Используя определение предела доказать что: Определение предела последовательности с примерами

определение, доказательство сходимости, ограниченные и неограниченные последовательности, примеры с решением

1. Определение последовательности
2. Предел последовательности
3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?
4. Ограниченные и неограниченные последовательности
5. Как доказать неограниченность последовательности?
6. Примеры

п.1. Определение последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Числовой последовательностью называют функцию натурального аргумента \(y_n=f(n), n\in\mathbb{N}\).
Значения \(y_1,y_2,…,y_n,…\) называют членами последовательности.
В символе \(y_n\) число \(n\) называют индексом последовательности.

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением. n}=\pi $$

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Если предел последовательности \(\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=0\), последовательность называется бесконечно малой.

Число \(b\in\mathbb{R}\) называют пределом последовательности \(\left\{y_n\right\}\), если последовательность \(\left\{y_n-b\right\}\) является бесконечно малой, т.е. все её элементы, начиная с некоторого номера \(N_{\varepsilon}\), меньше по модулю любого заранее взятого положительного числа \(\varepsilon\gt 0\): $$ \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=b\Leftrightarrow \forall\varepsilon\gt 0\ \exists N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}:\ n\geq N\Rightarrow |a_n-b|\lt \varepsilon $$

Промежуток (\(b-\varepsilon; b+\varepsilon\)) $$ b-\varepsilon\lt y_n\lt b+\varepsilon $$ называют ε-окрестностью точки b.

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

Разберем данное выше определение предела на конкретном примере.
Пусть \(y_n=\frac{1}{n+4}\). Докажем, что предел этой последовательности b=0.
Найдем номер \(N_{\varepsilon}\) члена последовательности, который первым окажется меньше одной тысячной. Т.е. «заранее взятое число» у нас ε=0,001, а ε-окрестность окружает точку предела \(b=0:\ -\varepsilon\lt y_n\lt\varepsilon\).
Решаем неравенство \(|y_n-b|\lt\varepsilon\): \begin{gather*} \left|\frac{1}{n+4}-0\right|\lt 0,001\Rightarrow \frac{1}{n+4}\lt 0,001\Rightarrow n+4\gt \frac{1}{0,001}=1000\\ n\gt 996\Rightarrow N_{\varepsilon}=997 \end{gather*} Значит, начиная с \(N_{\varepsilon}=997\), все \(y_n=\frac{1}{n+4},\ n\geq N_{\varepsilon}=997\) будут меньше ε=0,001.

Если попробовать еще больше приблизиться к пределу b=0, например с ε=0,00001, стартовый номер \(N_{\varepsilon}\) для членов последовательности, которые умещаются в 100 раз меньшей ε-окрестности, очевидно, увеличится.
Теперь найдем общую формулу зависимости \(N_{\varepsilon}\) для последовательности \(y_n=\frac{1}{n+4}\) с пределом b=0: \begin{gather*} \left|\frac{1}{n+4}-0\right|\lt \varepsilon \Rightarrow \frac{1}{n+4}\lt \varepsilon\Rightarrow n+4\gt \frac{1}{\varepsilon}\\ n\gt\frac1\varepsilon-4\Rightarrow N_{\varepsilon}=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1 \end{gather*} где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

\(\varepsilon\)	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_{\varepsilon}\)	7	97	997	9997	99997	999997
\(\lg \varepsilon\)	-1	-2	-3	-4	-5	-6
\(\lg N_{\varepsilon}\)	0,845	1,987	2,999	4,000	5,000	6,000

И построим график (в логарифмическом масштабе):

Мы видим, что чем меньше ε, тем больше \(N_{\varepsilon}\). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+4}=0\)
Ведь для любого сколь угодно малого \(\varepsilon\gt 0\) мы можем указать такой номер \(N_{\varepsilon}=\left[\frac1\varepsilon-4\right]+1\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_{\varepsilon}\) разность \(\left|\frac{1}{n+4}-0\right|\), т.

