Как найти произведение матриц: Онлайн калькулятор. Умножение матриц

1.1.4. Произведение матриц

Умножение матрицы А = ||Aij|| размера на матрицу В = ||Bij|| размера определено лишь для случая, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, т. е. когда N=L. В этом случае произведение матриц определяется следующим образом:

Произведением матриц АВ называется матрица С = ||СIj|| размера , у которой ,

Иначе говоря, элемент Cij равен сумме произведений элементов I-ой строки матрицы А на соответствующий элемент J-ого столбца матрицы В. С помощью знака суммирования можно записать это так:

Пример 2.

Найти произведение матриц

и .

Имеем

.

Отметим, что произведение матриц некоммутативно, т. е. в общем случае АВ Не равно ВА. В приведённом выше примере матрицу

В просто нельзя даже умножить на матрицу А. Но, даже если А и В – квадратные матрицы одного порядка (тогда существуют произведения АВ и ВА), то, как показывает следующий пример, произведения АВ и ВА могут не совпадать.

Пример 3.

Пусть , .

Тогда ,

.

Единичной матрицей называется квадратная матрица вида

.

Упражнение 5.

Доказать, что для любой квадратной матрицы А

АЕ=ЕА=А,

Где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Доказательство.

Пусть А и Е – квадратные матрицы П-го порядка, В = АЕ.

Тогда Bij = Ai1E1J + Ai2E2J + … + Aijejj + … + Ainenj.

Но Eij = 0 при I, не равном J, a Ejj = 1. Следовательно, Bij = Aij·1 = Aij

. Таким образом, все элементы матрицы В равны соответствующим элементам матрицы А, то есть В = А.

Если матрица С = ЕА, то СIj = еI1А1J + еI2А2J + … + ЕIiАIj + … + ЕInАNj = 1·Aij = Aij

(учитываем, что Eii = 1, Eij = 0 при I, не равном J). Значит, С = А. Утверждение доказано.

Приведём ряд свойств произведений матриц.

1. (АВ)С=А(ВС)

Доказательство.

Пусть размер матрицы A = ||Aij|| матрицы B = ||Bij|| — а матрицы

C = ||Cij|| Имеем AB = ||AIj||, где

Тогда (AB)C = ||GIj||, где

Где — элемент матрицы ВС. Тем самым, если обозначить элемент матрицы А(ВС) через G’Ij, будем иметь

2. А(В+С)=АВ+АС, (В+С)А=ВА+СА

Доказательство.

Пусть матрица A = ||Aij|| имеет размер а матрицы B = ||Bij|| и C = ||Cij|| имеют размер Тогда для элементов матрицы А(В+С)= ||GIj|| имеем

Из определения произведения матриц вытекает, что АВ= ||AIj||, а АС= ||BIj||, т. е. А(В+С)=АВ+АС. Аналогично доказываем, что (В+С)А=ВА+СА.

Упражнение 1.6.

Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Вывести формулу для (А+В)2 (при натуральном П Под СN Понимается произведение С·С·…·С).

Решение.

Используем свойства сложения и умножения матриц:

(А + В)2 = (А + В)(А + В) = (А + В)А + (А + В)В = А·А + В·А + А·В +В·В =

= А2 + В·А + А·В +В2.

Заметьте, что результат может совпасть с Формулой сокращенного умножения (А + В)2 = А2 + 2АВ + В2 Только в том случае, если АВ = ВА. В общем случае это неверно!

Ответ: (А + В)2 = А2 + В·А + А·В +В2.

Упражнение7.

Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Разложить на множители выражение АВ+2В.

Решение.

Используем свойство единичной матрицы (см. упражнение 5):

АЕ = ЕА = А.

Следовательно, В = ЕВ. Тогда АВ + 2В = АВ + (2Е)В = (А + 2Е)В

(использовано свойство 2 произведения матриц).

Ответ: АВ + 2В = (А + 2Е)В.

Упражнение 8.

Пусть А,В и С – квадратные матрицы одного порядка. Разложить на множители выражение А2С +АС 2.

Решение.

Поскольку А2 = А·А, С2 = С·С, запишем заданный матричный многочлен в виде: А2С +АС 2 = А·А·С +А·С·С

и воспользуемся свойствами произведения матриц:

А·А·С +А·С·С = А(А·С +С·С) = А((А + С)С) = А(А + С)С.

Ответ: А2С +АС 2 = А(А + С)С.

Упражнение 9.

Найти АВ и ВА.

Решение.

Определим размеры матрицы А: и В: Следовательно, существуют оба произведения: и АВ, и ВА, причем размер матрицы С = АВ: а матрицы D = BA:

Вычислим элементы матрицы С:

Таким образом, матрица С имеет вид:

.

Матрица D состоит из единственного элемента:

Тогда .

Ответ: , .

< Предыдущая		Следующая >

python — Найти матрицу-множитель в произведении матриц при известном результате

Имеется произведение матриц

a*b=c. Причем произведение матриц — это результат numpy.dot, а не поэлементное произведение. Известны матрицы a и c. Требуется найти матрицу b. Каким образом это можно сделать в python, не прибегая к решению системы уравнений с множеством неизвестных? Если просто делить numpy.matrix, то получается совсем не тот результат.

Вот пример:

import numpy as np
a = np.matrix([[ 1.,  2.],[ 3.,  4.]])
c = np.matrix([[ 2.],[ 1.]])
c/a
Out[201]: 
matrix([[ 2.        ,  1.        ],
        [ 0.33333333,  0.25      ]])

Решил письменно обратную задачу, получил ответ:

([[-3. ],
  [ 2.5]])

Проверяем:

b= np.matrix([[-3.  ],[ 2.5]])
a*b
Out[207]: 
matrix([[ 2.],
        [ 1.]])

