В уравнении 5(x + 3)=5x + 15 бесконечное количество корней, т.к. оно превращается в истинное равенство при любом $x \in \Bbb R$, т.е. является тождеством.
Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.
п.2. Примеры
Пример 1. Решите уравнение и выполните проверку x — (3 — 2x) = 9
Решение:
x-(3-2x)=9 $\iff$ x-3+2x=9 $\iff$ x+2x=9+3 $\iff$ 3x=12 $\iff$ x=4
Проверка:
$4 -(3 — 2 \cdot 4)=9 \implies 4 — 3 + 8 = 9 \implies 9 \equiv 9$
Ответ: x = 4
Пример 2. Решите уравнение и выполните проверку 7(x + 3) = 56
Решение:
7(x + 3)=56 |:7 $\iff$ x + 3 = 8 $\iff$ x = 8 — 3 $\iff$ x=5
Проверка:
$7(5 + 3) = 56 \implies 7 \cdot 8 = 56 \implies 56 \equiv 56$
Ответ: x = 5
Пример 3. Решите уравнение и выполните проверку (3x + 4) : 2 = 14
Решение:
(3x + 4) : 2=14 |$\times$2 $\iff$ 3x + 4 = 28 $\iff$ 3x = 28 — 4 $\iff$ 3x = 24 $\iff$ x=8
Проверка:
$(3 \cdot 8 + 4) : 2 = 14 \implies (24 + 4) : 2 = 14 \implies 28 : 2 = 14 \implies 14 \equiv 14$
Ответ: x = 8
Пример 4.
Решите уравнение $ \frac{3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0$
Решение:
$\frac {3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0 | \times 15 \iff5(3x-7)-3(5x-11)=0 \iff$
$ \iff 15x-35-15x+33=0 \iff 0x=2 \iff x \in \varnothing $
Решений нет.
Ответ: $x \in \varnothing $
Пример 5. Решите уравнение $\frac {2x — 7}{2} = \frac {3x+6}{3}$
Решение:
$\frac {2x-7}{2}=\frac {x+6}{3} | \times 6 \iff 3(2x-7)=2(x+6) \iff 6x-21=2x+12 \iff $
$\iff 6x-2x=12+21 \iff 4x=33 \iff x= \frac {33}{4} =8 \frac 14$
Ответ: $8 \frac 14$
Пример 6. Решите уравнение |x+1|=5
Решение:
$$|x+1|=5 \iff \left[ \begin{array}{cc} {x+1=-5}\\ {x+1=5} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x=-5-1}\\ {x=5-1} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x_1=-6}\\ {x_2=4} \end{array} \right. $$
Ответ: $ x_1=-6, x_2=4$
Пример 7*. Решите уравнение и выполните проверку |x + 1| = x + 3
Решение:
$$ |x + 1| = x + 3 \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+1 \ge 0 \\ x+1=x+3 \end{array} \right.
}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x+1<0 \\ -(x+1)=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1 \\ 1=3 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-1=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff $$
$$ \iff \left[ \begin{array}{cc} {\emptyset}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-x=3+1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {-2x=4} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {x=-2} \end{array} \right. \iff x=-2 $$
Проверка:
$$|-2+1|=-2+3 \implies |-1|=1\implies 1 \equiv 1$$
Ответ: x = -2
Пример 8. При каком значении a уравнение 5ax + 18 = 3 будет иметь корень x = -3?
Решение:
Подставляем x=-3 в уравнение и решаем его относительно параметра a:
5a $\cdot$ (-3) + 18 = 3 $\iff$ -15a = 3 — 18 $\iff$ -15a = -15 $\iff$ a = -15:(-15)=1
a=1
Ответ: a = 1
Корень уравнения – определение (6 класс, математика)
4.
3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 154.
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 154.
Тема уравнения сопровождает учеников на протяжении всей школьной программа. Немного странно, что большая часть учащихся 6 класса математики забывают, что же такое корень и решают уравнения, не понимая своих действий. Чтобы не допускать этой ошибки поговорим обо всех особенностях корней уравнения
Неизвестное
Чтобы говорить об уравнениях, нужно вспомнить, что такое неизвестное. Под неизвестным понимается буквенное выражение, которое в общем случае может принимать абсолютно любое значение.
Неизвестные могут перемножаться с числом или друг с другом. Таким образом, получается классический одночлен. Например, выражение 3 а*в является одночленом.
Если одночлены складываются, вычитаются или делятся друг на друга, получается многочлен. Многочлен, приравненный к какому-то числу, называется тождеством.
После того, как многочлен приравняли к какому-то числу, превратив его в тождество, появляются некоторые ограничения.
Этих ограничений может быть недостаточно для того, чтобы точно определить значения неизвестных, но они есть.
Функция
Именно такие ограничения и называются функцией. Функцией зовется зависимость одной неизвестной от другой или других неизвестных. Например, в выражении:
х+у=12 – от выбранного значения х зависит значение у и наоборот.
В классическом виде функция имеет вид у(х)=в . В качестве независимого параметра принимается число х, в качестве зависимого – у. Это значит, что число х принимается равным любому числу, а у высчитывается в соответствии с этим равенством. Если х уже задан, то у нельзя принимать любым числом, из-за строгого ограничения функции у числа у появляется единственно определенное значение.
Число у зовется функцией, а число х аргументом. При этом у функции может быть множество аргументов, но у аргумента может быть только одна функция. Например, в функции у=x+z+n – 3 аргумента. Такие функции не используются в школьной программе, но нельзя забывать, что они существуют.
Функции часто изображаются в виде графиков. На плоскости можно отобразить зависимость функции лишь от одного аргумента. Но в пространстве можно отобразить изменение функции в зависимости от двух аргументов.
Существую типовые функции, поведение которых на графике изучено. Каждая из таких функций имеет свое название. Например:
- Линейная функция
- Квадратичная функция
- Степенная функция
- Логарифмическая функция и так далее
Большую часть типовых функций ученики изучают в математике старших классов.
Корень уравнения
Важно понять, что любое уравнение это частный случай функции. Уравнение это точка или точки пересечения двух функций. Задачей любого уравнения является нахождение координат точки пересечения этих функций. Так как график функции может быть не только прямой линией, то количество корней уравнения может быть разным. Если количество корней определено, то их называют простыми корнями уравнения.
Корнем уравнения называют значение х, при котором тождество выполняется.
То есть это значение, при котором не нарушается равенство правой и левой сторон. Приведем пример:
х+10=5 – это уравнение, как и любое другое, представляет собой равенство двух функций:
у=х+10
у=5
Точку пересечения можно найти при х = -5. Корень только один, так как оба графика будут являться прямыми линиями, а прямые пересекаются только в одной точке.
В любом степенном уравнении количество корней равняется старшей степени многочлена. Корни могут быть одинаковыми. Линейное уравнение является частным случаем степенного, со старшей степенью равной 1. По этой же причине, в линейных уравнениях всегда один корень.
Что мы узнали?
Мы подробно разобрали определение корня уравнения. Рассмотрели обозначения неизвестных и узнали, что такое функция.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.
3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 154.
А какая ваша оценка?
Поиск корней — Бесплатная помощь по математике
Что такое «корень»?
Корень — это значение, для которого заданная функция равна нулю. Когда эта функция отображается на графике, корнями являются точки, в которых функция пересекает ось x.
Для функции \(f(x)\) корнями являются значения x, для которых \(f(x)=0\). Например, для функции \(f(x)=2-x\) единственным корнем будет \(x = 2\), потому что это значение дает \(f(x)=0\).
Конечно, легко найти корни такой тривиальной проблемы, но как насчет такой сумасшедшей:
$$ f(x)=\frac{(2x-3)(x+3)}{x(x-2)} $$
Этапы поиска корней рациональных функций
Установить каждый множитель в числителе равным нулю.
Решите этот коэффициент для x.
Проверьте множители знаменателя, чтобы убедиться, что вы не делите на ноль!
Числитель Коэффициенты
Помните, что множитель — это нечто умножаемое или делимое, например \((2x-3)\) в приведенном выше примере.
Итак, в числителе два множителя: \((2x-3)\) и \((x+3)\). Если или из этих множителей могут быть равны нулю, тогда вся функция будет равна нулю. Не имеет значения (ну, есть исключение), что говорит остальная часть функции, потому что вы умножаете член, равный нулю.
Итак, дело в том, что выясните, как сделать числитель равным нулю, и вы нашли свои корни (также известные как нули, по очевидным причинам!). В этом примере у нас есть два множителя в числителе, поэтому любой из них может быть равен нулю. Давайте установим их (отдельно) равными нулю, а затем найдем значения x:
$$ 2x — 3 = 0 $$ $$ 2x = 3 $$ $$ x = \frac{3}{2} $$
И
$$ х + 3 = 0 $$ $$ х = -3 $$
Итак, \(x = \frac{3}{2}\) и \(x = -3\) становятся нашими корнями для этой функции. Они также являются точками пересечения x при нанесении на график, потому что y будет равно 0, когда x равно 3/2 или -3.
Факторы знаменателя
Как и в случае с числителем, в знаменателе умножаются два множителя.
Это \(x\) и \(x-2\). Приравняем их оба к нулю и решим:
$$ х = 0 $$
И
$$ х — 2 = 0 $$ $$ х = 2 $$
Это , а не корни этой функции. Посмотрите, что произойдет, если мы подставим 0 или 2 вместо х. Получаем ноль в знаменателе, что означает деление на ноль. Это означает, что функция не существует в данный момент. Фактически x = 0 и x = 2 становятся нашими вертикальными асимптотами (нули знаменателя). Таким образом, для указанной выше функции существует вертикальная асимптота при x = 0 и x = 2.
Вот геометрическое представление того, как выглядит вышеприведенная функция, включая ОБЕ точки пересечения по оси x и ОБЕ вертикальные асимптоты:
Сводка
Корни функции — это значения x, для которых функция равна нулю. Их также называют нулями. Если дана рациональная функция, сделайте числитель равным нулю, обнулив множители по отдельности. Убедитесь, что ваши нули не делают также ноль знаменателя, потому что тогда у вас будет не корень, а вертикальная асимптота.
Найдите корни приведенного ниже уравнения:
4.10: Нахождение всех действительных корней функции
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 45172
- Виктория Домингес, Кристиан Мартинес и Санаа Сайкали
Чтобы найти действительные корни функции, найдите, где функция пересекает ось x. Чтобы найти, где функция пересекает ось x, установите \(f(x) = 0\) и решите уравнение для \(x\). 92 + Вх + С = 0\).
- Заполните квадрат квадратного выражения (не входит в эту рабочую тетрадь).
Некоторые кубические уравнения также можно легко решить, если многочлен можно разложить на множители, чтобы найти нули.