Признак сравнения рядов с положительными членами
Невозможно отобразить презентацию
Похожие презентации:
Числовые ряды
Ряды с членами произвольного знака
Числовые ряды
Числовые ряды
Дифференциальные уравнения и ряды. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Ряды с комплексными членами
Числовые ряды
Ряды. Способы задания ряда
Сходимость знакопеременных рядов
Числовые и функциональные ряды, их сходимость
Числовые ряды
Признак сравнения рядов с положительными членами Работу выполнили Студенты группы ПКС-7 Саурский и Серёдкин Числовые ряды Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (продолжение) Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Свойства абсолютно сходящихся рядов Оценка остатка ряда Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Предельный признак сравнения Пусть даны два ряда с положительными членами:∑∞=∞=1nVиU Для этих рядов справедливо:∞≠=∞→ρ;0limnVU⇒ РядыUn иVn одновременно сходятся и расходятся.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: ПримерnUn1sin= Выберем для сравнения ряд:nVn1= РядVn — обобщенный гармонический ряд вида∑∞=1sinn∑∞=1nkn=∞→n1sinlim расходится, так как k = 1.→⇒∞→=0;1tntn1sinlim0=→t⇒ рядUn – также расходится.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Ряды вида()∑∞=1nlmnQnP Вопрос о сходимости рядов такого вида, гдеPm(n) – многочлен степениm,Ql(n) – многочлен степениl , полностью исчерпывается сравнением с рядом∑∞=1nkn гдеk =l –m.
Удобнее при этом использовать признак сравнения в предельной форме.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Исследовать на сходимость ряд: Пример2131;3=−=⇒=kml Выберем для сравнения ряд:21nVn= РядVn — обобщенный гармонический ряд вида∑∞=1nkn=+−∞→231512limn сходится, так как k = 2 >1.⇒ рядUn – также сходится.∑∞=+−13512n5123+−=nUn=+−∞→52lim323n2512lim2=+−∞→n Знакопеременные ряды Пусть дан знакопеременный ряд:∑∞=1nU Обозначим: Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены называются знакопеременными.
Рассмотрим также ряд…321+nU(4) – ряд составлен из модулей всех членов ряда (1).
Знакопеременные ряды Если ряд(4) сходится, то сходятся и ряды (1), (2) и (3).
При этом сумма данного ряда(1) равнаS′−′= Знакопеременный ряд(1) называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд (4).
Ряд(1) называется условно сходящимся , если он сам сходится, а ряд (4), расходится.
Теорема Определения Знакочередующиеся ряды∑∞=+−1)1(na Ряд называется знакочередующимся , если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.
Достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда является признак Лейбница.(1) Знакочередующийся ряд(1) сходится если: Теорема(2)(3)na>…3210lim=∞→na При этом сумма этого ряда удовлетворяет условию:10aS< положительные числа (модули членов ряда) Знакочередующиеся ряды Вычислим отдельно частичные суммы ряда(1) с четным и нечетным числом слагаемых.
Доказательство=−+−+−=−naS21243212…)(…)()(2124321na−+−+−=− С учетом(2) выражения в скобках положительны, значитS2n > 0 , кроме тогоS2n монотонно возрастает т.к.nSaS212)(>−+=+ Знакочередующиеся ряды Выражения в скобках положительны иа2n > 0 , поэтому справедливо: запишемS2n в виде:=−+−+−=−naS21243212…na21254321)(…)()(−=−12aSn< Таким образом, последовательностьS2n возрастает и ограничена сверху, значит она имеет пределSn=∞→2lim причем S > 0 Знакочередующиеся ряды Найдем предел: Поэтому ряд сходится для любого числа слагаемых.
Рассмотрим частичные суммы для нечетного числа слагаемых:1212+=naS)(lim1212+∞→+∞→+=naSaSn=+=+∞→∞→12lim предел равен нулю по условию теоремы Знакочередующиеся ряды Исследовать на сходимость ряд: Пример 1⇒ ряд сходится.∑∞=+−+−=−1…413121)1(n >n1…312101lim=∞→n Для этого ряда справедливо: Данный ряд сходится условно, так как ряд , составленный из модулей членов ряда — расходится∑∞=1n Знакочередующиеся ряды Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: Пример 2⇒ ряд сходится.
