§ 14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики
14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса
и котангенса и их графики
14.1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin x И ЕЕ ГРАФИК
Т а б л и ц а 21
|
График функции y = sin x (синусоида) |
|
Свойства функции y = sin x |
Объяснение и обоснование
Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики:
1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями
координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания * ;8) наибольшее и наименьшее
значения функции.
З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох
(то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.
Напомним, что значение синуса — это ордина-
та соответствующей точки единичной окружности
(рис. 79). Поскольку ординату можно найти для
любой точки единичной окружности (в силу того,
что через любую точку окружности всегда можно
провести единственную прямую, перпендикуляр-
ную оси ординат), то область определения функции
y = sin x — все действительные числа. Это можно за-
писать так: D (sin x) = R.
Для точек единичной окружности ординаты нахо-
дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значения
от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] Рис.
79
оси ординат (который является диаметром единичной
окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди-
нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди-
нату. Таким образом, для функции y = sin x область значений: y ∈ [–1; 1].
Это можно записать так: E (sin x) = [–1; 1].
Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда
соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при
Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение
достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть
при
Как было показано в § 13, синус — нечетная функция: sin(-x)= — sin x,
поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
В § 13 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
T = 2π: sin (x + 2π) = sin x, таким образом, через промежутки длиной 2π вид графика функции sin x повторя-
ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной 2π, а
потом полученную линию параллельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние kT = 2πk, где
k — любое натуральное число.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,
напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение
y = sin 0 = 0, то есть график функции y = sin x проходит через начало координат.
На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при
которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж
ности, равна нулю.
Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж-
ности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z (см. рис. 79).
Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения
функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки
единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 80). Таким
образом, sin x > 0 при всех x ∈ (0; π), а также, учитывая период, при всех
x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.
Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую-
щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто-
му sin x < 0 при x ∈ (π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ Z.
Промежутки возрастания и убывания
Доказательство теоремы
Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно
исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной
2π, например на промежутке
то при увеличении аргумента x (x 2> x1) ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть
sin x 2 > sin x 1 ), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает.
Учитывая периодичность функции sin x,
делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков
Если x ∈ (рис. 81, б), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) ордината соответствующей точки единичной
окружности уменьшается (то есть sin x 2 < sin x 1 ), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая
периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков
Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции y = sin x. Учитывая периодичность этой
функции (с периодом 2π), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной 2π, например на
промежутке [–π; π]. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината
соответствующей точки единичной окружности.
На рисунке 82 показано построение графика функции y = sin x на
промежутке [0; π]. Учитывая нечетность функции sin x (ее график симметричен относительно начала координат), для
построения графика на промежутке [–π; 0] отображаем полученную кривую симметрично относительно начала координат
(рис. 83).
Поскольку мы построили график на
промежутке длиной 2π, то, учитывая
периодичность синуса (с периодом 2π),
повторяем вид графика на каждом про-
межутке длиной 2π (то есть переносим па-
раллельно график вдоль оси Ох на 2πk,
где k — целое число).
Получаем график, который называется
синусоидой (рис. 84).
З а м е ч а н и е. Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике и технике.
Например,
множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п.,
описываются функцией, которая задается формулой y = A sin (ωх + φ). Такие процессы называют гармоническими
колебаниями. График функции y = A sin (ωx + φ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль
координатных осей и параллельным переносом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией
времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + φ), где А — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная
фаза,
14.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК
Объяснение и обоснование
Напомним, что значение косинуса — это абсцис-
са соответствующей точки единичной окружности
(рис.
85). Поскольку абсциссу можно найти для лю-
бой точки единичной окружности (в силу того, что
через любую точку окружности, всегда можно про-
вести единственную прямую, перпендикулярную оси
абсцисс), то область определения функции y = cos x —
все действительные числа. Это можно записать так:
D (cos x) = R.
Для точек единичной окружности абсциссы нахо-
дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значе-
ния от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] оси абсцисс (который является диаметром единичной
окружности)
всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции y = cos x:
y ∈ [–1; 1]. Это можно записать так: E (cos x) = [–1; 1].
значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при
x = 2πk, k ∈ Z. Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда
соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k ∈ Z.
Как было показано в § 13, косинус — четная функция: cos (–x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси
Оу. В § 13 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом
T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким образом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oy значение x = 0.
Тогда
соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при
которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только
тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при
Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения
функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки
единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 86). Следова-
тельно, cos x > 0 при x ∈ (-П/2; П/2) а также, учитывая период, при всех
Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству-
ющей точки единичной окружности отрицательна) во ІІ и ІІІ четвертях,
поэтому cos x < 0 при x ∈
Промежутки возрастания и убывания
Учитывая периодичность функции cos x (T = 2π), достаточно исследовать
ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 2π, например
на промежутке [0; 2π].
