График arccos cosx: Элементарная математика

Содержание

График arcsin cos x. Вывод формул обратных тригонометрических функций

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?


Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы.

Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно —

арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс… То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.

Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.


Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk


Перепишем:

x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).


Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk.

Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x) Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Определение обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin x ) — это функция, обратная к синусу (x = sin y

Арккосинус (y = arccos x ) — это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .

Арктангенс (y = arctg x ) — это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .

Арккотангенс (y = arcctg x ) — это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin x


y = arccos x


y = arctg x


y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

Формулы суммы и разности


при или

при и

при и


при или

при и

при и


при

при


при

при

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Представлен способ вывода формул для обратных тригонометрических функций. Получены формулы для отрицательных аргументов, выражения, связывающие арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Указан способ вывода формул суммы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов.

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ ctg(arcctg x) = x (-∞

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при
arctg(tg x) = x при
arcctg(ctg x) = x при

Если переменная x не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n — целое):
sin x = sin(- x-π) ; sin x = sin(π-x) ; sin x = sin(x+2 πn) ;
cos x = cos(-x) ; cos x = cos(2 π-x) ; cos x = cos(x+2 πn) ;
tg x = tg(x+πn) ; ctg x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что то
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π — x )) = π — x .

Легко убедиться, что при π — x попадает в нужный интервал. Для этого умножим на -1 : и прибавим π : или Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = — arcsin x

Поскольку то умножив на -1 , имеем: или
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π — arccos x

arctg(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = — arctg x

arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π — arcctg x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на -1 : и прибавим π/2 : или Все правильно.

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x , Y = arcsin y . Формула применима при
. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(- x) = — arcsin x, arcsin(- y) = — arcsin y, то при разных знаках у x и y , X и Y также разного знака и поэтому неравенства выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: . То есть при формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0 , или X > 0 и Y > 0 . Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: . Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0 , до π , то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
;
;
;
.
Поскольку и ; то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;
.
Подставляем sin X = sin arcsin x = x :
;
;
;
.

Итак, полученная формула справедлива при или .

Теперь рассмотрим случай x > 0, y > 0 и x 2 + y 2 > 1 . Здесь аргумент синуса принимает значения: . Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса :

Итак,

при и.

Заменив x и y на — x и — y , имеем

при и.
Выполняем преобразования:

при и.
Или

при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:

при или ;

при и ;

при и .

Постройте график функции: y=arccos(cosX) — Школьные Знания.com

Насчёт свойств функций. Правильно ли я выполнил преобразование и вообще верно ли равенство?[tex]y=k*f(x+q)+c\\kf(x+q)+c=f(kx+kq)+c[/tex]Все переменные … уравнении — действительные числа.Если что-то не так, подправьте, пожалуйстаupd.В задании: Доказать,…

Откуда здесь 12? (2 — a)³ = 8 — 12a + 6a² — a³

указати найменьше значення функції y=2|x|+3​

Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики оди … наковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?

В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две сл … учайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. С … колько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью р = 0,8 на единицу больше предыдущего и с … вероятностью 1-р на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен -1?

Найдите значение выражения 3×4¹⁰-5×2¹⁹÷2¹⁵

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значения переменных:

Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! Всё о Математических функциях и их графиках…

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

y = arcsin x

y = arccos x

функция обратная функции y = sin x,
— / 2 x / 2
функция обратная функции y = cos x,
0 x

Свойства функций

y = arcsin xy = arccos x
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ:[-1; 1][-1; 1]
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:[0; )
ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:нечетнаяни четная, ни нечетная
НУЛИ:y = 0 при x = 0 y = 0 при x = 1
ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА: y > 0, при x (0; ] y x [-1; 0) y = 0 при x = 1 y > 0 при x [-1; 1)
ЭКСТРЕМУМЫ:нетнет
ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:возрастает на всей области определенияубывает на всей области определения

arcsin x + arccos x = /2

y = arctg x

y = arcctg x

функция обратная функции y = tg x, — / 2 x / 2 функция обратная функции y = ctg x, 0 x
y = arctg xy = arcctg x
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ:RR
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ:(0; )
ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:нечетнаяни четная, ни нечетная
НУЛИ:y = 0 при x = 0 нулей нет
ПРОМЕЖУТКИ
ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
y > 0, при x (0; ] y x (-; 0) y > 0 при x R
ЭКСТРЕМУМЫ:нетнет
ПРОМЕЖУТКИ
МОНОТОННОСТИ:
возрастает при x Rубывает при x R

arctg x + arcctg x = /2

График arccos. Тригонометрия. Обратные тригонометрические функции. Арксинус. Получение функции arcsin

Определение и обозначения

Арксинус (y = arcsin x ) — это функция, обратная к синусу (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений -π/2 ≤ y ≤ π/2 .
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус (y = arccos x ) — это функция, обратная к косинусу (x = cos y ). Он имеет область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π .
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус


График функции y = arccos x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = — arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π — arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin x y = arccos x
Область определения и непрерывность — 1 ≤ x ≤ 1 — 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0 x = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x arcsin x arccos x
град. рад. град. рад.
— 1 — 90° 180° π
— 60° 150°
— 45° 135°
— 30° 120°
0 0 90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90° 0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

См. также: Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности


при или

при и

при и


при или

при и

при и


при

при


при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. также: Вывод формул

Выражения через гиперболические функции

Производные

;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков :
,
где — многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin t . Интегрируем по частям, учитывая что -π/2 ≤ t ≤ π/2 , cos t ≥ 0 :
.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

(круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям .

Арккосинус , обратная функция к cos (x = cos y), y = arccos x определен при и имеет множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его cos .

Арккосинус (обозначение: arccos x ; arccos x — это угол , косинус которого равняется x и так далее).

Функция y = cos x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccos x является строго убывающей.

Свойства функции arcsin .

Получение функции arccos .

Дана функция y = cos x . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccos x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — . На этом отрезке y = cos x строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке существует обратная функция y = arccos x , график которой симметричен графику y = cos x на отрезке относительно прямой y = x .

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin x ) — это функция, обратная к синусу (x = sin y
Арккосинус (y = arccos x ) — это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .
Арктангенс (y = arctg x ) — это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .
Арккотангенс (y = arcctg x ) — это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin x


y = arccos x


y = arctg x


y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

См. также: Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности


при или

при и

при и


при или

при и

при и


при

при


при

при


при

при

при


при

при

при

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям .

Арксинус (обозначается как arcsin x ; arcsin x — это угол, sin его равняется x ).

Арксинус (y = arcsin x ) — обратная тригонометрическая функция к sin (x = sin y ), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его sin .

