Или умножение и сложение: Порядок действий в Математике

Сложение и умножение вероятностей 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 22.

Сложение и умножение вероятностей.

Рассмотрим пример. Пусть в ящике находится двадцать кубиков: десять белых, четыре красных и шесть синих. Из ящика наугад вынимают один кубик. Рассмотрим такие события: Событие А – кубик оказался красным, Событие В – кубик оказался синим.

События А и В не могут произойти одновременно. Говорят, что события А и В являются несовместными.

Два события называют несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, то есть наступление одного из них исключает наступление другого.

Пусть событие С означает, что извлечённый из ящика кубик оказался не белым (то есть красным или синим).

Выясним, как вероятность события С связана с вероятностями каждого из событий А и В. Найдем вероятности событий А, В и С. Для каждого извлечения кубика из ящика равновозможными являются двадцать исходов. Из них для события А благоприятными являются четыре исхода, для события В – шесть исходов, для события С – десять исходов. Отсюда, вероятность события А равна 420(четырем двадцатым), вероятность события В – 620 (шести двадцатым), вероятность события С – 1020 (десяти двадцатым).

Мы видим, что вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Итак, если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Вообще

Если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей события А и В.

Пример первый. Есть десять экзаменационных билетов. Ученик вытянул один из них. Какова вероятность того, что номером билета является простое число, или число большее шести.

Событие А — простое число: 4 благоприятных исхода из 10 возможных

Это числа 2,3,5 и 7

Событие B — число больше 8: 2 благоприятных исхода из 10 возможных

Это 9 и 10

Вероятность события А равна 0,4, а вероятность события В равна 0,2

Событие С наступает тогда, когда наступает одно из событий A или В, которые являются несовместными. Значит, вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В, то есть

Р(С)= Р(А)+ Р(В)=0,4+0,2=0,6

При решении некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством вероятностей противоположных событий.

Разъясним смысл этого понятия на примере бросания игрального кубика. Пусть событие А означает, что выпало шесть очков, Б – что выпало менее шести очков. Всякое наступление события А означает, что наступление Б не наступит. А наступление события Б означает, что событие А не наступит.

В таких случаях говорят, что события А и Б – противоположные события.

Найдем вероятности событий А и Б. Для события А благоприятным является один исход из шести равновозможных исходов. Для события Б – пять исходов из шести. Значит, Вероятность события А равна 16 (одной шестой), а вероятность события Б равна 56(пяти шестым). Нетрудно заметить, что их сумма равна единице.

Итак, сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Приведем пример. Пусть в одной из двух коробок находится восемнадцать шаров, три из которых красные, а в другой двадцать четыре шара, четыре из которых красные. Из каждой коробки наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся красными?

Рассмотрим такие события: А – из первой коробки вынимают красный шар, Б- из второй коробки вынимают красный шар.

Для события А благоприятными являются три исхода из восемнадцати, для события Б благоприятными являются четыре исхода из двадцати четырех. Значит, вероятность события А равна трем восемнадцатым, вероятность события Б равна четырем двадцати четвертым.

Очевидно, что события А и Б являются независимыми. Рассмотрим событие, которое состоит в совместном появлении событий А и Б. Обозначим его буквой С.

Благоприятными для события С являются те исходы, при которых оба вытянутых шара окажутся красными. Каждому из трех возможных извлечений красного шара из первой коробки соответствует четыре возможности извлечения красного шара из второй коробки, то есть число благоприятных исходов для события С, равно произведению три и четыре. Следовательно, вероятность извлечения двух шаров будет равна

Итак,

Если событие C означает совместное наступление событий A и B, то вероятность события C равна произведению вероятностей событий А и B.

Теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Рассмотрим несовместные случайные события.

Известно, что несовместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ несовместные, то событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий. Имеем $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Теорема 1

Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Примечание 1

Следствие 1. Вероятность суммы любого количества несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий (сумма вероятностей всех элементарных событий) равна единице.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поскольку они образуют полную группу несовместных событий.

Пример 1

Вероятность того, что на протяжении некоторого времени в городе ни разу не будет идти дождь, $p=0,7$. Найти вероятность $q$ того, что на протяжении этого же времени дождь в городе будет идти хотя бы один раз.

События «на протяжении некоторого времени в городе ни разу не шел дождь» и «на протяжении некоторого времени дождь в городе шел хотя бы один раз» противоположные. Поэтому $p+q=1$, откуда $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Рассмотрим совместные случайные события.

Известно, что совместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Предположим, что в данном испытании число всех равновозможных элементарных событий $n$. Из них событиям $A$ и $B$ благоприятствуют $m_{A} $ и $m_{B} $ элементарных событий соответственно. Поскольку события $A$ и $B$ совместны, то из всего количества $m_{A} +m_{B} $ элементарных событий определенное количество $m_{AB} $ благоприятствует одновременно и событию $A$, и событию $B$, то есть совместному их наступлению (произведению событий $A\cdot B$). Это количество $m_{AB} $ вошло одновременно и в $m_{A} $, и в $m_{B} $ Итак событию $A+B$ благоприятствуют $m_{A} +m_{B} -m_{AB} $ элементарных событий. Имеем: $P\left(A+B\right)=\frac{m_{A} +m_{B} -m_{AB} }{n} =\frac{m_{A} }{n} +\frac{m_{B} }{n} -\frac{m_{AB} }{n} =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\right)$.

Теорема 2

Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий за минусом вероятности их произведения.

Замечание. Если события $A$ и $B$ несовместны, то их произведение $A\cdot B$ является невозможным событием, вероятность которого $P\left(A\cdot B\right)=0$. Следовательно, формула сложения вероятностей несовместных событий является частным случаем формулы сложения вероятностей совместных событий.

Пример 2

Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных кубиков цифра 5 выпадет хотя бы один раз.

При одновременном бросании двух игральных кубиков число всех равновозможных элементарных событий равно $n=36$, поскольку на каждую цифру первого кубика может выпасти шесть цифр второго кубика. Из них событие $A$ — выпадение цифры 5 на первом кубике — осуществляется 6 раз, событие $B$ — выпадение цифры 5 на втором кубике — тоже осуществляется 6 раз. Из всех двенадцати раз цифра 5 один раз выпадает на обоих кубиках. Таким образом, $P\left(A+B\right)=\frac{6}{36} +\frac{6}{36} -\frac{1}{36} =\frac{11}{36} $.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим независимые события.

