании Math Assistant в OneNote вы заметите, что раскрывающийся список Выберите действие под уравнением изменяется в зависимости от выбранного вами уравнения.
Следующие типы задач можно изобразить в 2D с помощью Math Assistant.
Примечание. Эта функция доступна только при наличии подписки на Microsoft 365. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.
Выражения (с переменной) | |
Полиномиальные массивы | |
Уравнения | Вы можете График в 2D или График с обеих сторон в 2D при работе с уравнениями. Выберите Graph in 2D , чтобы увидеть решение уравнения.
Выберите График обеих сторон в 2D , чтобы просмотреть график двух функций по разные стороны от знака равенства. |
Системы уравнений | |
Полярные координаты | Чтобы построить график функции в полярных координатах, r необходимо выразить как функцию тета. |
Неравенства | При работе с неравенствами можно Построить двухмерный график или Построить двумерный график с обеих сторон . |