Функция y=sin x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=arcsin x — строго возрастает.

Свойства функции arcsin .

График арксинуса.

Получение функции arcsin .

Есть функция y = sin x . На всей своей области определения она кусочно-монотонная, таким образом, обратное соответствие y = arcsin x не является функцией. Поэтому рассматриваем отрезок, на котором она только возрастает и принимает каждое значение области значений — . Т.к. для функции y = sin x на интервале все значения функции получается при только одном значении аргумента, значит, на этом отрезке есть обратная функция y = arcsin x , у которой график является симметричным графику функции y = sin x на отрезке относительно прямой y = x .

Функция у=arccos x — презентация онлайн

y
y = cos x
2
3
2
2
1
0
-1
Функция y=cosx, взятая на
всей области определения, не
имеет обратной, т.к. одно и
тоже её значение достигается
при разных значениях
аргумента.
2
x
3
2
Кривая симметричная
косинусоиде относительно
прямой у=х не является
функцией (функциональная
зависимость предполагает
соответствие каждому
значению аргумента
единственное значение
функции).
2
y
Рассмотрим функцию
y=cosx только на отрезке
[0; ]
2
2
3
2
y = cos x
-1
1
0
1
-1
2
D
E( y) : yx 1;1
; 1
0
0;;1
2
x
3
2
Обратная
функция
y = arccos
x
D
E( у) : yх 0;
101;;;0
2
2
y = arccosx
y
D( y) : x 1;1
E( у) : y 0;
-1
0
1
x
Функция ни четная ни нечетная
Функция убывает
Функция непрерывна
Повторим
y = f(x)
y
y = f(x)
y = — f(x)
-1
x
1
y = — f(x)
y
y = — arccosx
D( y) : x 1;1
2
Найдем E(y) методом оценки
0 arccos x
(-1)
0 arccos x
arccos x 0
E( у) : y ; 0
1
-1
2
x
Повторим
y = f(x)
y = f(-x)
y
y = f(x)
y = f(-x)
-1
1
x
y
y = arccos(-x)
Найдем D(y) методом оценки
1 x 1
(-1)
2
1 x 1
1 x 1
D( y) : x 1;1
E( у) : у 0;
1
-1
2
x
y
y = 2arccos x
2
D( y) : х 1;1
Найдем E(y) методом оценки
0 arccos x
2
0 2 arccos x 2
0 y 2
2
E( у) : у 0; 2
-1
1
x
y
1
=
y — 2 arccos x
D( y) : х 1;1
2
Найдем E(y) методом оценки
0 arccos x
0 0,5 arccos x
2
(–0,5)
0,5 arccos x 0
E ( у ) : у ; 0
2
1
-1
2
2
x
y
y = arccos 12 x
Найдем D(y) методом оценки
1
1 x 1
2
2 x 2
2
2
D( y) : х 2; 2
E( у) : у 0;
-2
1
-1
2
2
x
y
y = arccos 2x
Найдем D(y) методом оценки
1 2x 1 : 2
1
1
x
2
2
2
1 1
D( y ) : х ;
2 2
E( у) : у 0;
-1– 1
2
1 1
2
2
x
y
y = 1,5arccosx +
2
2
3
D( y) : х 1;1
Найдем E(y) методом оценки
0 arccos x
* 1,5
0 1,5 arccos x 1,5 + 2
3
2
13
1,5 arccos x
3
6
2 13
E ( у ) : у
;
3
6
2
-1
1
x
Повторим
y = f(x)
y = f(x)
y
y = f(x)
1
x
y
Повторим
1
y = f(x)
y= f x
Функция четная
(график симметричен
относительно оси Оу)
x
y
y = arccosx
2
1
-1
2
График y =arccosx не изменится.
Почему?
x
y = arccos x –
D( y) : х 1;1
Найдем E(y) методом оценки
0 arccos x
0 arccos x
–6
2
arccos x
6 3
6
0
E ( у ) : у 0;
3
y
6
g ( x) = x
При x [ 1; 1]
x [0; 1]
-1
0
1
x
1
x
y
y( x) = arccos x
При x [0; 1]
arccos x [0;
2
]
-1
0
y = arccos x –
y
6
D( y) : х 1;1
E ( у ) : у 0;
3
Функция четная
(график симметричен
относительно оси Оу)
2
-1
1
2
x
y 3
Найдем область определения и
множество значений, затем
построим график.
2
y = -1,5arccos (x–2)
3
1 x 2 1 +2
1 x 3
D( y ) : x 1; 3
[ 1; 1]
0 arccos( x 2)
(-1,5)
1,5 2 arccos( x 2) 0
1,5 y 0
E ( y ) : y 1,5 ; 0
4
2
1
-1
3
4
3
2
3
x
3
y = arccos( x – )
4
D( y )
3
1 х 1
4
+3
4
1
3
х 1
4
4
3
х 1
4
3
3
1 х 1
4
4
3 3
D ( y ) : х 1 ;1
4 4
y( x) = arccos g ( x)
3
При g ( x) [ ; 1]
4
E ( y)
3
y = arccos( x – )
4
y
3
g ( x) = x
4
x 0
3
arccos
4
–3
4
3
3
x
4
4
3
1 х 1
4
3
3
х 1
4
4
-1– 3 0
1
x
4
3
E ( у ) : у 0; arccos
4
y
3
y = arccos( x – )
4
3 3
D ( y ) : х 1 ;1
4 4
2
3
–1
3 4
E ( у ) : у 0; arccos
4
Функция четная
(график симметричен
относительно оси Оу)
3
arccos
4
-1
1
2
1
3
4
x

Тригонометрическая функция и график обратной тригонометрической функции

вТригонометрическая функцияДобавить передarc, Означает ихОбратная функция f-1 (x). То есть текущий угол можно получить из тригонометрической функции.

