Интегральный логарифм: ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ • Большая российская энциклопедия

{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}

Эти две функции связаны соотношением:

li(x)−Li(x)=li(2)≈1,045 163 780 117 492…{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)-\mathrm {Li} \,(x)=\mathrm {li} \,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots }

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

li(x)=Ei(ln⁡x).{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x).}

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке μ≈1,451 369 234 883 381 050 283 968 485 892 027 449 493…{\displaystyle \mu \approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots }

(число Рамануджана — Солднера).

Содержание

• 1 Разложение в ряд
• 2 Интегральный логарифм и распределение простых чисел
• 3 Примечания
• 4 Литература

Разложение в ряд

Из тождества, связывающего li(x){\displaystyle \mathrm {li} \,(x)}

  и Ei(ln⁡x){\displaystyle \mathrm {Ei} (\ln x)}

  следует ряд:

li(x)=Ei(ln⁡x)=γ+ln⁡ln⁡x+∑n=1∞(ln⁡x)nn⋅n!,{\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},}

 

где γ≈0,577 215 664 901 532…{\displaystyle \gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots }

  — постоянная Эйлера — Маскерони. {2}(x)).}

 

Для не слишком больших x{\displaystyle x}

  π(x)<Li(x){\displaystyle \pi (x)<\mathrm {Li} \,(x)}

 , однако доказано, что при некотором достаточно большом x{\displaystyle x}

  неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 10^19[2] и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108[3]}.

Примечания

1. ↑ Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11. — с. 30-31
2. ↑ Jan Büthe. An analytic method for bounding ψ(x) // Math. Comp. — 2018. — Vol. 87. — P. 1991-2009. — arXiv:1511.02032. — doi:10.1090/mcom/3264. Доказательство использует гипотезу Римана.
3. ↑ Yannick Saouter, Timothy Trudgian, and Patrick Demichel. A still sharper region where π(x) − li(x) is positive // Math. Comp. — 2015. — Vol. 84. — P. 2433-2446. — doi:10.1090/S0025-5718-2015-02930-5. MR: 3356033. Указанная оценка не требует гипотезы Римана.

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.

Интегральный, логарифм, специальная, функция, определяемая, интеграломГрафик, функции, displaystyle, mathrm, displaystyle, mathrm, limits, frac, Для, устранения, сингулярности, при, displaystyle, иногда, применяется, сдвинутый, интегральный, логарифм, displays. Integralnyj logarifm specialnaya funkciya opredelyaemaya integralomGrafik funkcii l i x displaystyle mathrm li x l i x 0 x d t ln t displaystyle mathrm li x int limits 0 x frac dt ln t Dlya ustraneniya singulyarnosti pri x 1 displaystyle x 1 inogda primenyaetsya sdvinutyj integralnyj logarifm L i x 2 x d t ln t displaystyle mathrm Li x int limits 2 x frac dt ln t Eti dve funkcii svyazany sootnosheniem l i x L i x l i 2 1 045 163 780 117 492 displaystyle mathrm li x mathrm Li x mathrm li 2 approx 1 045 163 780 117 492 ldots Integralnyj logarifm vvedyon Leonardom Ejlerom v 1768 godu Integralnyj logarifm i integralnaya pokazatelnaya funkciya svyazany sootnosheniem l i x E i ln x displaystyle mathrm li x mathrm Ei ln x Integralnyj logarifm imeet edinstvennyj polozhitelnyj nol v tochke m 1 451 369 234 883 381 050 283 968 485 892 027 449 493 displaystyle mu approx 1 451 369 234 883 381 050 283 968 485 892 027 449 493 ldots chislo Ramanudzhana Soldnera Soderzhanie 1 Razlozhenie v ryad 2 Integralnyj logarifm i raspredelenie prostyh chisel 3 Primechaniya 4 LiteraturaRazlozhenie v ryad PravitIz tozhdestva svyazyvayushego l i x displaystyle mathrm li x i E i ln x displaystyle mathrm Ei ln x sleduet ryad l i x E i ln x g ln ln x n 1 ln x n n n displaystyle mathrm li x mathrm Ei ln x gamma ln ln x sum n 1 infty frac ln x n n cdot n gde g 0 577 215 664 901 532 displaystyle gamma approx 0 577 215 664 901 532 ldots postoyannaya Ejlera Maskeroni Bystree shoditsya ryad vyvedennyj Srinivasoj Ramanudzhanom l i x g ln ln x x n 1 1 n 1 ln x n 2 n 1 n k 0 n 1 2 1 2 k 1 displaystyle mathrm li x gamma ln ln x sqrt x sum n 1 infty frac 1 n 1 ln x n 2 n 1 n sum k 0 lfloor n 1 2 rfloor frac 1 2k 1 Integralnyj logarifm i raspredelenie prostyh chisel PravitIntegralnyj logarifm igraet vazhnuyu rol v issledovanii raspredeleniya prostyh chisel On predstavlyaet soboj bolee tochnoe priblizhenie k chislu prostyh chisel ne prevoshodyashih zadannogo chisla chem x ln x displaystyle x ln x Pri spravedlivosti gipotezy Rimana vypolnyaetsya 1 p x L i x O x ln 2 x displaystyle pi x mathrm Li x O sqrt x ln 2 x Dlya ne slishkom bolshih x displaystyle x p x lt L i x displaystyle pi x lt mathrm Li x odnako dokazano chto pri nekotorom dostatochno bolshom x displaystyle x neravenstvo menyaet znak Eto chislo nazyvaetsya chislom Skyuza v nastoyashee vremya izvestno chto ono zaklyucheno gde to mezhdu 1019 2 i 1 3971672 10316 e727 951336108 3 Primechaniya Pravit Sovr probl matem 2008 vypusk 11 s 30 31 Jan Buthe An analytic method for bounding ps x Math Comp 2018 Vol 87 P 1991 2009 arXiv 1511 02032 doi 10 1090 mcom 3264 Dokazatelstvo ispolzuet gipotezu Rimana Yannick Saouter Timothy Trudgian and Patrick Demichel A still sharper region where p x li x is positive Math Comp 2015 Vol 84 P 2433 2446 doi 10 1090 S0025 5718 2015 02930 5 MR 3356033 Ukazannaya ocenka ne trebuet gipotezy Rimana Literatura PravitMatematicheskij enciklopedicheskij slovar M 1995 s 238 Dlya uluchsheniya etoj stati zhelatelno Vikificirovat spisok literatury Pozhalujsta posle ispravleniya problemy isklyuchite eyo iz spiska parametrov Posle ustraneniya vseh nedostatkov etot shablon mozhet byt udalyon lyubym uchastnikom Istochnik https ru wikipedia org w index php title Integralnyj logarifm amp oldid 112444572, Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите,

истории

, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, секс, порно, скачать, скачать, sex, seks, porn, porno, скачать, бесплатно, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры

Численные и вычислительные методы, оптимизация

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

e7e5	Интегральный логарифм 13. 08.2010, 20:01
08/05/08 940 MSK	Пусть Нужно найти такое , при котором Как обычно находят, что ?

mitia87	Re: Интегральный логарифм 13. 08.2010, 21:41
13/11/09 166	Не знаю, как это делают обычно, но можно так. Выбираете хорошую квадратурную формулу (с соответствующим весовым множителем, «обрабатывающим» особенность) и, последовательно суммируя, находите интеграл с увеличивающимся верхним пределом. До тех пор, пока с хорошей точностью не получите 0.

e7e5	Re: Интегральный логарифм 13. 08.2010, 21:53
08/05/08 940 MSK	mitia87 в сообщении #344221 писал(а): Выбираете хорошую квадратурную формулу (с соответствующим весовым множителем, «обрабатывающим» особенность) И какую бы квадратурную формулу Вы предложили для обработки особенности при ?

Someone	Re: Интегральный логарифм 13. 08.2010, 22:18
Заслуженный участник 23/07/05 17973 Москва	В последнем интеграле подынтегральная функция регулярна в точке .

mitia87	Re: Интегральный логарифм 14. 08.2010, 08:58
13/11/09 166	Someone в сообщении #344227 писал(а): В последнем интеграле подынтегральная функция регулярна в точке . Здорово. А я и подзабыл этот способ избавления от особенности — отнять первый член разложения подынтегральной функции в ряд в соответствующей точке. А в этом случае функция вообще выйдет непрерывная.

e7e5	Re: Интегральный логарифм 14. 08.2010, 22:05
08/05/08 940 MSK	Someone в сообщении #344227 писал(а): В последнем интеграле подынтегральная функция регулярна в точке . т.е , чтобы найти корень уравнения, только численные методы помогут в решении ?