Если переводить в ndarray, то то же самое получается:

c.getA()/a.getA()
Out[213]: 
array([[ 2.        ,  1.        ],
       [ 0.33333333,  0.25      ]])

• python
• математика
• numpy
• матрицы
• деление

5

Воспользуйтесь обратной (inverse) матрицей:

In [224]: b = np.linalg.inv(a) * c
In [225]: b
Out[225]:
matrix([[-3. ],
        [ 2.5]])

Это будет работать для объектов типа numpy.matrix. Если a и c — объекты типа numpy.ndarray, то нужно использовать dot product (как в ответе @MarianD):

In [8]: np.linalg.inv(a).dot(c)
Out[8]:
matrix([[-3. ],
        [ 2.5]])

PS использование dot product (операции умножения матриц как это понимается в линейной алгебре) — является более универсальным решением, т. к. оно правильно работает как для объектов типа

numpy.matrix так и для numpy.ndarray:

In [10]: np.linalg.inv(a.getA()).dot(c.getA())
Out[10]:
array([[-3. ],
       [ 2.5]])

---

Пояснение:

A * B = C | умножим обе части на A^-1

умножение матриц операция некомутативная, т.е. A * B != B * A, поэтому чтобы получилась единичная матрица будем делать так:

A^-1 * A * B = A^-1 * C

=>

B = A^-1 * C

UPDATE: во многих случаях гораздо выгоднее решить систему уравнений, по сравнению с нахождением обратной матрицы (спасибо @jfs за подсказку):

In [328]: b = np.linalg.solve(a, c)
In [329]: b
Out[329]:
matrix([[-3. ],
        [ 2.5]])

Вот некоторые из преимуществ подхода решения системы линейных уравнений по сравнению с нахождением обратной матрицы:

• решение СЛУ (системы линейных уравнений) дает более точные численные результаты по сравнению с методами, использующими перемножение матриц.
  Пример скалярного произведения возвращающего неточный результат
• при использовании разреженных матриц (sparse matrices) есть методы, позволяющие найти решение и возвращающие также разреженные матрицы (если это возможно), что существенно экономит использование памяти. Обратная же матрица в общем случае не будет разреженной и может занимать на несколько порядков больше памяти. Например разреженная матрица размерности 1.000.000 x 1.000.000 у которой всего 1.000.000 ненулевых элементов (например единичная матрица или такая, у которой в каждой строке/столбце по одному ненулевому элементу) легко поместится в памяти и займет приблизительно: объем памяти необходимый для данного типа (np.int8, np.int16, np.int32, np.int64, np.float64, etc.) плюс небольшие накладные расходы (информация о позиции ненулевых элементов в разреженной матрице). Если преобразовать такую матрицу в обычную или найти обратную ей то в результате надо будет хранить в памяти уже 1.000.000 x 1.000.000 = 1. 000.000.000.000 (один триллион элементов, или около 3.6 TiB для 32-битных элементов)

3

Произведением матриц очевидно во вашем случае не разумеется код

a * b

что в numpy значит просто произведение элементов на согласных позициях,

но математическое произведение (скалярное произведение строк матрицы a со столбцами матрицы b, что в numpy записывают как

np.dot(a, b)

или — более просто —

a.dot(b)

(что нужно использовать для проверки результата).

Подобно этому, простое деление

c / a

делением элемент по элементу (с автоматическим расширением матрицы c на 2 x 2) на согласных позициях — и это опять нет тем, что вам требуется).

---

Из-за того решение вашего задания маленько сложнее:

Tак как a * b = c влечет за собой (после произведения обух страниц уравнения слева на а^-1) b = а^-1* c. Это в numpy записывают как

np.dot(np.linalg.inv(a), c)

или — более просто —

np.linalg.inv(a).dot(c)

что результат вашего задания.

1

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

произведений матриц | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Умножение матрицы на скаляр, суммирование скалярных множителей матриц.
• Перемножить две матрицы вместе.
• Используйте калькулятор для выполнения операций с матрицами.

Помимо сложения и вычитания целых матриц, во многих ситуациях нам нужно умножить матрицу на константу, называемую скаляром. Напомним, что скаляр — это действительная числовая величина, которая имеет величину, но не направление. Например, время, температура и расстояние являются скалярными величинами. Процесс скалярное умножение включает умножение каждой записи в матрице на скаляр. Скалярное число , кратное , — это любой элемент матрицы, полученный в результате скалярного умножения.

Рассмотрим реальный сценарий, в котором университету необходимо добавить к своему инвентарю компьютеры, компьютерные столы и стулья в двух лабораториях кампуса из-за увеличения числа учащихся. По их оценкам, в обеих лабораториях требуется на 15% больше оборудования. Текущий инвентарь школы отображается в таблице ниже.

	Лаборатория А	Лаборатория Б
Компьютеры	15	27
Компьютерные столы	16	34
Стулья	16	34

Преобразовав данные в матрицу, мы имеем

[латекс]{C}_{2013}=\left[\begin{array}{c}15\\ 16\\ 16\end{array}\ begin{array}{c}27\\ 34\\ 34\end{array}\right][/latex]

Чтобы рассчитать, сколько потребуется компьютерного оборудования, мы умножаем все записи в матрице [latex]C[/latex] на 0,15.