 

1. Синус-функция sin x, арксинус-функция arcsin x

  • y = sin x, x∈R, y∈ [–1,1], период равен 2π, изображение функции принимает x = (π / 2) + kπ в качестве оси симметрии
  • y = arcsin x, x∈[–1,1], y∈[–π/2,π/2]
  1. sin x = 0    ←→     arcsin x = 0
  2. sin x = 1/2     ←→     arcsin x = π/6
  3. sin x = √2/2    ←→     arcsin x = π/4
  4. sin x = 1    ←→     arcsin x = π/2

 

 

2. Функция косинуса cos x, функция обратного косинуса arccos x

  • y = cos x, x∈R, y∈ [–1,1], период равен 2π, изображение функции принимает x = kπ в качестве оси симметрии
  • y = arccos x, x∈[–1,1], y∈[0,π]
  1. cos x = 0    ←→     arccos x = π/2
  2. cos x = 1/2     ←→     arccos x = π/3
  3. cos x = √2/2    ←→     arccos x = π/4
  4. cos x = 1    ←→     arccos x = 0 

 

 

3. Функция обратного синуса arcsin x, функция обратного косинуса arccos x

  • y = arcsin x и y = arccos x Диапазон независимой переменной x∈ [–1, 1]
  • Образы y = arcsin x и y = arccos x симметричны относительно прямой y = π / 4, пересекаются с точкой (√2 / 2, π / 4)

 

 

4. Функция тангенса tan x, функция котангенса cot x

  • y = tan x, x∈ ((–π / 2) + kπ, (π / 2) + kπ), y∈R, период равен π, при x → ± (π / 2) + kπ функцияпределБесконечно ∞
  • y = cot x = 1 / tan x, x∈ (0, kπ), y∈R, период равен π, при x → kπ предел функции равен бесконечности ∞
  • Образы y = tan x и y = cot x симметричны относительно x = (π / 4) + kπ / 2
  • За один период (первый) изображение y = tan x и y = cot x пересекается с точкой (π / 4, 1). Когда x = (π / 4) + kπ / 2, значения y = tan x и y = cot x равны, что равно ± 1

 

 

5. Функция обратного тангенса arctan x, обратного котангенса arccot ​​x

  • y = arctan x и y = arccot ​​x Диапазон независимой переменной x∈R
  • Образы y = arctan x и y = arccot ​​x симметричны относительно прямой y = π / 4, пересекаются с точкой (1, π / 4)
  1. tan x = 0    ←→     arctan x = 0
  2. tan x = 1    ←→     arctan x = π/4
  3. tan x = √3    ←→     arctan x = π/6

 

6. Функция косеканса csc x

  • y = csc x = 1 / sin x, x∈ (0, kπ), y∈ (–∞, –1] ∪ [1, ∞), период равен π, при x → kπ предел функции бесконечен ∞

 

 

7. Секущая функция sec x

  • y = sec x = 1 / cosn x, x∈ ((–π / 2) + kπ, (π / 2) + kπ), y∈ (–∞, –1] ∪ [1, ∞), период равен π , При x → (π / 2) + kπ предел функции бесконечен ∞

Алгебра – 10 класс. Арккосинус, arccos (x)

Дата публикации: .

Что будем изучать:
1. Что такое арккосинус?
2. Обозначение арккосинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.
5. Таблица значений арккосинуса.
6. Примеры.

Что такое арккосинус?

Ребята, мы с вами уже изучили функцию Y=cos(X), построили ее график и решали некоторые уравнения, например cos(x)= 1/2. Для решения этого уравнения требовалось провести прямую x= 1/2 и посмотреть, в каких точках она пересекает числовую окружность.

Видно что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и являются решением уравнения. Переобозначим F как x1, а G — как x2. Решение уравнения мы нашли довольно легко и определили, что x1 = π/3 + 2πk, а x2 = -π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение cos(x)=4/7. Очевидно, что решением уравнения будут две точки, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности?



Обозначение арккосинуса

Давайте внимательно посмотрим на уравнение cos(x)=4/7.

Как мы и говорили, решениями нашего уравнения будут две точки: F=x1+2πk и G=x2+2πk, но, что это за точки? Много лет назад столкнувшись с этой проблемой математики решили, что надо придумать некоторый способ описания решения на математическом языке. И был придуман новый символ – arccos(x). Будем читать как арккосинус.

Тогда решения нашего уравнения запишутся как: x1=arccos(4/7) и x2=-arccos(4/7). И решение в общем виде: x=arccos(4/7) + 2πk и x=-arccos(4/7) + 2πk. Арккосинус — это угол (длина дуги AF, AG), косинус которого равен 4/7.



Немного истории


Символ arccos появляется впервые в 18 веке в работах математика Шерфера и известного французского ученого Жозефа Луи Лагранжа, портрет которого вы видите на этой странице. Несколько ранее понятие арккосинус уже рассматривал Д. Бернули, но записывал его совсем другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия:
arccos x — это угол (можно сказать и дуга), косинус которого равен x.

Определение арккосинуса.

Если |а|≤ 1, то arccos(a) – это такое число из отрезка [0; π], косинус которого равен а.


Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x)=a имеет решение: x=±arccos(a) + 2πk


Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

cos(x)=0, то x= π/2 + πk

cos(x)=1, то x= 2πk

cos(x)=-1, то x= π + 2πk

Также стоит записать важное равенство:

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arccos(a) + arccos(-a) = π; при решение заданий удобнее использовать: arccos(-a) = π — arccos(a), где -1 ≤ а ≤ 1

Таблица значений косинуса


Таблица значений арккосинуса

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арккосинуса


Примеры

1. Найти значение функции arccos(-√3/2).
Решение: Пусть arccos(-√3/2)=x, тогда cos(x)=-√3/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=5π/6, т.к. cos(5π/6)= -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
Ответ: arccos(-√3/2)=5π/6

2. Найти значение функции arccos(√2/2).
Решение: Пусть arccos(√2/2) = x, тогда cos(x)= √2/2 и по определению 0 ≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: x=π/4, т.к. cos(π/4)= √2/2 и 0 ≤ π/4 ≤ π.
Ответ: arccos(√2/2)=π/4

3. Найти значение функции arccos(1).
Решение: Пусть arccos(1) = x, тогда cos(x)= 1 и по определению 0≤ x ≤ π. Посмотрим значения косинуса в таблице: значит x=0, т.к. cos(0)= 1 и 0 ≤ 0 ≤ π.
Ответ: arccos(1)=0

4. Решить неравенство cos(x)> -0.3.
Решение: Косинус — это абсцисса точки числовой окружности. Значит необходимо найти такие точки, абсциссы которых больше -0.3. Нарисуем прямую x=-0.3. Она пересекает числовую окружность в двух точках: F и G. Неравенству x>-0.3 соответствуют точки дуги GF. Точкам F и G соответствуют абсциссы: ±arccos(-0.3)= ±(π — arccos(0.3)). Запишем аналитическую запись дуги GF: -π + arccos(0.3) Ответ: -π + arccos(0.3)

Задачи для самостоятельного решения


1)Вычислить:
а) $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$,
б) $arccos(-\frac{1}{2})$,
в) $arccos(0)$,
г) $arccos(-0,5)$.
2) Решить уравнения:
а) $cos(x)=-\frac{1}{2}$,
б) $cos(x)=1$,
в) $cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
г) $cos(x)=0,25$,
д) $cos(x)=-1,2$.
3) Решить неравенства:
а) $cos(x)>0,6$,
б) $cos(x)≤0,2$.

Arccos

Arccosine, записываемый как arccos или cos-1 (не путать с), является функцией обратного косинуса. Косинус имеет обратное значение только в ограниченной области 0≤x≤π. На рисунке ниже часть графика, выделенная красным, показывает часть графика cos (x), которая имеет инверсию.

Область должна быть ограничена, потому что для того, чтобы функция имела инверсию, функция должна быть взаимно однозначной, что означает, что ни одна горизонтальная линия не может пересекать график функции более одного раза.Поскольку косинус является периодической функцией, без ограничения области определения, горизонтальная линия будет периодически пересекать функцию бесконечно много раз.

Одно из свойств обратных функций состоит в том, что если точка (a, b) находится на графике функции f, точка (b, a) находится на графике ее обратной функции. Это фактически означает, что график обратной функции является отражением графика функции через линию y = x.

График y = arccos (x) показан ниже.

Как видно из рисунка, y = arccos (x) является отражением cos (x) в ограниченной области 0≤x≤π через линию y = x.Область arccos (x), -1≤x≤1, является диапазоном cos (x), а ее диапазон, 0≤x≤π, является областью cos (x).

Калькулятор Arccos

Ниже приведен калькулятор, позволяющий определить значение arccos числа от -1 до 1 или значение косинуса угла.

Использование специальных углов для поиска arccos

Хотя мы можем найти значение арккозинуса для любого значения x в интервале [-1, 1], существуют определенные углы, которые часто используются в тригонометрии (0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 ° и их кратные и радианные эквиваленты), значения косинуса и арккосинуса которых, возможно, стоит запомнить.Ниже приведена таблица, показывающая эти углы (θ) в градусах и их соответствующие значения косинуса, cos (θ).

Один из способов, который может помочь запомнить эти значения, — это выразить все значения cos (θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0 ° и до 90 °, cos (0 °) = 1 =. Последующие значения cos (30 °), cos (45 °), cos (60 °) и cos (90 °) следуют шаблону, так что при использовании значения cos (0 °) в качестве эталона для нахождения значений косинуса для последующих углов, мы просто уменьшаем число под знаком корня в числителе на 1, как показано ниже:

θ 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °
cos (θ) 0

С 90 ° до 180 ° вместо этого мы увеличиваем число под корнем на 1, но также должны учитывать квадрант, в котором находится угол.Косинус отрицателен во втором и третьем квадрантах, поэтому значения будут равными, но отрицательными. В квадрантах I и IV значения будут положительными. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений.

После того, как мы запомнили значения или если у нас есть какая-то ссылка, становится относительно просто распознать и определить значения косинуса или арккосинуса для специальных углов.

Обратные свойства

Как правило, функции и их обратные показывают взаимосвязь

f (f -1 (x)) = x и f -1 (f (x)) = x

при условии, что x находится в области определения функции.То же самое верно для cos (x) и arccos (x) в их соответствующих ограниченных областях:

cos (arccos (x)) = x, для всех x в [-1, 1]

и

arccos (cos (x)) = x для всех x в [0, π]

Эти свойства позволяют нам оценивать состав тригонометрических функций.

Состав арккосинуса и косинуса

Если x находится в пределах домена, вычислить композицию арккосинуса и косинуса относительно просто.

Примеры:

1.

2.

Если x не находится в пределах домена, нам нужно определить опорный угол, а также соответствующий квадрант. Учитывая arccos (cos ()), мы не можем оценить это, как мы делали выше, потому что x не находится в пределах [0, π], поэтому решение не может быть. Чтобы оценить это, нам нужно сначала определить cos (), прежде чем использовать arccos:

.

3.

В приведенном выше примере опорный угол равен, и cos () равен, но поскольку он лежит в квадранте III, его косинус отрицателен, и единственный угол, косинус которого равен, который находится в пределах области arccos (x), равен.

Состав других тригонометрических функций

Мы также можем составлять композиции, используя все другие тригонометрические функции: синус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс.

Пример:

Найдите грех (arccos ()).

Так как это не одно из соотношений для специальных углов, мы можем использовать прямоугольный треугольник, чтобы найти значение этой композиции. Учитывая arccos () = θ, мы можем найти, что cos (θ) =. Правый треугольник ниже показывает θ и отношение его смежной стороны к гипотенузе треугольника.

Чтобы найти синус, нам нужно найти противоположную сторону, так как sin (θ) =. Пусть a будет длиной противоположной стороны. Используя теорему Пифагора,

а 2 + 12 2 = 13 2

а 2 + 144 = 169

а 2 = 25

а = 5

и

грех (arccos ()) = грех (θ) =

Тот же процесс можно использовать с выражением переменной.

Пример:

Найдите загар (arccos (4x)).

Учитывая arccos (4x) = θ, мы можем найти, что cos (θ) = и построить следующий прямоугольный треугольник:

Чтобы найти касательную, нам нужно найти противоположную сторону, так как tan (θ) =. Пусть b — длина противоположной стороны. Используя теорему Пифагора,

(4x) 2 + b 2 = 1 2

16x 2 + b 2 = 1

b 2 = 1 — 16x 2

б =

и

tan (arccos (4x)) = tan (θ) =, где —

Использование арккосинуса для решения тригонометрических уравнений

Arccosine также можно использовать для решения тригонометрических уравнений, включающих функцию косинуса.

Пример:

Решите следующие тригонометрические уравнения относительно x, где 0≤x <2π.

1. 2cos (x) =

2cos (x) =

cos (x) =

x = arccos ()

Косинус отрицателен в квадрантах II и III, поэтому есть два решения: x = и x =. Это единственные два угла в пределах 0≤x <2π, значение косинуса которых равно.

2. 6cos 2 (x) + 9cos (x) — 36 = 0

6cos 2 (x) + 9sin (x) — 6 = 0

(6cos (x) — 3) (cos (x) + 2) = 0

6cos (x) — 3 = 0 или cos (x) + 2 = 0

cos (x) = или cos (x) = -2

x = arccos () или x = arccos (-2)

Решение относительно x = arccos (),

x = или

Мы не можем найти x = arccos (-2), потому что оно не определено, поэтому x = или являются единственными решениями.

7. Обратные тригонометрические функции

М. Борна

В разделе Тригонометрические функции любого угла мы решали вопросы типа

«Найдите 2 угла, косинус которых равен 0,7».

В этом вопросе использовалась кнопка cos -1 на наших калькуляторах. Мы нашли cos -1 0,7, а затем рассмотрели квадранты, в которых косинус был положительным. Помните, что число, которое мы получаем при нахождении функции обратного косинуса, cos -1 , представляет собой угол .-1`, если говорить об обратной косинусной функции.]