е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность \(\left\{y_n\right\}\) называется ограниченной сверху, если существует такое число \(M\in\mathbb{R}\), что для любого номера \(n,\ y_n\leq M\).
Последовательность \(\left\{y_n\right\}\) называется ограниченной снизу, если существует такое число \(m\in\mathbb{R}\), что для любого номера \(n,\ y_n\geq m\).
Последовательность \(\left\{y_n\right\}\) называется ограниченной, если она ограничена сверху и ограничена снизу, т.е. для любого номера \(n,\ m\leq y_n\leq M\). 2\gt M\), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажите, что:
a) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{3-2n}=-\frac12 \)
По условию: $$ y_n=\frac{n+1}{3-2n},\ \ b=-\frac12 $$ Находим \(N_{\varepsilon}\) для произвольного ε>0 из неравенства \(|y_n-b|\lt\varepsilon\)
$$ \left|\frac{n+1}{3-2n}+\frac12\right|\lt\varepsilon\Rightarrow \left|\frac{2n+2+3-2n}{2(3-2n)}\right| \lt \varepsilon\Rightarrow \frac52\left|\frac{1}{3-2n}\right|\lt \varepsilon $$ Знаменатель у дроби под модулем при \(n\geq 2\) отрицательный . Поэтому, раскрывая модуль, получаем: \begin{gather*} \frac52\left|\frac{1}{3-2n}\right|=\frac{5}{2(2n-3)}\lt \varepsilon\Rightarrow 2n-3\gt \frac{5}{2\varepsilon}\Rightarrow n\gt\frac12\left(\frac{5}{2\varepsilon}+3\right)\\ N_{\varepsilon}=\left[\frac12\left(\frac{5}{2\varepsilon}+3\right)\right]+1 \end{gather*} Например:

ε	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001	0,000001
\(N_{\varepsilon}\)	15	128	1253	12503	125003	1250003

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности \(N_{\varepsilon}=\left[\frac12\left(\frac{5}{2\varepsilon}+3\right)\right]+1\), начиная с которого

\(\left|\frac{n+1}{3-2n}+\frac12\right|\lt\varepsilon,\ n\geq N_{\varepsilon}\geq 2\). 2\right]\), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами \(n\geq N_M,\ y_n=\sqrt{n+1}\gt M\).
Что и требовалось доказать.

Предел функции в точке — онлайн справочник для студентов

Определение предела функции в точке Гейне

Это определение предела функции на языке последовательностей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число \(\ \mathrm{b} \) называется пределом функции \(\ y=f(x) \) для \(\ x \), стремящимся к (или, что то же самое, в точке a), если для любой последовательности \(\ \left\{x_{n}\right\} \) , сходящейся к \(\ x_{n} \neq a \forall n \) , последовательность соответствующих значений Функции \(\ \left\{f\left(x_{n}\right)\right\} \) сходится к \(\ \mathrm{b} \):

\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b : \forall\left\{x_{n}\right\} \subset D[f] :\left\{x_{n}\right\}_{n \rightarrow \infty} a \Rightarrow\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n \rightarrow \infty} b \)

ПРИМЕР

Задача

доказать равенство \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0 \) , используя определение предела функции по Гейне.

Доказательство.

Согласно определению предела функции Гейне:

\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0 : \forall\left\{x_{n}\right\} \subset D[f] : \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \)

Пусть \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty \) , докажем, что \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \) .

Предел функции

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_{n}} \)

Так как последовательность \(\ \left\{x_{n}\right\} \) бесконечно велика (ее предел бесконечен), то последовательность \(\ \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\} \) бесконечно мала, что означает, что ее предел равен нулю. затем

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_{n}}=0 \)

Что и требовалось доказать

Определение предела функции в точке Коши

Это определение предельной функции в языке \(\ \varepsilon-\delta \)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число \(\ \mathrm{b} \) называется пределом функции \(\ y=f(x) \) для \(\ x \), стремящимся к a, если для любого положительного числа \(\ \varepsilon \) существует такое положительное число \(\ \delta \) , что для всех \(\ x \neq a \) таких, что неравенство \(\ |x-a|\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b : \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 : \forall x \in(a-\delta ; a+\delta) \bigcap D[f] : 0ПРИМЕР

Задача

Чтобы доказать равенство \(\ \lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-1\right)=8 \) , используя определение предела функции по Коши. {2}Итак, мы имеем это, с одной стороны

\(\ |x-3|а с другой (по определению) —

\(\ |x-3|Тогда заключаем, что в качестве \(\ \delta \) можно взять

\(\ \delta=\sqrt{\varepsilon+9}-3>0 \)

В этом случае: \(\ \forall \varepsilon>0 \exists \delta(\varepsilon)=\sqrt{\varepsilon+9}-3>0 : \forall x \in D[f] : 0Что и требовалось доказать

Теорема

Определения предела функции в точке Коши и точки Гейне эквивалентны, т. е. Если число \(\ \mathrm{b} \) является пределом для одного из них, то это верно для второго.

Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Замечание 2. Понятие предела функции в точке является локальным понятием: существование и значение предела полностью определяются значениями функции в сколь угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке Коши означает, что для любого числа \(\ \varepsilon>0 \) на координатной плоскости можно указать такой прямоугольник с базой \(\ 2 \delta>0 \) и высотой \(\ 2 \varepsilon \) с пересечением диагоналей \(\ (a ; b) \) , что все точки графа этой функции на отрезке \(\ (a-\delta ; a+\delta) \) , за исключением, быть может, точек \(\ (a ; f(a)) \) лежат в этом прямоугольнике (рис. 1).

Рис.1

Учитывая, как будут раскрыты модули, а также тот факт, что x стремится к левому или правому значению a, для выражений, написанных выше, можно построить следующую таблицу:

\(\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & Гейне& Коши\\ \hline 1 & x \rightarrow a & x_{n} \rightarrow a & 0 a& a \delta\\ \hline 7 & f(x) \rightarrow b& f\left(x_{n}\right) \rightarrow b& |f(x)-b| \varepsilon\\ \hline 11 & f(x) \rightarrow -\infty & f\left(x_{n}\right) \rightarrow-\infty& f(x) \varepsilon\\ \hline \end{array} \)

Второй столбец содержит условия, налагаемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как эти условия должны интерпретироваться в определениях функций Гейне и Коши соответственно.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР

Задача

Формулировать с помощью утверждения неравенств \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 \) . Приведите соответствующий пример.

Решение

Из таблицы мы берем строки 4 (соответствует \(\ x \rightarrow \infty \) и 9 (соответствует \(\ f(x) \rightarrow b-0 \) ). Тогда утверждение для определения предела функции по Гейне с помощью неравенств записывается в виде:

\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 : \forall\left\{x_{n}\right\} \subset D[f] : x_{n}, \rightarrow \infty \Rightarrow\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n \rightarrow \infty} b \wedge f\left(x_{n}\right) \leq b \)

Аналогично, чтобы определить предел функции по Коши, имеем:

\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 : \forall \varepsilon>0 \exists \delta > 0 : \forall x \in D[f] :|x| > \delta \Rightarrow b-\varepsilon Приведем соответствующий пример функции, для которой выполняется равенство \(\ \lim _ { x \rightarrow \infty} f(x)=b-0 \) (рис.2)

Рис. 2

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Правило Лопиталя для вычисления пределов Свойства пределов функции Второй замечательный предел Первый замечательный предел

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Исчисление

— Как доказать существование предела, используя определение предела $\epsilon$-$\delta$

Задавать вопрос

спросил 11 лет, 5 месяцев назад

Изменено 5 лет, 7 месяцев назад

Просмотрено 75 тысяч раз

$\begingroup$

Я понимаю, как найти предел. Я понимаю концепцию определения предела $\epsilon$-$\delta$. Можете ли вы рассказать мне, что мы делаем в этом рабочем примере?

Это из моего руководства по решениям для учащихся к моему учебнику. Мне нужна помощь, чтобы понять, что мы здесь говорим и почему. Я понимаю математические выражения, но не понимаю, почему мы выбрали те, что сделали, и почему и как они что-то доказывают. Вы можете помочь?

Найдите предел $$ \lim\limits_{x \to 1} \ (x+4) ,$$ и докажите его существование, используя определение предела $\epsilon$-$\delta$.

При прямой замене ограничение составляет $5$. Понял. Вот тут-то я и начинаю запутываться…

Пусть $\epsilon > 0$ задано.

Выберите $\delta = \epsilon$.

$$ 0 < | х-1 | < \delta = \epsilon .$$

$$ | (х+4) — 5 | < \epsilon $$

$$ | f(x) — L | < \эпсилон $$

Доказано.

Ну, хорошо, если вы так говорите… Итак, что здесь происходит построчно и почленно?

• исчисление
• алгебра-предварительное исчисление
• пределы
• эпсилон-дельта

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вы хотите доказать, что $\lim\limits_{x\to 1}(x+4) = 5$, используя $\epsilon$-$\delta$.

Пусть $\epsilon\gt 0$. Нам нужно доказать, что существует $\delta\gt 0$ такой, что

Если $0\lt |x-1|\lt \delta$, то $|f(x)-5|\lt \epsilon$.

Теперь мы хотим немного подумать: как размер $|x-1|$ повлияет на размер $|f(x)-5|$? Поскольку $f(x)=x+4$, мы замечаем, что $|f(x)-5| = |(х+4)-5| = |х-1|$; то есть размер $|f(x)-5|$ равен , что равно размеру $|x-1|$. Итак, чтобы убедиться, что $|f(x)-5|\lt\epsilon$, достаточно потребовать, чтобы $|x-1|\lt\epsilon$.