События $A$ и $B$, которые происходят в двух последовательных испытаниях, называются независимыми, если вероятность появления события $B$ не зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечение шара. Событие $A$ — «вынут белый шар в первом испытании». Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар положили назад и провели второе испытание. Событие $B$ — «вынут белый шар во втором испытании». Вероятность $P\left(B\right)=\frac{1}{2} $. Вероятность $P\left(B\right)$ не зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно события $A$ и $B$ независимы.

Известно, что независимые случайные события $A$ и $B$ двух последовательных испытаний имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность произведения $A\cdot B$ этих событий, то есть вероятность совместного их появления.

Предположим, что в первом испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{1} $. Из них событию $A$ благоприятствуют $m_{1} $ элементарных событий. Предположим также, что во втором испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_{2} $. Из них событию $B$ благоприятствуют $m_{2} $ элементарных событий. Теперь рассмотрим новое элементарное событие, которое состоит в последовательном наступлении событий из первого и второго испытаний. Общее количество таких равновозможных элементарных событий равно $n_{1} \cdot n_{2} $. Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то из этого числа совместному наступлению события $A$ и события $B$ (произведения событий $A\cdot B$) благоприятствует $m_{1} \cdot m_{2} $ событий. Имеем: $P\left(A\cdot B\right)=\frac{m_{1} \cdot m_{2} }{n_{1} \cdot n_{2} } =\frac{m_{1} }{n_{1} } \cdot \frac{m_{2} }{n_{2} } =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Теорема 3

Вероятность произведения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим зависимые события.

В двух последовательных испытаниях происходят события $A$ и $B$. Событие $B$ называется зависимым от события $A$, если вероятность появления события $B$ зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$. Тогда вероятность события $B$, которая была вычислена при условии, что событие $A$ состоялось, называется условной вероятностью события $B$ при условии $A$ и обозначается $P\left(B/A\right)$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечением шара. Событие $A$ — «вынут белый шар в первом испытании». Вероятность $P\left(A\right)=\frac{1}{2} $. После первого испытания шар назад не кладут и выполняют второе испытание. Событие $B$ — «вынут белый шар во втором испытании». Если в первом испытании был вынут белый шар, то вероятность $P\left(B/A\right)=\frac{1}{3} $. Если же в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность $P\left(B/\overline{A}\right)=\frac{2}{3} $. Таким образом вероятность события $B$ зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно, событие $B$ зависит от события $A$.

Предположим, что события $A$ и $B$ происходят в двух последовательных испытаниях. Известно, что событие $A$ имеет вероятность появления $P\left(A\right)$. Известно также, что событие $B$ является зависимым от события $A$ и его условная вероятность при условии $A$ равна $P\left(B/A\right)$.

Теорема 4

Вероятность произведения события $A$ и зависимого от него события $B$, то есть вероятность совместного их появления, может быть найдена по формуле $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Справедливой является также симметричная формула $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, где событие $A$ предполагается зависимым от события $B$.

Для условий последнего примера найдем вероятность того, что белый шар будет извлечен в обоих испытаниях. Такое событие является произведением событий $A$ и $B$. Его вероятность равна $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} =\frac{1}{6} $.

Порядок выполнения действий в формулах Excel

Excel для Microsoft 365 Excel 2021 Excel 2019 Excel 2016 Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Еще…Меньше

В некоторых случаях порядок вычисления может повлиять на возвращаемое формулой значение, поэтому для получения нужных результатов важно понимать стандартный порядок вычислений и знать, как можно его изменить.

• Порядок вычислений

  Формулы вычисляют значения в определенном порядке. Формула в Excel всегда начинается со знака равно (=). Excel интерпретирует символы после знака равно как формулу. После знака равно вычисляются элементы (операнды), например константы или ссылки на ячейки. Они разделены операторами вычислений. Excel вычисляет формулу слева направо в соответствии с определенным порядком для каждого оператора в формуле.

• Приоритет операторов в формулах Excel

  Если в одной формуле используется несколько операторов, Microsoft Excel выполняет операции в порядке, указанном в приведенной ниже таблице. Если формула содержит операторы с одинаковым приоритетом ( например, если формула содержит операторы умножения и деления), Excel оценивает операторы слева направо.

  Оператор	Описание
  : (двоеточие) (один пробел) , (запятая)	Операторы ссылок
  –	Знак «минус»
  %	Процент
  ^	Возведение в степень
  * и /	Умножение и деление
  + и —	Сложение и вычитание
  &	Объединение двух текстовых строк в одну
  = < > <= >= <>	Операторы сравнения

• org/ListItem»>

  Использование скобок в Excel формулах

  Чтобы изменить порядок выполнения формулы, заключите ее часть, которая должна быть выполнена первой, в скобки. Например, результатом приведенной ниже формулы будет число 11, поскольку в Microsoft Excel умножение выполняется раньше сложения. В данной формуле число 2 умножается на 3, а затем к результату добавляется число 5.

  =5+2*3

  Если же с помощью скобок изменить синтаксис, Microsoft Excel сложит 5 и 2, а затем умножит результат на 3; результатом этих действий будет число 21.

  =(5+2)*3

  В приведенном ниже примере скобки, в которые заключена первая часть формулы, задают следующий порядок вычислений: определяется значение B4+25, после чего полученный результат делится на сумму значений в ячейках D5, E5 и F5.

  =(B4+25)/СУММ(D5:F5)

4.3: Правила сложения и умножения вероятностей

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

10893

• OpenStax
• OpenStax

При вычислении вероятности необходимо учитывать два правила при определении того, являются ли два события независимыми или зависимыми, а также являются ли они взаимоисключающими или нет.

Если A и B — два события, определенные в пространстве выборок, то:

\[P(A \text{ AND } B) = P(B)P(A|B) \label{eq1}\]

Это правило также может быть записано как:

\[P(A|B) = \dfrac{P(A \text{ AND } B)}{P(B)} \nonumber\]

(Вероятность \(A\) при заданном \(B\) равно вероятности \(A\) и \(B\), деленной на вероятность \(B\). )

Если \(A\) и \(B\) независимы , то

\[P(A|B) = P(A). \nonumber\]

и уравнение \ref{eq1} становится

\[P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B). \nonumber\]

Если A и B определены на выборочном пространстве, то:

\[P(A \text{ ИЛИ } B) = P(A) + P(B) — P(A \text{ AND } B) \label{eq5}\]

Если A и B являются взаимоисключающими , то

\[P(A \text{ AND } B) = 0. \nonumber\]

и уравнение \ ref{eq5} становится

\[P(A \text{ ИЛИ } B) = P(A) + P(B). \nonumber\]

Пример \(\PageIndex{1}\)

Клаус пытается выбрать, куда поехать в отпуск. У него есть два варианта: \(\text{A} = \text{Новая Зеландия}\) и \(\text{B} = \text{Аляска}\).

