К привести матрицу к ступенчатому виду онлайн: Приведение матрицы к ступенчатому виду онлайн

Тензорное исчисление. Акивис М. А., Гольдберг В. В., Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1969 г.

Излагаются основы тензорного исчисления и некоторые его приложения к геометрии, механике и физике. В качестве приложений строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформаций и рассматриваются некоторые вопросы кристаллофизики. Последняя глава знакомит с элементами тензорного анализа.

• NumPy
• Установка и первое знакомство
• Основные типы данных. Создание массивов функцией array()
• Функции автозаполнения, создания матриц и числовых диапазонов
• Свойства и представления массивов, создание их копий
• Изменение формы массивов, добавление и удаление осей
• Объединение и разделение массивов
• Индексация, срезы, итерирование массивов
• Базовые математические операции над массивами
• Булевы операции и функции, значения inf и nan
• Базовые математические функции
• Произведение матриц и векторов, элементы линейной алгебры
• Множества (unique) и операции над ними
• Транслирование массивов

• Поделиться

  Наш канал

Смотреть материал на видео

На предыдущем занятии мы познакомились с функцией array для создания произвольных массивов на основе переданного ей списка или кортежа. Однако, часто в инженерных задачах требуется определять векторы или матрицы с типовым набором значений, например, состоящих из нулей или единиц, или определение диагональной и единичной матриц и так далее. Конечно, мы можем все это сделать также через функцию array, используя механизм генерации списков, например, так:

np.array( [0]*10 )  # массив из 10 нулей
np.array( [1]*15 )  # массив из 15 единиц
np.array( [x for x in range(10)] ) # массив из чисел от 0  до 9

Но есть более быстрые способы (по скорости выполнения) создания подобных массивов. Для этого в NumPyимеются полезные функции, которые мы сейчас рассмотрим.

Функции автозаполнения элементов массива

Это только часть основных функций для создания массивов с заданными значениями.

np.empty(10) # создание одномерного массива с произвольными числами
np.empty(10, dtype='int16')
np.empty((3, 2), dtype='float32') # возвращаетматрицу 3x2 стипомfloat32

Для функций eye и identity размерности указываются отдельными параметрами:

np.eye(4)    # матрица 4х4
np.eye(4, 2)         # матрица 4x2
np.identity(5) # матрица 5x5

Функции ones, zeros и full работают по аналогии с функцией empty:

np.zeros( (2, 3, 4) ) # нулевая матрица размерностью 2x3x4
np.ones( [4, 3], dtype='int8') # матрица 4x3 из единиц и типом int8
np.full((3, 2), -1) # матрица 3x2, состоящая из -1

Все эти функции работают быстрее, чем функция array с генератором списков языка Python. Поэтому их предпочтительно использовать при создании и инициализации массивов определенными значениями.

Функции создания матриц

Следующий полезный набор функций позволяет генерировать матрицы на основе списков или по определенным правилам.

Давайте посмотрим как работают эти функции.

np.mat('1 2 3 4') # создает матрицу 1x4 из строки
np. mat('1, 2, 3, 4') # то же самое: создает матрицу 1x4 из строки
np.mat('1 2; 3 4') # возвращает матрицу 2x2

Или же, вместо строк можно использовать список или кортеж:

np.mat([5, 4, 3])
np.mat( [(1,2,3), (4,5,6)])

Но, если из переданных данных нельзя сформировать прямоугольную таблицу (матрицу), то произойдет ошибка:

np.mat( [(1,2,3), (4,5,6,7)])# ошибка, размерности не совпадают

Следующая функция позволяет формировать диагональные матрицы:

np.diag([1, 2, 3]) # диагональная матрица 3x3

Но, если ей передать двумерный список, то она возвратит одномерный массив из элементов, стоящих на главной диагонали:

np.diag([(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)]) # выделение элементов главной диагонали

Если же мы хотим сформировать диагональную матрицу из многомерных списков или массивов, то следует воспользоваться функцией

np.diagflat([(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)])

Следующий набор функций используются для формирования треугольных матриц. Например:

np.tri(4) # треугольная матрица 4x4
np.tri(4, 2) # треугольная матрица 4x2

Если нужно привести уже существующие матрицы к треугольному виду, то это можно сделать так:

a = np.array( [(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)] )
np.tril(a) # нижняя треугольная матрица размером 3x3
np.triu(a) # верхняя треугольная матрица размером 3x3

Если указать одномерный список:

np.tril([1,2,3])

то будет создана треугольная матрица 3×3 из строк [1, 2, 3].

Также функции tril и triu будут работать и с многомерными массивами:

np.tril([[[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]])
np.tril([[[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]], [[10,20,30], [40,50,60], [70,80,90]], [[100,200,300], [400,500,600], [700,800,900]]])

В этом случае последние двумерные сечения будут приведены к треугольному виду.

Последняя функция этойгруппы формирует матрицу Вандермонда из одномерных списков или массивов:

np. vander([1,2,3]) # матрица Вандермонда 3x3

Функции формирования числовых диапазонов

Следующая группа функций, которые мы рассмотрим на этом занятии, служит для формирования числовых диапазонов. Что делают эти функции? Когда мы с вами изучали язык Python, то говорили о функции

range(Start, Stop, Step)

которая генерирует числовой диапазон с параметрами Start, Stop, Step. Причем, все эти параметры должны быть целочисленными. В NumPy есть подобные функции, но более гибкие и работающие с вещественными величинами.