Если x ∈ [0; π] (рис. 87, а), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) абсцисса соответствующей точки единичной
окружности уменьшается (то есть cos x 2<cos x 1 ), следовательно, на этом промежутке функция cos x убывает. Учитывая
периодичность функции cos x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.
Если x ∈ [π; 2π] (рис. 87, б), то при увеличении аргумента x (x 2 > x 1 ) аб-
сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то
есть cos x 2 >cos x 1 ), таким образом, на этом промежутке функция cos x
возрастает. Учитывая периодичность функции cos x, делаем вывод, что
она возрастает также на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z.
Проведенное исследование позволяет построить график функции y = cos x
аналогично тому, как был построен график функ-
ции y = sin x.
Но график функции у = cos x можно
также получить с помощью геометрических преоб-
разований графика функции у = sin х, используя
формулу
Эту формулу можно обосновать, например, так.
Рассмотрим единичную окружность (рис. 88), отметим на ней точки
их графики, описание / Справочник :: Бингоскул
Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса: их графики, описаниедобавить в закладки удалить из закладок
Содержание:
Чтобы построить графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса, необходимо использовать систему координат. Каждый график отличается по своей структуре. Далее рассмотрим графики функций синуса, косинуса, тангенса, котангенса, а также проведем сравнение косинуса и синуса углов.
Синус как тригонометрическая функция – определение, график
Выражение у = sin х – это легкий пример тригонометрической функции. Она определяется для любого значения переменной.
Область нахождения решения – все действительные числа. Присутствуют ограничения функционала в зоне интервала от -1 до 1, единицы также входят в интервал. Среднее значение области определения изменений исходит из неравенства -1 ≤ у ≤ 1
Ряд максимальных значений принимается при x = \frac {\pi} {2} + 2k \pi. В таком случае число функционала – 1, если x = — \frac {\pi} {2} + 2k \pi, выражение стремится к -1, находится в области минимальных значений -1.
Тригонометрический показатель у = sin х:
- Нечетная, так как расположение синусоиды симметрично к началу системы координат;
- Периодичная. Установленный период — 2 π ;
- Характерно монотонное возрастание для интервала — \frac {\pi} {2} + 2n \pi
- В интервале x = \frac {\pi} {2} + 2k \pi
- n моет являться любым числом;
- Если х= кπ, выражение нулевое.
Косинус – построение графика, основные параметры
Функция cos cos х находится в области определения R, обладает множеством значений от -1 до 1.
Это четное выражение с периодичностью Т=2π. Нулевые показатели достигаются при х = \frac {\pi} {2} + \pi_n, если n ϵ Z. Монотонность достигается в промежутках:
- х ∈ [-π + 2πn] — nϵZ — возрастание;
- х ∈ [2πn,π + 2πn] — nϵZ -убывание;
Экстремальные показатели для косинуса:
- Уmin = -1, если x = π + 2πn
- Уmax = 1, если x = 2πn
n всегда принадлежит Z.
Сравнение синусов и косинусов – примеры, формулы
Чтобы сравнить некоторые данные, следует построить график синуса, косинуса, тангенса, котангенса или воспользоваться единичной окружностью. Сопоставлять аргументы с разными знаками проще, чем отрицательные или положительные функции. На рисунке видно, что вторым радианом выступает угол, находящийся во второй плоскости. По умолчанию значение синуса здесь – положительное число, косинус – отрицательный.
Все положительные элементы изначально больше отрицательных. Отсюда следует, что:
sin 1 >cos 3,
sin 3 > cos 4,
sin 2 > cos 4,
sin 2 > cos 3,
sin 5
Для сравнения функций с одинаковыми знаками необходимо интерпретировать их с геометрической точки зрения. Синус является ординатой у, косинус — абсциссой х. Пример сопоставления выражений с разными знаками:
sin 1 > cos 1,
sin 3
По аналогичной методике:
cos 4 > sin 4,
cos 3
Функция тангенса – свойство, графическое изображение
Тангенс – сложный график нечетного типа с множеством вариантов решения R. Он находится в области вычисления: d ( \tg x) = \frac { R } { \frac { \pi }{ 2 } + \pi _{n}(n \in Z) } . Основной период – Т = π. Нулевой показатель достигается при х=πn, n ϵ Z. Экстремумы отсутствуют.
Для тангенса характерно возрастание на всех интервалах, входящих в область ее обозначения.
Тригонометрический график котангенса
Действительное число для области выявления котангенса находится во множестве Х ≠ πn при условии n ϵ Z.
Общий вид периодического нечетного выражения котангенса – y = ctg x, период – :
- Равна нулю, если х = π2 + πn, n ϵ Z;
- Отрицательная при интервале −π2 + πn; πn;
- Положительная при интервале πn; π2 + πn.
Поделитесь в социальных сетях:
29 июня 2021, 15:42
Математика
Could not load xLike class!