• Клаус может позволить себе только один отпуск. Вероятность того, что он выберет \(\text{A}\), равна \(P(\text{A}) = 0,6\), а вероятность того, что он выберет \(\text{B}\), равна \(P(\ текст{B}) = 0,35\).
• \(P(\text{A AND B}) = 0\), потому что Клаус может позволить себе только один отпуск
• Следовательно, вероятность того, что он выберет Новую Зеландию или Аляску, равна \(P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) = 0,6 + 0,35 = 0,95. \). Обратите внимание, что вероятность того, что он никуда не поедет в отпуск, должна быть равна 0,05.

Карлос играет в американский футбол. Он забивает гол в 65% случаев, когда бросает. Карлос собирается забить два гола подряд в следующем матче. \(\text{A} =\) событие Карлос успешно с первой попытки. \(P(\text{A}) = 0,65\). \(\text{B} =\) событие Карлосу удалось со второй попытки. \(P(\text{B}) = 0,65\). Карлос часто стреляет сериями. Вероятность того, что он забьет второй гол ДАННО что он забил первый гол 0.90.

1. Какова вероятность того, что он забьет оба гола?
2. Какова вероятность того, что Карлос забьет первый или второй гол?
3. Являются ли \(\text{A}\) и \(\text{B}\) независимыми?
4. Являются ли \(\text{A}\) и \(\text{B}\) взаимоисключающими?

Растворы

а. Проблема заключается в том, чтобы найти \(P(\text{A AND B}) = P(\text{B AND A})\). Поскольку \(P(\text{B|A}) = 0,90: P(\text{B AND A}) = P(\text{B|A}) P(\text{A}) = (0,90)(0,65) = 0,585\)

Карлос делает первое и второе голы с вероятностью 0,585.

б. Проблема заключается в том, чтобы найти \(P(\text{A OR B})\).

\[P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) — P(\text{A AND B}) = 0,65 + 0,65 — 0,585 = 0,715\]

Карлос забьет либо первый, либо второй гол с вероятностью 0,715.

в. Нет, это не так, потому что \(P(\text{B AND A}) = 0,585\).

\[P(\text{B})P(\text{A}) = (0,65)(0,65) = 0,423\]

\[0,423 \neq 0,585 = P(\text{B AND A})\ ]

Итак, \(P(\text{B AND A})\) равно , а не равно \(P(\text{B})P(\text{A})\).

д. Нет, не потому, что \(P(\text{A и B}) = 0,585\).

Чтобы быть взаимоисключающими, \(P(\text{A AND B})\) должно равняться нулю.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Хелен играет в баскетбол. При штрафных бросках она бьет в 75% случаев. Теперь Хелен должна выполнить два штрафных броска. \(\text{C} =\) событие, когда Хелен делает первый выстрел. \(P(\text{C}) = 0,75\). \(\text{D} =\) событие, когда Хелен делает второй выстрел. \(P(\text{D}) = 0,75\). Вероятность того, что Елена сделает второй штрафной бросок при условии, что она сделала первый, равна 0,85. Какова вероятность того, что Хелен выполнит оба штрафных броска?

Ответ

\[P(\text{D|C}) = 0,85\]

\[P(\text{C AND D}) = P(\text{D AND C})\]

\[P(\text{D AND C}) = P(\text{D|C})P(\text{C}) = (0,85)(0,75) = 0,6375\]

Хелен делает первый и второй штрафной бросок с вероятностью 0,6375.

Пример \(\PageIndex{2}\)

В общественной команде по плаванию 150 членов. Семьдесят пять членов являются опытными пловцами. Сорок семь участников являются пловцами среднего уровня. Остальные — начинающие пловцы. Сорок продвинутых пловцов тренируются четыре раза в неделю. Тридцать пловцов среднего уровня тренируются четыре раза в неделю. Десять начинающих пловцов тренируются четыре раза в неделю. Предположим, случайным образом выбран один член команды по плаванию.

1. Какова вероятность того, что участник является начинающим пловцом?
2. Какова вероятность того, что участник занимается четыре раза в неделю?
3. Какова вероятность того, что участник хорошо плавает и занимается четыре раза в неделю?
4. Какова вероятность того, что участник является продвинутым пловцом и пловцом среднего уровня? Являются ли продвинутый пловец и пловец среднего уровня взаимоисключающими? Почему или почему нет?
5. Вы начинающий пловец и тренируетесь четыре раза в неделю в независимых видах спорта? Почему или почему нет?

Ответ

1. \(\dfrac{28}{150}\)
2. \(\dfrac{80}{150}\)
3. \(\dfrac{40}{150}\)
4. \(P(\text{продвинутый И промежуточный}) = 0\), поэтому это взаимоисключающие события. Пловец не может одновременно быть продвинутым пловцом и пловцом среднего уровня.
5. Нет, это не независимые события. \[P(\text{новичок И занимается четыре раза в неделю}) = 0,0667\]\[P(\text{новичок})P(\text{занимается четыре раза в неделю}) = 0,0996\] \[0,0667 \ нэкв 0,0996\]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

В школе учатся 200 старшеклассников, 140 из которых в следующем году пойдут в колледж. Сорок пойдет прямо на работу. Остальные берут год перерыва. Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих прямо на работу, занимаются спортом. Пятеро старшеклассников, взявших академический отпуск, занимаются спортом. Какова вероятность того, что старшеклассник берет академический отпуск?

Ответ

\[P = \dfrac{200-140-40}{200} = \dfrac{20}{200} = 0,1\]

Пример \(\PageIndex{3}\)

Фелисити посещает Modesto JC в Модесто, Калифорния. Вероятность того, что Фелисити запишется на урок математики, равна 0,2, а вероятность того, что она запишется на урок речи, равна 0,65. Вероятность того, что она запишется на урок математики, ПРИ УСЛОВИИ, что она запишется на урок речи, равна 0,25.