∑∞=+−+−1415)1(n > 128344073812510501515lim434=−+=−+∞→n Исследуем ряд на сходимость по признаку Лейбница: Знакочередующиеся ряды Исследуем ряд, составленный из модулей:∑∞=−+1415n Используем предельный признак сравнения:3141;4=−=⇒=kml154−+=nUn Выберем для сравнения ряд:31nVn=−+∞→3415limn=−+∞→15lim4n5151lim43=−+∞→n обобщенный гармонический ряд сходится, так как k = 3 >1.
Ряд сходится, значит исходный ряд сходится абсолютно.
Свойства абсолютно сходящихся рядов Если ряд абсолютно сходится и имеет суммуS , то ряд, полученный из него перестановкой его членов также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
Абсолютно сходящиеся ряды с суммамиS1 иS2 можно почленно складывать (вычитать).
При этом получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равнаS1+S2(S1- S2).
Под произведением двух рядов…321+uи…321+v понимают ряд вида: ()() +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅1323121vuvuvuvuvuvu Произведение абсолютно сходящихся рядов с суммамиS1 иS2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равнаS1S2.
Оценка остатка ряда Соотношение 0 < S < a1 из теоремы Лейбница позволяет получить оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму знакочередующегося ряда его частичной суммойSn.
Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд: +−+−+−=+214321…naSn +−=+21nar Сумма этого ряда по модулю меньше первого члена ряда:1+<nar Таким образом, абсолютная погрешность приближения: меньше первого отброшенного члена ряда.nS≈rn Оценка остатка ряда Вычислить приближенно сумму ряда, взяв первых пять членов ряда.
Оценить погрешность приближения.
Пример∑∞=+−1)1(n 7834.0 31251256127141=+−+−= 00003.0 466561616=<δ=+−+−=543251413121S
English Русский Правила
|
Заглавная страница
КАТЕГОРИИ: Археология Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. |
Стр 1 из 4Следующая ⇒ Ряды
Учебно-методическое пособие
Москва 2012
УДК 51 ББК 22.1
Рецензент – доктор физ.-мат.наук, профессор Карташов Э.М.
Л.М. Ожерелкова, А.Г. Рубин, И.А. Джемесюк Ряды. Учебно-методическое пособие. М.: ИПЦ МИТХТ, 44 с.
Утверждено библиотечно-издательской комиссией в качестве учебно-методического пособия для студентов 2–4-го курсов дневного отделения всех специальностей МИТХТ им. М.В.Ломоносова по дисциплине «Высшая математика», поз. /2012.
МИТХТ им. М.В.Ломоносова, 2012
Основные понятия Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения: . Числа называются членами ряда, а член – общим или n-м членом ряда. Ряд (1.1) считается заданным, если известен его общий член , ( ), т.е. задана функция натурального аргумента. Например, ряд с общим членом имеет вид: Образуем новую последовательность: ……………….. Определение. Сумма первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается . Определение. Если последовательность частичных сумм ряда имеет предел, то такой ряд называется сходящимся, а этот предел называется суммой ряда. То есть, если , то ряд сходится, а – сумма ряда. В этом смысле можно записать . Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда суммы нет. Пример 1. Исследовать на сходимость геометрический ряд, т. (1.2) Решение. Необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессии ряд (1.2) сходится, а при каких – расходится. Из школьного курса алгебры известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии, т.е. Возможно несколько случаев: 1) если , то и , т.е. ряд сходится и его сумма . 2) если , то и, следовательно, , и ряд расходится. 3) если , то ряд (1.2) примет вид , его и , ряд расходится. 4) если , то ряд (1.2) примет вид , и его при четном и при нечетном, следовательно, не существует, и ряд расходится. Т.о. геометрический ряд сходится к сумме при и расходится при . Пример 2. Найти сумму ряда: Решение. -я частичная сумма ряда: Учитывая, что , , ,…, , частичную сумму ряда можно представить в виде и тогда получаем: , т. Свойства сходящихся рядов Свойство 1. Если ряд сходится и имеет сумму , то и ряд , полученный умножением данного ряда на число , также сходится, и имеет сумму . Свойство 2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряды также сходятся и их суммы равны соответственно и . Свойство 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или добавления) конечного числа членов. Установить сходимость (расходимость) ряда путем нахождения частичной суммы и вычисления , как это сделано в примерах 1 и 2, возможно лишь в редчайших случаях из-за принципиальных трудностей при нахождении (суммировании первых членов ряда). Обычно сходимость (расходимость) ряда устанавливается с помощью специальных теорем – признаков сходимости. В большинстве признаков сходимости вам придется вычислять некоторый предел. А) Предел отношения двух степенных выражений на бесконечности равен: 0, если степень числителя меньше степени знаменателя; , если степень числителя больше степени знаменателя; отношению старших коэффициентов, если степень числителя равна степени знаменателя*. Б) Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых величин (б.м.) или двух бесконечно больших величин (б.