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 6 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

7.

1: Логарифм, определенный как интеграл

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

5491

Цели обучения

• Запишите определение натурального логарифма как интеграла.
• Распознать производную натурального логарифма.
• Интегрируйте функции, содержащие натуральный логарифм.
• Определить число \(e\) через интеграл.
• Распознать производную и интеграл экспоненциальной функции.
• Докажите свойства логарифмов и показательных функций, используя интегралы.
• Выражайте общие логарифмические и экспоненциальные функции в терминах натуральных логарифмов и экспонент.

Мы уже рассматривали экспоненциальные функции и логарифмы в предыдущих главах. Тем не менее, мы упустили некоторые ключевые детали в предыдущих обсуждениях. Например, мы не изучали, как обращаться с экспоненциальными функциями с иррациональными показателями. Определение числа e — еще одна область, в которой предыдущее развитие было несколько неполным. Теперь у нас есть инструменты для работы с этими понятиями более математически строгим способом, и мы делаем это в этом разделе.

Для целей этого раздела предположим, что мы еще не определили натуральный логарифм, число \(e\) или какие-либо формулы интегрирования и дифференцирования, связанные с этими функциями. К концу раздела мы изучим эти понятия математически строгим образом (и мы увидим, что они согласуются с понятиями, которые мы изучили ранее). Мы начнем раздел с определения натурального логарифма через интеграл. Это определение составляет основу раздела. Из этого определения мы выводим формулы дифференцирования, определяем число \(e\) и расширяем эти понятия до логарифмов и показательных функций любого основания. 91_x\dfrac{1}{t}\,dt, \nonumber \]

, поэтому в данном случае это отрицательная площадь под кривой от \(x\) до \(1\) (см. следующий рисунок ).

Рисунок \(\PageIndex{1}\): (a) Когда \(x>1\), натуральный логарифм представляет собой площадь под кривой \(y=1/t\) от \(1\) до \ (Икс\). (b) Когда \(x<1\), натуральный логарифм равен отрицательному значению площади под кривой от \(x\) до \(1\).

Обратите внимание, что \(\ln 1=0\). Кроме того, функция \(y=\dfrac{1}{t}>0\) для \(x>0\). Поэтому по свойствам интегралов видно, что \(\ln x\) возрастает при \(x>0\).

Свойства натурального логарифма

Из-за того, как мы определили натуральный логарифм, следующая формула дифференцирования сразу выпадает из основной теоремы исчисления.

Определение: производная натурального логарифма

Для \(x>0\) производная натурального логарифма определяется выражением

\[ \dfrac{d}{dx}\Big( \ln x \Big) = \dfrac{1}{x}. \nonumber \]

Следствие из производной натурального логарифма 93)}{х}\)

Обратите внимание: если мы используем функцию абсолютного значения и создаем новую функцию \(\ln |x|\), мы можем расширить область значений натурального логарифма, включив в нее \(x<0\). Тогда \(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln x \Big)=\dfrac{1}{x}\). Это приводит к известной формуле интегрирования.

Интеграл от \(\frac{1}{u} \, du\)

Натуральный логарифм является первообразной функции \(f(u)=\dfrac{1}{u}\):

\[∫\dfrac{1}{u}\,du=\ln |u|+C. \номер\] 9r)=r\ln x\) и доказательство завершено. Обратите внимание, что мы можем распространить это свойство на иррациональные значения \(r\) позже в этом разделе.

Часть III. следует из части II. и IV. и доказательство остается за вами.

□

Пример \(\PageIndex{3}\): Использование свойств логарифмов

Используйте свойства логарифмов, чтобы упростить следующее выражение до единого логарифма:

\( \ln 9−2 \ln 3+\ ln \left(\tfrac{1}{3}\right).\)

Решение 9{−1})=2\ln 3−2\ln 3−\ln 3=−\ln 3.\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используйте свойства логарифмов, чтобы упростить следующее выражение в одинарный логарифм:

\( \ln 8−\ln 2−\ln \left(\tfrac{1}{4}\right)\)

Подсказка

Применить свойства логарифмов.