Давайте сначала вспомним график `y = cos \ x` (который мы встречали в Graph of y = a cos x), чтобы мы могли видеть, откуда берется график` y = arccos \ x`.

0.5ππ-0.5π0.511.522.5-0.5-1xy

График y = cos x .

Теперь мы выбираем часть этого графика от x = 0 до x = π , показанную здесь заштрихованной частью:

0.5ππ-0.5π0.511.522.53-0.5-1xy

График y = cos x с заштрихованной частью `0

График , инверсный косинуса x , находится путем отражения выбранной части графика `cos x` через линию` y = x`.

0.5ππ-0.5π0.511.522.53-0.5-1xyy = x

График y = cos x и линия `y = x`.

Теперь отразим каждую точку на этой части кривой cos x через линию y = x (я показал только несколько отражаемых типичных точек).

0,5ππ-0,5π123-1xy (π, −1) (- 1, π) 0,5π

Точки отражения на кривой проходят через линию `y = x`.

Результат — график `y = arccos x`:

См. Анимацию этого процесса здесь: Графические анимации обратной тригонометрической функции.

Вот и все, что касается графика — он не выходит за рамки того, что вы видите здесь. (Если бы это было так, было бы несколько значений y для каждого значения x , и тогда у нас больше не было бы функции.) Я указал «начальную» и «конечную» точки, `(-1 , pi) `и` (1,0) `с точками.

ПРИМЕЧАНИЕ 1: Метки осей также были отражены. То есть теперь есть обычные числа по оси x и кратные 0.5pi по оси y .

ПРИМЕЧАНИЕ 2: Вы также увидите «arccos», записанное как «« acos »« », особенно в компьютерном программировании.

Область (возможные значения x ) arccos x — это

-1 ≤ х ≤ 1

Диапазон (из значений y для графика) для arccos x составляет

0 ≤ arccos x π

Функция обратной синусоиды (arcsin)

Мы определяем функцию обратного синуса как

`y = arcsin \ x` для` -pi / 2 <= y <= pi / 2`

, где y — угол, синус которого равен x .Это означает, что

`x = sin y`

График

y = arcsin x

Давайте сначала посмотрим на график y = sin x , а затем построим кривую y = arcsin x .

График y = sin x с выделенной частью от «-pi / 2» до «pi / 2».

Как мы делали ранее, если мы отразим указанную часть y = sin x (часть между `x = -pi / 2` и` x = pi / 2`) через линию y = x , получаем график y = arcsin x :

Еще раз: то, что вы видите, — это то, что вы получаете.График не выходит за указанные границы x и y . Я обозначил точки «начало» и «конец».

Область (возможные значения x ) для arcsin x — это

-1 ≤ х ≤ 1

Диапазон (из значений y для графика) для arcsin x составляет

`-π / 2 ≤ arcsin \ x ≤ π / 2`

Посмотрите анимацию этого процесса здесь:

Обратные тригонометрические функции графической анимации.

Функция обратной касательной (arctan)

Напоминаем, что вот график y = tan x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc.

Отражая заштрихованную часть графика (от `x = -pi / 2` до` pi / 2`) в строке y = x , мы получаем график y = arctan x :

График `y =» arctan «\ x`.

На этот раз график выходит за пределы того, что вы видите, как в отрицательном, так и в положительном направлениях x , и он не пересекает пунктирные линии (асимптоты при `y = -pi / 2` и` y = pi / 2`).

Домен (возможные значения x ) для arctan x равен

Все значения x

Диапазон (из значений y для графика) для arctan x равен

`-π / 2

Числовые примеры arcsin, arccos и arctan

Используя калькулятор в радианах, получаем:

arcsin 0,6294 = sin -1 (0.6294) = 0,6808

arcsin (-0,1568) = sin -1 (-0,1568) = -0,1574

arccos (-0,8026) = cos -1 (-0,8026) = 2,5024

арктан (-1,9268) = загар -1 (-1,9268) = -1,0921

Обратите внимание, что калькулятор выдаст значения которые находятся в пределах определенного диапазона для каждой функции.

Ответы в каждом случае: углов (в радианах).

Функция обратной секущей (угловые секунды)

График y = sec x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc:

График y = arcsec x получен путем отражения заштрихованной части приведенной выше кривой в линии y = x :

:

График `y =» arcsec «\ x`.

Кривая определяется вне участка между -1 и 1. Я обозначил «начальные» точки `(-1, pi)` и `(1,0)` точками.

Домен «arc» sec \ x` равен

Все значения x , кроме -1 < x <1

Диапазон угловых секунд x равно

0 ≤ arcsec x π , `» arcsec «сек \ x ≠ π / 2`

Функция обратного косеканса (arccsc)

График y = csc x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc, выглядит так:

Обратите внимание, что нет значений y между -1 и 1.

Теперь для графика y = arccsc x , который мы получаем, отражая заштрихованную часть кривой выше в линии y = x :

График `y =» arccsc «\ x`.

График не определен между -1 и 1, но простирается оттуда в отрицательном и положительном направлениях x .

Домен arccsc x равен

Все значения x , кроме -1 < x <1

Диапазон arccsc x равен

`-π / 2 ≤» arc «csc \ x ≤ π / 2,` arccsc x ≠ 0

Функция обратного котангенса (arccot)

График y = cot x , который мы встречали ранее на графиках tan, cot, sec и csc, выглядит следующим образом:

Взяв выделенную часть, как указано выше, и отразив ее в линии y = x , мы получим график y = arccot ​​ x :

График `y =» arccot ​​»\ x`.

График простирается в отрицательном и положительном направлениях x (он не останавливается на -8 и 8, как показано на графике).

Итак, домен arccot ​​ x :

Все значения x

Диапазон arccot ​​ x равен

0 x < π

Альтернативный вид

Некоторые учебники по математике (и некоторые уважаемые математические программы, например,г. Mathematica) рассматривают следующее как область y = детская кроватка x , которую следует использовать:

Это даст следующее при отражении в строке y = x :

График `y =» arccot ​​»\ x`; альтернативный взгляд.

И снова график расширяется в отрицательном и положительном направлениях x .

Домен arccot ​​ x также будет:

Все значения x

Используя эту версию, диапазон arccot ​​ x будет:

`-π / 2 arccot ​​ x ≠ 0)

См. Обсуждение этого вопроса по адресу:

Какой правильный график arccot ​​x ?.(-1) (- 1) = — pi / 4`

`cos (-pi / 4) = 1 / 2sqrt (2)`

Калькулятор

— arccos (cos (x)) — Solumaths

Описание:

Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа. Функция арккосинуса — это функция, обратная функции косинуса.

arccos онлайн
Описание:

Функция arccosine является обратной функцией функция косинуса, Он вычисляет арккосинус числа онлайн .

