Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд: Исследование степенного ряда на сходимость

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам — я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Нам под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые заказы раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка заказ бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости вашего задания бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время!   

Таким образом, для ряда $\sum a_n$ как с положительными, так и с отрицательными членами, вы должны сначала спросить, сходится ли $\sum |a_n|$. Это может быть легче ответить на вопрос, потому что у нас есть тесты, которые применимы специально для рядов с неотрицательными членами. Если $\сумма |a_n|$ сходится, то вы знаете, что $\sum a_n$ также сходится. Если $\сумма |a_n|$ расходится, то все еще может быть верно, что $\sum a_n$ сходится — вам придется проделать дополнительную работу, чтобы решить вопрос. Другой способ думать об этом результате таков: он (потенциально) легче для $\sum a_n$ сходиться, чем $\sum |a_n|$ сходиться, потому что последняя серия не может воспользоваться отменой.

3.4: Абсолютная и условная сходимость

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Джоэл Фельдман, Эндрю Рехницер и Элиз Йегер 9\infty a_n\) сходится условно.

Если вы на мгновение задумаетесь об этих определениях, станет ясно, что абсолютная сходимость является более сильным условием, чем простая сходимость. Все члены в \(\sum_n |a_n|\) принудительно должны быть положительными (по знакам абсолютного значения), так что \(\sum_n |a_n|\) должно быть больше, чем \(\sum_n a_n\), что делает \(\sum_n |a_n|\) легче расходиться. Это формализуется следующей теоремой, которая является непосредственным следствием сравнительного теста, теоремы 3. 3.8.a, с \(c_n=|a_n|\text{.}\) 92}\) сходится абсолютно, а значит, сходится.

Дополнительно — Тонкость условно сходящихся рядов

С условно сходящимися рядами нужно обращаться очень осторожно. Например, изменение порядка членов в конечной сумме не меняет ее значения.

\[ 1+2+3+4+5+6 = 6+3+5+2+4+1 \нечисло \]

То же верно для абсолютно сходящихся рядов. Но

не верно для условно сходящихся рядов. На самом деле, переупорядочив 9{n-1} \frac{1}{n} \end{gather*}

— очень хороший пример условной сходимости. Мы можем совершенно явно показать, как можно переставить члены, чтобы в сумме получилось два разных числа. Позже, в примере 3.5.20, мы покажем, что этот ряд равен \(\log 2\text{.}\). Однако, переставляя члены, мы можем сделать его сумму \(\frac{1}{ 2}\log 2\text{.}\) Обычный порядок:

\begin{gather*} \frac{1}{1} — \frac{1}{2} + \frac{1}{3} — \frac{1}{4} + \frac{1}{5} — \frac{1}{6} + \cdots \end{gather*}

На данный момент подумайте о парных терминах следующим образом:

\begin{gather*} \left(\frac{1}{1} — \frac{1}{2}\right) + \left(\ frac{1}{3} — \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} — \frac{1}{6}\right) + \cdots \end{gather *}

, поэтому знаменатели становятся нечетными-четными нечетными-четными.

Теперь переставьте члены так, чтобы знаменатели были нечетные-четные-четные нечетные-четные-четные:

\begin{gather*} \left( 1 — \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \ вправо) + \влево(\frac{1}{3} — \frac{1}{6} — \frac{1}{8} \right) + \left(\frac{1}{5} — \frac {1}{10} — \frac{1}{12} \right) + \cdots \end{gather*}

Теперь обратите внимание, что первый член каждой тройки ровно в два раза больше второго члена. Если мы теперь объединим эти термины, мы получим

. \[\begin{align*} &\phantom{=}\left( \underbrace{1 — \frac{1}{2}}_{=1/2} -\frac{1}{4} \right) + \left(\underbrace{\frac{1}{3} — \frac{1}{6}}_{=1/6} — \frac{1}{8} \right) + \left(\underbrace {\frac{1}{5} — \frac{1}{10}}_{=1/10} — \frac{1}{12} \right) + \cdots\\ &= \left( \frac {1}{2}-\frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{6} — \frac{1}{8} \right) + \left(\frac{1 }{10} — \frac{1}{12} \right) + \cdots\\ \\ \end{align*}\]

Теперь мы можем извлечь множитель \(\frac{1}{2}\) из каждого члена, так что

\begin{align*} &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} — \frac{1}{6} \right) + \cdots\\ &= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} — \frac{1}{2}\right) + \left(\frac {1}{3} — \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} — \frac{1}{6}\right) + \cdots \right] \end {выровнять*}

Итак, переставив члены, сумма ряда теперь составляет ровно половину первоначальной суммы!

На самом деле, мы можем пойти еще дальше и показать, как можно переставить члены переменного гармонического ряда так, чтобы в сумме получилось любое заданное число ¹ . {n- 1}\frac{1}{n}\), чтобы в сумме получилось точно \(1,234\) (но читатель должен помнить, что подойдет любое фиксированное число).

• Сначала создайте два списка чисел — первый список, состоящий из положительных членов ряда, по порядку, и второй, состоящий из отрицательных чисел ряда, по порядку.

  \begin{align*} 1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{5},\ \frac{1}{7},\ \cdots && \text{and} && — \frac{1}{2},\ -\frac{1}{4},\ -\frac{1}{6},\ \cdots \end{align*}

• Обратите внимание, что если мы сложим числа во втором списке, мы получим

  \begin{gather*} -\frac{1}{2}\Big[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\Big] \end{gather*}

  , что всего в \(-\frac{1}{2}\) раз больше гармонического ряда. Таким образом, числа во втором списке составляют \(-\infty\text{.}\)

  .

  Также, если мы сложим числа в первом списке, мы получим

  \begin{gather*} 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\cdots \quad \text{который больше} \quad\ frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots \end{gather*}

  То есть сумма первого набора чисел должна быть больше суммы второго набора чисел (что всего лишь \(-1\), умноженное на второй список).

  Таким образом, числа в первом списке составляют в сумме \(+\infty\text{.}\)

• Теперь мы создаем нашу переупорядоченную серию. Начните с перемещения достаточного количества чисел из начала первого списка в переупорядоченный ряд, чтобы получить сумму больше, чем \(1,234\text{.}\)

  \[ 1+\frac{1}{3} = 1,3333 \номер\]

  Мы знаем, что можем это сделать, потому что сумма членов в первом списке расходится на \(+\infty\text{.}\)
• Затем переместите ровно столько чисел из начала второго списка в переупорядоченный ряд, чтобы получить число меньше 1,234.

  \[ 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} = 0,8333 \nonnumber \]

  Опять же, мы знаем, что можем это сделать, потому что сумма чисел во втором списке расходится на \(-\infty\text{.}\)
• Затем переместите ровно столько чисел из начала оставшейся части первого списка в переупорядоченный ряд, чтобы получить число больше 1,234.
  \[ 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} +\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9} = 1. {n-1}\frac{1}{n}\text{,}\), где каждый термин встречается ровно один раз. 9\infty |a_n|\) сходятся или расходятся, по возможности используя словарь из этого раздела.

  	\(\sum a_n\) сходится	\(\sum a_n\) расходится
  \(\sum |a_n|\) сходится
  \(\sum |a_n|\) расходится

  9п}\) сходится.
  1. Это напоминает бухгалтерский трюк, когда все долги компании перекладываются на следующий год, чтобы счета за этот год выглядели действительно хорошо, и вы могли получить свой бонус.

  ---

  Эта страница под названием 3.4: Абсолютная и условная конвергенция распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Джоэлем Фельдманом, Эндрю Рехнитцером и Элиз Йегер посредством исходного контента, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  No related posts.