б.) равен пределу отношения их производных. Например, по правилу Лопиталя имеем: Признаки сходимости знакопостоянных рядов II. Признак Даламбера Теорема. Пусть для ряда ( ) существует предел отношения ( )-го члена ряда к -му: . Тогда: а) если , то ряд сходится, б) если , то ряд расходится, в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает. Примеры Исследовать следующие ряды на сходимость: 1) . то по признаку Даламбера ряд сходится. 2) Замечание. Напомним, что , поэтому . Решение. Воспользуемся формулой , тогда: следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится. 3) Решение и ряд расходится. Замечание. С помощью признака Даламбера исследовать ряды на сходимость имеет смысл только тогда, когда в выражении для — го члена ряда имеются показательная функция и/или факториал. Примеры 1) Применим интегральный признак к исследованию на сходимость ряда вида , , называемого обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле. Решение. В этом случае требуемой функцией является . Функция является невозрастающей на интервале . Вычислим . Если , то . Если , то . Следовательно, несобственный интеграл сходится при и расходится при . Запомнить! Обобщенный гармонический ряд сходитсяпри и расходится при . 2) Исследовать на сходимость ряд . Решение. Выписав и заменив в нем n на x, получим функцию . Внимание! Пока мы не убедились, что функция невозрастающая на некотором интервале вида , к интегрированию переходить рано! Исследуем функцию на монотонность с помощью производной: . Критическая точка , на интервале , т.е. функция невозрастающая. Теперь можно переходить к интегрированию. , интеграл расходится, расходится и данный ряд. V. Признаки сравнения Теорема.Первый признак сравнения (признак сравнения в форме неравенства). Пусть даны два ряда с положительными членами: (2.5) (2.6) причем члены первого ряда не превосходят членов второго при любом , т.е. (2.7) Тогда: а) если сходится ряд (2. б) если расходится ряд (2.5), то расходится и ряд (2.6). Удобно применять другую формулировку этой теоремы: а) если больший ряд сходится, то меньший ряд тоже сходится; б) если меньший ряд расходится, то больший ряд тоже расходится. Примеры Исследовать сходимость следующих рядов: 1) Решение. Сравним данный ряд с гармоническим , мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на сходимость ряда). Т.к. , , и вообще, (ведь ), то члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, и, следовательно, на основании признака сравнения данный ряд расходится. Понятно, что для применения признака сравнения в форме неравенства нужно сначала установить подходящее неравенство. При этом часто пользуются следующими стандартными неравенствами: , (2.8) , . Иногда приходится применять более сложные неравенства: , , , , при некотором . 2) Решение. Прежде всего, заметим, что это ряд с положительными членами, т.к. синус возводится в четную степень. Далее очевидное неравенство позволяет заключить, что , а поскольку ряд сходится, то и ряд с меньшими членами тоже сходится. 3) Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы, следующим образом: (здесь мы учли, что ). Т.к. ряд – сходится (как обобщенный гармонический при ), то исследуемый ряд также сходится. Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения: а) геометрический ряд – сходится при , расходится при , б) обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (2.7), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т. Теорема.Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме). Если и – ряды с положительными членами и существует предел отношения их общих членов , причем , то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Чаще всего исследуемый ряд сравнивают с обобщенным гармоническим рядом , причем p удобно подбирать в процессе сравнения, как это сделано ниже в примере 1. Примеры 1) Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом , причем p подберем в процессе сравнения. Выпишем предел и преобразуем его: (2.9) Мы пришли к пределу отношения двух степенных выражений на бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0, а это тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Разумеется, решение похожих задач не надо расписывать так подробно. Обычно, выписав предел (2.9), далее пишут сходится. Ясно, что слово «сходится» относится сразу к двум рядам и к , и к исходному ряду. Следствием второго (предельного) признака сравнения является третий признак сравнения. Теорема.Третий признак сравнения (признак сравнения в форме эквивалентных б.м. или кратко эквивалентный признак сравнения). В общем члене ряда бесконечно малый множитель или делитель можно заменить на эквивалентный, поведение ряда (сходимость или расходимость) от этого не изменится. Замечание 1. Напомним таблицу эквивалентных бесконечно малых величин (при ): . Замечание 2. При работе с эквивалентным признаком сравнения необходимо помнить, что таблица эквивалентных бесконечно малых величин выписана при , а в рядах всегда , т.е. n является бесконечно большой. А вот бесконечно малыми являются величины вида: (и вообще при ), (и вообще при ). 2) Решение. Т.к. при (т.е. – б.