Ответить

\(4\ln 2\)

Определение номера e

Теперь, когда мы определили натуральный логарифм, мы можем использовать эту функцию для определения числа \(e\).

Определение: \(e\)

Число \(e\) определяется как действительное число, такое что

\[\ln e=1\nonnumber \]

Иными словами, площадь под кривой \(y=1/t\) между \(t=1\) и \(t=e\) находится \(1\) (рисунок). Доказательство того, что такое число существует и уникально, остается за вами. (Подсказка: используйте теорему о промежуточном значении, чтобы доказать существование, и тот факт, что \(\ln x\) возрастает, чтобы доказать единственность.) 9Икс\). Обратите внимание, что натуральный логарифм один к одному и, следовательно, имеет обратную функцию. Пока мы обозначаем эту обратную функцию через \(\exp x\). Тогда

\[ \exp(\ln x)=x \nonumber \]

для \(x>0\) и

\[ \ln (\exp x)=x \nonumber \]

для все \(х\). x\) как обратную функцию \(\ln x\). 9y)\\[5pt]
\ln x&=y\ln a\\[5pt]
y&=\dfrac{\ln x}{\ln a}\\[5pt]
\log_a x&=\dfrac{\ ln x}{\ln a}.\end{align*}\]

Таким образом, мы видим, что все логарифмические функции постоянно кратны друг другу. Далее мы используем эту формулу, чтобы найти формулу дифференцирования для логарифма с основанием \(a\). Снова пусть \(y=\log_a x\). Затем

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{d}{dx}\Big(\log_a x\Big)\\[5pt]
&=\dfrac{ d}{dx}\left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right)\\[5pt]
&=(\dfrac{1}{\ln a})\dfrac{d}{dx}\Big(\ln x\Big)\\[5pt]
&=\dfrac{1}{\ln a} ⋅\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\ln a} \end{align*}\]

Производные функций общего логарифма

Пусть \(a>0.\) Тогда

\[\dfrac{d}{dx}\Big(\log_a x\Big)=\dfrac{1}{x\ln a}. \nonumber \]

Пример \(\PageIndex{6}\): вычисление производных общих экспоненциальных и логарифмических функций

Вычислить следующие производные:

1. \(\dfrac{d}{dt}\Big(4^ т⋅2^{т^2}\Большой)\) 9х)=х\)

---

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Показать страницу TOC

   нет

2. 9{к} {к ! к } $$

   — однозначная аналитическая функция в комплексе $z$- плоскость с прорезями вдоль действительной оси от $ — \infty $ до 0 и от 1 до $ + \infty $( мнимая часть логарифмов берется в пределах $ — \pi $ и $\pi$). Поведение $ \mathop{\rm li} x $ вдоль $ ( 1 , + \infty ) $ описывается

   $$ \lim\limits _ {\eta \downarrow 0} \mathop{\rm li} ( x \pm i \eta ) = \mathop{\rm li} x \mp \pi i ,\ \ х > 1 . $$ 9{*} ( \mathop{\rm ln} x ) &\textrm{ для } x > 1 . \\ \конец{массив} \правильно .$$

   Для справки см. Интегральный косинус.

   Комментарии

   Функция $ \mathop{\rm li} $ более известен как логарифмический интеграл. Его можно, конечно, определить интегралом (как выше) для $ z \in \mathbf C \setminus \{ {x \in \mathbf R } : {x \leq 0 \textrm{ или } x \geq 1 } \} $.

   Представление ряда для положительных $ x $, $ х \neq 1 $, тогда также говорят, что он определяет модифицированный логарифмический интеграл и является граничным значением $ \mathop{\rm li} ( x + i \eta ) \pm \pi i $, $ х > 1 $, $ \eta \rightarrow 0 $. Для реальных $ x > 1 $ значение $ \mathop{\rm li} ( x) $ является хорошим приближением $ \pi ( x) $, количество простых чисел меньше $ x $ (см. теорему де ла Валле-Пуссена; Распределение простых чисел; Простое число).

   No related posts.