Число, к которому вы хотите применить функцию arccosine fonction, должно принадлежать диапазону [-1,1].

  1. Расчет арккосинуса
  2. Чтобы вычислить арккосинус числа, просто введите число и примените функция arccos . Таким образом, для при вычислении арккосинус числа, следующего за 0,4, ты должен войти arccos (`0.2) `.


Функция arccos позволяет вычислять арккосинус числа. Функция арккосинуса — это функция, обратная функции косинуса.
Синтаксис:

arccos (x), где x — число. 2)`


Первообразный арккозин:

Калькулятор первообразных позволяет вычислить первообразную функции арккосинуса.2) `


Предел арккосинуса:

Калькулятор пределов позволяет вычислить пределы функции арккосинуса.

Предел для arccos (x) — limit_calculator (`» arccos «(x)`)


Арккосинус, обратная функция:

Функция , обратная арккосинусу , является функцией косинуса, обозначенной как cos.



Графический арккосинус:

Графический калькулятор может построить функцию арккосинуса в интервале ее определения.


Расчет онлайн с помощью arccos (arccosine)

Arccos cos (x) | Justfreetools

Арккосинус косинуса x.

Поскольку косинус периодический, арккосинус косинуса x равен x плюс 2kπ, если k — целое число k ∈ℤ:


В настоящее время у нас есть около 945 калькуляторов, таблиц преобразования и полезных онлайн-инструментов и программных функций для студентов, преподавателей и преподавателей, дизайнеров и просто для всех.

На этой странице вы можете найти финансовые калькуляторы, ипотечные калькуляторы, калькуляторы для кредитов, калькуляторы для автокредитов и калькуляторы лизинга, калькуляторы процентов, калькуляторы платежей, пенсионные калькуляторы, калькуляторы амортизации, инвестиционные калькуляторы, калькуляторы инфляции, финансовые калькуляторы, калькуляторы подоходного налога. , калькуляторы сложных процентов, калькулятор заработной платы, калькулятор процентной ставки, калькулятор налога с продаж, калькуляторы фитнеса и здоровья, калькулятор BMI, калькуляторы калорий, калькулятор телесного жира, калькулятор BMR, калькулятор идеального веса, калькулятор темпа, калькулятор беременности, калькулятор зачатия беременности, срок родов калькулятор, математические калькуляторы, научный калькулятор, калькулятор дробей, процентные калькуляторы, генератор случайных чисел, треугольный калькулятор, калькулятор стандартного отклонения, другие калькуляторы, калькулятор возраста, калькулятор даты, калькулятор времени, калькулятор часов, калькулятор GPA, калькулятор оценок, конкретный калькулятор, подсеть калькулятор, генерация паролей калькулятор преобразования и многие другие инструменты, а также для редактирования и форматирования текста, загрузки видео с Facebok (мы создали один из самых известных онлайн-инструментов для загрузки видео с Facebook).Мы также предоставляем вам онлайн-загрузчики для YouTube, Linkedin, Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok и других социальных сетей (обратите внимание, что мы не размещаем видео на своих серверах. Все загружаемые вами видео загружаются с Facebook, YouTube, Linkedin, CDN в Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok. Мы также специализируемся на сочетаниях клавиш, кодах ALT для Mac, Windows и Linux и других полезных советах и ​​инструментах (как писать смайлы в Интернете и т. Д.)

В Интернете есть много очень полезных бесплатных инструментов, и мы будем рады, если вы поделитесь нашей страницей с другими или отправите нам какие-либо предложения по другим инструментам, которые придут вам в голову.Также, если вы обнаружите, что какой-либо из наших инструментов не работает должным образом или вам нужен лучший перевод — сообщите нам об этом. Наши инструменты сделают вашу жизнь проще или просто помогут вам выполнять свою работу или обязанности быстрее и эффективнее.

Это наиболее часто используемые пользователями во всем мире.

И мы все еще развиваемся. Наша цель — стать универсальным сайтом для людей, которым нужно быстро производить расчеты или которым нужно быстро найти ответ на базовые конверсии.

Кроме того, мы считаем, что Интернет должен быть источником бесплатной информации. Таким образом, все наши инструменты и услуги полностью бесплатны и не требуют регистрации. Мы кодировали и разрабатывали каждый калькулятор индивидуально и подвергали каждый строгому всестороннему тестированию. Однако, пожалуйста, сообщите нам, если вы заметите даже малейшую ошибку — ваш вклад очень важен для нас. Хотя большинство калькуляторов на Justfreetools.com предназначены для универсального использования во всем мире, некоторые из них предназначены только для определенных стран.

Калькулятор

Arccos. Поиск обратного косинуса

Добро пожаловать в калькулятор arccos, также известный как калькулятор обратного косинуса. Благодаря нашему инструменту вы можете быстро найти arccos — что, как ни удивительно, является основным применением этого калькулятора. Однако для тех из вас, кто хочет узнать больше, мы подготовили небольшую статью, объясняющую , что такое обратный косинус , сопровождаемую таблицей и графиком обратного косинуса . Кроме того, если вы немного неохотно или запутались, перейдите к разделу, посвященному приложениям arccos , чтобы узнать, что общего у обратного косинуса с физикой, химией или даже с эргономикой строительства и работы!

Что является обратным к косинусу (arccos)?

Arccos — это функция, обратная тригонометрической функции, а именно обратная функция косинуса.Однако, поскольку тригонометрические функции являются периодическими, в строгом смысле, они не могут быть инвертированы . Мы можем решить эту проблему, выбрав интервал, в котором основная функция является монотонной. Вы можете выбрать много разных диапазонов, но для косинуса обычно выбирается [0, π] . Этот диапазон называется набором главных значений .

Сокращение Определение Домен arccos x
для реального результата
Диапазон обычных
основных значений
arccos (x)
cos -1 x,
acos
х = соз (у) -1 ≤ х ≤ 1 0 ≤ y ≤ π
0 ° ≤ y ≤ 180 °

Arccos (x) — наиболее часто используемое обозначение, поскольку cos -1 x может вводить в заблуждение — помните, что обратный косинус — это не то же самое, что обратное значение функции (другими словами, возведение в степень — 1):

cos -1 x ≠ 1 / cos (x)

График обратного косинуса

Функция f имеет обратную функцию тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначной функцией.Вся функция косинуса не является взаимно однозначной, поскольку

cos (x) = cos (x + 2πn) , для каждого целого числа n

Что же тогда делать?