Пусть: \(\text{M} =\) урок математики, \(\text{S} =\) урок речи, \(\text{M|S} =\) математика, данная речь

1. Какова вероятность того, что Фелисити запишется на математику и речь?
   Найдите \(P(\text{M AND S}) = P(\text{M|S})P(\text{S})\).
2. Какова вероятность того, что Фелисити запишется на уроки математики или речи?
   Найдите \(P(\text{M ИЛИ S}) = P(\text{M}) + P(\text{S}) — P(\text{M AND S})\).
3. Являются ли \(\text{M}\) и \(\text{S}\) независимыми? \(P(\text{M|S}) = P(\text{M})\)?
4. Являются ли \(\text{M}\) и \(\text{S}\) взаимоисключающими? \(P(\text{M AND S}) = 0\)?

Ответить

а. 0,1625, б. 0,6875, с. Кивок. №

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Учащийся идет в библиотеку. Пусть события \(\text{B} =\) учащийся извлекает книгу и \(\text{D} =\) учащийся извлекает DVD. Предположим, что \(P(\text{B}) = 0,40, P(\text{D}) = 0,30\) и \(P(\text{D|B}) = 0,5\).

1. Найти \(P(\text{B AND D})\).
2. Найти \(P(\text{B ИЛИ D})\).

Ответить

1. \(P(\text{B И D}) = P(\text{D|B})P(\text{B}) = (0,5)(0,4) = 0,20\).
2. \(P(\text{B OR D}) = P(\text{B}) + P(\text{D}) — P(\text{B AND D}) = 0,40 + 0,30 — 0,20 = 0,50 \)

Пример \(\PageIndex{4}\)

Исследования показывают, что примерно у одной женщины из семи (приблизительно 14,3%), доживших до 90 лет, развивается рак молочной железы. Предположим, что у тех женщин, у которых развивается рак молочной железы, тест отрицательный в 2% случаев. Также предположим, что в общей популяции женщин тест на рак молочной железы дает отрицательный результат примерно в 85% случаев. Пусть у \(\text{B} =\) женщины развился рак молочной железы, и пусть \(\text{N} =\) дал отрицательный результат. Предположим, что наугад выбрана одна женщина.

1. Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы? Какова вероятность того, что тест женщины будет отрицательным?
2. Учитывая, что у женщины рак молочной железы, какова вероятность того, что ее тест будет отрицательным?
3. Какова вероятность того, что у женщины рак молочной железы И тест отрицательный?
4. Какова вероятность того, что у женщины рак груди или отрицательный результат?
5. Имеются ли у вас рак молочной железы и отрицательные независимые результаты тестирования?
6. Являются ли наличие рака молочной железы и отрицательный результат теста взаимоисключающими?

Ответы

1. \(P(\text{B}) = 0,143; P(\text{N}) = 0,85\)
2. \(P(\text{N|B}) = 0,02\)
3. \(P(\text{B И N}) = P(\text{B})P(\text{N|B}) = (0,143)(0,02) = 0,0029\)
4. \(P(\text{B ИЛИ N}) = P(\text{B}) + P(\text{N}) — P(\text{B И N}) = 0,143 + 0,85 — 0,0029 = 0,9901 \)
5. Нет. \(P(\text{N}) = 0,85; P(\text{N|B}) = 0,02\). Итак, \(P(\text{N|B})\) не равно \(P(\text{N})\).
6. № \(P(\text{B AND N}) = 0,0029\). Чтобы \(\text{B}\) и \(\text{N}\) были взаимоисключающими, \(P(\text{B AND N})\) должно быть равно нулю

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

В школе учатся 200 старшеклассников, 140 из которых в следующем году пойдут в колледж. Сорок пойдет прямо на работу. Остальные берут год перерыва. Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих прямо на работу, занимаются спортом. Пятеро старшеклассников, взявших академический отпуск, занимаются спортом. Какова вероятность того, что старший учится в колледже и занимается спортом?

Ответ

Пусть \(\text{A} =\) студент учится в колледже.

Пусть \(\text{B} =\) студент занимается спортом.

\(P(\text{B}) = \dfrac{140}{200}\)

\(P(\text{B|A}) = \dfrac{50}{140}\)

\(P(\text{A AND B}) = P(\text{B|A})P(\text{A})\)

\(P(\text{A AND B}) = (\ dfrac{140}{200}\))(\(\dfrac{50}{140}) = \dfrac{1}{4}\)

Пример \(\PageIndex{5}\)

См. информация в примере \(\PageIndex{4}\). \(\text{P} =\) положительный результат.

1. Учитывая, что у женщины развился рак молочной железы, какова вероятность того, что ее тест окажется положительным. Найдите \(P(\text{P|B}) = 1 — P(\text{N|B})\).
2. Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы и положительный результат теста? Найдите \(P(\text{B AND P}) = P(\text{P|B})P(\text{B})\).
3. Какова вероятность того, что у женщины не разовьется рак молочной железы. Найдите \(P(\text{B′}) = 1 — P(\text{B})\).
4. Какова вероятность того, что у женщины положительный результат теста на рак молочной железы. Найдите \(P(\text{P}) = 1 — P(\text{N})\).

Ответить

а. 0,98; б. 0,1401; в. 0,857; д. 0.15

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Учащийся идет в библиотеку. Пусть события \(\text{B} =\) учащийся извлекает книгу и \(\text{D} =\) учащийся извлекает DVD. Предположим, что \(P(\text{B}) = 0,40, P(\text{D}) = 0,30\) и \(P(\text{D|B}) = 0,5\).

1. Найти \(P(\text{B′})\).
2. Найти \(P(\text{D AND B})\).
3. Найти \(P(\text{B|D})\).
4. Найти \(P(\text{D AND B′})\).
5. Найти \(P(\text{D|B′})\).