Таким образом, мы можем выбрать $\delta=\epsilon$. Тогда $\delta\gt 0$, а если $0\lt |x-1|\lt\delta$, то отсюда будет следовать $|f(x)-5|\lt\epsilon$.

Таким образом, для всех $\epsilon\gt 0$ существует $\delta\gt 0$ (а именно, $\delta=\epsilon$) со свойством, что если $0\lt |x-1|\lt \ delta$, то $|f(x)-5|\lt\epsilon$. Это доказывает, что $\lim\limits_{x\to 1}f(x) = 5$, что и требовалось. $\Box$

Вот то, что у вас есть, только между ними много слов.

..

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Я хотел бы поделиться рабочим примером эпсилон-дельта-доказательства предела, найденным по адресу: http://www.karlscalculus.org/x2_1.html и воспроизведенным здесь для вашего удобства. Карл Хан объясняет каждый шаг доказательства, так что даже новичок в доказательствах может полностью понять его. 92 — 4)}{(x — 2)} = \frac{2 (x + 2) (x — 2)}{(x — 2)} \qquad\qquad\text{eq. 2.1x-2}$$

Ясно, что при всех значениях $x$, кроме $x = 2$, мы получаем сокращение, а это то же самое, что: $$f(x) = 2 (x + 2) \qquad\qquad\text{уравнение. 2,1x-3}$$ Таким образом, приведенное выше верно для любого значения $x$, кроме $2$. Это означает, что мы можем оценить $f(x)$, используя это выражение, и получить правильный ответ при условии, что x никогда не равен 2. Итак, если мы докажем, что: $$\lim_{x → 2} \;\;2 (x + 2) = 8 \qquad\qquad\text{ ур.

2.1x-4}$$

значит проблема решена. Вы понимаете, почему? Помните, что все выражения, которые мы сделали для $f(x)$, являются идентичными функциями для любого значения $x$, кроме $2$. Принятие предела $f(x)$ при приближении $x$ к $2$ означает, что никогда не придется оценивать $f(x)$ при $x = 2$. Таким образом, во всех местах, где нам приходится его вычислять, все формы $f(x)$ действительно идентичны, включая $f(x) = 2 (x + 2)$.

Теперь мы приступаем к дельта-эпсилон части доказательства. Мы должны организовать схему, по которой вы можете сказать мне, насколько близко $f(x)$ должно быть к $8$ (т. быть равным $2$, чтобы сделать это верным (т. е. я могу дать вам $δ$, которое сделает это верным).

Итак, давайте просто составим уравнение, которое показывает, что происходит, когда мы используем x, который находится в пределах δ от 2.

$$f(2 ± δ) = 2 ( (2 ± δ) + 2) \qquad\ qquad\text{ экв. 2,1x-5}$$ Теперь, вспомнив, что $δ$ всегда больше нуля (и, что более важно, никогда не равно нулю), мы можем видеть, что в приведенном выше примере нам по-прежнему никогда не приходится оценивать $f(x)$ при запрещенном значении. Итак, мы просто умножаем приведенное выше выражение: $$f(2 ± δ) = 8 ± 2 δ \qquad\qquad\text{ ур. 2,1x-6}$$ Требование состоит в том, чтобы мы могли выбрать $δ$ так, чтобы указанное выше значение было не дальше от предела (который в данном случае равен $8$), чем $ε$, которое вы могли бы дать мне, независимо от того, насколько мала $ε$ ты даешь мне. Таким образом, давая мне $ε$, вы говорите мне сделать так, чтобы: $$ |f(2 ± δ) — 8| ≤ ε \qquad\qquad\text{уравнение. 2,1x-7}$$ Но мы можем получить выражение для того, что находится внутри скобок абсолютного значения, из материала, который мы уже сделали. Просто возьмите уравнение 2.1x-6 и вычтите по 8 долларов с обеих сторон. Если вы замените это на $2 ± δ$, вы получите: $$|± 2 δ| ≤ ε \qquad\qquad\text{уравнение. 2,1x-8}$$ и поскольку квадратные скобки абсолютного значения делают знак ± спорным, мы имеем просто: $$ 2 δ ≤ ε \qquad\qquad\text{ ур. 2,1x-9}$$ или
$$δ ≤ \frac{ε}{2} \qquad\qquad\text{eq. 2,1x-10}$$ Итак, если вы ударите меня любым $ε$, все, что я должен вам сказать, это попробовать $δ$, который меньше или равен половине вашего $ε$.