Графики тригонометрических функций для Sin, Cos, Tan и обратных функций
Тригонометрические функции изучают отношения между длинами, высотами и углами прямоугольных треугольников. Они также известны как круговые функции или угловые функции и широко используются в различных областях, таких как программирование, вычислительная техника, навигация, механика твердого тела, медицинская визуализация, геодезия, измерение высоты зданий и гор и т. д. Как следует из названия, тригонометрия упоминается как изучение треугольников. Есть шесть тригонометрических отношений или функций, которые являются одними из самых простых периодических функций.
Функции синуса, косинуса и тангенса являются наиболее широко используемыми тригонометрическими функциями, тогда как их обратные функции, косеканс, секанс и котангенс, используются реже. В этой статье мы подробно рассмотрим графики шести тригонометрических функций.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине B, т. е. ∠B = 90°. Пусть «θ» будет углом при вершине C. Теперь смежная сторона/основание — это сторона, примыкающая к углу «θ», а сторона, противоположная углу «θ», называется противоположной стороной/перпендикуляром. Самая длинная сторона прямого угла или сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.
- sin θ = противолежащая сторона/гипотенуза
- cos θ = прилежащая сторона/гипотенуза
- tan θ = Противоположная сторона/Смежная сторона
- cosec θ = 1/sin θ = Гипотенуза/противоположная сторона
- sec θ = 1/cos θ = гипотенуза/прилегающая сторона
- кроватка θ = 1/tan θ = Смежная сторона/Противоположная сторона
Функция синуса
Функция синуса обозначается как «sin» и определяется как отношение длины противоположной стороны/перпендикуляра к длине гипотенузы на заданный угол.
sin θ = Противоположная сторона/Гипотенуза
Теперь давайте построим график синусоидальной функции, используя стандартные тригонометрические значения.
θ | -360° | -270° | — 180° | -90° | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | − 1 | 0 | 1/2=0,5 | 1/√2=0,707 | 900 02 √3/2=0,8660 | 1 | 0 | − 1 | 0 |
На графике функции синуса значения углов (градусы) взяты по оси X, а значения y = sin θ для каждого заданного угла взяты по оси Y -ось.
Синусоидальная функция определена для каждого действительного числа, что означает область определения синусоидальной функции (-∞, +∞).
Из графика видно, что максимальное значение функции синуса равно 1, а минимальное значение равно -1. Итак, амплитуда синусоидальной функции составляет половину расстояния между максимальным значением и минимальным значением. В результате амплитуда равна единице [(1 – (-1))/2 = 1]. На графике мы также можем заметить, что паттерн повторяется снова и снова после периода 2π. Мы можем заметить, что график проходит через ось X, где значение θ кратно π, поэтому корни или нули синуса кратны π. В каждой точке высота кривой равна синусу значения линии.
Домен | (-∞, + ∞) |
|---|---|
Диапазон 900 54 | [-1, +1] |
Минимальное значение | -1 |
Максимальное значение | 1 |
Амплитуда | 1 |
Период | 2π |
X-точка | x=nπ, ∀n |
Y-точка | y = 0 |
Линия симметрии | Происхождение |
Тип функции | Нечетная функция |
Функция косинуса
Функция косинуса обозначается как «cos» и определяется как отношение длины прилегающей стороны/основания к длине гипотенузы на заданный угол.
cos θ = Смежная сторона/Гипотенуза
Теперь построим график функции косинуса, используя стандартные значения тригонометрических функций.
θ | -360° | -270° | — 180° | -90° | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y = cos θ | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | √3/2=0,8660 | 1/√2=0,707 | 1/2=0,5 | 0 | −1 | 0 | 1 |
На графике функции косинуса значения углов (градусы) взяты по оси X, а значения y = cos θ для каждого заданного угла взяты по ось Y.
Функция косинуса определена для каждого действительного числа, что означает область определения функции косинуса (-∞, +∞).
Из графика видно, что максимальное значение функции косинуса равно 1, а минимальное значение равно -1. Амплитуда функции косинуса равна единице, а период равен 2π. Мы можем заметить, что график проходит через ось X, где значение θ является нечетным кратным π/2, поэтому корни или нули функции косинуса являются нечетными кратными π/2. Сравнивая графики функций синуса и косинуса, можно заметить, что график функции косинуса получается после сдвига графика y = sin θ на π/2 единиц влево.
Домен | (-∞, + ∞) |
|---|---|
Диапазон | [-1, +1] |
Минимальное значение | −1 |
Максимальное значение | 1 |
Амплитуда | 1 |
Период | 2π |
X-точка | x = (2n + 1)π/2, ∀n |
Y-точка | y = 1 |
Линия симметрии | Ось Y |
Тип функции | Четная функция |
Функция касательной
Функция касательной обозначается как «tan» и определяется как отношение длины противоположной стороны/перпендикулярной к длине прилежащей стороны/основания к данному углу.
tan θ = Противоположная сторона/Смежная сторона = sin θ/cos θ
Теперь построим график функции тангенса, используя стандартные значения тригонометрических функций.