Ответ

1. \(P(\text{B′}) = 0,60\)
2. \(P(\text{D И B}) = P(\text{D|B})P(\text{B}) = 0,20\)
3. \(P(\text{B|D}) = \dfrac{P(\text{B AND D})}{P(\text{D})} = \dfrac{(0,20)}{(0,30) } = 0,66\)
4. \(P(\text{D И B′}) = P(\text{D}) — P(\text{D AND B}) = 0,30 — 0,20 = 0,10\)
5. \(P(\text{D|B′}) = P(\text{D AND B′})P(\text{B′}) = (P(\text{D}) — P(\text {D И B}))(0,60) = (0,10)(0,60) = 0,06\)

1. ДиКамилло, Марк, Мервин Филд. «Файловый опрос». Корпорация полевых исследований. Доступно на сайте www.field.com/fieldpollonline…rs/Rls2443.pdf (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
2. Райдер, Дэвид, «По данным опроса, поддержка Ford резко падает», The Star, 14 сентября 2011 г. Доступно на сайте www.thestar.com/news/gta/2011…_suggests.html (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
3. «Одобрение мэра отключено». Пресс-релиз от Forum Research Inc. Доступен в Интернете по адресу www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29%2820130320%29.pdf (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
4. «Рулетка». Википедия. Доступно на сайте http://en.Wikipedia.org/wiki/Roulette (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
5. Шин, Хён Б., Роберт А. Комински. «Использование языка в Соединенных Штатах: 2007». Бюро переписи населения США. Доступно на сайте www.census.gov/hhes/socdemo/l…acs/ACS-12.pdf (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
6. Данные из Baseball-Almanac, 2013. Доступно на сайте www.baseball-almanac.com (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
7. Данные Бюро переписи населения США.
8. Данные Wall Street Journal.
9. Данные из The Roper Center: Архив общественного мнения Университета Коннектикута. Доступно на сайте www.ropercenter.uconn.edu/ (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
10. Данные корпорации полевых исследований. Доступно на сайте www.field.com/fieldpollonline (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Правило умножения и правило сложения используются для вычисления вероятности \(\text{A}\) и \(\text{B}\), а также вероятности \(\text{A}\ ) или \(\text{B}\) для двух заданных событий \(\text{A}\), \(\text{B}\), определенных в образце пространства. При выборке с заменой каждый член совокупности заменяется после того, как он выбран, так что этот член имеет возможность быть выбранным более одного раза, а события считаются независимыми. При выборке без замены каждый член совокупности может быть выбран только один раз, и события считаются не независимыми. События \(\text{A}\) и \(\text{B}\) являются взаимоисключающими событиями, если они не имеют общих исходов.

Правило умножения: \(P(\text{A AND B}) = P(\text{A|B})P(\text{B})\)

Правило сложения: \ (P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) — P(\text{A AND B})\)

Используйте следующую информацию для ответьте на следующие десять упражнений. Сорок восемь процентов всех зарегистрированных избирателей в Калифорнии предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени. Среди латиноамериканцев, зарегистрированных в Калифорнии, 55% предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени. 37,6% всех калифорнийцев — латиноамериканцы.

Пусть в этой задаче:

• \(\text{C} =\) Калифорнийцы (зарегистрированные избиратели) предпочитают жизнь в тюрьме без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени.
• \(\text{L} =\) латиноамериканцы калифорнийцы

Предположим, случайным образом выбран один калифорнийец.

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Найдите \(P(\text{C})\).

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Найдите \(P(\text{L})\).

Ответ

0,376

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Найдите \(P(\text{C|L})\).

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Что такое \(\text{C|L}\) словами?

Ответ

\(\text{C|L}\) означает, если выбранное лицо является латиноамериканцем из Калифорнии, это лицо является зарегистрированным избирателем, который предпочитает пожизненное заключение без права досрочного освобождения для лица, осужденного за убийство первой степени. .

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Найти \(P(\text{L AND C})\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Что такое \(\text{L AND C}\) словами?

Ответ

\(\text{L AND C}\) — это случай, когда выбранное лицо является латиноамериканцем, зарегистрированным избирателем Калифорнии, который предпочитает жизнь без права досрочного освобождения смертной казни для лица, осужденного за убийство первой степени.

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Являются ли \(\text{L}\) и \(\text{C}\) независимыми событиями? Покажите, почему или почему нет.

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Найти \(P(\text{L OR C})\).

Ответ

0,6492

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Что такое \(\text{L OR C}\) словами?

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Являются ли события \(\text{L}\) и \(\text{C}\) взаимоисключающими? Покажите, почему или почему нет.

Ответ

Нет, потому что \(P(\text{L AND C})\) не равно 0.

Независимые события

Возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события. События \(\text{A}\) и \(\text{B}\) независимы, если выполняется одно из следующих условий:

1. \(P(\text{A|B}) = P(\text{A})\)
2. \(P(\text{B|A}) = P(\text{B})\)
3. \(P(\text{A И B}) = P(\text{A})P(\text{B})\)

Взаимоисключающий

Два события являются взаимоисключающими, если вероятность того, что они происходят одновременно, равна нулю. Если события \(\text{A}\) и \(\text{B}\) взаимоисключающие, то \(P(\text{A AND B}) = 0\).

---

Эта страница под названием 4.3: Правила сложения и умножения вероятности распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать оглавление

   нет

   Включено

   да

2. Теги

   1. Сложение вероятностей
   2. Независимые события
   3. Умножение вероятностей
   4. взаимоисключающие
   5. источник@https://openstax. org/details/books/introductory-statistics
   6. источник[1]-stats-733

Правило BODMAS — Что такое правило BODMAS? Полная форма BODMAS

Правило BODMAS — это аббревиатура, которая используется для запоминания порядка операций, которым необходимо следовать при решении выражений в математике. Это означает B — скобки, O — порядок степеней или корней (в некоторых случаях «из»), D — деление, M — умножение, A — сложение и S — вычитание. Это означает, что выражения с несколькими операторами необходимо упрощать слева направо только в этом порядке. Сначала мы решаем скобки, затем степени или корни, затем деление или умножение (в зависимости от того, что окажется первым из левой части выражения) и, наконец, вычитание или сложение, в зависимости от того, что окажется в левой части выражения.

В этом уроке мы узнаем о правиле БОДМАС, которое помогает решать арифметические выражения, содержащие множество операций, таких как сложение (+), вычитание (-), умножение (×), деление (÷) и скобки ( ).

1.	Что такое БОДМАС?
2.	Полная форма БОДМАС
3.	BODMAS против PEMDAS
4.	Часто задаваемые вопросы о правиле BODMAS

Что такое БОДМАС?

BODMAS, который называется порядком операций, представляет собой последовательность для выполнения операций в арифметическом выражении. Математика основана на логике и некоторых стандартных правилах, упрощающих наши расчеты. Итак, BODMAS — это одно из стандартных правил упрощения выражений с несколькими операторами.

В арифметике выражение или уравнение состоит из двух компонентов:

• Номера
• Операторы

Числа

Числа — это математические значения, используемые для подсчета и представления величин, а также для выполнения вычислений. В математике числа могут быть классифицированы как натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа, действительные числа, комплексные числа и мнимые числа.

Операторы или операции

Оператор — это символ, который объединяет два числа и дает выражение или уравнение. В математике наиболее распространенными операторами являются сложение (+), вычитание (-), умножение (×), деление (÷). Для математических выражений или уравнений, в которых задействован только один оператор, найти ответ довольно просто. В случае нескольких операторов найти решение становится немного сложнее! Давайте разберемся в этом на примере. Дженни и Рон по отдельности решили математическое выражение 6 × 3 + 2. Ниже приведены два разных метода, с помощью которых Дженни и Рон решили выражение:

Метод Дженни: 6 × 3 + 2 = 6 × 5 = 30, Метод Рона: 6 × 3 + 2 = 18 + 2 = 20.

Как мы видим, Дженни и Рон получили разные ответы. В математике мы знаем, что может быть только один правильный ответ на это выражение. Как определить, кто прав? В таких случаях мы используем BODMAS , чтобы найти правильный ответ. Давайте посмотрим на приведенный ниже пример, чтобы понять, как работает BODMAS:

Полная форма БОДМАС

Правило BODMAS используется для оценки математических выражений и выполнения сложных вычислений гораздо более простым и стандартным способом.

BODMAS Значение

В соответствии с правилом BODMAS, чтобы решить любое арифметическое выражение, мы сначала решаем термины, записанные в скобках, а затем упрощаем экспоненциальные члены, или решаем операцию «из», что означает умножение, и перемещаем впереди операции деления и умножения, а затем, в конце, работа над сложением и вычитанием. Следование порядку операций в правиле BODMAS всегда приводит к правильному ответу. Упрощение терминов внутри скобок можно сделать напрямую. Это означает, что мы можем выполнять операции внутри скобки в порядке деления, умножения, сложения и вычитания. Если в выражении несколько скобок, все одинаковые типы скобок могут быть решены одновременно. Например, (14 + 19) ÷ (13 — 2) = 33 ÷ 11 = 3.

Обратите внимание на приведенную ниже таблицу, чтобы понять термины и операции, обозначаемые аббревиатурой BODMAS, в правильном порядке.

Б	[{()}]	Кронштейны
О	х²	Орден Сил или Корней (в некоторых случаях «из»)
Д	÷	Подразделение
М	×	Умножение
А	+	Дополнение
С	—	Вычитание

• Следует отметить, что когда у нас есть все 3 типа скобок, мы начинаем решение с самых внутренних скобок/круглых скобок (), за которыми следуют фигурные скобки {}, а затем квадратные скобки [ ].
• Еще один момент, который следует помнить, это то, что для буквы «О» мы используем «Порядок степеней или корней», однако в некоторых случаях, когда дается «из», мы решаем «из», что означает умножение.

BODMAS против PEMDAS

BODMAS и PEMDAS — это две аббревиатуры, которые используются для запоминания порядка операций. Правило BODMAS почти аналогично правилу PEMDAS. Существует разница в аббревиатуре, потому что некоторые термины известны под разными названиями в разных странах. При использовании правила BODMAS или правила PEMDAS мы должны помнить, что когда мы подходим к шагу деления и умножения, мы решаем операцию, которая идет первой с левой стороны выражения. То же правило относится к сложению и вычитанию, то есть решаем то действие, которое стоит первым в левой части.

Когда использовать БОДМАС?

BODMAS используется, когда в математическом выражении имеется более одной операции. Существует ряд определенных правил, которые необходимо соблюдать при использовании метода БОДМАС. Это дает правильную структуру для получения уникального ответа для каждого математического выражения.

Условия для выполнения:

• Если есть какие-либо скобки, откройте скобки, затем добавьте или вычтите условия. а + (Ь + с) = а + Ь + с, а + (Ь — с) = а + Ь — с
• Если есть отрицательный знак, просто откройте скобку и умножьте отрицательный знак на каждое слагаемое внутри скобки. а — (б + в) ⇒ а — б — в
• Если есть какой-либо термин сразу за скобками, умножьте этот внешний термин на каждый термин внутри скобки. а(б + в) ⇒ аб + ас

Простые способы запомнить правило BODMAS

Ниже приведены простые правила для запоминания правила BODMAS:

• Сначала упростите скобки.
• Решите все экспоненциальные члены.
• Выполнить деление или умножение (слева направо)
• Выполнить сложение или вычитание (слева направо)

Распространенные ошибки при использовании правила BODMAS

Можно допустить некоторые распространенные ошибки при применении правила BODMAS для упрощения выражений, и эти ошибки приведены ниже: неправильный ответ. Таким образом, если в выражении несколько скобок, все одинаковые типы скобок могут быть решены одновременно.

В некоторых случаях возникает ошибка из-за отсутствия правильного понимания сложения и вычитания целых чисел. Например, 1-3+4 = -2+4 = 2. Но иногда делаются следующие ошибки, которые приводят к неправильному ответу, например, 1-3+4 = 1-7 = -6.

Ошибка, связанная с предположением, что деление имеет более высокий приоритет, чем умножение, а сложение имеет более высокий приоритет, чем вычитание. Соблюдение правила слева направо при выборе этих операций помогает получить правильный ответ.

Умножение и деление являются операциями одного уровня и должны выполняться в последовательности слева направо (в зависимости от того, что идет первым в выражении) и то же самое со сложением и вычитанием, которые являются операциями одного уровня, которые должны выполняться после умножения и деления. Если кто-то сначала решает деление перед умножением (которое находится слева от операции деления), поскольку D стоит перед M в BODMAS, он может в конечном итоге получить неправильный ответ.

☛ Похожие темы

• Дополнение
• Вычитание
• Умножение
• Подразделение
• Порядок действий
• Порядок действий Рабочие листы 5-й класс
• Рабочие листы PEMDAS 5-й класс

 

Примеры правил BODMAS

1. Пример 1: Упростите выражение, используя правило BODMAS: [18 — 2(5 + 1)] ÷ 3 + 7

   Решение:

   Данное выражение равно [18 — 2(5 + 1)] ÷ 3 + 7

   Начнем с решения самой внутренней скобки. Начиная с 5 + 1 = 6. Таким образом, [18 — 2(6)] ÷ 3 + 7

   Далее работаем с порядком, тем самым умножая 2 (6) или 2 × 6 = 12. Таким образом, [18 — 12] ÷ 3 + 7

   Осталась одна скобка, [18 — 12] = 6. Итак, 6 ÷ 3 + 7

   После B и O идет D, следовательно, 6 ÷ 3 = 2. Итак, 2 + 7

   И, наконец, сложение, 2 + 7 = 9

   ∴ Выражение упрощается, и ответ равен 9..