м.), то , и ряд ведет себя так же, как и ряд – обобщенный гармонический ряд при p=1/2<1, т.е. расходится. На практике запись ведут кратко: – расходится. Ясно, что слово «расходится» относится к обоим рядам. 3) . Решение. Т.к. ,то , ряд знакоположительный, и к нему можно применять эквивалентный признак сравнения. Поскольку – б.м. при , то и = . Последний ряд легко исследуется по признаку Даламбера (он сходится). Несмотря на то, что предельный и эквивалентный признаки сравнения более просты по сравнению с признаком сравнения в форме неравенства, иногда без первого признака не обойтись. Покажем это на следующем примере, а заодно продемонстрируем, как надо рассуждать в общем и целом при исследовании рядов на сходимость. 4) Решение. Проверим необходимый признак: – необходимый признак не работает. Попробуем применить признак Даламбера: , т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Этого следовало ожидать (см. замечание к признаку Даламбера). Применим признак сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим рядом: , т.е. ответа о сходимости ряда нет. Аналогичная картина наблюдается и при использовании других «эталонных» рядов. Применим, наконец, признак сравнения в форме неравенства (первый признак сравнения). Сравним данный ряд с гармоническим, у которого отброшен первый член: . Отметим, что для исследования сходимости данного ряда неприменим и интегральный признак, т.к. первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией, т.е. соответствующий неопределенный интеграл является «не берущимся». Задачи А) Исследовать ряды с помощью признака Даламбера: 1. 2. 3. 4. 5. 6. B) Исследовать ряды с помощью радикального признака Коши: 7. 8. 9. 10. C) Исследовать ряды с помощью интегрального признака Коши: 11. 12. 13. 14. 15. D) Исследовать ряды с помощью признаков сравнения: 16. 17. 18. 19. 20. 21. Е) Исследовать ряды на сходимость: 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37 . 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. . Примеры Исследовать на сходимость следующие ряды: 1) Решение. Т.к. члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , и вообще, , а общий член ряда при стремится к нулю, то в силу признака Лейбница ряд сходится. 2) . Решение. Проверим условие (3.2): . Доказать это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: докажем, что функция монотонно убывает на некотором интервале вида с помощью вычисления производной и исследования функции (это уже было сделано в §2, раздел IV, пример 2). В нашем случае при , и функция монотонно убывает в данном промежутке. Следовательно, неравенства (3.2) выполняются для любых , начиная с трех. Проверим условие (3.3). Для этого необходимо вычислить . Используя правило Лопиталя, получим . Следовательно, и . Т.о., оба условия теоремы Лейбница выполняются, и, следовательно, данный ряд сходится. Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Очевидно, знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных. Предполагаем теперь, что в записи (3.4) имеются как положительные, так и отрицательные . Теорема. (Модульный признак сходимости знакопеременных рядов). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда (3.4): (3.5) сходится, то сходится и данный ряд. Отметим, что если ряд (3.5) расходится, то отсюда не следует, что ряд (3.4) будет также расходящимся. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд) расходится. В связи с этим можно ввести понятие абсолютной и условной сходимости: Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин , расходится, а сам ряд сходится. Например, ряд является условно сходящимся (см. пример 1). А ряд является абсолютно сходящимся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин , сходится (обобщенный гармонический при ). Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые частично уничтожают друг друга. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, условно сходящийся ряд . Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом: Перепишем ряд в виде (произведя первое действие в каждой скобке): Видим, что от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза. Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. Примеры Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость. 1) Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: сходится по признаку сравнения, т.к. , а ряд – сходится (обобщенный гармонический ряд при ). Следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся. 2) Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Исследуем этот ряд на сходимость с помощью предельного признака сравнения, сравнив его с эталонным рядом (p подберем в процессе сравнения), имеем и лишь при равенстве степеней числителя и знаменателя, т.