[латекс]\влево(0,15\вправо){C}_{2013}=\влево[\begin{массив}{c}\влево(0,15\вправо)15\\ \влево(0,15\вправо)16\ \\left(0.15\right)16\end{массив}\begin{массив}{c}\left(0.15\right)27\\ \left(0.15\right)34\\ \left(0.15\right)34 \end{массив}\right]=\left[\begin{массив}{c}2.25\\ 2.4\\ 2.4\end{массив}\begin{массив}{c}4. 05\\ 5.1\\ 5.1\end{ array}\right][/latex]

Мы должны округлить до следующего целого числа, поэтому количество необходимого нового оборудования равно

[латекс]\влево[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{массив}\begin{массив}{c}5\\ 6\\ 6\end{массив}\right ][/latex]

Сложив две матрицы, как показано ниже, мы увидим новые суммы запасов.

[латекс]\влево[\begin{массив}{c}15\\ 16\\ 16\конец{массив}\begin{массив}{c}27\\ 34\\ 34\конец{массив}\вправо ]+\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\begin{array}{c}5\\ 6\\ 6\end{array}\right]=\ left[\begin{array}{c}18\\ 19\\ 19\end{array}\begin{array}{c}32\\ 40\\ 40\end{array}\right][/latex]

Это означает

[латекс]{C}_{2014}=\left[\begin{array}{c}18\\ 19\\ 19\end{array}\begin{array}{c}32\\ 40\\ 40\end{array}\right][/latex]

Таким образом, в лаборатории А будет 18 компьютеров, 19 компьютерных столов и 19 стульев; В лаборатории B будет 32 компьютера, 40 компьютерных столов и 40 стульев.

A Общее примечание: Скалярное умножение

Скалярное умножение включает в себя нахождение произведения константы по каждому элементу матрицы. Учитывая

[латекс]A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & {a}_{12}\\ {a}_{21}& & & {a }_{22}\end{массив}\right][/latex]

скалярное кратное [латекс]cA[/латекс] равно

[латекс]\begin{array}{ll}cA & =c\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& & {a}_{12}\\ {a}_{21}& & {a}_{22}\end{массив}\right]\hfill \\ & =\left[\begin{массив}{ccc }c{a}_{11}& & c{a}_{12}\\ c{a}_{21}& & c{a}_{22}\end{массив}\right]\hfill \ end{array}[/latex]

Скалярное умножение является дистрибутивным. Для матриц [latex]A,B[/latex] и [latex]C[/latex] со скалярами [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex],

[латекс]\begin{array}{l}\\ \begin{array}{c}a\left(A+B\right)=aA+aB\\ \left(a+b\right)A= aA+bA\end{array}\end{array}[/latex]

Пример: умножение матрицы на скаляр

Умножение матрицы [latex]A[/latex] на скаляр 3.

[latex]A =\left[\begin{array}{cc}8& 1\\ 5& 4\end{array}\right][/latex]

Показать решение

Попробуйте

По данной матрице [латекс]B,\текст{}[/латекс] найдите [латекс]-2В[/латекс], где

[латекс]В=\left[\begin{array}{cc} 4& 1\\ 3& 2\end{массив}\right][/latex]

Показать решение

Пример: нахождение суммы скалярных кратных

Найдите сумму [латекс]3А+2В[/латекс].

[латекс]A=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill -2& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill -1& \hfill 2\\ \hfill 4& \hfill 3& \hfill -6\end{массив}\right]\text{ и }B=\left[\begin{array}{rrr}\hfill -1& \hfill 2& \hfill 1\\ \hfill 0& \hfill -3& \hfill 2 \\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill -4\end{массив}\right][/latex]

Показать решение

Попробуйте

 

Нахождение произведения двух матриц

Помимо умножения матрицы на скаляр, мы можем умножать две матрицы. Нахождение произведения двух матриц возможно только в том случае, если внутренние размерности совпадают, что означает, что количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Если [latex]A[/latex] является матрицей [latex]\text{ }m\text{ }\times \text{ }r\text{ }[/latex], а [latex]B[/latex] является [latex]\text{ }r\text{ }\times \text{ }n\text{ }[/latex] матрица, то матрица произведения [latex]AB[/latex] является [latex]\text{ } m\text{ }\times \text{ }n\text{ }[/latex] матрица. Например, продукт [latex]AB[/latex] возможен, потому что количество столбцов в [latex]A[/latex] совпадает с количеством строк в [latex]B[/latex]. Если внутренние размеры не совпадают, товар не определяется.

Мы умножаем записи [latex]A[/latex] на записи [latex]B[/latex] в соответствии с определенным шаблоном, как показано ниже. Процесс умножения матрицы на становится понятнее при решении задачи с вещественными числами.

Чтобы получить элементы в строке [latex]i[/latex] массива [latex]AB,\text{}[/latex], мы умножаем элементы в ряду [latex]i[/latex] массива [latex]A[ /latex] по столбцу [latex]j[/latex] в [latex]B[/latex] и добавить. Например, даны матрицы [латекс]А[/латекс] и [латекс]В,\текст{}[/латекс], где размеры [латекс]А[/латекс] равны [латекс]2\текст{ }\times \text{ }3[/latex] и размеры [latex]B[/latex] равны [latex]3\text{ }\times \text{ }3,\text{}[/latex] произведению [ latex]AB[/latex] будет матрицей [latex]2\text{ }\times \text{ }3[/latex].