θ | -360° | -270° | — 180° | -90° | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° 9 0058 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y = tan θ | 0 | не определено | 0 | не определено | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | не определено | 0 | undefined | 0 |
угол взятые по оси Y. Функция тангенса определена для каждого действительного числа, за исключением значений, при которых функция косинуса равна нулю.
Мы знаем, что функция косинуса равна нулю при нечетных кратных π/2, поэтому область определения функции тангенса равна R – (2n + 1)π/2.
Амплитуда графика касательной функции не определена, так как кривая не имеет ни максимального, ни минимального значения и стремится к бесконечности. Поскольку кривая повторяется через интервал π, период функции касательной равен π.
Домен | R – (2n + 1)π/2 | |
|---|---|---|
Диапазон 9000 3 | (-∞, +∞) | |
Период | π | |
X-пересечение | x=nπ, ∀n | |
Y-пересечение | y=0 | |
Линия симметрии | Происхождение | |
Вертикальные асимптоты | x = (2n + 1)π/2 функция | Нечетная функция |
Функция котангенса
Функция котангенса обозначается как «cot» и определяется как отношение длины прилежащей стороны/основания к длине противоположной стороны/перпендикуляра данному углу.
cot θ = Смежная сторона/Противоположная сторона = cos θ/sin θ
Теперь построим график функции котангенса, используя стандартные значения тригонометрических функций.
θ | -360° | -270° | -180° | -90° | 0 ° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y = детская кроватка θ | не определено | 0 | не определено | 0 | не определено | 1/√3 | 1 | 9 00550 | не определено | 0 | не определено 900 03 |
На графике функции котангенса значения углов (градусы) отложены по оси X, а значения y = ctg θ для каждого заданного угла отложены по оси Y.
Функция котангенса определена для каждого действительного числа, за исключением значений, при которых функция синуса равна нулю. Мы знаем, что функция синуса равна нулю при кратных π, поэтому область определения функции котангенса равна R – nπ.
Амплитуда графика функции котангенса не определена, так как кривая не имеет ни максимального, ни минимального значения и стремится к бесконечности. Поскольку кривая повторяется через интервал π, период функции котангенса равен π.
Домен | R – nπ |
|---|---|
Диапазон | (-∞, +∞) |
Период | π |
X-отрезок | x = (2n + 1)π/2, ∀n |
Y-пересечение | неприменимо |
Линия симметрии | Начало координат |
Вертикальные асимптоты | x = nπ | Тип функции | Нечетная функция |
Функция косеканса
Функция косеканса обозначается как «csc или cosec» и определяется как отношение длины гипотенузы к длине противоположной стороны/перпендикуляра данному углу.
cosec θ = гипотенуза/противоположная сторона = 1/sin θ
Теперь давайте построим график функции косеканса, используя стандартные значения тригонометрических функций.
θ | -360° | -270° | -180° | -90° | 0 ° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y = csc θ | не определено | 1 | не определено | −1 | не определено | 2 | √2 | 900 551 | не определено | −1 | undefined |
На графике функции косеканса значения углов (градусы) отложены по оси X, а значения y = csc θ для каждого заданного угла отложены по оси Y.
Функция косеканса определена для каждого действительного числа, за исключением значений, при которых функция синуса равна нулю. Мы знаем, что синусоидальная функция равна нулю при кратных π, поэтому область определения косеканса равна R – nπ.
Амплитуда графика функции косеканса не определена, так как кривая не имеет ни максимального, ни минимального значения и стремится к бесконечности. Поскольку кривая повторяется через интервал 2π, период функции косеканса равен 2π.
Домен | R – nπ |
|---|---|
Диапазон | (-∞, -1] U [+1, +∞) |
Период | 2π |
X-точка | неприменимо |
Y-точка 900 03 | не применимо |
Линия симметрии | Происхождение |
Вертикальные асимптоты | x = nπ |
Тип функции | Нечетная функция 9 0003 |
Функция секанса
Функция секанса обозначается как «сек» и определяется как отношение длины гипотенузы к длине прилежащей стороны/основания к заданному углу.
сек θ = гипотенуза/прилежащая сторона = 1/cos θ
Теперь построим график функции секущей, используя стандартные значения тригонометрических функций.
θ | -360° | -270° | -180° | -90° | 0° | 900 02 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
у = сек θ | 1 | не определено | −1 | не определено | 1 | 2/√3 | √2 | 2 90 003 | не определено | −1 | не определено | 1 |
На графике функции секущей значения углов (градусы) отложены по оси X, а значения y = sec θ для каждого заданного угла отложены по оси Y.
Функция секанса определена для каждого действительного числа, за исключением значений, при которых функция косинуса равна нулю. Мы знаем, что функция косинуса равна нулю при нечетных кратных π/2, поэтому область определения функции секущей равна R – (2n + 1)π/2.
Амплитуда графика секущей функции не определена, так как кривая не имеет ни максимального, ни минимального значения и стремится к бесконечности. Поскольку кривая повторяется через интервал 2π, период функции секущей равен 2π.
Домен | R – (2n + 1)π/2 | |
|---|---|---|
Диапазон 9 0054 | (-∞, -1] U [+1, +∞) | |
Период | 2π | |
X-точка | неприменимо | |
Y-точка 9 0003 | y = 1 | |
Линия симметрии | Ось Y | |
Вертикальные асимптоты | x = (2n + 1)π/2 | Четная функция |
Важные свойства графиков тригонометрических функций
У каждого тригонометрического графика есть важные свойства: амплитуда, вертикальный сдвиг, период, фаза и фазовый сдвиг.
- Амплитуда: Амплитуда равна половине расстояния между максимальным и минимальным значением или высоте кривой от центральной линии.
- Вертикальный сдвиг: Смещение графика перпендикулярно оси X известно как вертикальное смещение.
- Период: Период — это расстояние между повторениями любой функции.
- Фаза: Положение формы сигнала в доли периода называется его фазой и выражается в углах или радианах.
- Фазовый сдвиг: Смещение графика перпендикулярно оси Y называется фазовым сдвигом.
Посмотрите на функции, упомянутые выше, на графике, как показано ниже.
График общей формы тригонометрических функций
Общая форма синусоидальной функции задается следующим образом:
Как построить график тригонометрической функции?y = a sin (bx + c) + d
Здесь
|a| = Amplitude (значение «a» изменяется, график соответственно растягивается или сжимается)
2π/|b| = Период
c/b = Фазовый сдвиг
d = Вертикальный сдвиг
Чтобы построить график тригонометрической функции, выполните шаги, указанные ниже:
Шаг 1: Чтобы нарисовать график тригонометрической функции, приведите его к общему виду: y = a sin (bx + c) + d.
Шаг 2: Теперь определите различные параметры, такие как амплитуда, фазовый сдвиг, вертикальный сдвиг и период.
Шаг 3: Значение периода равно 2π/|b| для функций синуса и косинуса, тогда как для функций тангенса и котангенса это π/|b|. Фазовый сдвиг = -c/b.
Шаг 4: Наконец, постройте график, используя рассчитанные выше параметры.
Решенные примеры на графах тригонометрии
Пример 1. Нарисуйте график y = 3 cos 4x + 5.
Решение:
Дано: y = 3 cos 4x + 5
Теперь сравните данное уравнение общего вида y = a cos (bx + c) + d,
- a = 3, значит, амплитуда равна 3. (Итак, расстояние между максимальным и минимальным значением равно 6)
- b = 4. Период = 2π/|b| = 2π/|4| = π/2
- c = 0, поэтому фазового сдвига нет.
- d = 5, значит, график сдвинулся вверх на 5 единиц.
График зависимости y = 3 cos 4x + 5 приведен ниже:
Пример 2.
Нарисуйте график зависимости y = cosec x + 3.
Решение: 9 0012
Дано: г = cosec x + 3
- Мы знаем, что амплитуда графика функции косеканса не определена при стремлении кривой к бесконечности.
- Период = 2π/|b| = 2π/|1| = 2π
- Здесь фазового сдвига нет.
- График сдвинулся вверх на 3 единицы.
График y = cosec x + 3 приведен ниже:
Пример 3. Нарисуйте график y = sin (2x −π) + 2.
Решение: 9 0012
Дано: y = sin (2x − π) + 2
Теперь сравните данное уравнение с общей формой y = a sin (bx + c) + d,
- a = 1, что означает, что амплитуда равна 1. (Итак, расстояние между максимальным и минимальным значением равно 2)
- b = 2. Период = 2π/|2| = 2π/|2| = π
- c = −π. Фазовый сдвиг = −c/b = − (−π)/2 = π/2
- d = 2, значит, график сдвинулся вверх на 2 единицы.
График зависимости y = sin (2x −π) + 2 приведен ниже:
Пример 4.
Нарисуйте график зависимости y = tan x + 1.
Решение: 9 0012
Дано: y = tan x + 1
- Мы знаем, что амплитуда графика касательной функции не определена, так как кривая не имеет ни максимального, ни минимального значения и стремится к бесконечности.
- Период = π/|1| = π/|1| = π
- Здесь фазового сдвига нет.
- График сдвинулся вверх на 1 единицу.
График зависимости y = tan x + 1 приведен ниже:
Пример 5. Нарисуйте график зависимости y = 2 sin x + 3.
Решение: 9001 2
Дано: у = 2 sin x + 3
Теперь сравните данное уравнение с общей формой y = a sin (bx + c) + d,
a = 2, что означает, что амплитуда равна 2. (Таким образом, расстояние между максимальное и минимальное значение 2)
b = 1. Период = 2π/|1| = 2π/|1| = 2π
c = 0, поэтому фазового сдвига нет.
d = 3, значит, график сдвинулся вверх на 3 единицы.График y = 2 sin x + 3 приведен ниже:
Часто задаваемые вопросы о графике тригонометрии
Вопрос 1: Что такое тригонометрия?
Ответ:
В математике тригонометрические функции изучают отношения между длинами, высотами и углами прямоугольных треугольников. Как следует из названия, тригонометрия относится к изучению треугольников.
Вопрос 2: Назовите некоторые применения тригонометрических функций.
Ответ:
Тригонометрические функции также известны как круговые функции или угловые функции и широко используются в различных областях, таких как программирование, вычисления, навигация, механика твердых тел, медицинские изображения, геодезия, измерение высоты зданий и гор. и т.д.
Вопрос 3: Каковы шесть тригонометрических функций? Назовите их формулы.
Ответ:
Существует шесть тригонометрических соотношений или функций, которые являются одной из самых простых периодических функций.
Функции синуса, косинуса и тангенса являются наиболее широко используемыми тригонометрическими функциями, тогда как их обратные функции, косеканс, секанс и котангенс, используются реже.
- sin θ = Противоположная сторона/Гипотенуза
- cos θ = Прилегающая сторона/Гипотенуза
- tan θ = Противоположная сторона/Прилегающая сторона
- cosec θ = 1/sin θ = Гипотенуза/O обратная сторона
- с θ = 1/cos θ = гипотенуза/прилегающая сторона
- cot θ = 1/tan θ = прилежащая сторона/противоположная сторона
Функции синуса, косинуса и тангенса являются наиболее широко используемыми тригонометрическими функциями, тогда как их обратные функции, косеканс, секанс и котангенс, используются реже.Вопрос 4. Какова область определения функции касательной?
Ответ:
Функция тангенса определена для каждого действительного числа, за исключением значений, при которых функция косинуса равна нулю. Мы знаем, что функция косинуса равна нулю при нечетных кратных π/2, поэтому область определения функции тангенса равна R – (2n + 1)π/2.
Связанный ресурс
- Тригонометрические тождества
- Тригонометрические отношения
- Высота и расстояние
Графики тригонометрических функций: примеры | StudySmarter
Безусловно, лучший способ понять поведение тригонометрических функций — создать визуальное представление их графиков на координатной плоскости.
Это помогает нам определить их ключевые особенности и проанализировать влияние этих функций на внешний вид каждого графика. Однако знаете ли вы, какие шаги нужно выполнить, чтобы график тригонометрических функций и их обратные функции? Если ваш ответ отрицательный, не беспокойтесь, мы проведем вас через весь процесс.
В этой статье мы определим, что такое графики тригонометрических функций, обсудим их ключевые особенности и покажем вам, как строить графики тригонометрических функций и их обратных функций на практических примерах.
Графики тригонометрических функций представляют собой графическое представление функций или отношений, определенных на основе сторон и углов прямоугольного треугольника. К ним относятся функции синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tan) и соответствующих им обратных функций косеканса (csc), секанса (sec) и котангенса (cot).
Каковы ключевые особенности графиков тригонометрических функций?
Перед тем, как перейти к построению графика тригонометрических функций, нам необходимо определить некоторые ключевых характеристик о них:
Амплитуда
Амплитуда тригонометрических функций относится к коэффициенту вертикального растяжения , который вы можете рассчитать как абсолютное значение половины разницы между его максимальным значением и его минимальным значением.
Амплитуда функций y=sinθ и y=cosθ равна 1-(-1)2=1.
Для функций вида y=asinbθ или y=acosbθ амплитуда равна абсолютному значению a.
Амплитуда=a
Если у вас есть тригонометрическая функция y=2sinθ, то амплитуда функции равна 2. или максимальное значение.
Период
Период тригонометрических функций представляет собой расстояние по оси X от начала узора до точки, где он начинается снова.
Период синуса и косинуса равен 2π или 360º.
Для функций вида y=asinbθ или y=acosbθ b известен как коэффициент горизонтального растяжения , и вы можете вычислить период следующим образом:
Period=2πbor360°b
Для функций в
Период=πbor180°b
Найдите период следующих тригонометрических функций: =4ππ= 4
- y=tan13θ
Период=πb=π13=π13=3π
Область и диапазон
Область и область значений основных тригонометрических функций следующие:
900 48
..Помните, что все тригонометрические функции являются периодическими , потому что их значения повторяются снова и снова через определенный период времени.
Как построить график тригонометрических функций?
Чтобы построить график тригонометрических функций, выполните следующие действия:
Если тригонометрическая функция представлена в виде y=asinbθ, y=acosbθ или y=atanbθ, то определите значения a и b , и определите значения амплитуды и периода, как описано выше.
Создайте таблицу упорядоченных пар для точек, которые вы будете включать в график.
Первое значение в упорядоченных парах будет соответствовать значению угла θ, а значения y будут соответствовать значению тригонометрической функции для угла θ, например, sin θ, поэтому упорядоченная пара будет (θ , sin θ). Значения θ могут быть либо в градусах, либо в радианах.
Первое значение в упорядоченных парах будет соответствовать значению угла θ, а значения y будут соответствовать значению тригонометрической функции для угла θ, например, sin θ, поэтому упорядоченная пара будет (θ , sin θ). Значения θ могут быть либо в градусах, либо в радианах.Единичную окружность можно использовать для определения значений синуса и косинуса для наиболее часто используемых углов. Пожалуйста, прочитайте о тригонометрических функциях, если вам нужно вспомнить, как это сделать.
График синусов
Синус представляет собой отношение длины противоположной стороны прямоугольного треугольника к длине гипотенузы.
График синусоидальной функции y=sinθ выглядит следующим образом:
Синусоидальный график, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals 9
график повторяется каждые 2π радиан или 360°.
Минимальное значение синуса равно -1.
Максимальное значение для синуса равно 1.
Это означает, что амплитуда графика равна 1, а его период равен 2π (или 360°).
График пересекает ось x в точке 0 и через каждые π радиан до и после этого.
Функция синуса достигает максимального значения при π/2 и каждые 2π до и после этого.
Функция синуса достигает минимального значения при 3π/2 и каждые 2π до и после этого.
График тригонометрической функции y=4sin2θ
- Определите значения a и b
a=4,b=2
90 009Амплитуда=a =4=4Period=2πb=2π2=2π2=π
- Таблица упорядоченных пар:
| θ | y=4sin2θ | 0 | 0 |
| π4 | 4 |
| π2 | 0 |
| 3π4 | -4 |
| π | 0 |
- Нанесите точки и соедините их плавной непрерывной кривой:
Пример синусоидального графика , Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals
График косинуса
Косинус представляет собой отношение длины прилежащей стороны прямоугольного треугольника к длине гипотенузы.
График функции косинуса y=cosθ выглядит точно так же, как график синуса, за исключением того, что он сдвинут влево на π/2 радиана, как показано ниже.
График косинуса, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
Наблюдая за этим графиком, мы можем определить ключевых характеристик функции косинуса :
График повторяется каждые 2π радиан или 360°.
Минимальное значение косинуса равно -1.
Максимальное значение косинуса 1,
Это означает, что амплитуда графика равна 1, а его период равен 2π (или 360°).
График пересекает ось x в точке π/2 и через каждые π радиан до и после этого.
Функция косинуса достигает своего максимального значения в 0 и каждые 2π до и после этого.
Функция косинуса достигает минимального значения в точке π и каждые 2π до и после этого.
График тригонометрической функции y=2cos12θ
- Определите значения a и b:
a=2,b=12
- Рассчитайте амплитуду и период: 90 034
- Таблица упорядоченных пар:
График повторяется через каждые π радиан или 180°.
Нет минимального значения.
Нет максимального значения.
Это означает, что функция тангенса не имеет амплитуды и ее период равен π (или 180°).
График пересекает ось x в точке 0 и через каждые π радиан до и после этого.
График касательной имеет асимптот , которые являются значениями, где функция не определена .
Эти асимптоты находятся на π/2 и каждом π до и после этого.
- Определить значения a 9 1690 и б :
- Рассчитать амплитуду и период:
- Нанесите точки и соедините их:
- Косеканс является обратной величиной по синусу .
- Секанс является обратной величиной косинуса .
- Котангенс является обратной величиной тангенса .
- График соответствующей функции синуса во-первых, использовать это как ориентир.
- Нарисуйте вертикальные асимптоты во всех точках, где функция синуса пересекает ось x.
- График косеканса будет касаться функции синуса в ее максимальном и минимальном значениях. Из этих точек нарисуйте отражение функции синуса, которое приближается к вертикальным асимптотам, но никогда не касается их, и простирается до положительной и отрицательной бесконечности.
- a=2,b=1
- Нет амплитуды
- Период=2πb=2π1=2π1=2π Илу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
График секущей
Чтобы построить график функции секанса y=secθ, вы можете выполнить те же шаги, что и раньше, но используя в качестве ориентира соответствующую функцию косинуса.
График секущих выглядит следующим образом:График секущих, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
График функции секущей имеет тот же период, что и график косинуса, который равен 2π или 360°, и также не имеет амплитуды.
График обратной тригонометрической функции y=12sec2θ
- a=12,b=2
- Без амплитуды
- Период=2πb=2π2=2π2=π
Пример графика секущей , Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
График котангенса
График котангенса очень похож на график тангенса, но вместо того, чтобы быть возрастающей функцией, котангенс является убывающей функцией. График котангенса будет иметь асимптоты во всех точках, где функция тангенса пересекает ось x.
График котангенса, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
Период графика котангенса такой же, как и период графика касательной, π радиан или 180°, и он также не имеет амплитуды.