е. при , следовательно, сравниваемые ряды являются расходящимися. Таким образом, ряд, составленный из модулей, расходится, и абсолютной сходимости нет. Исследуем данный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница. Очевидно, что: 1) , 2) . Оба пункта признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд условно сходится. Задачи Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость: 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. Степенные ряды До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции с целыми неотрицательными показателями степени: (4.1) Определение. Ряд вида (4.1) называется степенным, а числа называются коэффициентами степенного ряда. Рассматривают и степенные ряды более общего вида: (4.2) (по степеням ). Такой ряд не отличается существенно от ряда вида (4.1), ибо приводится к нему простой заменой переменной: . Определение. Множество значений , при которых степенной ряд (4.1) или (4.2) сходится, называется областью сходимости степенного ряда. Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью следующей теоремы: Теорема Абеля 1) Если степенной ряд вида (4.1), т.е. по степеням , сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях таких, что . 2) Если степенной ряд вида (4.1) расходится при значении , то он расходится при всех значениях таких, что . Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема. Теорема. Областью сходимости степенного ряда вида (4.2), т.е. ряда по степеням , является интервал с центром в точке и с концами в точках и . Число получило название радиуса сходимости, а интервал – интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при и вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (при ), у других охватывает всю числовую ось (при ). Для начала укажем способ определения интервала сходимости степенного ряда на примере ряда (4.1). Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда: (4.3) Т.к. при каждом конкретном ряд (4.3) является числовым знакоположительным рядом, то для выяснения вопроса о его сходимости можно воспользоваться при 1234Следующая ⇒ Читайте также: Психологические особенности спортивного соревнования Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Занятость населения и рынок труда Социальный статус семьи и её типология |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 2431; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. |
Определение реакций опор и моментов защемления
(1.1)
е. ряд, составленный из последовательных членов геометрической прогрессии:
е. сумма ряда .
Напомним кратко два основных приема вычисления пределов, которыми вы будете пользоваться чаще всего.
Решение. Т.к.
То же самое можно сказать и о данном ряде.
6), то сходится и ряд (2.5)
п.). Более простым оказывается признак сравнения в предельной форме – ведь вычислять пределы обычно гораздо проще, чем доказывать неравенства.
Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , а это опять тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Таким образом, нас устроит только случай, когда степень числителя равна степени знаменателя, т.е. , или (в этом случае предел равен отношению старших коэффициентов, т.е. не 0 и не ). Итак, исследуемый ряд ведет себя так же, как и ряд , т.е. сходится.Исчисление II — Абсолютная сходимость
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 4-9: Абсолютная сходимость
Когда мы впервые говорили о сходимости рядов, мы кратко упомянули более сильный тип сходимости, но ничего не сделали с ним, потому что в нашем распоряжении не было никаких инструментов, которые мы могли бы использовать для рабочие проблемы, связанные с ним. Теперь у нас есть некоторые из этих инструментов, поэтому пришло время подробно поговорить об абсолютной конвергенции.
Во-первых, вернемся к определению абсолютной сходимости.
Определение
Ряд \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) называется абсолютно сходящимся , если \(\displaystyle \sum {\left| {{a_n}} \right|} \) сходится . Если \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) сходится, а \(\displaystyle \sum {\left| {{a_n}} \right|} \) расходится, мы называем ряд условно сходящимся .
Имеется также следующий факт об абсолютной сходимости.
Факт
Если \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) абсолютно сходится, то оно также сходится.
Доказательство
Прежде всего обратите внимание, что \(\left| {{a_n}} \right|\) равно \({a_n}\) или \( — {a_n}\) в зависимости от знака. Это означает, что мы можем тогда сказать,
\[0 \le {a_n} + \left| {{a_n}} \право| \le 2\влево| {{a_n}} \право|\]
Теперь, поскольку мы предполагаем, что \(\sum {\left| {{a_n}} \right|} \) сходится, тогда \(\sum {2\left| {{a_n}} \right|} \ ) также сходится, поскольку мы можем просто вынести 2 из ряда, и 2 раза конечное значение все равно будет конечным. Однако это позволяет нам использовать сравнительный тест, чтобы сказать, что \(\sum \left({{a_n} + \left| {{a_n}} \right|}\right) \) также является сходящимся рядом.
Наконец, мы можем написать,
\[\sum {{a_n}} = \sum \left({{a_n} + \left| {{a_n}} \right|}\right) — \sum {\left| {{a_n}} \right|} \]
и, следовательно, \(\sum {{a_n}} \) является разностью двух сходящихся рядов и, следовательно, также сходится.
Этот факт является одним из способов, которым абсолютная сходимость является «более сильным» типом сходимости. Абсолютно сходящиеся ряды гарантированно сходятся. Однако сходящиеся ряды могут быть абсолютно сходящимися, а могут и не быть абсолютно сходящимися. 93}}}} \]
сходится.
Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится (а значит, сходится).
Давайте закроем этот раздел, повторив тему, которую мы рассмотрели ранее. Когда мы впервые подробно обсуждали сходимость рядов, мы отметили, что мы не можем думать о рядах как о бесконечной сумме, потому что некоторые ряды могут иметь разные суммы, если мы переставляем их члены. На самом деле, мы дали две перестановки чередующейся гармонической серии, которые дали два разных значения. Мы закрыли этот раздел следующим фактом:
Факты
Учитывая ряд \(\displaystyle \sum {{a_n}} \),
- Если \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) абсолютно сходится и его значение равно \(s\ ), то любая перестановка \(\sum {{a_n}} \) также будет иметь значение \(s\).
- Если \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) условно сходится и \(r\) — любое действительное число, то существует перестановка \(\sum {{a_n}} \), значение которой будет \ (р\).
Теперь, когда у нас есть инструменты для определения абсолютной и условной сходимости, мы можем сделать еще несколько комментариев по этому поводу. 92}}}{{12}}\]
Чередующиеся серии
Чередующиеся серии
Испытание чередующейся серии
Предположим, что груз от пружины освобожден. Пусть 1 расстояние, на которое пружина падает при первом отскоке. Позволять
a 2 — величина, на которую груз поднимается в первый раз. Позволять
а 3 быть суммой, на которую груз перемещается по пути вниз.
вторая поездка. Пусть a 4 будет количеством, на которое перемещается груз.
на пути ко второй поездке и т. д.
Тогда, в конце концов, вес остановится где-то посередине.
Это приводит нас к
| . Теорема. Испытание чередующейся серии Позволять n > 0 для всех н и предположим, что следующие два условия держать:
Тогда соответствующий ряд а также сходятся. |
Доказательство: 90 135
Докажем теорему для второго заданного ряда. Достаточно,
так как первое можно получить из второго просто умножением на
-1. Мы смотрим на серию как на добавление двух за раз, а затем сложение их всех вместе.
s 2n = (а 1 — а 2 ) + (а 3 —
а 4 ) + …+ (а 2n-1 — а 2n ) > 0
что показывает, что это ограничено снизу 0.
Теперь выделите первый член, а затем добавьте остальные два за раз
с 2n = а 1 — (а 2 — а 3 ) —
(а 4 — а 5 ) — …- (а 2н-2 —
а 2н-1 ) — а 2н
= а 1 —
[(а 2 — а 3 ) +
(а 4 — а 5 ) + …+ (а 2n-2 —
а 2н-1 ) + а 2н ]
Это второе уравнение вычитает положительное число из первого члена. Отсюда
с 2n < а 1
, который показывает, что последовательность ограничена сверху числом 1 . Обратите внимание, что s 2n монотонно, так как каждый
разница положительная. Поэтому с 2n ограничено и монотонно, а значит, сходится.
Поскольку a n стремятся к нулю при n
стремится к бесконечности, имеем
Предел
частичные суммы существуют и, следовательно, ряд сходится.
Пример
сходится по критерию переменного ряда, поскольку
и
1
1
>
н
п + 1
Упражнения:
Определите, сходятся ли следующие:
Теорема об остатках
Снова рассмотрим пример с пружиной. Вес всегда будет между
две предыдущие позиции. Отсюда имеем
Теорема об остатках Пусть затем |L-s n | < а n + 1 |
Это говорит о том, что ошибка в использовании n терминов для приближенный знакопеременный ряд всегда меньше n + 1 ст ср.
Пример
Используйте калькулятор для определения
С ошибкой менее 0,01.
Решение:
У нас есть
Ошибка < 0,01
поэтому выберите n таким образом, чтобы
1
< .01
номер
Здесь n = 101 будет работать. Затем воспользуйтесь калькулятором, чтобы получить
0,70.
Абсолютная и условная сходимость
Определения
|
Пример:
Переменный гармонический ряд условно сходится.
поскольку мы видели ранее, что он сходится по признаку переменного ряда, но его
абсолютная величина (гармонический ряд) расходится.
Серия
абсолютно сходится, так как ряд по модулю его членов равен
P-ряд с p = 2, следовательно, сходится.
Теорема перестановок
| Теорема о перестановке Пусть
быть условно сходящимся рядом и
пусть k — действительное число. Тогда существует перестановка членов
так что вы сложите их и получите k. Как ни странно, добавление
не коммутативен для условно сходящихся рядов. |