Как указано в предыдущем абзаце, нам нужно ограничить область определения базовой периодической косинусной функции. Таким образом, поскольку косинус всегда находится в диапазоне [-1,1], и мы выбираем область, [0, π], свойства функции обратного косинуса будут обратными:

  • Область обратного косинуса x для действительного результата: [-1,1]

  • Диапазон обратного косинуса обычного главного значения: [0, π]

В таблице ниже вы найдете график обратного косинуса, а также некоторые часто используемые значения arccos:

x arccos (x) График
° рад
-1 180 ° π
-√3 / 2 150 ° 5π / 6
-√2 / 2 135 ° 3π / 4
-1/2 120 ° 2π / 3
0 90 ° π / 2
1/2 60 ° π / 3
√2 / 2 45 ° π / 4
√3 / 2 30 ° π / 6
1 0 ° 0

Хотите знать, откуда взялся этот график обратного косинуса? Он просто создается путем отражения графика cos x через линию y = x (не забывайте о наших доменных ограничениях!):

Обратный косинус — какое мне дело? Некоторые малоизвестные приложения arccos

Вы можете подумать, что arccos — еще один бесполезный термин из тригонометрии, но мы хотим убедить вас, что это не так! Функция обратного косинуса действительно полезна для решения многих научных и реальных задач (круто, не правда ли?):

I Наука

Математика:

  • 📐 Решаем треугольник по закону косинусов.Если вы знаете три стороны треугольника и хотите найти любой из углов треугольника, вам нужно использовать arccos.

Физика:

Химия:

  • 🧪 Arccos полезен для оценки оптимальных валентных углов многоатомных молекул, таких как, например, H 2 O или CH 4

II Примеры из жизни

  • 🏠 Расчет наклона крыши или угла наклона лестницы (хотя, в зависимости от того, какие размеры указаны, могут также пригодиться калькуляторы обратной синусоиды или арктангенса)
  • Проектирование пандуса для инвалидов или детских колясок.Обратный косинус будет чрезвычайно полезен, если вы знаете длину пандуса и доступное расстояние по горизонтали.
  • 🖥️ Даже выбирая эргономичное положение на работе ! Если вы хотите правильно настроить свою рабочую станцию, вам необходимо знать оптимальную высоту стола или высоту стоячего стола, но, что касается расположения монитора, с помощью этого калькулятора arccos гораздо проще определить угол наклона или угол обзора.

Теперь вы уверены? Не ждите больше, воспользуйтесь нашим калькулятором обратного косинуса, чтобы решить (почти все) ваши проблемы!

Калькулятор обратного косинуса — Вычислить arccos (x)

Найдите угол в градусах или радианах, используя обратный косинус с помощью калькулятора arccos ниже.

Как найти Arccos

Arccos — это тригонометрическая функция для вычисления обратного косинуса. Arccos также можно выразить как cos -1 (x).

Arccos используется для отмены или отмены функции косинуса. Если вы знаете косинус угла, вы можете использовать arccos для вычисления угла.

Поскольку arccos — это функция, обратная косинусу, а многие углы имеют одно и то же значение косинуса, arccos является периодической функцией. Каждое значение arccos может привести к нескольким значениям угла.Первичный результат для arccos известен как главное значение и представляет собой угол в диапазоне от 0 ° до 180 °.

Для вычисления arccos используйте научный калькулятор и функцию acos или просто воспользуйтесь калькулятором выше. В большинстве научных калькуляторов для вычисления cos требуется значение угла в радианах.

Формула обратного косинуса

Формула обратного косинуса:

y = cos (x) | х = arccos (y)

Таким образом, если y равно косинусу x , то x равно arccos y .

График обратного косинуса

Если вы построите график функции arccos для каждого возможного значения косинуса, он образует кривую от (-1, π) до (1, 0).

Поскольку значение косинуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1, кривая обратного косинуса начинается при x = -1 и заканчивается при x = 1. Поскольку пик косинусоидальной волны находится в 0 радиан, а угол падения волны составляет π радиан, значение y заканчивается в этих точках.

Таблица обратных косинусов

В таблице ниже показаны общие значения косинуса и arccos или угла для каждого из них.

Таблица, показывающая общие значения косинуса и значения обратного косинуса для каждого в градусах и радианах
Косинус Угол (градусы) Угол (радианы)
-1 180 ° π
–√6 + √24 165 ° 11π12
–√32 150 ° 5π6
–√22 135 ° 3π4
–12 120 ° 2π3
–√6 — √24 105 ° 7π12
0 90 ° π2
√6 — √24 75 ° 5π12
12 60 ° π3
√22 45 ° π4
√32 30 ° π6
√6 + √24 15 ° π12
1 0 ° 0

Возможно, вас заинтересуют наши калькуляторы обратного синуса и арктангенса.

Решение | Обратный или нет? | Тригонометрия: от треугольников к функциям

Взгляните на три графика ниже.

Один из графиков показывает \ (y = \ arctan (\ tan x) \). Другой показывает \ (y = \ tan (\ arctan x) \). Какие это графики и почему?

Поскольку \ (\ tan x \), \ (\ sin x \) и \ (\ cos x \) являются периодическими функциями, существует множество значений \ (x \), которые дают одинаковое значение \ (\ tan x \), \ (\ sin x \) или \ (\ cos x \). Это означает, что обратные функции, такие как \ (\ arctan x \) и \ (\ arcsin x \), должны быть очень тщательно определены.Вы можете узнать больше об этом в Обратные тригонометрические функции, и эти идеи используются в этом решении.

Глядя на три графика, я замечаю, что график C выглядит как график \ (y = x \) для всех реальных значений \ (x. \). Напротив, график B выглядит как график \ (y = x \), но только для \ (x \) в интервале \ (\ left (\ frac {- \ pi} {2}, \ frac {\ vphantom {-} \ pi} {2} \ right) \). Подумав о графике B, я могу теперь думать о графике A как о повторяющейся версии графика B с периодом \ (\ pi \).

Чтобы увидеть, какие графики показывают функции \ (\ arctan (\ tan x) \) и \ (\ tan (\ arctan x) \), я могу подумать о доменах и диапазонах.

При составлении функций \ (f (x) \) и \ (g (x) \) в форму \ (g (f (x)) \), мне нужно подумать о области определения \ (f (x) \ ). Мне нужно проверить, что любой вывод \ (f \) находится в области \ (g \) и каковы эти выходы, поэтому диапазон \ (g (f (x)) \) зависит от домена и диапазона \ (f \), а также диапазон \ (g \).

