$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
Пример 1
Найти интеграл от функции
∫cos2x dx
Решение
Пример 2
Найти интеграл от функции
∫sin4x dx
Решение
Вычисление интеграла вида:
∫sin2n+1x dx
∫cos2n+1x dx
Для первой функции применяем функцию cosx, для второй — sinx.
Пример 3
Найти интеграл от функции
∫cos3x dx
Решение
∫cos3x dx = ∫cos2x cosx dx =
= ∫(1-sin2x) cosx dx =
= ∫cosx dx + ∫sin2x cosx dx =
= sinx — 1/3sin3x + C
Для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида:
∫cosmx dx
∫sinnx dx
где одно из чисел m или n – нечетное.
Вводят вспомогательную тригонометрическую функцию, sinx (если 
Также если функция четная относительно sinx и cosx, можно воспользоваться подстановкой u=tgx.
Пример 4
Найти интеграл от функции
∫cos4x sin3x dx
Решение
Подынтегральное выражение представим в виде:
cos4x sin2x d(-cosx) = -cos4x (1-cos2x) d(cosx)
получаем
Пример 5
Найти интеграл от функции
∫sin36xсos6x dx
Решение
Для вычисления интегралов вида:
∫sin mx cos nx dx
∫cos mx cos nx dx
∫sin mx sin nx dx
удобно применять тригонометрические формулы произведения:
∫sin mx cos nx dx = 1/2 [sin(m-n)x + sin(m+n)x]
∫cos mx cos nx dx = 1/2 [cos(m-n)x — cos(m+n)x]
∫sin mx sin nx dx = 1/2 [cos(m-n)x + cos(m+n)x]
Пример 6
Найти интеграл
Решение
Пример 7
Вычислить интеграл от функции
∫sin2x sin5x dx
Решение
Для вычисления интегралов от тригонометрических функций вида:
∫tgmx dx
∫ctgnx dx
применяют множитель tg2x или ctg2x которые преобразовываются в равенства:
$$\eqalign{& 1 + t{g^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \cr & 1 + ct{g^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \cr} $$
Пример 7
Найти интеграл от функции
∫tg3x dx
Решение
Пример интегрирования с другими тригонометрическими функциями.
5(x)dx — Учеба и наука
Лучший ответ по мнению автора
| |||||||||||||||||
05.18
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
| Похожие вопросы |
Боковая сторон равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4:5,считая от вершины угла при основании треугольника.
2 сколько будет
Докажите, что AB=CD (рис.73), если AD=BC и угол DAC = углу BCA.
Пользуйтесь нашим приложением
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
|
Si(z) = -Si(-z) . Существует пять запрограммированных версий синусоидального интеграла, но все они требуют, чтобы аргумент был реальным. Две версии отличаются только тем, что аргументы имеют тип double или тип long double с возвращаемым типом типа double или типа long double соответственно.  Другая версия просто оценивает расширение силового ряда 9.0937 Si(x) для аргумента и возвращаемого значения типа long double . Последние две версии вычисляют как Si(x) , так и Ci(x) , аргументы и соответствующие возвращаемые значения имеют тип double и long double .
Исходный код C доступен для этих подпрограмм:
Интеграл косинуса, Ci(z) , как функция комплексной переменной является многозначным, фактически Ci(z) = γ + ln(z) — Cin(z) , где γ — постоянная Эйлера, а Cin(z) — полный интеграл косинуса. Ci(x) = γ + ln(|x|) — Cin(x) . Это определение эквивалентно вычислению интеграла Ci(x) = — ∫ x ∞ ( cos(t) / t) dt , когда x отрицательно, путем взятия значения принципа Коши интеграла о сингулярность в х = 0 . Для действительных аргументов x , тогда Ci(x) = Ci(-x) и поскольку x → 0, Ci(x) → -∞ .
Полный интеграл косинуса Cin(z) как функция комплексной переменной является целой функцией. Далее Cin(z) = Cin(-z) . Есть три версии всего интеграла косинуса, которые запрограммированы, но все они требуют, чтобы аргумент был реальным.
Две версии отличаются только тем, что аргументы имеют тип double или тип long double с возвращаемым типом типа double или типа long double соответственно.
Исходный код C доступен для этих подпрограмм:
| ||||
c содержит функцию xPower_Series_Si() .
Обычный срез ветви проходит по отрицательной действительной оси, т. е. аргумент z ограничен |arg(z)| . Аргумент запрограммированных здесь версий косинусного интеграла реален. Далее область расширяется до отрицательной действительной оси путем определения
Если x = 0 , то возвращается -LDBL_MAX .
Окончательная версия просто оценивает расширение ряда мощности Cin(x) для аргумента и возвращаемого значения типа long double .
c
Аргумент x должен быть неотрицательным.
c содержит Auxiliary_Sin_Integral_fi() , xAuxiliary_Sin_Integral_fi() , Auxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi( ) , and xAuxiliary_Sin_Cos_Integrals_fi_gi( ) as well as Auxiliary_Cos_Integral_gi( ) and xAuxiliary_Cos_Integral_gi( ) ,
Аргумент x должен быть неотрицательным, если x = 0 , то возвращается LDBL_MAX .