[латекс]A=\left[\begin{array}{rrr}\hfill {a}_{11}& \hfill {a}_{12}& \hfill {a}_{13}\\ \ hfill {a}_{21}& \hfill {a}_{22}& \hfill {a}_{23}\end{массив}\right]\text{ и }B=\left[\begin{массив }{rrr}\hfill {b}_{11}& \hfill {b}_{12}& \hfill {b}_{13}\\ \hfill {b}_{21}& \hfill {b} _{22}& \hfill {b}_{23}\\ \hfill {b}_{31}& \hfill {b}_{32}& \hfill {b}_{33}\end{массив} \right][/latex]

Умножьте и сложите следующим образом, чтобы получить первую запись матрицы произведений [latex]AB[/latex].

1. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 1 [latex]AB,\text{}[/latex] умножьте первую строку в [latex]A[/latex] на первый столбец в [latex]B[ /латекс] и добавить.

   [латекс]\влево[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}\end{массив}\right]\cdot \left [\begin{массив}{c}{b}_{11}\\ {b}_{21}\\ {b}_{31}\end{массив}\right]={a}_{11} \cdot {b}_{11}+{a}_{12}\cdot {b}_{21}+{a}_{13}\cdot {b}_{31}[/latex]

2. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 2 в [latex]AB,\text{}[/latex] умножьте первую строку [latex]A[/latex] на второй столбец в [latex]B[/latex]. ] и добавить.

   [латекс]\влево[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}\end{массив}\right]\cdot \left [\begin{массив}{c}{b}_{12}\\ {b}_{22}\\ {b}_{32}\end{массив}\right]={a}_{11} \cdot {b}_{12}+{a}_{12}\cdot {b}_{22}+{a}_{13}\cdot {b}_{32}[/latex]

3. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 3 в [latex]AB,\text{}[/latex] умножьте первую строку [latex]A[/latex] на третий столбец в [latex]B[/latex]. ] и добавить.

   [латекс]\влево[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}\end{массив}\right]\cdot \left [\begin{массив}{c}{b}_{13}\\ {b}_{23}\\ {b}_{33}\end{массив}\right]={a}_{11} \cdot {b}_{13}+{a}_{12}\cdot {b}_{23}+{a}_{13}\cdot {b}_{33}[/latex]

Таким же образом получаем вторую строку [latex]AB[/latex]. Другими словами, строка 2 таблицы [latex]A[/latex] умножается на столбец 1 таблицы [latex]B[/latex]; 2-я строка [latex]A[/latex] умножается на 2-й столбец [latex]B[/latex]; строка 2 из [latex]A[/latex] умножается на столбец 3 из [latex]B[/latex]. По завершении матрица продуктов будет

[латекс]AB=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{l}{a}_{11}\cdot {b}_{11} +{a}_{12}\cdot {b}_{21}+{a}_{13}\cdot {b}_{31}\\ \end{массив}\\ {a}_{21} \cdot {b}_{11}+{a}_{22}\cdot {b}_{21}+{a}_{23}\cdot {b}_{31}\end{массив}\begin {массив}{c}\begin{массив}{l}{a}_{11}\cdot {b}_{12}+{a}_{12}\cdot {b}_{22}+{a }_{13}\cdot {b}_{32}\\ \end{массив}\\ {a}_{21}\cdot {b}_{12}+{a}_{22}\cdot { b}_{22}+{a}_{23}\cdot {b}_{32}\end{массив}\begin{массив}{c}\begin{массив}{l}{a}_{11 }\cdot {b}_{13}+{a}_{12}\cdot {b}_{23}+{a}_{13}\cdot {b}_{33}\\ \end{массив }\\ {a}_{21}\cdot {b}_{13}+{a}_{22}\cdot {b}_{23}+{a}_{23}\cdot {b}_ {33}\end{массив}\right][/latex]

A Общее примечание: свойства умножения матриц

Для матриц [latex]A,B,\text{}[/latex] и [latex]C[/latex] выполняются следующие свойства.

• Умножение матриц ассоциативно:

  [латекс]\влево(AB\вправо)C=A\влево(BC\вправо)[/латекс]

• Умножение матриц распределительное:

  [латекс]\begin{массив}{l}\begin{массив}{l}\\ C\left(A+B\right)=CA+CB,\end{массив}\hfill \\ \left(A +B\right)C=AC+BC.\hfill \end{массив}[/latex]

Обратите внимание, что умножение матриц не является коммутативным.

Пример: перемножение двух матриц

Умножьте матрицу [латекс]А[/латекс] и матрицу [латекс]В[/латекс].

[латекс]A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\text{ и }B=\left[\begin{array}{cc} 5& 6\\ 7& 8\end{массив}\right][/latex]

Показать решение

Пример: умножение двух матриц

Даны [латекс]А[/латекс] и [латекс]В:[/латекс]

1. Найти [латекс]AB[/латекс].
2. Найти [латекс]БА[/латекс].

[латекс]A=\left[\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}-1& 2& 3\end{array}\hfill \\ \begin{array}{ccc}4& 0& 5 \end{массив}\hfill \end{массив}\right]\text{ и }B=\left[\begin{массив}{c}5\\ -4\\ 2\end{массив}\begin{массив }{c}-1\\ 0\\ 3\end{массив}\right][/latex]

Показать решение

Вопросы и ответы

Можно ли определить AB, но не BA?

Да, рассмотрим матрицу A размерностью [латекс]3\умножить на 4[/латекс] и матрицу В размерностью [латекс]4\умножить на 2[/латекс]. Для продукта AB внутренние размеры равны 4, и продукт определен, но для продукта BA внутренние размеры равны 2 и 3, поэтому продукт не определен.

Пример: использование матриц в реальных задачах

Вернемся к задаче, представленной в начале этого раздела. У нас есть таблица ниже, представляющая потребности в оборудовании двух футбольных команд.

	Дикие кошки	Грязевые коты
Цели	6	10
Шарики	30	24
Трикотажные изделия	14	20

Нам также предоставлены цены на оборудование, как показано в таблице ниже.

Цель	$300
Мяч	10 долларов
Джерси	$30

Преобразуем данные в матрицы. Таким образом, матрица потребности в оборудовании записывается как

[латекс]E=\left[\begin{array}{c}6\\ 30\\ 14\end{array}\begin{array}{c}10\\ 24\\ 20\end{array}\ right][/latex]

Матрица стоимости записывается как

[latex]C=\left[\begin{array}{ccc}300& 10& 30\end{array}\right][/latex]
Мы выполняем умножение матриц для получения стоимости оборудования.
[латекс]\begin{array}{l}\hfill \\ \hfill \\ CE & =\left[\begin{array}{rrr}\hfill 300& \hfill 10& \hfill 30\end{массив}\right ]\cdot \left[\begin{array}{rr}\hfill 6& \hfill 10\\ \hfill 30& \hfill 24\\ \hfill 14& \hfill 20\end{массив}\right]\hfill \\ & = \left[\begin{array}{rr}\hfill 300\left(6\right)+10\left(30\right)+30\left(14\right)& \hfill 300\left(10\right) +10\влево(24\вправо)+30\влево(20\вправо)\конец{массив}\вправо]\hfill \\ & =\влево[\begin{массив}{rr}\hfill 2520& \hfill 3840 \end{массив}\right]\hfill \end{массив}[/latex]

Общая стоимость оборудования для Wildcats составляет 2520 долларов США, а общая стоимость оборудования для Mudcats составляет 3840 долларов США.

Практическое руководство. Вычисление матричной операции с помощью калькулятора

1. Сохранение каждой матрицы как матричной переменной

   [латекс]\влево[A\вправо],\влево[B\вправо],\влево[C\вправо],..[/латекс]

2. Введите операцию в калькулятор, вызывая каждую переменную матрицы по мере необходимости.
3. Если операция определена, калькулятор представит матрицу решения; если операция не определена, будет отображаться сообщение об ошибке.

Пример: использование калькулятора для выполнения операций с матрицами \hfill 32\\ \hfill 41& \hfill -7& \hfill -28\\ \hfill 10& \hfill 34& \hfill -2\end{массив}\right],B=\left[\begin{array}{rrr} \hfill 45& \hfill 21& \hfill -37\\ \hfill -24& \hfill 52& \hfill 19\\ \hfill 6& \hfill -48& \hfill -31\end{массив}\right],\text{and}C =\left[\begin{массив}{rrr}\hfill -100& \hfill -89& \hfill -98\\ \hfill 25& \hfill -56& \hfill 74\\ \hfill -67& \hfill 42& \hfill -75\end{массив}\right][/latex].

Показать раствор

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Нахождение произведения двух матриц | Колледж Алгебра |

Помимо умножения матрицы на скаляр, мы можем умножать две матрицы. Нахождение произведения двух матриц возможен только тогда, когда внутренние размеры одинаковы, то есть количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Если

AAA

является матрицей

 m × r \text{ }m\text{ }\times \text{ }r\text{ } m × r 

, а

BBB

 – 900 × n \text{ }r\text{ }\times \text{ }n\text{ } r × n 

матрица, тогда матрица произведения

ABABAB

равна

 m × n \text{ }m\text{ }\times \text{ }n\text{ } m × n 

матрица. Например, продукт

ABABAB

возможен, потому что количество столбцов в

AAA

совпадает с количеством строк в

BBB

. Если внутренние размеры не совпадают, товар не определяется.

Рисунок 1

Мы умножаем записи

AAA

на записи

BBB

в соответствии со специальной схемой, описанной ниже. Процесс умножения матрицы на становится понятнее при решении задачи с вещественными числами.

To obtain the entries in row

iii

of

AB,AB,\text{}AB,

we multiply the entries in row

iii

of

AAA

by column

jjj

в

ВВВ

и доп. Например, для заданных матриц

AAA

и

B,B,\text{}B,

, где размеры

AAA

равны

2 × 32\text{ }\times × 3 900 \text{ }32 а размеры

BBB

равны

3 × 3,3\text{ }\times \text{ }3,\text{}3 × 3,

произведение

ABABAB

будет

2 × 32\text{ }\times \text{ }32 × 3

матрица.

A=[a11a12a13a21a22a23] и B=[b11b12b13b21b22b23b31b32b33]A=\left[\begin{array}{rrr}\qquad {a}_{11}& \qquad {a}_{12}& \qquad {a }_{13}\\ \qquad {a}_{21}& \qquad {a}_{22}& \qquad {a}_{23}\end{массив}\right]\text{ и }B =\left[\begin{array}{rrr}\qquad {b}_{11}& \qquad {b}_{12}& \qquad {b}_{13}\\ \qquad {b}_{ 21}& \qquad {b}_{22}& \qquad {b}_{23}\\ \qquad {b}_{31}& \qquad {b}_{32}& \qquad {b}_ {33}\end{массив}\right]A=[a11​a21​​a12​a22​​a13​a23​​] и B=⎣

⎡​b11​b21​b31​​b12​b22​b32​​b13​b23​b33​​⎦

⎤​

Умножьте и сложите следующим образом, чтобы получить первую запись матрицы произведений

ABABAB

.

1. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 1 из

   AB,AB,\text{}AB,

   , умножьте первую строку в

   AAA

   на первый столбец в

   BBB

   и добавьте.

   [a11a12a13]⋅[b11b21b31]=a11⋅b11+a12⋅b21+a13⋅b31\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a} _{13}\end{массив}\right]\cdot \left[\begin{массив}{c}{b}_{11}\\ {b}_{21}\\ {b}_{31} \end{массив}\right]={a}_{11}\cdot {b}_{11}+{a}_{12}\cdot {b}_{21}+{a}_{13} \cdot {b}_{31}[a11​​a12​​a13​​]⋅⎣

   ⎡​b11​b21​b31​⎦

   ⎤​=a11​⋅b11​+a12​⋅b21​+a13​⋅b31​

2. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 2

   AB,AB,\text{}AB,

   , умножьте первую строку

   AAA

   на вторую колонку

   BBB

   и добавьте.

   [a11a12a13]⋅[b12b22b32]=a11⋅b12+a12⋅b22+a13⋅b32\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a} _{13}\end{массив}\right]\cdot \left[\begin{массив}{c}{b}_{12}\\ {b}_{22}\\ {b}_{32} \end{массив}\right]={a}_{11}\cdot {b}_{12}+{a}_{12}\cdot {b}_{22}+{a}_{13} \cdot {b}_{32}[a11​​a12​​a13​​]⋅⎣

   ⎡​b12​b22​b32​⎦

   ⎤​=a11​⋅b12​+a12​⋅b22​+a13​⋅b32​

3. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 3

   AB,AB,\text{}AB,

   , умножьте первую строку

   AAA

   на третью колонку

   BBB

   и добавьте.

   [a11a12a13]⋅[b13b23b33]=a11⋅b13+a12⋅b23+a13⋅b33\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a} _{13}\end{массив}\right]\cdot \left[\begin{массив}{c}{b}_{13}\\ {b}_{23}\\ {b}_{33} \end{массив}\right]={a}_{11}\cdot {b}_{13}+{a}_{12}\cdot {b}_{23}+{a}_{13} \cdot {b}_{33}[a11​​a12​​a13​​]⋅⎣

   ⎡​b13​b23​b33​​⎦

   ⎤​=a11​⋅b13​+a12​⋅b23​+a13​⋅b33​

Таким же образом получаем вторую строку

ABABAB

. Другими словами, строка 2

AAA

умножается на столбец 1

BBB

; строка 2

AAA

раз столбец 2

BBB

; строка 2 из

AAA

раз столбец 3 из

BBB

. По завершении матрица продукта будет равна 9. 0019

AB=[a11⋅b11+a12⋅b21+a13⋅b31a21⋅b11+a22⋅b21+a23⋅b31a11⋅b12+a12⋅b22+a13⋅b32a21⋅b12+a21⋅b12+a21⋅b12+a23⋅b22+a23 ⋅b23+a13⋅b33a21⋅b13+a22⋅b23+a23⋅b33]AB=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{l}{a}_{11}\cdot {b} _{11}+{a}_{12}\cdot {b}_{21}+{a}_{13}\cdot {b}_{31}\\ \end{массив}\\ {a} _{21}\cdot {b}_{11}+{a}_{22}\cdot {b}_{21}+{a}_{23}\cdot {b}_{31}\end{ массив}\begin{массив}{c}\begin{массив}{l}{a}_{11}\cdot {b}_{12}+{a}_{12}\cdot {b}_{22 }+{a}_{13}\cdot {b}_{32}\\ \end{массив}\\ {a}_{21}\cdot {b}_{12}+{a}_{22 }\cdot {b}_{22}+{a}_{23}\cdot {b}_{32}\end{массив}\begin{массив}{c}\begin{массив}{l}{a }_{11}\cdot {b}_{13}+{a}_{12}\cdot {b}_{23}+{a}_{13}\cdot {b}_{33}\\ \end{массив}\\ {a}_{21}\cdot {b}_{13}+{a}_{22}\cdot {b}_{23}+{a}_{23}\cdot {b}_{33}\end{массив}\right]AB=[a11​⋅b11​+a12​⋅b21​+a13​⋅b31​​a21​⋅b11​+a22​⋅b21​+a23​ ⋅b31​​a11​⋅b12​+a12​⋅b22​+a13​⋅b32​​a21​⋅b12​+a22​⋅b22​+a23​⋅b32​​a11​⋅b13​+a12​⋅b23 ​+a13​⋅b33​​a21​⋅b13​+a22​⋅b23​+a23​⋅b33​]

A Общее примечание: свойства умножения матриц

Для матриц

A,B,A,B,\text{}A,B,

и

CCC

выполняются следующие свойства.

• Умножение матриц ассоциативно:

  (AB)C=A(BC)\влево(AB\вправо)C=A\влево(BC\вправо)(AB)C=A(BC)

  .
• Умножение матриц является распределительным:

  C(A+B)=CA+CB,(A+B)C=AC+BC.\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ C\left (A+B\right)=CA+CB,\end{массив}\qquad \\ \left(A+B\right)C=AC+BC.\qquad \end{массив}C(A+B)= СА+СВ,​(А+В)С=АС+ВС.​

Обратите внимание, что умножение матриц не является коммутативным.

Пример 8. Умножение двух матриц

Умножьте матрицу

AAA

и матрицу

BBB

.

A=[1234] и B=[5678]A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{массив}\right]\text{ и }B=\left[ \begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{массив}\right]A=[13​24​] и B=[57​68​]

Решение

Во-первых, мы проверяем размерность матриц. Матрица

AAA

имеет размеры

2×22\times 22×2

и матрица

BBB

имеет размеры

2×22\times 22×2

7 9.

Внутренние размеры одинаковы, поэтому мы можем выполнить умножение. Товар будет иметь размеры

2×22\times 22×2

.

Выполняем операции, описанные ранее.

Рисунок 2

Пример 9. Умножение двух матриц

Учитывая

AAA

и

B:B:B:

1. Найти

   ABABAB

   .
2. Найти

   БАБАБА

   .

A=[−123405] и B=[5−42−103]A=\left[\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}-1& 2& 3\end{array}\qquad \\ \begin{array}{ccc}4&0&5\end{array}\qquad \end{array}\right]\text{ и }B=\left[\begin{array}{c}5\\ — 4\\ 2\end{массив}\begin{массив}{c}-1\\ 0\\ 3\end{массив}\right]A=[−1​2​3​4​0​5​​ ] и B=⎣

⎡​5−42​−103​⎦

⎤​

Solution

1. Поскольку размеры

   AAA

   равны

   2×32\text{}\times \text{}32×3

   , а размеры

   BBB

   равны

   3×2,3\ text{}\times \text{}2,\text{}3×2,

   эти матрицы можно перемножить, потому что количество столбцов в

   AAA

   совпадает с количеством строк в

   BBB

   . Результатом будет матрица

   2×22\text{}\times \text{}22×2

   , количество строк в

   AAA

   по количеству столбцов в

   BBB

   .

   AB=[−123405] [5−1−4023] =[−1(5)+2(−4)+3(2)−1(−1)+2(0)+3(3)4( 5)+0(−4)+5(2)4(−1)+0(0)+5(3)] =[−7103011]\begin{array}{l}\qquad \\ AB=\left [\begin{array}{rrr}\qquad -1& \qquad 2& \qquad 3\\ \qquad 4& \qquad 0& \qquad 5\end{array}\right]\text{ }\left[\begin{array} {rr}\qquad 5& \qquad -1\\ \qquad -4& \qquad 0\\ \qquad 2& \qquad 3\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[\begin{ array}{rr}\qquad -1\left(5\right)+2\left(-4\right)+3\left(2\right)& \qquad -1\left(-1\right)+2 \влево(0\вправо)+3\влево(3\вправо)\\ \qquad 4\влево(5\вправо)+0\влево(-4\вправо)+5\влево(2\вправо)& \qquad 4\влево(-1\вправо)+0\влево(0\вправо)+5\влево(3\вправо)\конец{массив}\вправо]\qquad \\ \text{ }=\влево[\begin{ array}{rr}\qquad -7& \qquad 10\\ \qquad 30& \qquad 11\end{array}\right]\qquad \end{array}AB=[−14​20​35​] ⎣

   ⎡​5−42​−103​⎦

   ⎤​ =[−1(5)+2(−4)+3(2)4(5)+0(−4)+5(2)​ −1(−1)+2(0)+3(3)4(−1)+0(0)+5(3)​] =[−730​1011​]​

2. Размеры

   BBB

   равны

   3×23\times 23×2

   , а размеры

   AAA

   равны

   2×32\times 32×3

   . Внутренние размеры совпадают, поэтому продукт определен и будет матрицей

   3×33\x 33×3

   .

   BA=[5−1−4023] [−123405] =[5(−1)+−1(4)5(2)+−1(0)5(3)+−1(5)−4( −1)+0(4)−4(2)+0(0)−4(3)+0(5)2(−1)+3(4)2(2)+3(0)2(3 )+3(5)] =[−910104−8−1210421]\begin{массив}{l}\qquad \\ BA=\left[\begin{массив}{rr}\qquad 5& \qquad -1\\ \qquad -4& \qquad 0\\ \ qquad 2& \qquad 3\end{массив}\right]\text{ }\left[\begin{array}{rrr}\qquad -1& \qquad 2& \qquad 3\\ \qquad 4& \qquad 0& \qquad 5\ end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[\begin{array}{rrr}\qquad 5\left(-1\right)+-1\left(4\right)& \ qquad 5\влево(2\вправо)+-1\влево(0\вправо)& \qquad 5\влево(3\вправо)+-1\влево(5\вправо)\\ \qquad -4\влево(- 1\вправо)+0\влево(4\вправо)& \qquad -4\влево(2\вправо)+0\влево(0\вправо)& \qquad -4\влево(3\вправо)+0\влево (5\правый)\\ \qquad 2\левый(-1\правый)+3\левый(4\правый)& \qquad 2\левый(2\правый)+3\левый(0\правый)& \qquad 2\влево(3\вправо)+3\влево(5\вправо)\конец{массив}\вправо]\qquad \\ \text{ }=\влево[\begin{массив}{rrr}\qquad -9& \qquad 10& \qquad 10\\ \qquad 4& \qquad -8& \qquad -12\\ \qquad 10& \qquad 4& \qquad 21\end{массив}\right]\qquad \end{массив}BA=⎣

   ⎡​5−42​−103​⎦

   ⎤​ [−14​20​35​] =⎣

   ⎡​5(−1)+−1(4)−4(−1)+0( 4)2(−1)+3(4)​5(2)+−1(0)−4(2)+0(0)2(2)+3(0)​5(3)+−1 (5)−4(3)+0(5)2(3)+3(5)​⎦

   ⎤​ =⎣

   ⎡​−9410​10−84​10−1221​⎦

   ⎤​​

Анализ раствора

Обратите внимание, что продукты

ABABAB

и

BABABA

не равны.

AB=[−7103011]≠[−910104−8−1210421]=BAAB=\left[\begin{массив}{cc}-7& 10\\ 30& 11\end{массив}\right]\ne \left [\begin{array}{ccc}-9& 10& 10\\ 4& -8& -12\\ 10& 4& 21\end{array}\right]=BAAB=[−730​1011​]=⎣

⎡​ −9410​10−84​10−1221​⎦

⎤​=BA

Это иллюстрирует тот факт, что умножение матриц не является коммутативным.

Вопросы и ответы

Можно ли за

AB определить, но не BA ?

Да, рассмотрим матрицу A размерности

3×43\times 43×4

и матрицу B размерности

4×24\times 24×2

. Для продукта AB внутренние размеры равны 4, и продукт определен, но для продукта BA внутренние размеры равны 2 и 3, поэтому продукт не определен.

Пример 10. Использование матриц в реальных задачах

Вернемся к проблеме, представленной в начале этого раздела. У нас есть таблица ниже, представляющая потребности в оборудовании двух футбольных команд.

	Дикие кошки	Грязевые коты
Цели	6	10
Шарики	30	24
Трикотажные изделия	14	20

Нам также даются цены на оборудование, как показано в таблице ниже.

Цель	$300
Мяч	10 долларов
Джерси	$30

Преобразуем данные в матрицы. Таким образом, матрица потребности в оборудовании записывается как

E=[63014102420]E=\left[\begin{array}{c}6\\ 30\\ 14\end{array}\begin{array}{c}10 \\ 24\\ 20\end{массив}\right]E=⎣

⎡​63014​102420​⎦

⎤​

Матрица стоимости записывается как

C=[3001030]C=\left[\begin{array}{ccc}300& 10& 30\end{array}\right]C=[300​10​30​]

Мы выполняем матричное умножение, чтобы получить стоимость оборудования.

CE=[3001030]⋅[61030241420] =[300(6)+10(30)+30(14)300(10)+10(24)+30(20)] =[2 5203 840] \begin{array}{l}\qquad \\ \qquad \\ CE=\left[\begin{array}{rrr}\qquad 300& \qquad 10& \qquad 30\end{array}\right]\cdot \left [\begin{массив}{rr}\qquad 6& \qquad 10\\ \qquad 30& \qquad 24\\ \qquad 14& \qquad 20\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left [\begin{array}{rr}\qquad 300\left(6\right)+10\left(30\right)+30\left(14\right)& \qquad 300\left(10\right)+10 \left(24\right)+30\left(20\right)\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[\begin{array}{rr}\qquad 2,520& \qquad 3,840\end{массив}\right]\qquad \end{массив}CE=[300​10​30​]⋅⎣

⎡​63014​102420​⎦

⎤​ =[300(6)+10(30)+30(14)​300(10)+10(24)+30(20)​] =[2,520​ 3 840​]​

Общая стоимость оборудования для Wildcats составляет 2520 долларов, а общая стоимость оборудования для Mud Cats составляет 3840 долларов.

Как: Для данной матричной операции вычислите ее с помощью калькулятора.

1. Сохранить каждую матрицу как матричную переменную

   [A],[B],[C],..\left[A\right],\left[B\right],\left[C\right], ..[А],[В],[С],..

   .
2. Введите операцию в калькулятор, вызывая каждую переменную матрицы по мере необходимости.
3. Если операция определена, калькулятор представит матрицу решения; если операция не определена, будет отображаться сообщение об ошибке.

Пример 11. Использование калькулятора для выполнения операций с матрицами

Найдите

AB-CAB-CAB-C

 данные

A=[−15253241−7−281034−2],B=[4521−37−2452196−48−31]и C=[−100−89 −9825−5674−6742−75]A=\left[\begin{array}{rrr}\qquad -15& \qquad 25& \qquad 32\\ \qquad 41& \qquad -7& \qquad -28\\ \qquad 10& \qquad 34& \qquad -2\end{массив}\right],B=\left[\begin{array}{rrr}\qquad 45& \qquad 21& \qquad -37\\ \qquad -24& \qquad 52& \qquad 19\\ \qquad 6& \qquad -48& \qquad -31\end{массив}\right],\text{and}C=\left[\begin{array}{rrr}\qquad -100& \qquad -89& \qquad -98\\ \qquad 25& \qquad -56& \qquad 74\\ \qquad -67& \qquad 42& \qquad -75\end{массив}\right]A=⎣

⎡​−154110​25−734​32 −28−2​⎦

⎤​,B=⎣

⎡​45−246​2152−48​−3719−31​⎦

⎤​, и C=⎣

⎡​−10025−6​ −89−5642​−9874−75​⎦

⎤​

.

Раствор

На странице матрицы калькулятора вводим матрицу

AAA

выше как матричная переменная

[A]\left[A\right][A]

, матрица

BBB

выше как матричная переменная

[B]\left[B\right ][B]

и матрица

CCC

выше как матричная переменная

[C]\left[C\right][C]

.

На главном экране калькулятора вводим задачу и вызываем каждую переменную матрицы по мере необходимости.

[A]×[B]−[C]\влево[A\вправо]\times \влево[B\вправо]-\влево[C\вправо][A]×[B]−[C]

Калькулятор дает нам следующую матрицу.

[−983−4621361,8201,897−856−3112,032413]\left[\begin{array}{rrr}\qquad -983& \qquad -462& \qquad 136\\ \qquad 1,820& \qquad 1,897& \qquad -856\\ \qquad -311& \qquad 2,032& \qquad 413\end{массив}\right]⎣

⎡​−9831,820−311​−4621,8972,032​136−856413​⎦

⎤​

Лицензии и атрибуты

Контент с лицензией CC, конкретное авторство

• Precalculus.

  No related posts.