Как дробь разложить на множители: Разложение дроби на простейшие: примеры, решение

Содержание

Разложение дроби на простейшие: примеры, решение

Для закрепления материала будут рассмотрены несколько примеров и рассмотрена теория по разложению дробей на простейшие. Подробно рассмотрим метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений, изучим всевозможные комбинации.

Простые дроби имеют название элементарных дробей.

Типы дробей

Дроби различают:

Ax-a;
A(x-a)n;
Mx+Nx2+px+q;
Mx+N(x2+px+q)n.

A, M, N, a, p, q из которых являются числами, а дискриминант дробей 3 и 4 меньше нуля, то есть корней не имеет выражение.

При упрощении выражения быстрее выполняются вычислительные функции. Представление дробно-рациональной дроби как суммы простейших дробей аналогично. Для этого применяют ряды Лорана для того, чтобы разложить в степенные ряды или для поиска интегралов.

Например, если необходимо брать интеграл от дробно-рациональной функции вида ∫2×3+3×3+xdx. После чего необходимо произвести разложение подынтегральной функции на простейшие дроби. Все это к формированию простых интегралов. Получаем, что

∫2×3+3×3+xdx=∫2+2x-3x+2×2+1dx==∫2dx+∫3xdx-∫3x+2×2+1dx==2x+3lnx-32∫d(x2+1)x2+1-2∫dxx2+1==2x+3lnx-32lnx2+1-2arctan(x)+C

Пример 1

Произвести разложение дроби вида -2x+3×3+x.

Решение

Когда степень числителя многочлена меньше степени многочлена в знаменателе, имеет место разложение на простейшие дроби. Иначе применяется деление для выделения целой части, после чего производят разложение дробно-рациональной функции.

Применим деление углом. Получаем, что

Отсюда следует, что дробь примет вид

2×3+3×3+x=2+-2x+3×3+x

Значит, такое разложение приведет к тому, что результат будет равен -2x+3×3+x.

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

Для того, чтобы правильно произвести разложение, необходимо придерживаться нескольких пунктов:

Произвести разложение на множители. можно применять вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, подбор корня. Имеющийся пример x3+x=xx2+1 для упрощения выносят х за скобки.
Разложение дроби на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами.

Рассмотрим на нескольких примерах:

Пример 2

Когда в знаменателе имеется выражение вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), количество множителей не имеет значения, дробь можно представить в виде дроби первого типа Ax-a+Bx-b+Cx-c+Dx-d, где a, b, c и d являются числами, A, B, C и D – неопределенными коэффициентами.

Пример 3

Когда знаменатель имеет выражение (x-a)2(x-b)4(x-c)3, количество множителей также не имеет значения, причем саму дробь необходимо привести ко второму или первому типу вида:

A2x-a2+A1x-a+B4x-b4+B3x-b3+B2x-b2+B1x-b++C3x-c3+C2x-c2+C1x-c

где имеющиеся a, b, c являются числами, а A1, A2, B1, B2, B3, B4, C1, C2, C3 — неопределенными коэффициентами. Какова степень многочлена, такое количество слагаемых имеем.

Пример 4

Когда знаменатель имеет вид типа x2+px+qx2+rx+s, тогда количество квадратичных функций значения не имеет, а дробь принимает вид третьего типа Px+Qx2+px+q+Rx+Sx2+rx+s,где имеющиеся p, q, r и s являются числами, а P, Q, R и S – определенными коэффициентами.

Пример 5

Когда знаменатель имеет вид x2+px+q4x2+rx+s2, количество множителей значения не имеет также , как и их степени, дробь представляется в виде третьего и четверного типов вида

P4x+Q4(x2+px+q)4+P3x+Q3(x2+px+q)3+P2x+Q2(x2+px+q)2+P1x+Q1x2+px+q++R2x+S2(x2+rx+s)2+R1x+S1x2+rx+s

где имеющиеся p, q, r и s являются числами, а P1,P2,P3,P4,R1,R2,S1,S2 — неопределенными коэффициентами.

Пример 6

Когда имеется знаменатель вида (x-a)(x-b)3(x2+px+q)(x2+rx+s)2, тогда дробь необходимо представить в виде четвертого типа

Ax-a+B3x-b3+В2x-b2+В1x-b++Px+Qx2+px+q+R2x+S2x2+rx+s2+R1x+S1x2+rx+s

Рассмотрим на примере дроби. Когда дробь раскладывается в сумму третьим типом вида 2x-3×3+x=2x-3x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1, где A, B и C являются неопределенными коэффициентами.

Приведение полученной суммы простейших дробей при наличии неопределенного коэффициента к общему знаменателю, применяем метода группировки при одинаковых степенях х и получаем, что

2x-3×3+x=2x-3x(x2+1)=Ax+Bx+Cx2+1==A(x2+1)+(Bx+C)xx(x2+1)=Ax2+A+Bx2+Cxx(x2+1)==x2(A+B)+xC+Ax(x2+1)

Когда х отличен от 0, тогда решение сводится к приравниванию двух многочленов. Получаем 2x-3=x2(A+B)+xC+A. Многочлены считаются равными тогда, когда совпадают коэффициенты при одинаковых степенях.

Приравнивание коэффициентов с одинаковыми степенями х. Получим, что система линейных уравнений при наличии определенных коэффициентов:
A+B=0C=2A=-3
Решение полученной системы при помощи любого способа для нахождения неопределенных коэффициентов: A+B=0C=2A=-3⇔A=-3B=3C=2
Производим запись ответа:
2×3+3×3+x=2-2x-3×3+x=2-2x-3x(x2+1)==2-Ax+Bx+Cx2+1=2—3x+3x+2×2+1=2+3x-3x+2×2+1

Необходимо постоянно выполнять проверки. Это способствует тому, что приведение к общему знаменателю получит вид

2+3x-3x+2×2+1=2x(x2+1)-(3x+2)xx(x2+1)=2×3+3×3+x

Методом неопределенных коэффициентов считают метод разложения дроби на другие простейшие.

Использование метода частных значений способствует представлению линейных множителей таким образом:

x-ax-bx-cx-d.

Пример 7

Произвести разложение дроби 2×2-x-7×3-5×2+6x.

Решение

По условию имеем, что степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, тогда деление выполнять не нужно. Необходимо перейти к разложению на множители. для начала необходимо выполнить вынесение х за скобки. Получим, что

x3-5×2+6x=x(x2-5x+6)

Квадратный трехчлен x2-5x+6 имеет корни, которые находим не по дискриминанту, а по теореме Виета. Получим:

x1+x2=5×1·x2=6⇔x1=3×2=2

Запись трехчлена может быть в виде x2-5x+6=(x-3)(x-2).

Тогда изменится знаменатель:x2-5×2+6x=x(x2-5x+6)=x(x-3)(x-2)

Имея такой знаменатель, дробь раскладываем на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Выражение примет вид:

2×2-x-7×3-5×2+6x=2×2-x-7x(x-3)(x-2)=Ax+Bx-3+Cx-2

Полученный результат необходимо приводить к общему знаменателю. Тогда получаем:

2×2-x-7×3-5×2+6x=2×2-x-7x(x-3)(x-2)=Ax+Bx-3+Cx-2==A(x-3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-3)x(x-3)(x-2)

После упрощения придем к неравенству вида

2×2-x-7x(x-3)(x-2)=A(x-3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-3)x(x-3)(x-2)⇒⇒2×2-x-7=A(x-3)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-3)

Теперь переходим к нахождению неопределенных коэффициентов. Нужно подставлять полученные значения в равенство для того, чтобы знаменатель обратился в ноль, то есть значения х=0, х=2 и х=3.

Если х=0, получим:

2·02-0-7=A(0-3)(0-2)+B·0·(0-2)+C·0·(0-3)-7=6A⇒A=-76

Если x=2, тогда

2·22-2-7=A(2-3)(2-2)+B·2·(2-2)+C·2·(2-3)-1=-2C⇒C=12

Если x=3, тогда

2·32-3-7=A(3-3)(3-2)+B·3·(3-2)+C·3·(3-3)8=3B⇒B=83

Ответ: 2×2-x-7×3-5×2+6x=Ax+Bx-3+Cx-2=-76·1x+83·1x-3+12·1x-2

Метод коэффициентов и метод частных значений отличаются только способом нахождения неизвестных. Данные методы могут быть совмещены для быстрого упрощения выражения.

Пример 8

Произвести разложение выражения x4+3×3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3 на простейшие дроби.

Решение

По условию имеем, что степень числителя многочлена меньше знаменателя, значит зазложение примет вид

x4+3×3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3=Ax-1+Bx+1+C(x-3)3+C(x-3)2+Cx-3

Производим приведение к общему знаменателю. Имеем, что

x4+3×3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3=Ax-1+Bx+1+C(x-3)3+C(x-3)2+Cx-3==A(x+1)(x-3)3+B(x-1)(x-3)3(x-1)(x+1)(x-3)3++C3(x-1)(x+1)+C2(x-1)(x+1)(x-3)+C1(x-1)(x+1)(x-3)2(x-1)(x+1)(x-3)3

Приравняем числители и получим, что

x4+3×3+2x+11==A(x+1)(x-3)3+B(x-1)(x-3)3++C3(x-1)(x+1)+C2(x-1)(x+1)(x-3)+C1(x-1)(x+1)(x-3)2

Из выше написанного понятно, что нули знаменателя – это х=1, х=-1 и х=3.

Тогда применим метод частных решений. Для этого подставим значения х. получим, что если х=1:

-5=-16A⇒A=516

Если х=-1

-15=128B⇒B=-15128

Если х=3

157=8C3⇒C3=1578

Отсюда следует, что нужно найти значения C1 и C3.

Поэтому подставим полученный значения в числитель, тогда

x4+3×3+2x-11==516(x+1)(x-3)3-15128(x-1)(x-3)3+1578(x-1)(x+1)++C2(x-1)(x+1)(x-3)+C1(x-1)(x+1)(x-3)2

Раскроем скобки для того, чтобы привести подобные слагаемые с одинаковыми степенями. Придем к выражению вида

x4+3×3+2x-11=x425128+C1+x3-8564+C2-6C1++x267332-3C2+8C1+x40564-C2+6C1+3C2-9C1-3997128

Необходимо приравнять соответствующие коэффициенты с одинаковыми степенями, тогда сможем найти искомое значение C1 и C3. Теперь необходимо решить систему:

25128+C1=1-8564+C2-6C1=367332-3C2+8C1=040564-C2+6C1=23C2-9C1-3997128=11

Первое уравнение дает возможность найти C1=103128, а второе C2=3+8564+6C1=3+8564+6·103128=29332.

Итог решения – это искомое разложение дроби на простейшие вида:

x4+3×3+2x-11(x-1)(x+1)(x-3)3=Ax-1+Bx+1+C3x-33+C2x-32+C1x-3==5161x-1-151281x+1+1578·1x-33+293321x-32+1031281x-3

Примечание

При непосредственном применении метода неопределенных коэффициентов необходимо было бы решать все пять линейных уравнений, объединенных в систему. Такой метод упрощает поиск значения переменных и дальнейшее решение в совокупности. Иногда применяется несколько методов. Это необходимо для быстрого упрощения всего выражения и поиска результата.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Разложение на простые множители / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Обыкновенные дроби
Разложение на простые множители

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители. Заметим, что при любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Например, число 150 — это произведение чисел 15 и 10, то есть 150 = 1510. Числа 15 и 10 составные, значит, их тоже можно разложить на множители: 15 = 35, 10 = 25. Значит, получаем, что 150 = 3525, в данном произведении все множители простые, то есть мы разложили число 150 на простые множители.

Разложим 150 на простые множители другим способом:

150 = 530 = 556 = 5532.

Как мы видим, в обоих случаях получились одни и те же простые множители. Обычно множители принято записывать в порядке их возрастания, то есть от меньшего к большему:

150 = 2355.

При разложении на множители удобно использовать признаки делимости на 2, 3 и 5.

Например, разложим на простые множители число 3 528:

Данное число заканчивается на чётную цифру 8, значит, оно делится на 2. Получаем 3 528 : 2 = 1 764. Проведем вертикальную черту и запишем слева от неё делимое 3 528, а справа делитель — 2. Частное запишем под числом 3 528.

Число 1 764 заканчивается тоже на четную цифру 4, а , значит, тоже делится на 2, при делении получаем в частном число 882.

882 тоже делится на 2. При делении в частном получаем число 441.

Число 441 заканчивается нечетной цифрой, значит, оно не делится на 2. Сумма цифр данного число равна 4 + 4 + 1 = 9, 9 делится на 3, значит, 441 тоже делится на 3. При делении в частном получаем число 147.

1 + 4 + 7 = 12, значит, 147 делится на 3. При делении в частном получаем число 49.

4 + 9 = 13. 13 не делится на 3, значит, 49 тоже не делится на 3. Также число 49 не заканчивается цифрами 0 и 5, а, значит, оно не делится на 5. Но 49 делится на простое число 7. При делении получаем в частном 7.

7 — это простое число и оно делится только на простое число 7. В частном получаем 1:

Разложение закончено. При этом справа от черты мы получили все простые множители, на которые можно разложить число 3 528. Получаем:

3 528 = 2223377.

При этом одинаковые множители можно заменить степенью, то есть мы можем записать:

3 528 = 2³3²7².

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 165, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 167, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 173, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 223, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 247, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 537, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 11, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 121, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 181, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 3, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

7 класс

Номер 349, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 434, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Обзор факторинга с примерами — Smartick

Еще раз привет! Вы знаете, что такое факторинг ? Вы знаете, для чего он используется? В этом посте мы ответим на эти вопросы.

Как разложить на множители

Факторизация числа выполняется путем записи числа как произведения всех его простых множителей.

Пример:

12 = 2 x 2 x 3

Вы также можете выразить это с помощью степеней:

12 = 2 ² x 3

Если вы хотите увидеть больше примеров факторинга, нажмите здесь.

Теперь, когда мы знаем, как факторизовать, давайте посмотрим, для чего он полезен и как мы можем его использовать.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК)

НОК набора чисел вычисляется путем факторизации всех чисел. После факторизации выбираются общие кратные с наибольшим показателем степени и кратные, которые не являются общими. Они умножаются, и в результате получается LCM этих чисел.
Пример:

LCM (12, 20)

Мы учитываем числа:

12 = 2 ² x 3

20 = 2 ² x 5

Теперь мы выбираем общие множители (22) и необщие множители (3 и 5)
Умножьте множители:

2 ² x 3 x 5 = 60

Следовательно, НОК (12, 20) = 60

Вычисление наибольшего общего делителя (GCF)

GCF рассчитывается путем факторизации всех чисел. После факторизации выбираются общие множители, возведенные в меньшую степень. После этого коэффициенты умножаются.
Пример:

GCF (30, 40)

Мы учитываем числа:

30 = 2 x 3 x 5

40 = 2 ³ x 5

9
выбрать самые высокие общие множители, возведенные в низшую степень (2 и 5)
Умножить множители:
2 x 5 = 10
Следовательно, GCF (30, 40) = 10
Для упрощения дробей
Дроби упрощаются путем деления числителя и знаменателя на одно и то же число до тех пор, пока они не будут иметь общих делителей. Пользоваться факторингом в этом случае очень просто: мы факторизуем числитель и знаменатель, затем сокращаем общие множители и, наконец, умножаем оставшиеся множители.
Пример: Сначала разложите числитель и знаменатель.
Теперь сократите множители, которые находятся в числителе и знаменателе.
Факторы, которые остались, это факторы, которые мы должны умножить.
И это упрощенная дробь!
Выполнение умножения
Некоторые умножения могут быть проще, если сначала выполнить разложение на множители, поскольку множители можно удобно сгруппировать.
Пример:
25 x 12

Мы учитываем числа:
25 = 5 x 5
12 = 2 x 2 x 3
Следовательно, 25 x 12 = 5 x 5 x 2 х 2 х 3
Возьмем 2 и 5 с одной стороны и остальные множители с другой.
Таким образом, мы можем выполнить умножение гораздо проще.
Как правило, факторинг можно использовать для упрощения числовых расчетов. Можете ли вы придумать какой-либо другой способ использования факторинга? Поделись с нами!
И вы уже знаете: чтобы продолжить изучение факторинга и всех предметов математики, зарегистрируйтесь в Smartick и станьте математическим гением ☺.
Подробнее:
Автор
Последние сообщения
Smartick
Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.
Последние сообщения от Smartick (посмотреть все)
Как разложить многочлены на множители
Лучший способ разложения многочленов на множители начинается с преобразования дробей в более простые термины. Полиномы представляют собой алгебраические выражения с двумя или более членами, точнее, суммой нескольких членов, которые имеют разные выражения одной и той же переменной. Стратегии, которые помогают упростить многочлены, включают в себя выделение наибольшего общего множителя с последующим группированием уравнения в его наименьшие члены. То же самое справедливо и при решении многочленов с дробями.
Определение многочленов с дробями
У вас есть три способа просмотра многочленов фраз с дробями. Первая интерпретация касается многочленов с дробями в качестве коэффициентов. В алгебре коэффициент определяется как числовая величина или константа, находящаяся перед переменной. Другими словами, коэффициенты для 7_a_, b и (1/3) c равны 7, 1 и (1/3) соответственно. Таким образом, двумя примерами многочленов с дробными коэффициентами будут: 92 + x — 2}
оценивается с помощью разложения на неполные дроби, которое, кстати, включает разложение многочленов на множители, и в простейшей форме будет:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg) +\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
Основы факторинга – распределительное свойство и метод FOIL
Факторы представляют собой два числа, которые при умножении дают третье число. В алгебраических уравнениях факторизация определяет, какие две величины были перемножены, чтобы получить данный многочлен. Дистрибутивное свойство сильно соблюдается при умножении многочленов. Распределительное свойство по существу позволяет умножать сумму, умножая каждое число по отдельности перед добавлением произведений. Обратите внимание, например, как применяется распределительное свойство в примере:
7(10x + 5) \text{ для получения бинома } 70x + 35.
Но, если два бинома умножаются вместе, то используется расширенная версия распределительного свойства с помощью метода FOIL. FOIL представляет собой аббревиатуру для перемножения первых, внешних, внутренних и последних терминов. Следовательно, разложение полиномов на множители влечет за собой выполнение метода FOIL в обратном порядке. Возьмем два вышеупомянутых примера с полиномами, содержащими дробные коэффициенты. Выполнение метода FOIL в обратном порядке для каждого из них приводит к коэффициентам 92 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg(x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg(x + \frac{1}{2} \bigg)
Действия при разложении полиномиальных дробей на множители
Как видно из вышеизложенного, полиномиальные дроби включают полином в числителе, деленный на полином в знаменателе.
No related posts.