2. Пример 2: Вычислить, используя порядок операций по правилу BODMAS: (1 + 20 — 16 ÷ 4²) ÷ {(5 — 3)² + 12 ÷ 2}

   Решение:

   Шаг 1: Во-первых, нам нужно упростить самую внутреннюю скобку, (1 + 20 — 16 ÷ 4²) ÷ {2² + 12 ÷ 2}
   Шаг 2: Теперь мы должны оценить показатели степени, (1 + 20 — 16 ÷ 16) ÷ {4 + 12 ÷ 2}
   Шаг 3: Теперь нам нужно разделить 16 на 16 и 12 на 2 в скобках, и мы получим (1 + 20 — 1) ÷ {4 + 6}
   Шаг 4: Добавьте 1 к 20 и 4 к 6, (21 — 1) ÷ 10
   Шаг 5: Отнимите 1 от 21, чтобы решить скобку, мы получим, 20 ÷ 10
   Шаг 6: Делим 20 на 10, чтобы получить окончательный ответ, получаем 2.
   ∴​(1 + 20 — 16 ÷ 4²) ÷ {(5 — 3)² + 12 ÷ 2} = 2

3. Пример 3: Упростите выражение, используя правило BODMAS: ​(9 × 3 ÷ 9 + 1) × 3

   Решение:

   последует за этим). Здесь сначала нам нужно умножить 9на 3 в данном выражении, (9 × 3 ÷ 9 + 1) × 3, и мы получаем, (27 ÷ 9 + 1) × 3
   Шаг 2: Теперь нам нужно разделить 27 на 9 внутри скобки, и мы получим (3 + 1) × 3
   . Шаг 3: Удаляем скобки после добавления 3 и 1, получаем, 4 × 3
   Шаг 4: Умножьте 4 на 3, чтобы получить окончательный ответ, который равен 12.

   ∴ ​(9 × 3 ÷ 9 + 1) × 3 = 12

4. Пример 4: Решите данное выражение, применяя правило BODMAS: [50-{3×(9+7)}]

   Решение:

   Чтобы решить это выражение, [50-{3×(9+7)}], мы будем использовать следующие шаги:

   Шаг 1: Решите самую внутреннюю скобку, добавив 9 на 7, то есть 16. Таким образом, упрощенное выражение будет [50-{3×16}]
   Шаг 2: Умножьте 3 на 16, чтобы получить [50-48]
   . Шаг 3: Вычтите 48 из 50, чтобы получить окончательный ответ, то есть 2.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы BODMAS

 

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о правиле BODMAS

Что такое правило Бодмаса в математике?

Правило BODMAS относится к правилу, которому следуют для решения математических выражений. BODMAS — это порядок операций для математических выражений, включающий более одной операции. Аббревиатура расшифровывается как B — скобки, O — порядок степеней, D — деление, M — умножение, A — сложение и S — вычитание.

Как работает правило BODMAS?

В любом арифметическом выражении, если используется несколько операций, нам нужно решать члены в порядке правила BODMAS. Сначала решаем часть, написанную в скобках. После решения скобок выполняем операции умножения и деления, в зависимости от того, что стоит первым в выражении слева направо. Затем мы получаем упрощенное выражение только с операциями сложения и вычитания. Решаем сложение и вычитание слева направо и получаем окончательный ответ. Вот как работает БОДМАС.

Применяется ли BODMAS при отсутствии скобок?

Да, даже если нет скобок, все равно используется правило BODMAS. Нам нужно решить другие операции в том же порядке. Следующим шагом после скобок (B) является порядок степеней или корней, за которым следует деление, умножение, сложение и затем вычитание.

Что означает буква O в Bodmas?

O в Bodmas означает порядок, что означает упрощение показателей степени или корней в выражении, если таковые имеются, перед арифметическими операциями. В некоторых странах буква «О» используется для обозначения «из», что опять-таки означает умножение.

Как применить правило Бодмаса?

Правило BODMAS можно применять в случае выражений, содержащих более одного оператора. В этом случае мы упрощаем скобки сначала от самой внутренней скобки до самой внешней [{()}], затем мы вычисляем значения показателей или корней, затем упрощаем умножение и деление, а затем, наконец, выполняем операции сложения и вычитания. при движении слева направо.

Почему порядок операций важен в реальной жизни?

Порядок операций — это сокращенное правило, позволяющее соблюдать правильный порядок при решении различных частей математического выражения. Универсальным правилом является выполнение всех математических операций для получения правильного ответа.

Когда правило Бодмаса неприменимо?

Правило BODMAS неприменимо к уравнениям. Он применим к математическим выражениям, имеющим более одного оператора.

Кто изобрел правило Бодмаса? Когда он был представлен?

Правило БОДМА было введено математиком Ахиллесом Реселфельтом в 1800-х годах.

Что такое Полная форма правила Бодмаса?

Полная форма BODMAS: скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание.

Используют ли калькуляторы BODMAS?

Калькуляторы также используют правило BODMAS. Научные калькуляторы автоматически применяют операции в правильном порядке.

Это не повторяющееся дополнение

Это не повторяющееся дополнение июнь 2008 г. В моей колонке за сентябрь 2007 г., озаглавленной Что такое концептуальное понимание? Я заметил, что хотел бы, чтобы школьные учителя перестали говорить ученикам, что умножение — это многократное сложение. Это была не более чем пустая фраза, хотя я сильно переживаю по этому поводу. Я вставил его, чтобы проиллюстрировать общую тему колонки, чтобы показать, что есть примеры помимо тех, на которых я сосредоточился. Однако за прошедшие месяцы я получил несколько писем от учителей с просьбами о доработке. Их недоумение, объясняют они, проистекает из их понимания того, что умножение на самом деле — это повторных сложений.

Если когда-либо и требовался веский аргумент в пользу того, что профессиональные математики должны заинтересоваться математическим образованием K-12 и принять в нем участие, то один только этот пример должен предоставить его. Учителя, которые связываются со мной, делают это, потому что они действительно хотят знать, что я имею в виду, поскольку сами учились, предположительно, либо в педагогических школах, либо из школьных учебников, что умножение есть многократное сложение.