Давайте рассмотрим некоторые из них. Первая функция arrange довольно часто применяется в программах на Python. Она позволяет проходить заданный интервал с указанным шагом, например, так:

np.arange(5)# интервал [0; 5) с шагом 1
np.arange(1, 5)# интервал [1; 5) с шагом 1
np.arange(1, 5, 0.5) # интервал [1; 5) с шагом 0,5

Обратите внимание, в отличие от функции range языка Python в arrange пакета NumPy можно указывать вещественные значения. Вот еще один пример, демонстрирующий это:

np.arange(0, np.pi, 0.1)

Здесь все величины вещественные. Мы начинаем движение от значения 0 с шагом 0,1 пока не дойдем до значения пи (не включая его). И, далее, используя этот массив, можно вычислить синус или косинус от всех этих значений:

np.cos(np.arange(0, np.pi, 0.1))

Видите, как это удобно. Без пакета NumPyнам пришлось бы писать цикл и делать вычисление для каждого значения аргумента. А здесь мы сразу получаем готовый массив значений функции косинуса. Это работает гораздо быстрее циклов в Python.

Похожим образом работает и функция linspace. Она разбивает указанный интервал на равномерные отрезки и возвращает массив этих значений:

Мы указываем в качестве аргументов интервал [start; stop] и число отметок в этом интервале n. Если n = 0, то получим пустой массив. При n = 1 – значение start. При n = 2 – значения start и stop. При n> 2 равномерное разбиение интервала точками m = n-2. Например:

np.linspace(0, np.pi, 0) # пустой массив
np.linspace(0, np.pi, 1) # одно значение 0
np.linspace(0, np.pi, 2) # два значения: 0 и pi
np.linspace(0, np.pi, 3) # три значения: 0, pi/2, pi

В чем отличие linspace от arange? В arange мы указываем сами шаг движения по числовой оси. При этом число значений определяется граничными значениями. А в linspace мы задаем граничные значения и число делений, а шаг вычисляется автоматически.

Функции logspace и geomspace работают аналогичным образом. У них указываются граничные значения и число членов, а на выходе имеем массив из соответствующих величин. Например:

np.logspace(0, 1, 3) # значения: 1, sqrt(10), 10
np.logspace(0, 1, 4) # значения: 1, 2.15, 4.64, 10
 
np.geomspace(1, 4, 3) # значения: 1, 2, 4
np.geomspace(1, 16, 5) # значения: 1, 2, 4, 8, 16

Остальные функции этой группы используются при построении графиков и мы их рассмотрим, когда будем рассматривать построение графиков с помощью библиотеки matplotlib.

Функции формирования массивов на основе данных

Рассмотрим следующую группу, связанную с формированием на основе уже имеющихся данных.

Работа этих функций вполне очевидна, рассмотрим только некоторые из них. Функция copy выполняет копирование массива. Например, имеется массив:

a = np.array( [(1, 2), (3, 4)] )

И создать его копию в памяти устройства, можно так:

b = np. copy(a)

В этом легко убедиться, если вывести id этих объектов:

print(id(a), id(b))

Формирование массива с помощью функции выполняется следующим образом:

def getRange(x, y):
    return 100*x + y
 
a = np.fromfunction(getRange, (2, 2))
print(a)

Обратите внимание, функция принимает два аргумента, т.к. формируется двумерная матрица размерами 2×2. То есть, число аргументов функции равно размерности матрицы и каждый аргумент соответствует индексу по своей оси. При выполнении этой программы в консоли увидим результат:

[[  0.   1.]
 [100. 101.]]

Отсюда хорошо видно как менялись значения x, y при формировании матрицы. При формировании первой строки x = 0, а yменялся от 0 до 1, при формировании второй строки: x = 1, yот 0 до 1.

Часто совместно с fromfunction используют лямбда-функции в виде:

np. fromfunction(lambda x, y: x*100+y, (2, 2))

Результат будет тем же.

Следующая функция fromiter позволяет формировать массив на основе любого итерируемого объекта. Например:

np.fromiter("hello", dtype='U1')

Здесь строка воспринимается как итерируемый объект и разбивается по символам. Или, можносделатьтак:

def getRange(N):
    for i in range(N):
        yield i
 
a = np.fromiter(getRange(4), dtype='int8')
print(a)

Здесь в качестве объекта передается функция-генератор и на выходе получаем одномерный массив чисел:

[0 1 2 3]

Последняя функция, которую мы рассмотрим fromstring позволяет создавать массив из строковых данных, например, так:

np.fromstring('1 2 3', dtype='int16', sep= ' ')

Здесь параметр sep определяет разделитель между данными. Если числа следуют через запятую, то это явно нужно указать в разделителе:

np. fromstring('1, 2, 3', dtype='int16', sep= ',')

Это не все функции, с помощью которых можно формировать массивы в NumPy. Я отметил лишь наиболее употребительные. Полный их список и подробное описание можно посмотреть на официальном сайте:

https://numpy.org/doc/stable/

Видео по теме

#1. Пакет numpy — установка и первое знакомство | NumPy уроки

#2. Основные типы данных. Создание массивов функцией array() | NumPy уроки

#3. Функции автозаполнения, создания матриц и числовых диапазонов | NumPy уроки

#4. Свойства и представления массивов, создание их копий | NumPy уроки

#5. Изменение формы массивов, добавление и удаление осей | NumPy уроки

#6. Объединение и разделение массивов | NumPy уроки

#7. Индексация, срезы, итерирование массивов | NumPy уроки

#8. Базовые математические операции над массивами | NumPy уроки

#9. Булевы операции и функции, значения inf и nan | NumPy уроки

#10. Базовые математические функции | NumPy уроки

#11. Произведение матриц и векторов, элементы линейной алгебры | NumPy уроки

#12. Множества (unique) и операции над ними | NumPy уроки

#13. Транслирование массивов | NumPy уроки

• Предыдущая
• Следующая