11.1.2. Неопределенный интеграл. Примеры.
Прежде, чем решать примеры на нахождение неопределенных интегралов, вспомним основные свойства и основные формулы неопределенных интегралов и запишем все это на отдельном листе «Интегралы«.
Интегралы.
Основные свойства
I. (∫f (x) dx)’=f (x).
II. d∫f (x) dx=f (x) dx.
III. ∫dF (x)=F (x)+C или ∫F'(x) dx=F (x)+C.
IV. ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k — постоянная величина, не равная нулю.
V. ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.
VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b — постоянные величины,
причем, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b).
Справедливо равенство:
Даже простейшие примеры на нахождение неопределенных интегралов предполагают хорошее знание таблицы интегралов.
С этого и начнем, причем, перепишем все формулы таблицы интегралов для функции u, которая зависит от х. Итак, мы будем считать, что u — не простая переменная, а функция от х, т.е. u=φ(x), тогда нижеприведенная таблица интегралов окажется справедливой в любом случае: и если переменная интегрирования является независимой переменной, и если переменная интегрирования есть функция от независимой переменной.
Таблица интегралов
3) ∫du=u+C.
6) ∫cosudu=sinu+C.
7) ∫sinudu=-cosu+C.
Примеры
Найти следующие интегралы и сделать проверку.
1) ∫(2x – 3) dx. Используем свойства V и IV, формулы 1). и 3).
(Наш лист Интегралы)
∫(2x – 3) dx = 2∫xdx — 3∫dx = 2·x²/2 – 3x + C = х2 – 3х + С.
Проверка. F'(x) = (х2 – 3х + С)’ = 2x – 3 = f (x).
2). ∫(2x – 3)2dx. Преобразуем подынтегральную функцию по формуле ФСУ (формулы сокращенного умножения): (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, а затем используем те же свойства и формулы, что и в примере 1).
∫(2x – 3)2dx =∫( 4x2 – 12x + 9) dx = 4∫x2dx — 12∫xdx + 9∫dx =
= 4·x³/3 — 12· x²/2 + 9x + C = ( 4/3) x3 – 6x2 + 9x + C.
Проверка. F'(x) = ((4/3) x3 – 6x2 + 9x + C)’ =(4/3) · 3x2 — 6·2x + 9 = 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2 = f (x).
Решим пример 2) вторым способом — подведения под знак дифференциала.
Итак, требуется найти ∫(2x – 3)2dx.
Будем использовать формулу 1). Вместо u у нас (2х – 3) и, по формуле 1), переменная интегрирования должна быть такой же, как и основание степени, т.
е (2х – 3). Хорошо, вместо dx запишем d(2x – 3). И что изменилось? d (2x – 3) = 2dx, т.е. подынтегральное выражение стало больше в 2 раза. Разделим его на 2. Для этого перед значком интеграла поставим множитель ½.
Значит,∫(2x – 3)2dx = (½)∫( 2x – 3)2 d (2x – 3). Мысленно представляйте себе u2 вместо
(2х – 3)2 и du вместо d(2x – 3). Увидели ∫u2du ? И что получится? Верно: u³/3+ C.
«Долго сказка сказывается…», а решаются такие примеры быстро:
∫(2x – 3)2dx = (½)∫(2x – 3)2 d (2x – 3) =(½) ·(2x-3)³/3 + С =(1/6) · (2х – 3)3 + С.
Проверка. (F (x)+С)′ = ( 1/6· (2х – 3)3 + С)’ = (1/6)· 3 (2x – 3)2 · 2 = (2x – 3)2 = f (x).
Сравните эти два способа решения примера 2. Что, не впечатлил второй способ? Тогда пример 3).
3) ∫(2x – 3)7dx. Желаете возводить (2х – 3) в седьмую степень? А-а, то-то же!
Решаем способом подведения под знак дифференциала, т.е. вторым способом так же, как предыдущий пример.
∫(2x – 3)7dx = (½)∫(2x – 3)7d (2x – 3) = (½)· (2x – 3)8 /8 + C =(1/16) (2x – 3)8 + C.
Проверка. F'(x) = ((1/16)(2x – 3)8 + C)’ =(1/16) ·8 (2x – 3)7·2 = (2x – 3)7 = f (x).
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Wolfram|Alpha Примеры: Интегралы
Ого! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.
Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.
Примеры для
Интегралы бывают двух видов: неопределенные и определенные. Неопределенные интегралы можно рассматривать как первообразные, а определенные интегралы дают площадь или объем со знаком под кривой, поверхностью или телом. Wolfram|Alpha может вычислять неопределенные и определенные интегралы от одной или нескольких переменных и может использоваться для исследования графиков, решений и альтернативных представлений самых разных интегралов. 92) dx dy, x=-oo to oo, y=-oo to oo
Интегралы, относящиеся к специальным функциям
Найдите определенные или неопределенные интегралы, включающие определенную специальную функцию.
Исследуйте интересные неопределенные интегралы, содержащие специальные функции:
пример интегралов Бесселя, используя функцию Эйри, интегралы с li(x)Изучите интересные определенные интегралы, содержащие специальные функции:
образец, определенные интегралы, произведение логарифмически определенных интегралов с Лежандром, определенные интегралы с Si(x) 9(-a t) dt, t=0.
.a Начало Определенный интеграл, Начало первый нижний предел, 0 , первый нижний предел Синус, начальный угол, x , угол End , конец синуса , конец основания , начальная экспонента , 2 , показатель степени End , мощность End +2 Start Power , начальное основание , начальный синус , начальный угол , 2x , конец угла , конец синуса , конец основания ,Начальная экспонента, 4 , экспонента Конец , Степень Конец , подынтегральное выражение Конец,Начало первая переменная, x , первая переменная Конец , Определенный интеграл Конецπ0sinx2+2sin2x4dxВычислить неправильный интеграл:
int sinx/x dx, x=0..infinity Начало Определенный интеграл, Начало первый нижний предел, -∞ , первый нижний предел Конец,Начало первый верхний предел, ∞ , первый верхний предел Конец,Начало подынтегральное выражение , Начальная экспонента, Начальная экспонента, — Начальная степень, Начальная база, t, Базовая конечная, Начальная экспонента, 2, Экспонента Конечная, Степень Конечная, экспонента Конечная, Экспоненциальная конечная, подынтегральное выражение Конец, Начальная первая переменная, t, первая переменная Конец, Определенная Integral End∞-∞ⅇ-t2dtСгенерируйте таблицу определенных интегральных формул: 92-2)/x DX от 1 до 2 с использованием примеров Boole’s Rulemore
GO Далее
Пошаговые растворы для Calculus
Calculus Web App
Связанные примеры