Начнем с основного факта. Умножение просто не является повторным сложением, и рассказывая младшим школьникам об этом, неизбежно возникают проблемы, когда они впоследствии узнают, что это не так. Умножение натуральных чисел непременно дает тот же результат, что и , как многократное сложение, но это не делает его таким же. На велосипеде я добираюсь до офиса примерно за то же время, что и на машине, но эти два процесса очень разные. Рассказывать ученикам неправду, предполагая, что ее можно исправить позже, редко бывает хорошей идеей. И сказать им, что умножение — это многократное сложение, безусловно, потребует отмены позже.

Насколько позже? Как только ребенок перейдет от умножения целых чисел к умножению на дроби (или произвольные действительные числа). В этот момент вы должны рассказать другую историю.

«О, значит, умножение дробей — это ДРУГОЙ вид умножения, не так ли?» — скажет сообразительный ребенок, задаваясь вопросом, сколько еще раз ты собираешься менять правила. Неудивительно, что так много людей в конечном итоге думают, что математика — это просто набор произвольных, нелогичных правил, которые нельзя вычислить, а просто нужно выучить — только для того, чтобы у них выдернули ковер из-под них, когда правило, которое они только что выучили, заменяется другим. какое-то другое (на первый взгляд) произвольное, нелогичное правило.

Представление о том, что существует только одна базовая операция над числами (будь то целые числа, дроби или что-то еще), наверняка приведет к тому, что ученики будут считать числа просто аддитивной системой и не более того. Почему бы не сделать это правильно с самого начала?

Почему бы не сказать, что есть (по крайней мере) две основные вещи, которые вы можете делать с числами: вы можете складывать их и вы можете их умножать. (Здесь я не учитываю вычитание и деление, так как они являются просто операциями, обратными сложению и умножению, и, следовательно, не являются «базовыми» операциями. Это не означает, что их обучение несложно; сделать с номерами — они идут в комплекте. Мы включаем их, потому что есть много полезных вещей, которые мы можем сделать, когда мы можем складывать и умножать числа. Например, добавление чисел говорит вам, сколько вещей (или частей вещей) у вас есть при объединении коллекций. Умножение полезно, если вы хотите узнать результат масштабирования некоторой величины.

Вам не обязательно использовать эти приложения, но оба они просты и знакомы, и, на мой взгляд, они настолько хороши, насколько это возможно с точки зрения уместности. (Я думаю, что вам нужно представить простые повседневные примеры приложений. Обучать класс учащихся начальной школы аксиоматической области целочисленности, вероятно, не очень хорошая идея! Эта колонка не является разглагольствованием в пользу «Новой математики» — термина, который я использую здесь для обозначения популярной концепции давно прерванной реформы образования, которая носит это название. )

Как только вы установили, что существует две 90 926 различных 90 927 (я не говорю несвязанных) полезных операций над числами, то, несомненно, самоочевидно, что многократное сложение не есть умножение, а просто сложение. — повторил!

Но теперь вы подготовили почву для того прекрасного момента, когда вы можете рассказать детям, или, что еще лучше, может быть, они могут открыть для себя этот замечательный трюк, что умножение дает вам супер быстрый способ вычислить повторяющуюся сумму сложения. Зачем лишать детей этого чудесного волшебства?

[Конечно, любой фокус многое теряет, если заглянуть за кулисы. В самые ранние дни развития концепции числа, около 10 000 лет назад, существовали только целые числа, и, возможно, самым ранним предшественником того, что сейчас называется умножением, действительно было многократное сложение. Но все это было 10 000 лет назад, и с тех пор многое изменилось. Мы не пытаемся понять, как работает iPod с точки зрения счетов, и мы не должны основывать нашу систему образования на том, что люди знали и делали в 8000 г. до н.э.]

Математика полна примеров, когда то, что касается А, оказывается полезным для выполнения Б.

Возведение в степень обеспечивает быстрый способ многократного умножения — вау, это снова случилось! Это математика классная или что!

Антидифференцирование оказывается быстрым способом вычисления интеграла. Мальчик, это глубоко!

Я просто слышу, как некоторые ученики недоумевают: «Эй, сколько еще таких примеров? Это очень, очень интригует. Кажется, все сходится. Здесь должно быть что-то глубокое. Я должен узнать больше.»

Я предполагаю, что причина нынешнего положения дел в том, что учителя (что на самом деле означает их инструкторы или составители учебников, которые должны использовать эти учителя) считают, что дети не смогут справиться с тем фактом, что существует двух основных операций. вы можете выполнять на числах. И поэтому они говорят им, что на самом деле есть только один, а другой — просто его вариант. Но действительно ли мы верим, что с двумя операциями труднее смириться, чем с одной? Огромный скачок к абстракции связан с идеей абстрактных чисел, с которыми можно что-то делать. Как только вы преодолели эту поистине удивительную когнитивную пропасть, уже не имеет большого значения, можете ли вы сделать одну абстрактную вещь с числами или дюжину или больше.

Конечно, с числами можно выполнять не только две основные операции. Я только что упомянул третью базовую операцию: возведение в степень. Университетские профессора математики доблестно борются за то, чтобы избавить студентов от ложного убеждения, что возведение в степень — это «повторное умножение». Эй, если вы можете однажды запутать учеников ложью, почему бы не провернуть тот же трюк снова? Я дразню здесь. Но из лучших побуждений привлечь внимание к тому, что, как мне кажется, нужно исправить.

И способ исправить это — убедиться, что когда мы готовим будущих учителей, когда авторы пишут или государство принимает учебники, мы все делаем это правильно. Мы, математики, несем здесь окончательную ответственность. Мы являемся признанными мировыми экспертами в области математических структур, включая различные системы счисления. («Системы» здесь включают в себя операции, которые можно над ними выполнять.) Наши профессиональные предшественники построили эти структуры. Они являются частью нашего мировоззрения, вещами, которые мы освоили так давно в нашем образовательном путешествии, что они стали второй натурой. Слишком долго мы молчаливо предполагали, что наши знания и понимание этих систем разделяют и другие. Но это не так. У меня есть досье озадаченных электронных писем от квалифицированных учителей, свидетельствующих о пробеле.

Я должен закончить, отметив, что я не пытался предписывать , как учителей должны преподавать арифметику. Я не являюсь обученным учителем K-12, и у меня нет личного опыта, на который можно было бы опереться. Но термин «преподавание математики» состоит из двух слов, и у меня есть опыт в первом. Это мое внимание здесь, и я уступаю другим, у которых есть опыт в преподавании. Наилучший путь вперед, безусловно, состоит в том, чтобы две группы специалистов, математики и учителя, регулярно и часто вели диалог.