Интеграл sin cos: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = cos(x)*sin(x)*dx (косинус от (х) умножить на синус от (х) умножить на дэ икс)

2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$

$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$


Пример 1

Найти интеграл от функции

∫cos2x dx

Решение


Пример 2

Найти интеграл от функции

∫sin4x dx

Решение


Вычисление интеграла вида:

∫sin2n+1x dx

∫cos2n+1x dx

Для первой функции применяем функцию cosx, для второй — sinx.


Пример 3

Найти интеграл от функции

∫cos3x dx

Решение

∫cos3x dx = ∫cos2x cosx dx = 

= ∫(1-sin2x) cosx dx =

= ∫cosx dx + ∫sin2x cosx dx =

= sinx — 1/3sin3x + C


Для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида:

∫cosmx dx

∫sinnx dx

где одно из чисел m или n – нечетное.

Вводят вспомогательную тригонометрическую функцию, sinx (если

n — нечетно), cosx (если m — нечетно).

Также если функция четная относительно sinx и cosx, можно воспользоваться подстановкой u=tgx.


Пример 4

Найти интеграл от функции

∫cos4x sin3x dx

Решение

Подынтегральное выражение представим в виде:

cos4x sin2x d(-cosx) = -cos4x (1-cos2x) d(cosx)

получаем


Пример 5

Найти интеграл от функции

∫sin36xсos6x dx

Решение


Для вычисления интегралов вида:

∫sin mx cos nx dx 

∫cos mx cos nx dx 

∫sin mx sin nx dx 

удобно применять тригонометрические формулы произведения:

∫sin mx cos nx dx = 1/2 [sin(m-n)x + sin(m+n)x]

∫cos mx cos nx dx = 1/2 [cos(m-n)x — cos(m+n)x]

∫sin mx sin nx dx = 1/2 [cos(m-n)x + cos(m+n)x]


Пример 6

Найти интеграл

Решение


Пример 7

Вычислить интеграл от функции

∫sin2x sin5x dx

Решение


Для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида:

∫tgmx dx

∫ctgnx dx

применяют множитель tg2x или ctg2x которые преобразовываются в равенства:

$$\eqalign{& 1 + t{g^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}  \cr & 1 + ct{g^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \cr} $$


Пример 7

Найти интеграл от функции

∫tg3x dx

Решение


Пример интегрирования с другими тригонометрическими функциями. 5(x)dx — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора

24. 05.18
Лучший ответ по мнению автора

Елена Васильевна

Читать ответы

Марина Сергеевна

Читать ответы

Михаил Александров

Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

Боковая сторон равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4:5,считая от вершины угла при основании треугольника. 2 сколько будет

Докажите, что AB=CD (рис.73), если AD=BC и угол DAC = углу BCA.

Пользуйтесь нашим приложением

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x
92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную — d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл
интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

Синус и косинус интегралы

2 для целого числа Аргумент x должен быть неотрицательным, если x = 0 , то возвращается DBL_MAX .
  • long double xAuxiliary_Cos_Integral_gi ( long double x )
     
    Эта функция возвращает gi(t) = ∫ 0 ( cos (t) / ( t + x )) dt для целого числа s > 1 . Аргумент x должен быть неотрицательным, если x = 0 , то возвращается LDBL_MAX .
  • void Auxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi ( double x, double *fi, double *gi )
     
    Эта функция возвращает fi(t) = ∫ 0 (sin(t) / ( t + x ) ) dt и (t) = ∫ 0 ( cos (t) / ( t + x ) ) dt через список аргументов. Аргумент x должен быть неотрицательным, если x = 0 , тогда gi устанавливается равным DBL_MAX .
  • void xAuxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi ( long double x, long double *fi, long double *gi )
     
    Эта функция возвращает fi(t) = ∫ 0 (sin(t) / ( t + x ) ) 942 dt 902 и gi(t) = ∫ 0 ( cos(t) / ( t + x )) dt через список аргументов. Аргумент x должно быть неотрицательным, если x = 0 , тогда gi устанавливается равным LDBL_MAX .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта



  • Библиотека функций Дом
    SIN и COS Integrals
    • Интеграл синуса — Si(x) = ∫ 0 x ( sin(t) / t ) dt .
    • Интеграл косинуса — Ci(x) = — ∫ x ( cos(t) / t) dt .
    • Полный интеграл косинуса — Cin(x) = ∫ 0 x ( 1 — cos(t) ) / t ) dt .
    • Интеграл вспомогательного синуса — fi(t) = ∫ 0 ( sin(t) / ( t + x ) ) dt .
    • Вспомогательный интеграл косинуса — gi(t) = ∫ 0 ( cos (t ) / ( t + x ) ) dt .

    Интеграл греха Si(z) как функция комплексной переменной является целой функцией. Далее
    Si(z) = -Si(-z) . Существует пять запрограммированных версий синусоидального интеграла, но все они требуют, чтобы аргумент был реальным. Две версии отличаются только тем, что аргументы имеют тип double или тип long double с возвращаемым типом типа double или типа long double соответственно. Другая версия просто оценивает расширение силового ряда 9.0937 Si(x) для аргумента и возвращаемого значения типа long double . Последние две версии вычисляют как Si(x) , так и Ci(x) , аргументы и соответствующие возвращаемые значения имеют тип double и long double .

    • long double xPower_Series_Si( long double x )
       
      Эта функция возвращает Si(x) = ∫ 0 x
      ( sin(t) / t ) dt
      путем оценки разложения в ряд по степеням для Si(x) . This routine is used in the functions Sin_Integral_Si , xSin_Integral_Si , Sin_Cos_Integrals_Si_Ci , xSin_Cos_Integrals_Si_Ci , Auxiliary_Sin_Integral_fi , Auxiliary_Cos_Integral_gi , and Auxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi .
    • double Sin_Integral_Si( double x )
       
      Эта функция возвращает Si(x) = ∫ 0 x ( sin(t) / t ) dt .
    • long double xSin_Integral_Si( long double x )
       
      Эта функция возвращает Si(x) = ∫ 0 x (sin(t) / t) dt .
    • void Sin_Cos_Integrals_Si_Ci( double x, double *Si, double *Ci )
       
      Эта функция возвращает Si(x) = ∫ 0 x ( sin(t) / t ) dt и Ci(x) = — ∫ x ( cos(t) / t) dt через список аргументов. Если x = 0 или если Ci(x) , то -DBL_MAX возвращается для Ci .
    • void xSin_Cos_Integrals_Si_Ci( long double x, long double *Si, long double *Ci )
       
      Эта функция возвращает Si(x) = ∫ 0 x ( sin(t) / t ) dt и Ci( x) = — ∫ x ( cos(t) / t) dt через список аргументов. Если x = 0 , то -LDBL_MAX возвращается для Ci .

    Исходный код C доступен для этих подпрограмм:

    • Файл power_series_Si. c содержит функцию xPower_Series_Si() .

      Зависимости: Нет внешних зависимостей.

    • Файл sin_cos_integrals.c содержит функции0942, а также Entire_Cos_Integral_Cin() , xEntire_Cos_Integral_Cin() ,
      Cos_Integral_Ci() и xCos_Integral_Ci(2) 90.

      Dependencies: In addition to the file sin_cos_integrals.c, the functions Sin_Cos_Integrals_Si_Ci( ) , xSin_Cos_Integrals_Si_Ci( ) as well as Entire_Cos_Integral_Cin( ) , xEntire_Cos_Integral_Cin( ) ,
      Cos_Integral_Ci( ) , and xCos_Integral_Ci() требуются следующие файлы:

      • power_series_Si.c
      • power_series_Cin.c
      • вспомогательный_sin_cos_integrals_fi_gi.c

    Интеграл косинуса, Ci(z) , как функция комплексной переменной является многозначным, фактически

    Ci(z) = γ + ln(z) — Cin(z)

    , где γ — постоянная Эйлера, а Cin(z) — полный интеграл косинуса. Обычный срез ветви проходит по отрицательной действительной оси, т. е. аргумент z ограничен |arg(z)| . Аргумент запрограммированных здесь версий косинусного интеграла реален. Далее область расширяется до отрицательной действительной оси путем определения

    Ci(x) = γ + ln(|x|) — Cin(x) .

    Это определение эквивалентно вычислению интеграла Ci(x) = — ∫ x ( cos(t) / t) dt , когда x отрицательно, путем взятия значения принципа Коши интеграла о сингулярность в х = 0 . Для действительных аргументов x , тогда Ci(x) = Ci(-x) и поскольку x → 0, Ci(x) → -∞ .
    • double Cos_Integral_Ci( double x )
       
      Эта функция возвращает Ci(x) = — ∫ x ( cos(t) / t) dt . Если x = 0 или если Ci(x) , то возвращается -DBL_MAX .
    • long double xCos_Integral_Ci(long double x)
       
      Эта функция возвращает Ci(x) = — ∫ x ( cos(t) / t) dt . Если x = 0 , то возвращается -LDBL_MAX .
    • void Sin_Cos_Integrals_Si_Ci( double x, double *Si, double *Ci )
       
      Эта функция возвращает Si(x) = ∫ 0 x ( sin(t) / t ) dt и Ci(x) = — ∫ x ( cos(t) / t) dt через список аргументов. Если х = 0 или если Ci(x) , затем -DBL_MAX возвращается для Ci .
    • void xSin_Cos_Integrals_Si_Ci( long double x, long double *Si, long double *Ci )
       
      Эта функция возвращает Si(x) = ∫ 0 x ( sin(t) / t ) dt и Ci( x) = — ∫ x ( cos(t) / t) dt через список аргументов. Если x = 0 , то -LDBL_MAX возвращается для Ci .
    Исходный код C доступен для следующих подпрограмм:
    • The file, sin_cos_integrals.c, contains the functions Cos_Integral_Ci( ) , xCos_Integral_Ci( ) , Sin_Cos_Integrals_Si_Ci( ) , xSin_Cos_Integrals_Si_Ci( ) as well as Entire_Cos_Integral_Cin( ) , xEntire_Cos_Integral_Cin( ) , Sin_Integral_Si() и xSin_Integral_Si() .

      Зависимости: В дополнение к файлу sin_cos_integrals.c функции Sin_Cos_Integrals_Si_Ci( ) , xSin_Cos_Integrals_Si_Ci( ) as well as Entire_Cos_Integral_Cin( ) , xEntire_Cos_Integral_Cin( ) ,
      Cos_Integral_Ci( ) , and xCos_Integral_Ci( )

    require the following files:

    • power_series_Si.c
    • power_series_Cin.c
    • вспомогательный_sin_cos_integrals_fi_gi.c

    Полный интеграл косинуса Cin(z) как функция комплексной переменной является целой функцией. Далее Cin(z) = Cin(-z) . Есть три версии всего интеграла косинуса, которые запрограммированы, но все они требуют, чтобы аргумент был реальным. Две версии отличаются только тем, что аргументы имеют тип double или тип long double с возвращаемым типом типа double или типа long double соответственно. Окончательная версия просто оценивает расширение ряда мощности Cin(x) для аргумента и возвращаемого значения типа long double .

    • long double xPower_Series_Cin( long double x )
       
      Эта функция возвращает Cin(x) = ∫ 0 x ( 1 — cos(t) ) / t ) dt путем оценки разложения 9093 степенного ряда Цин(х) . Эта процедура используется в функциях Cos_Integral_Ci , xCos_Integral_Ci , Sin_Cos_Integrals_Si_Ci , xSin_Cos_Integrals_Si_Ci , Entire_Cos_Integral_Cin , xEntire_Cos_Integral_Cin , Auxiliary_Sin_Integral_fi , Auxiliary_Cos_Integral_gi , and Auxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi .
    • double Entire_Cos_Integral_Cin( double x )
       
      Эта функция возвращает Cin(x) = ∫ 0 x ( 1 — cos(t) ) / t ) dt .
    • long double xEntire_Cos_Integral_Cin(long double x)
       
      Эта функция возвращает Cin(x) = ∫ 0 x ( 1 — cos(t) ) / t ) dt .

    Исходный код C доступен для этих подпрограмм:

    • Файл power_series_Cin.c содержит функцию xPower_Series_Cin() .

      Зависимости: Нет внешних зависимостей.

    • Файл sin_cos_integrals.c содержит функции Entire_Cos_Integral_Cin() , xEntire_Cos_Integral_Cin( ) , Sin_Cos_Integrals_Si_Ci( ) , xSin_Cos_Integrals_Si_Ci( ) as well as Cos_Integral_Ci( ) , xCos_Integral_Ci( ) , Sin_Integral_Si( ) , and xSin_Integral_Si( ) .

      Зависимости: В дополнение к файлу sin_cos_integrals.c, функции Sin_Cos_Integrals_Si_Ci() , xSin_Cos_Integrals_Si_Ci() , а также Entire_Cos_Integral_9Cin()0942, xEntire_Cos_Integral_Cin() ,
      Cos_Integral_Ci() и xCos_Integral_Ci() требуются следующие файлы:

      . power_series0
    • power_series_Cin. c
    • вспомогательный_sin_cos_integrals_fi_gi.c
    • Интеграл вспомогательного синуса, fi(t) = ∫ 0 ( sin(t) / ( t + x ) ) dt , определен для x ≥ 0 . Существует четыре версии вспомогательного синусоидального интеграла, которые запрограммированы. Две версии отличаются только тем, что аргументы имеют тип двойной или тип длинный двойной с типом возврата типа двойной или тип длинный двойной соответственно. Последние две версии вычисляют как fi(x) , так и gi(x) , аргументы и соответствующие возвращаемые значения имеют тип double и long double .

      • double Auxiliary_Sin_Integral_fi ( double x )
         
        Эта функция возвращает fi(t) = ∫ 0 ( sin(t) / ( t + x )) dt . Аргумент x должен быть неотрицательным.
      • long double xAuxiliary_Sin_Integral_fi ( long double x )
         
        Эта функция возвращает fi(t) = ∫ 0 (sin(t) / (t + x) ) dt . Аргумент x должен быть неотрицательным.
      • void Auxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi ( double x, double *fi, double *gi )
         
        Эта функция возвращает fi(t) = ∫ 0 ( sin(t) / ( t + x ) ) dt и gi(t) = ∫ 0 ( cos (t) / ( t + x )) dt через список аргументов. Аргумент x должен быть неотрицательным, если x = 0 , тогда gi устанавливается равным DBL_MAX .
      • void xAuxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi ( long double x, long double *fi, long double *gi )
         
        Эта функция возвращает fi(t) = ∫ 0 ( sin(t) / ( t + x ) ) dt и gi(t) = ∫ 0 ( cos(t) / ( t + x )) dt через список аргументов. Аргумент x должен быть неотрицательным, если x = 0 , тогда gi устанавливается равным LDBL_MAX .

      Исходный код C доступен для этих подпрограмм:

      • Файл Additional_sin_cos_integrals_fi_gi. c содержит Auxiliary_Sin_Integral_fi() , xAuxiliary_Sin_Integral_fi() , Auxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi( ) , and xAuxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi( ) as well as Auxiliary_Cos_Integral_gi( ) and xAuxiliary_Cos_Integral_gi( ) ,
        • power_series_Si.c
        • power_series_Cin.c

      Интеграл вспомогательного косинуса, gi(t) = ∫ 0 ( cos(t) / ( t + x )) dt , определен для x > 0 . Как х → 0 + , gi(x) → ∞.

      • double Auxiliary_Cos_Integral_gi ( double x )
         
        Эта функция возвращает gi(t) = ∫ 0 (cos(t) / (t + x) ) dt