График обратной тригонометрической функции y=3cotθ
- a=3,b=1
- Без амплитуды
- Период=πb=π1=π1=π
Пример графика котангенса, Марилу Гар Сиа Де Тейлор — StudySmarter Originals
Какие бывают графики обратных тригонометрических функций?
Обратные тригонометрические функции относятся к функциям арксинуса, арккосинуса и арктангенса, которые также могут быть записаны как Sin-1, Cos-1 и Tan-1.
Эти функции противоположны функциям синуса, косинуса и тангенса, что означает, что они возвращают угол, когда мы подставляем в них значение sin, cos или tan.Помните, что обратная функция получается путем замены x и y , то есть x становится y и y становится х .
Инверсия y=sinx равна x=siny, и вы можете увидеть ее график ниже:
График инверсии синуса, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals
Однако для того, чтобы обратные тригонометрические функции стали функциями , нам нужно ограничить свой домен . В противном случае обратные функции не являются функциями, поскольку они не проходят тест вертикальной линии. Значения в ограниченных областях тригонометрических функций известны как главные значения , а для обозначения того, что эти функции имеют ограниченную область определения, мы используем заглавные буквы:
Тригонометрическая функция Обозначение ограниченной области Основные значения Синус y=Sinx -π2≤x≤π2 Косинус y=Cosx 0≤x≤π Тангенс y=Tanx -π2 График арксинуса
Арксинус является обратной функцией синуса.
Инверсия y=Sinx определяется как x=Sin-1y или x=Arcsiny. Область функции арксинуса будет состоять из действительных чисел от -1 до 1, а ее диапазон представляет собой набор мер угла от -π2≤y≤π2. График функции арксинуса выглядит следующим образом:График арксинуса, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals
График арккосинуса
Арккосинус является обратной функцией косинуса. Инверсия y=Cosx определяется как x=Cos-1y или x=Arccosy. Область функции арккосинуса также будет состоять из всех действительных чисел от -1 до 1, а ее диапазон представляет собой набор мер угла от 0≤y≤π. График функции арккосинуса показан ниже:
График арккосинуса, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
График арктангенса
Арктангенс является обратной функцией тангенса. Инверсия y=Tanx определяется как x=Tan-1y или x=Arctany. домен функции арктангенса будет состоять из действительных чисел, а его диапазон представляет собой набор мер угла между -π2
График арктангенса выглядит следующим образом:График арктангенса, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals
Если мы начертим все обратные функции вместе, они будут выглядеть так:
Графики арксинуса, арккосинуса и арктангенса вместе, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals
Дополнительные сведения по этой теме см. в статье «Обратные тригонометрические функции».
Графики тригонометрических функций. Ключевые выводы
- Графики тригонометрических функций представляют собой графическое представление функций или отношений, определенных на основе сторон и углов прямоугольного треугольника.
- Ключевые характеристики тригонометрических функций: амплитуда, период, домен и диапазон.
- Амплитуда тригонометрических функций относится к коэффициенту вертикального растяжения, который можно рассчитать как абсолютное значение половины разницы между его максимальным значением и минимальным значением.
- Период тригонометрических функций — это расстояние по оси x от точки, где узор начинается, до точки, где он начинается снова.
Амплитуда=a=2=2Период=2πb=2π12 =2π12=4π
θ | y=2cos12θ | 0 | 2 |
| π | 0 |
| 2π | — 2 9Нанесите точки и соедините их плавной и непрерывной кривой: Пример графика косинуса, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals График касательнойТангенс представляет собой отношение длины противоположной стороны прямоугольного треугольника к длине прилежащей стороны. График функции тангенса y=tanθ, однако, выглядит несколько иначе, чем функции косинуса и синуса. Диаграмма тангенса, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals Наблюдая за этим графиком, мы можем определить ключевых характеристик функции тангенса : Тангенс угла также можно найти по этой формуле: tanθ=sinθcosθ График тригонометрической функции y=34tanθ a=34,b=1 Касательные функции имеют нет амплитуды . Period=πb=π1=π1=π Пример касательного графика, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals Каковы графики обратных тригонометрических функций?Каждой тригонометрической функции соответствует обратная функция: Для построения графика обратной тригонометрической функции можно действовать следующим образом: График косекансаГрафик функции косеканса y=cscθ можно получить следующим образом: График косеканса, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals График функции косеканса имеет тот же период, что и график синуса, т.е. 2π или 360°, и не имеет амплитуды. График обратной тригонометрической функции y=2cscθ |
Это не волна, а прерывистая функция с асимптотами:
График секущих выглядит следующим образом:
Эти функции противоположны функциям синуса, косинуса и тангенса, что означает, что они возвращают угол, когда мы подставляем в них значение sin, cos или tan.
Инверсия y=Sinx определяется как x=Sin-1y или x=Arcsiny. Область функции арксинуса будет состоять из действительных чисел от -1 до 1, а ее диапазон представляет собой набор мер угла от -π2≤y≤π2. График функции арксинуса выглядит следующим образом: