Как найти область определения функции по графику: Как найти область определения функции?

Исследование графика функции. Минимум и максимум

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

  • область определения функции;
  • область значений функции;
  • нули функции;
  • промежутки возрастания и убывания;
  • точки максимума и минимума;
  • наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось X.
Ось ординат — вертикальная ось, или ось Y.

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается x.
Другими словами, мы сами выбираем x, подставляем в формулу функции и получаем y.

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента x, при которых функция существует.


Обозначается: D(f) или D(y).

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Исследование графика функции» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Область определения функции. Как найти, если функция задана графиком, таблицей, рисунком.

12+

6 месяцев назад

Математика от Баканчиковой293 подписчика

Алгебра 7-11 класс. Мы начинаем серию уроков о всех свойствах функции. А начнём мы конечно же с области определения функции. Вначале мы коротко повторим определения функции и её компонентов, покажем, где находить область определения функции, если функция задана рисунком, таблицей и с помощью символа. Более подробное объяснение этих тем Вы можете найти в наших предыдущих уроках в плейлисте «Функция». Затем мы покажем Вам, как записывать область определения функции. Разберём, что такое допустимые значения аргумента. А потом на конкретных примерах подробно расскажем и покажем, как находить и записывать область определения функций, заданных различными графиками. Для закрепления материала, мы попросим Вас выполнить домашнее задание. Подробный план урока Вы найдете в описании под видео. 00:00 Начало видео. 00:23 Совет Любовь Николаевны. 01:05 Повторим определение и компоненты функции. 03:00 Вспомним основные способы задания функции, где находится область определения функции и как её записать. 07:00 Что такое допустимые значения аргумента? 10:30 Вспомним графический способ задания функции.

11:51 Где находится область определения функции, заданной графиком? 12:54 Определим область определения линейной функции. 14:46 Определим область определения квадратичной функции. 15:46 Определим область определения функции обратная пропорциональность. 17:11 Определим область определения степенной функции. 18:15 Определим область определения функций, заданных графиком. 21:58 Как записать область определения функции, имеющей, например, только четыре аргумента? 23:54 Домашнее задание. Если Вы впервые на нашем канале и у Вас остались вопросы или Вы хотите освежить в памяти некоторые термины и определения, рекомендуем Вам посмотреть следующие видео: Что такое определение. Отличие определения от рассказа. https://rutube.ru/video/f187c6071dfe512aaa2204e3229097e1/ Что такое компоненты. Рассказ о Пете и Диме или зачем нужны компоненты. https://rutube.ru/video/2a05adba43e67d1ea1b5cab6d8e6d18a/ Функция. Определение. Пример, на котором функцию понимают ВСЕ. https://rutube.ru/video/e39b203540be6b34b1c6728b8a73a8c4/ Компоненты функции: аргумент, значение функции, область определения функции, область значений функции https://rutube.
ru/video/b244f058080abfb736bb53076b8ad8cc/ Способы задания функции. Примеры. https://rutube.ru/video/be19beb2a973ffbad226194f7e36e0f8/ Координатная плоскость. Компоненты координатной плоскости. https://rutube.ru/video/37a4ebf9c234063e743767e8a50b45c0/ Графический способ задания функции. График функции. Определение. https://rutube.ru/video/f80ef74eb301c96a0159afedd02e6383/ #СвойстваФункции #ОбластьОпределенияФункции #МатематикаОтБаканчиковой Алгебра, 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс, свойства функции, область определения функции, определение области определения функции, найти область определения функции заданной графиком, найти область определения функции заданной графически, найти область определения функции заданной таблицей, найти область определения функции заданной рисунком, найти область определения функции заданной с помощью символа, как записать область определения функции, обозначение области определения функции

Определение домена и диапазона по графику

Результаты обучения

  • Поиск домена и диапазона по графику и уравнению.
  • Укажите домен и диапазон функций инструментария.

Другой способ определить домен и диапазон функций — использовать графики. Поскольку домен относится к набору возможных входных значений, домен графика состоит из всех входных значений, показанных на оси [latex]x[/latex]. Диапазон — это набор возможных выходных значений, которые показаны на оси [latex]y[/latex]. Имейте в виду, что если график выходит за пределы видимой части графика, домен и диапазон могут быть больше, чем видимые значения.

Мы можем заметить, что граф простирается по горизонтали от [латекс]-5[/латекс] вправо без границ, так что домен равен [латекс]\левый[-5,\infty \правый)[/латекс]. Вертикальный экстент графика — это все значения диапазона [latex]5[/latex] и ниже, поэтому диапазон равен [latex]\left(\mathrm{-\infty },5\right][/latex]. Обратите внимание, что домен и диапазон всегда записываются от меньших значений к большим или слева направо для домена и от нижней части графика к верхней части графика для диапазона.

0011

Пример: поиск домена и диапазона на графике

Найдите домен и диапазон функции [latex]f[/latex].

Показать раствор

Пример: нахождение области определения и диапазона по графику добычи нефти

Найдите область определения и диапазон функции [latex]f[/latex].

(кредит: модификация работы Управления энергетической информации США)

Показать решение

Попробуйте

Имея график, определите домен и диапазон, используя интервальную нотацию.

Показать решение

Вопросы и ответы

Могут ли домен и диапазон функции совпадать?

Да. Например, область определения и диапазон функции кубического корня — это множество всех действительных чисел.

Домен и диапазон функций инструментария

Теперь мы вернемся к нашему набору функций набора инструментов, чтобы определить домен и диапазон каждой из них.

Для постоянной функции [latex]f\left(x\right)=c[/latex] область определения состоит из всех действительных чисел; ограничений на ввод нет. Единственным выходным значением является константа [latex]c[/latex], поэтому диапазоном является набор [latex]\left\{c\right\}[/latex], содержащий этот единственный элемент. В записи интервала это записывается как [латекс]\влево[с,с\право][/латекс], интервал, который начинается и заканчивается на [латекс]с[/латекс].

Для функции тождества [латекс]f\left(x\right)=x[/latex] ограничений на [latex]x[/latex] нет. И домен, и диапазон являются набором всех действительных чисел.

Для функции абсолютного значения [latex]f\left(x\right)=|x|[/latex] ограничений на [latex]x[/latex] нет. Однако, поскольку абсолютное значение определяется как расстояние от 0, выходное значение может быть только больше или равно 0. { 2}[/latex], доменом являются все действительные числа, поскольку горизонтальная протяженность графика — это вся линия действительных чисел. Поскольку график не содержит отрицательных значений диапазона, диапазон состоит только из неотрицательных действительных чисел. 9{3}[/latex], доменом являются все действительные числа, поскольку горизонтальная протяженность графика — это вся линия действительных чисел. То же самое относится к вертикальному размеру графика, поэтому домен и диапазон включают все действительные числа.

Для обратной функции [латекс]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/latex] мы не можем делить на 0, поэтому мы должны исключить 0 из области определения. Кроме того, 1, деленная на любое значение, никогда не может равняться 0, поэтому диапазон также не будет включать 0. В нотации построителя наборов мы могли бы также написать [латекс]\влево\{х|\текст{ }х\ne 0\вправо \}[/latex], множество всех вещественных чисел, не равных нулю. 9{2}}[/latex], мы не можем делить на [latex]0[/latex], поэтому мы должны исключить [latex]0[/latex] из домена. Также нет [latex]x[/latex], который может выдавать 0, поэтому 0 также исключается из диапазона. Обратите внимание, что выход этой функции всегда положителен из-за квадрата в знаменателе, поэтому диапазон включает только положительные числа.

Для функции квадратного корня [latex]f\left(x\right)=\sqrt[]{x}[/latex] мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного действительного числа, поэтому домен должен быть 0 или выше. Диапазон также исключает отрицательные числа, поскольку квадратный корень из положительного числа [latex]x[/latex] определяется как положительный, хотя квадрат отрицательного числа [latex]-\sqrt{x}[/latex] также дает нам [латекс]x[/латекс].

Для функции кубического корня [latex]f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}[/latex] домен и диапазон включают все действительные числа. Обратите внимание, что нет проблем с извлечением кубического корня или любого корня из нечетного целого числа из отрицательного числа, и результирующий результат будет отрицательным (это нечетная функция).

Попробуйте

Внесите свой вклад!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Как получить домен и диапазон из графика функции — Криста Кинг Математика

Определение области и диапазона

Областью являются все ???x???-значения или входные данные функции, а диапазоном являются все ???y???-значения или выходные данные функции.

При просмотре графика доменом являются все значения графика слева направо. Диапазон — это все значения графика снизу вверх.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Основные функции с ограничениями домена

Нахождение домена и диапазона по графику функции

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 1? У меня есть пошаговый курс для этого.

🙂

Узнать больше

Область и область значений графика параболы

Пример

Каковы область определения и область значений функции? Предположим, что график не выходит за пределы показанного графика.

Начнем с домена. Помните, что домен — это то, как далеко график идет слева направо.

Начните с того, что посмотрите на самый левый край этого графика. Значение ???x??? в самой дальней левой точке равно ???x=-2???. Теперь продолжайте отслеживать график, пока не дойдете до точки, которая находится дальше всего справа. Значение ???x??? в этот момент равно ???2???. В графике слева направо нет разрывов, что означает, что он непрерывен от ???-2??? до ???2???.

Домен: ???[-2,2]??? также пишется как ???-2\leq x\leq 2???

Далее давайте посмотрим на диапазон. Помните, что диапазон — это то, как далеко график идет снизу вверх.

Посмотрите на самую дальнюю точку графика или нижнюю часть графика. Значение ???y??? в этот момент равно ???y=1???. Теперь посмотрите, как далеко вверх идет график или вершина графика. Это когда ???x=-2??? или ???x=2???, но теперь мы находим диапазон, поэтому нам нужно посмотреть на ???y???-значение этой точки, которое находится в ???y=5??? . В графике сверху вниз нет разрывов, что означает, что он непрерывен.

Диапазон: ???[1,5]??? также пишется как ???1\leq y\leq 5???

Давайте попробуем еще один пример поиска домена и диапазона на графике.

Помните, что Домен — это все определенные значения x слева направо на графике.

Пример

Каковы домен и диапазон функции? Предположим, что график не выходит за пределы показанного графика.

Начнем с домена. Значение ???x??? в самой дальней левой точке равно ???x=-1???. Теперь продолжайте отслеживать график, пока не дойдете до точки, которая находится дальше всего справа.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *