— Интеграция $\sin 2x \cos 2x$
спросил
Изменено 7 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 336 раз
$\begingroup$
У меня возникли проблемы с решением следующих задач:
$$\int \sin2x\cos2x\,dx$$
Насколько я понимаю, это можно легко сделать, используя тождество триггера $\sin2x = 2\sin x\cos x$, поэтому я подумал, что это будет:
$$\int \frac{\sin 2x} {2} dx$$
, что дало бы мне $-\cos 2x / 4$.
Однако в книге по математике, из которой я исходил, они делают это следующим образом:
$$\int \sin 4x dx$$
, что дает ответ $-\cos 4x / 4 + c$, что отличается от моего ответа и ответов, полученных из онлайн-интегральных калькуляторов.
Будем признательны за любую помощь, спасибо.
- интегрирование
- тригонометрия
- производные
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Во-первых, формула будет следующей }}{2} dx$$
Тогда ответ равен
$$-\frac{\cos{4x}}{8}+C$$
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Подсказка
Вычислить интеграл $$I=\int \sin(2x)\cos(2x)~dx$$ можно двумя способами.
- первый: используйте $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$ и так, $$I=\frac 12 \int \sin(4x)~dx=-\frac 12\times\frac 14 \cos(4x)+C=-\frac 18 \cos(4x)+C$$
- второй: изменить переменную $u=\sin(2x)$, $du=2\cos(2x)~dx$ и так $$I=\frac 12\int u ~du=\frac{u^2 }4+C=\frac 14\sin^2(2x)+C$$ Теперь используйте $2\sin^2(a)=1-\cos(2a)$, и вы получите тот же результат, постоянный член поглощается $C$ 92}{4}+C$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Изменение тождества двойного угла дает $$\sin u \cos u = \frac{1}{2} \sin 2u,$$, поэтому замена $u = 2x$ дает $$\int \sin 2x \cos 2x \,dx = \frac{1}{2} \int \sin 4x \,dx = -\frac{1}{8} \cos 4x + C.
2 2x + C.$$
Но использование тождества с двойным углом показывает, что это согласуется с ответом, полученным выше.$\endgroup$
$\begingroup$
Представьте, что 2x стали просто x. Вы можете использовать замену u = sin x или u = cos x или изменить подынтегральное выражение на $\frac{\sin 2x}{2} dx$.
Итак, подставим t = 2x. Тогда имеем $\frac{1}{2} \int \sin t \cos t dt$.
$\endgroup$
$\begingroup$
В общем, для вычисления интегралов вида $$\int \sin ax\cos bx \,dx$$ преобразовать произведение в сумму, используя тождество $$\sin ax\cos bx={1\over 2}\{sin(a+b)x+\sin(a-b)x\}$$ Интегрировать RHS последнего несложно. 92x) относительно x. — Сартакс eConnect
Задать вопрос
← Предыдущий вопрос Следующий вопрос →
1 ответ
+1 голос
ответил
2 2x + C.$$
Но использование тождества с двойным углом показывает, что это согласуется с ответом, полученным выше.