Внеклассный урок — Рациональные неравенства с одной переменной. Метод интервалов
Рациональные неравенства с одной переменной. Метод интервалов.Рациональные неравенства с одной переменной – это неравенства вида f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0,
где f(x) – рациональное выражение.
Рациональные неравенства удобно решать методом интервалов.
Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов:
1) Представить левую часть неравенства в виде функции у = f(x). 2) Найти область определения функции (при которой эта функция имеет смысл). 3) Найти корни функции (нули функции). 4) Определить интервалы знакопостоянства. 5) Определить знак функции на каждом интервале. 6) Выписать значения х, при которых неравенство верно. |
Пример. Решить неравенство (х + 3) (х – 1) < 0.
Решение.
Следуем алгоритму.
1) Вводим функцию для левой части:
у = (х + 3) (х – 1).
2) Областью определения функции является все множество Х (Х ∈ R)
3) Вычисляем корни функции. То есть находим такие значения х,
при которых у = 0. Для этого каждый множитель приравниваем к нулю и вычисляем их корни:
х + 3 = 0;
х – 1 = 0.
Отсюда:
х = –3; х = 1.
4) Выделяем интервалы знакопостоянства. Для этого на оси х отмечаем наши точки (рис.1). У нас получилось три интервала:
(-∞; -3), (-3; 1), (1; +∞)
5) Чтобы определить знаки функции в каждом интервале, составим таблицу значений х (см.таблицу, рис.3):
Пояснения:
Числа –3 и 1 мы выписали в отдельный столбик, потому что они тоже являются значениями х, и их тоже надо учитывать.
В интервалах они не учтены, потому что, напомним правило, интервал не включает в себя конечные точки.
Первый множитель х + 3 равен нулю при х = –3. Поэтому под –3 в строке множителя М1 пишем 0. Естественно, слева от нуля значения х отрицательные, справа от нуля – положительные. Вписываем эти знаки.
Второй множитель х – 1 равен нулю при х = 1. Поэтому под 1 в строке множителя М2 пишем 0. Слева от 0 пишем знаки минус, справа – знак плюс.
В строке у = М1 · М2 подводим итоги по знакам.
Под интервалом (–∞;–3) у нас два знака минус. А произведение двух минусов дает плюс.
Следовательно, под этим интервалом в строке у = М1 · М2 пишем +. Это значит, что в интервале (–∞;–3) функция положительна. Отмечаем это и на графике.
Под –3 у нас один из множителей равен нулю. А произведение двух чисел, из которых одно равно нулю, есть ноль.
Значит, функция равна нулю. Пишем 0.
Под интервалом (–3; 1) у нас плюс и минус. Произведение минуса и плюса дает минус. Следовательно, пишем минус. Это значит, что в интервале (–3; 1) функция у = М1 · М2 отрицательна. Отмечаем это и на графике.
Под 1 у нас один из множителей равен нулю – значит, и вся функция опять равна нулю. Пишем 0.
И наконец, в интервале (1; +∞) у нас оба множителя дают положительные значения – значит, функция положительная. Пишем + в таблице и на графике.
Теперь мы легко можем нарисовать и примерный вид графика. Это кривая, пересекающаяся с осью х в точках -3 и 1 (рис.2).
6) Но главное, мы, наконец, можем уже определить значения х, при которых функция меньше нуля. Мы видим, что в интервале (–3; 1) произведением двух множителей являются отрицательные числа – то есть числа, которые меньше нуля. Значит, числа, входяшие в этот интервал, и являются решением нашего неравенства.
Ответ: (х + 3) (х – 1) < 0 при х ∈ (–3; 1).
Есть еще один способ выяснения знака функции — метод пробной точки.
Принцип прост: достаточно в каждом интервале вычислить значение лишь одной любой точки – знак этого числа и окажется знаком всего интервала.
Порядок таков. В каждом интервале произвольно выбираем любую точку и вычисляем ее значение. Например, в нашем примере в первом интервале выбираем точку –4. Подставляем это число вместо х и выясняем знак:
у(–4) = (–4 + 3)( –4 – 1) > 0.
Важный вывод: это значит, что не только в точке –4, но и во всех точках интервала (–∞;–3) функция положительна. Можете это проверить, подставив несколько других значений х из интервала (–∞;–3): все значения функции будут положительные.
Точно так же вычисляем знаки функции в двух других интервалах.
Ответ будет тот же: х ∈ (–3; 1).
ПРИМЕЧАНИЕ:
Если бы было задано неравенство (х + 3) (х – 1) > 0, то ответом было бы объединение двух множеств:
х ∈ (–∞;–3) U (1; +∞).
Если бы было задано неравенство (х + 3) (х – 1) ≤ 0, то ответ получился бы таким:
х ∈ (–∞;–3] U х = –3; 1.
Алгебра Решение неравенств методом интервалов
Материалы к уроку
Конспект урока
Рассмотрим функцию эф от икс равно произведению линейных множителей, первый из которых равен сумме икс и три, второй разности икс и четыре, третий – разности икс и шесть.
Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа минус три, четыре, шесть. Они разбивают область определения функции на промежутки от минус бесконечности до минус трех, от минус трех до четырех, от четырех до шести и от шести до плюс бесконечности.
Выясним, какие знаки имеет функция в каждом из этих промежутков.
Выражение, равное произведению линейных множителей, первый из которых равен сумме икс и три, второй разности икс и четыре, третий – разности икс и шесть представляет собой произведение трех множителей.
Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице…
Отсюда ясно, что если икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус трех, то функция принимает отрицательные значения;
если икс принадлежит промежутку от минус трех до четырех, то функция принимает положительные значения;
если икс принадлежит промежутку от четырех до шести, то функция принимает отрицательные значения;
если икс принадлежит промежутку от шести до плюс бесконечности, то функция принимает положительные значения.
Мы видим, что в каждом из промежутков функция сохраняет знак, а при переходе через точки минус три, четыре и шесть ее знак изменяется.
Вообще пусть функция задана следующей формулой…. В ней икс – переменная, а икс первое, икс второе, икс энное — не равные друг другу числа, которые являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств следующего вида…., где икс первое, икс второе, икс энное – не равны друг другу.
Решим неравенство: произведение трех линейных сомножителей, первый из которых равен сумме икс и семь, второй – сумме икс и два, третий – разности икс и три меньше нуля.
Для решения этого неравенства мы можем воспользоваться рассмотренным выше свойством чередования знаков функции. Отметим на координатной прямой нули функции. Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков: от минус бесконечности до минус семи, от минус семи до минус двух, от минус двух до трех, от трех до плюс бесконечности. Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из этих промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка – от трех до плюс бесконечности, так как в нем значения функции заведомо положительны. Это объясняется тем, что при значениях икс, расположенных правее всех нулей функции, каждый из множителей положителен.
Используя свойство чередования знаков, определим, двигаясь по координатной прямой справа налево, знаки данной функции в каждом из остальных промежутков…
Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков от минус бесконечности до минус семи и от минус двух до трех.
Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.
Пример второй. Решим неравенство: произведение икс, разности один и икс.. и суммы икс и пять меньше нуля.
Вынесем за скобку в двучлене один минус икс множитель минус один и поменяем знак неравенства. Получим произведение икс, разности икс и один и суммы икс и пять, которое больше нуля. Мы получили неравенство рассматриваемого нами вида.
Отметим на координатной прямой нули функции эф от икс равно произведению икс, разности икс и один.. и суммы икс и пять. Покажем знаком «плюс», что в крайнем справа промежутке функция принимает положительное значение, а затем, двигаясь справа налево, укажем знак функции в каждом из промежутков.
Получим, что множеством решений неравенства является объединение промежутков от минус пяти до нуля и от единицы до плюс бесконечности.
Пример третий. Решим неравенство: сумма пять икс плюс один, умноженная на разность два и икс больше либо равна нулю.
Приведем неравенство к рассматриваемому нами виду. Для этого вынесем за скобки в первом множителе пять, а во втором минус один. Получим произведение из трех множителей, первый из которых равен минус пять, второй – икс плюс одна пятая, третий – икс минус два, больше либо равно нулю. Разделив обе части на минус пять, получится неравенство: сумма икс и одной пятой, умноженная на разность икс и два, меньше либо равна нулю.
Отметим на координатной прямой нули функции эф от икс равно сумма икс и одной пятой, умноженная на разность икс и два, то есть точки минус одна пятая и два. Укажем знаки функции в образовавшихся промежутках. Мы видим, что множество решений неравенства состоит из чисел одна пятая и два и чисел, заключенных между ними.
Отметим, что данное неравенство можно решить иначе, используя свойства графика квадратичной функции.
Пример четвертый. Решим неравенство: разность восемь и икс, деленная на икс плюс один, меньше нуля.
Так как знак дроби из левой части неравенства, при всех имеющих смысл значениях икс, совпадает со знаком произведения… разность восьми и икс, умноженная на сумму икс и один, то данное неравенство равносильно неравенству: разность восьми и икс, умноженная на сумму икс и один, меньше нуля. Приведя его к рассматриваемому виду и используя метод интервалов, найдем, что множеством решений этого неравенства, а значит и исходного, является объединение промежутков минус бесконечность-минус один… и восемь-плюс бесконечность.
Рассмотрим пятый пример. Решим неравенство: разность восемнадцать и три икс, деленная на разность икс и два, больше либо равна нулю.
Знак дроби из левой части неравенства совпадает со знаком произведения разности восемнадцать и три икс.. и разности икс и два.
. при всех значениях икс, при которых дробь имеет смыл. Поэтому данное неравенство равносильно следующей системе…
Неравенство: разность восемнадцати и три икс, умноженная на разность икс и два, больше либо равна нулю, приведем к виду разность икс и шесть, умноженная на разность икс и два, меньше либо равна нулю.
Решив это неравенство методом интервалов и исключив из множества его решений число два, найдем, что множеством решений исходного неравенства является промежуток от двух до шести, включая число шесть.
Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ
Выбрать репетитора
Как решать С3. Урок 2. ЕГЭ по математике 2014. Метод интервалов — решения.егэцентр.рф
Здравствуйте!
Как и обещал, сейчас мы разберем решения нескольких рациональных неравенств методом интервалов.
2+x — \sqrt{10} x -\sqrt{10} =$$
$$=x·(x+1) -\sqrt{10}·(x+1) = (x+1)·(x- \sqrt{10}).$$
Как бы это ни было печально, но некоторые ученики забывают, что можно так легко разложить многочлен на множители. (Вообще говоря, эта тема заслуживает отдельного урока.)
Итак, продолжаем решение.
$$(x+1)·(x- \sqrt{10}) \leqslant 0.$$
Отметим нули и знаки функции на `Ox`.
В ответ пойдут интервалы с плюсом и нули функции: `(-∞, -1] \cup [\sqrt{10},∞)`.
Метод интервалов и большое рациональное неравенство с дробями
Наконец, перейдем к более сложным заданиям. Например, решим следующее неравенство:
$$\frac{6}{x\sqrt{3}-3}+\frac{x\sqrt{3}-6}{x\sqrt{3}-9}\geqslant 2.$$
Чтобы немного сократить запись, давайте выполним замену `t= x\sqrt{3}`. Дальнейших объяснений не привожу.
$$\frac{6}{t-3}+\frac{t-6}{t-9}\geqslant 2,$$
$$\frac{6}{t-3}+\frac{t-6}{t-9}-2\geqslant 0,$$
$$\frac{6(t-9) + (t-3)(t-6) — 2(t-3)(t-6)}{(t-3)(t-9)}\geqslant 0,$$
$$\frac{6t — 54+ t^2 — 9t + 18 — 2(t^2 — 12t+27)}{(t-3)(t-9)}\geqslant 0,$$
$$\frac{-t^2 +21t -90}{(t-3)(t-9)}\geqslant 0,$$
$$\frac{-(t-15)(t-6)}{(t-3)(t-9)}\geqslant 0,$$
$$\frac{(t-15)(t-6)}{(t-3)(t-9)}\leqslant 0.
2 +2.5t +1}{t} \geqslant 0.\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}\frac{(t-2) (t-0.5)}{t} \leqslant 0, \\ \frac{(t+2) (t+0.5)}{t} \geqslant 0.\end{array}\right.$$
Нули функции для первого неравенства: `2, 0.5 , 0`; для второго неравенства: `-2, -0.5, 0`.
Отметим решения обоих неравенств на числовой оси.
Таким образом, видно, что решение системы неравенств для переменной `t` будет: `[-2,-0.5]\cup [0.5,2]`.
Теперь решим неравенство для `x`, вернувшись к замене `t = \frac{5x-21}{10}`.
$$\left[\begin{array}{l} -2 \leqslant \frac{5x-21}{10}\leqslant -0.5, \\ 0.5 \leqslant \frac{5x-21}{10}\leqslant 2.\end{array}\right.$$
$$\left[\begin{array}{l} -20 \leqslant 5x-21\leqslant -5, \\ 5 \leqslant 5x-21\leqslant 20.\end{array}\right.$$
$$\left[\begin{array}{l} 1 \leqslant 5x\leqslant 16, \\ 26 \leqslant 5x\leqslant 41.\end{array}\right.$$
$$\left[\begin{array}{l} \frac{1}{5} \leqslant x\leqslant 3\frac{1}{5}, \\ 5\frac{1}{5} \leqslant x\leqslant 8\frac{1}{5}.
2 \end{array}\right.`
На этом все. Оставляйте вопросы в комментариях, будем разбираться вместе. Оставляйте лайки и делитесь с друзьями! До новых встреч.
PS: В видео есть разбор всех неравенств этого урока.
Решение Полиномиальные неравенства (стр. 1 из 2) Первый шаг в решении
полиномиальное неравенство состоит в том, чтобы найти нули полинома (его x -перехватов).
Между любыми двумя последовательными нулями многочлен будет либо положительным,
или отрицательный.
Так как они уже учтены этот полином, большая часть моей работы уже сделана. Так что я пойду прямо нахождение нулей: х +
4 = 0, значит х = 4 Эти три нуля делят
ось x на четыре интервала: (бесконечность,
4), (4, 2), (2, 7),
и (7, + бесконечность). Из этого знания я знать, что многочлен может быть выше оси («больше нуля») только на втором и четвертом интервале, так что я могу сразу перейти к решение: Вы можете проверить это решение из графика: Авторское право Элизабет Стапель 2005-2011 Все права защищены Как видите, знакомый
с многочленами и их формами может сделать вашу жизнь проще для некоторых
из этих проблем.
Факторы дают мне нули многочлена, а нули дают мне следующие интервалы позитива и негатива: (бесконечность, 4), (4, 2), (2, 7), и (7, + бесконечность). Мне просто нужно выяснить, какие инвервалы положительны, а какие нет. отрицательный. У меня есть три фактора, поэтому я составлю таблицу факторов с интервалы отмечены: В этой таблице есть строка
для каждого фактора, строка для числовой прямой и строка для
многочлен. Сейчас разберусь где каждый фактор положителен. (Каждый фактор будет отрицательным везде, где он не положительный.) отмечу в таблице интервалы, в которых каждый из факторов положителен: …а потом я отмечаю факторы как отрицательные везде: Факторы умножаются вместе, чтобы создать многочлен; знаки факторов умножаются вместе, чтобы дать знак многочлена. Так что я умножу знаки факторов на каждом интервале, чтобы найти общий знак многочлена на этом интервале: В первом интервале
от минус бесконечности до 4,
было три знака «минус», а произведение трех минусов
является отрицательным.
Во втором интервале, от 4 до
2,
было два знака «минус» и произведение двух минусов
является положительным. Теперь я могу прочитать решение со стола. Мне нужны интервалы, где полином положительный, поэтому я выберу интервалы, в которых есть знак «плюс» в нижней строке моей таблицы: Самый простой способ решения для полиномиальных неравенств — это использовать то, что вы знаете о полиномиальных формах, но формы не всегда достаточно, чтобы дать вам ответ. Тест-пойнт Метод из вашей книги в конце концов даст вам ответ, но он может быть много работы. Метод таблицы факторов быстрее, чем контрольные точки и, поскольку никаких вычислений не требуется, он менее подвержен ошибкам. Так если ваш инструктор не настаивает на использовании метода контрольных точек, попробуйте освоить метод таблицы факторов. Это сделает вашу жизнь намного проще. Топ | 1 | 2 | Возвращаться к индексу Далее >>
|
|
|
Поскольку неравенство требует положительности («большее
чем ноль») или отрицательность («меньше нуля»), нахождение
перехваты («равные нулю») — это способ начать работу. если ты
подумайте о проблеме графически, нули находятся там, где многочлен
пересекает 
Мне нужно выяснить, на каком из этих интервалов график полинома
выше x — ось.
Если бы я перемножил коэффициенты, я бы получил положительную кубическую величину.
многочлен, и я
знаю что такое
куб выглядит так: он начинается вниз слева, поднимается к
ось и, в конечном итоге, приближается вверх вправо с небольшим изгибом
посередине примерно так: 
Но что, если вы не узнали об их формах,
или если полином сложнее, или если надо «показать
ваши рассуждения»? Ваша книга, вероятно, болтала о «испытании
точек», но этот метод требует много вычислений, поэтому я предпочитаю
более легкий метод. Я повторю приведенное выше упражнение, используя «фактор
метод».
Каждая строка разбита на столбцы, каждому столбцу соответствует
интервалу между нулями на числовой прямой.
И так далее.
«Решение полиномиальных неравенств». Пурпурная математика .
Доступен по номеру 2.7: Введение в неравенства и обозначения интервалов
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 24428
- Анонимный
- LibreTexts
Цели обучения
- Нарисуйте решения одного неравенства на числовой прямой и выразите решения, используя интервальную запись.
- Нанесите решения сложного неравенства на числовую прямую и выразите решения, используя запись интервалов.
Неограниченные интервалы
Алгебраическое неравенство, такое как \(x≥2\), читается как «\(x\) больше или равно \(2\)». Это неравенство имеет бесконечно много решений относительно \(х\). Некоторые из решений: \(2, 3, 3.5, 5, 20,\) и \(20,001\). Поскольку невозможно перечислить все решения, необходима система, позволяющая четко передавать этот бесконечный набор. Два распространенных способа выражения решений неравенства — это их графическое изображение на числовой прямой и использование интервальной записи.
Чтобы выразить решение графически, нарисуйте числовую линию и заштрихуйте все значения, являющиеся решениями неравенства. Обозначение интервала является текстовым и использует следующие специальные обозначения:
Рисунок \(\PageIndex{1}\)
Определите обозначение интервала после построения графика набора решений на числовой прямой.
Числа в интервальной записи следует записывать в том же порядке, в котором они появляются в числовой строке, причем меньшие числа в наборе появляются первыми. В этом примере имеется инклюзивное неравенство, что означает, что нижняя граница 2 включена в решение. Обозначьте это закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в обозначении интервала. Символ (∞) читается как бесконечность и указывает на то, что множество не ограничено справа на числовой прямой. Интервальное обозначение требует скобок для заключения бесконечности. Квадратная скобка указывает, что граница включена в решение. Скобки означают, что граница не включена. Бесконечность является верхней границей действительных чисел, но само не является действительным числом: оно не может быть включено в набор решений.
Теперь сравните обозначение интервала в предыдущем примере со строгим, или неинклюзивным, неравенством в следующем примере:
подойти очень близко к граничной точке, в данном случае 2, но фактически не включать ее.
Обозначим эту идею открытой точкой на числовой прямой и круглой скобкой в записи интервала.
Пример \(\PageIndex{1}\)
Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:
\(x<3\).
Решение :
Используйте открытую точку в \(3\) и заштрихуйте все действительные числа строго меньше \(3\). Используйте отрицательную бесконечность \((−∞)\), чтобы указать, что набор решений не ограничен слева на числовой прямой.
Рисунок \(\PageIndex{3}\)
Ответ :
Обозначение интервала: \((-∞, 3)\)
Пример \(\PageIndex{2}\)
Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:
\(x≤5\).
Решение :
Используйте закрытую точку и тень. : \((−∞, 5]\)
Важно видеть, что \(5≥x\) совпадает с \(x≤5\). Оба требуют, чтобы значения \(x\) были меньше чем или равно \(5\). Во избежание путаницы рекомендуется переписать все неравенства с переменной слева.
Кроме того, при использовании текста используйте «inf» как сокращенную форму бесконечности. Например, \ ((−∞, 5]\) может быть выражено текстуально как \((−\)inf, \(5]\).
Составное неравенство — это фактически два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». Составные неравенства с логическим «или» требуют выполнения любого из условий. Следовательно, множество решений этого типа составного неравенства состоит из всех элементов множеств решений каждого неравенства. Когда мы соединяем эти отдельные наборы решений, это называется объединением, обозначаемым \(∪\). Например, решения сложного неравенства \(x<3\) или \(x≥6\) можно изобразить следующим образом:
Рисунок \(\PageIndex{5}\)
Иногда мы сталкиваемся с составными неравенствами, когда отдельные наборы решений перекрываются. В случае, когда составное неравенство содержит слово «или», мы объединяем все элементы обоих множеств, чтобы создать одно множество, содержащее все элементы каждого из них.
Пример \(\PageIndex{3}\)
Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:
\(x≤−1\) или \(x<3\).
Решение :
Объедините все решения обоих неравенств. Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения объединения, которое изображено на числовой строке ниже.
Рисунок \(\PageIndex{6}\)
Ответ :
Обозначение интервала: действительное \((−∞, 3)\)
Любое число ) в заштрихованной области числовой прямой будет удовлетворять хотя бы одному из двух заданных неравенств.Пример \(\PageIndex{4}\)
Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:
\(x<3\) или \(x≥−1\).
Решение :
Оба набора решений показаны над объединением, которое показано ниже.
Рисунок \(\PageIndex{7}\)
Ответ :
Интервальное обозначение: \(R = (−∞, ∞ 9 обоих решений)\)
образуют объединение, вы можете видеть, что все действительные числа удовлетворяют исходному составному неравенству.
In summary,
Figure \(\PageIndex{8}\)
Figure \(\PageIndex{9}\)
and
Рисунок \(\PageIndex{10}\)
Рисунок \(\PageIndex{11}\)
Ограниченные интервалы
8 3\)гласит: «\(−1\) единица меньше или равна \(x\) и \(x\) меньше трех». Это составное неравенство, поскольку его можно разложить следующим образом:
\(-1\leq x\) и \(x<3\)
Логическое «и» требует, чтобы оба условия были истинными. Обоим неравенствам удовлетворяют все элементы пересечения, обозначаемые \(∩\), множеств решений каждого из них.
Пример \(\PageIndex{5}\)
Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:
\(x<3\) и \(x≥−1\).
Решение :
Определите пересечение или перекрытие двух наборов решений.
Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения пересечения, которое изображено на числовой строке ниже.
Рисунок \(\PageIndex{12}\)
Здесь \(x=3\) не является решением, поскольку оно решает только одно из неравенств.
Ответ :
Обозначение интервала: \([−1, 3)\)
Альтернативно, мы можем интерпретировать \(−1≤x<3\) как все возможные значения для \(x\) между или ограничен \(−1\) и \(3\) на числовой прямой. Например, одним из таких решений является \(x=1\). Обратите внимание, что \(1\) находится между \(−1\) и \(3\) на числовой прямой или что \(−1 <1 <3\). Точно так же мы можем видеть, что другими возможными решениями являются \(−1, −0,99, 0, 0,0056, 1,8\) и \(2,99\). Поскольку между \(−1\) и \(3\) бесконечно много действительных чисел, мы должны выразить решение графически и/или с помощью интервальной записи, в данном случае \([−1, 3)\).
Пример \(\PageIndex{6}\)
Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:
\(−\frac{3}{2}
Решение :
Закрасьте все действительные числа, ограниченные или строго между \(−\frac{3}{2}=−1\frac{1}{2}\) и \(2\).
Рисунок \(\PageIndex{13}\)
Ответ :
Обозначение интервала: \((−\frac{3}{2}, 2)\) Пример
\(
Однако другие ресурсы, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используют альтернативный метод для описания множеств, называемый обозначением построителя множеств. Мы использовали обозначение множеств для перечисления таких элементов, как целые числа
Вертикальная черта \((|)\) читается как «такая, что». Наконец, утверждение \(x≥2\) является условием, описывающим множество с помощью математической записи. На данном этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа. По этой причине вы можете опустить «\(∈R\)» и написать \(\{x|x≥2\}\), что читается как «множество всех действительных чисел \(x\), таких что \ (x\) больше или равно \(2\)».
\((−∞, −3]\)
\((−2, 5)\)
\(Р\)
Мы используем открывающую скобку, ) или (,
для обозначения того, что конечная точка не включена, и закрывающая скобка ] или [ чтобы показать, что конечная точка включена.
Представление неравенства в интервальной записи
Мы используем открытую левую скобку на 1, чтобы показать, что это значение не включено, и закрытую правую скобку
в 4, чтобы показать, что это значение включено в набор решений и удовлетворяет неравенству.
Это дает
10×5𝑥−11010×(−2𝑥+5)5𝑥−1−20𝑥+50.
Стоит отметить, что 5125=2,04 и 75=1,4. Таким образом, это эквивалентно утверждению, что 𝑥 должно быть больше 1,4 и меньше 2,04. Мы можем записать это как интервал
используя открытые круглые скобки, чтобы показать, что конечные точки не включены.
Это дает нам
√2×𝑥√2√2×−√2𝑥+√2𝑥√2×−√2𝑥+√2.
Это неравенство можно записать в виде интервала
используя открытые круглые скобки, чтобы показать, что конечные точки не включены.