Начиная с внутренней функции в \ (\ arctan (\ tan x) \), я знаю, что \ (\ tan x \) определен для всех действительных \ (x \), кроме тех, где \ (x = \ frac {(2n +1) \ pi} {2} \). Это область \ (\ tan x \).Диапазон — это все действительные числа. Это означает, что входными данными внешней функции \ (\ arctan \) являются все действительные числа, поэтому выходными данными для \ (\ arctan \) является ее главный диапазон значений, который представляет собой интервал \ (\ left (- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right) \). Следовательно, график \ (\ arctan (\ tan x) \) имеет область, которая представляет собой всю ось \ (x \), за исключением точек, где \ (x = \ frac {(2n + 1) \ pi } {2} \), а диапазон равен \ (\ left (- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right) \), поэтому на графике A показано \ (y = \ arctan (\ tan x) \).

Теперь я буду использовать аналогичное мышление, чтобы выяснить, какой график является \ (y = \ tan (\ arctan x) \). На этот раз \ (\ arctan x \) — внутренняя функция. Его доменом являются все действительные числа, но диапазон равен \ (\ left (- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right) \).

На этом графике показано \ (y = \ tan x \) для \ (x \) в интервале \ (\ left (- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right) \). Можете ли вы использовать его, чтобы объяснить, почему на графике C должно отображаться \ (y = \ tan (\ arctan x) \)?

Сопоставьте эти уравнения с графиками ниже и объясните свои рассуждения.

Я заметил одну вещь: все четыре функции отображают \ (0 \) в \ (0 \), поэтому графики должны проходить через начало координат. Это исключает график G.

.

Область значений \ (\ sin x \) является действительной \ (x \), а диапазон — интервалом \ ([- 1,1] \). Область значений \ (\ arcsin x \) — это интервал \ ([- 1,1] \), а диапазон главных значений — \ (\ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right] \) (дополнительные пояснения см. в разделе Обратные тригонометрические функции).

Итак, функция \ (\ arcsin (\ sin x) \) определена для всех вещественных \ (x \) и имеет диапазон \ (\ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right] \).В области \ (\ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right] \) функция отобразит \ (x \) на себя, так что график будет выглядеть как что из \ (y = x \). Значит, это должен быть График D.

Обратите внимание, что по мере увеличения \ (x \) от \ (\ frac {\ pi} {2} \) до \ (\ frac {3 \ pi} {2} \), \ (\ sin x \) уменьшается от \ (1 \) до \ (- 1 \), и поэтому \ (\ arcsin (\ sin x) \) уменьшается с \ (\ frac {\ pi} {2} \) до \ (- \ frac {\ pi} { 2} \). Затем этот паттерн продолжается, образуя зигзагообразный график.

Область \ (\ arcsin x \) — это интервал \ ([- 1,1] \), и он не определен где-либо еще.В этом домене он имеет диапазон \ (\ left [- \ frac {\ pi} {2}, \ frac {\ pi} {2} \ right] \), и эти значения используются в качестве входных данных для \ (\ sin x \) производят значения в диапазоне \ ([- 1,1] \). Таким образом, график будет выглядеть как \ (y = x \), ограниченный областью \ (- 1 \ le x \ le1 \), которая является Графиком E.

\ (\ cos x \) определен для всех действительных \ (x \) и имеет диапазон \ ([- 1,1] \). \ (\ arccos x \) определен в области \ ([- 1,1] \), а его главный диапазон значений равен \ ([0, \ pi] \). Таким образом, область определения этой композиции — это все действительные числа, а ее диапазон равен \ ([0, \ pi] \).Единственный график, который соответствует этому, — J.

.

В качестве проверки, когда \ (x \) увеличивается с \ (0 \) до \ (\ pi \), значение \ (\ cos x \) уменьшается с \ (1 \) до \ (- 1 \), и поэтому \ (\ arccos (\ cos x) \) увеличивается с \ (0 \) до \ (\ pi \). В этой области график выглядит как \ (y = x \). По мере того, как \ (x \) увеличивается от \ (\ pi \) к \ (2 \ pi \), \ (\ cos x \) увеличивается от \ (- 1 \) до \ (1 \) и \ (\ arccos (\ cos x) \) уменьшается с \ (\ pi \) до \ (0 \). Отсюда получаем зигзагообразный узор.

\ (\ arccos x \) определяется только для \ (x \) в интервале \ ([- 1,1] \).Его диапазон равен \ ([0, \ pi] \), а \ (\ cos \) этих значений имеет диапазон \ ([- 1,1] \). Таким образом, наш график будет выглядеть как \ (y = x \), ограниченный областью \ ([- 1,1] \), и это должен быть график E, такой же, как для уравнения (2).

Интересно отметить, что \ (\ cos x \) и \ (\ arccos x \) являются убывающими функциями на этих интервалах, но композиция функций возрастает. Это случай с любой парой убывающих функций ?

Для каких значений \ (x \) будет \ (\ tan (\ arctan x) = x \)? А как насчет \ (\ arctan (\ tan x) = x \)?

Что вы можете сказать о решениях подобных уравнений, например \ (\ sin (\ arcsin x) = x \) или \ (\ arccos (\ cos x) = x \)?

Поскольку график C равен \ (y = \ tan (\ arctan x) \), он должен быть \ (\ tan (\ arctan x) = x \) для всех действительных \ (x \).

График A показывает \ (y = \ arctan (\ tan x) \), поэтому \ (\ arctan (\ tan x) = x \) только для \ (x \) в интервале \ (\ left (- \ tfrac {\ pi} {2}, \ tfrac {\ pi} {2} \ right) \), поскольку это единственная часть графика, для которой \ (y = x \) совпадает с графиком \ (y = \ arctan (\ загар х) \).

Чтобы проиллюстрировать, что происходит, если \ (x \) выходит за пределы этого интервала, давайте попробуем \ (x = \ tfrac {4 \ pi} {3} \). Я знаю \ (\ tan \ tfrac {4 \ pi} {3} = \ sqrt {3} \), но \ (\ arctan \ sqrt {3} = \ tfrac {\ pi} {3} \). Следовательно, \ (\ arctan \ left (\ tan \ tfrac {4 \ pi} {3} \ right) = \ arctan \ sqrt {3} = \ tfrac {\ pi} {3} \).Обобщая этот пример, я вижу, что если \ (x \) находится вне интервала \ (\ left (- \ tfrac {\ pi} {2}, \ tfrac {\ pi} {2} \ right) \) и \ (\ tan x \) определен, тогда \ (\ arctan (\ tan x) \) переводит \ (x \) к соответствующему значению внутри интервала \ (\ left (- \ tfrac {\ pi} {2}) , \ tfrac {\ pi} {2} \ right) \).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *