Расширенная матрица системы линейных уравнений
Термин и определение
получается из основной матрицы (матрицы системы) путём добавления столбца из свободных членов
Научные статьи на тему «Расширенная матрица системы линейных уравнений»
Линейная алгебра Матрицы и действия над ними
Рассматриваются матрицы, которые содержат m строк и n столбцов…
Ранг матрицы Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее…
Метод Гаусса
Вводится понятие расширенной матрицы, совместной и определенной системы уравнений, равносильных…
систем уравнений, однородной системы линейных уравнений….
Правило решения системы уравнений:
Найти ранг основной ($rA$) и расширенной ($r \bar{A}$):
Если $rA
Статья от экспертов
Метод основан на преобразовании исходной задачи наименьших квадратов к эквивалентной расширенной системе линейных уравнений с симметричной матрицей.Научный журнал
Creative Commons
линейных уравнений….
линейных алгебраических уравнений)….
, когда ранг матрицы и ранг расширенной матрицы, полученной добавлением «к» столбца свободных членов…
равны) или совсем не иметь решения (в случае, когда ранг матрицы и расширенной матрицы отличаются)….
Предположим, что имеется система из трех линейных уравнений.
Статья от экспертов
Рассматривается новый метод решения плохо обусловленных линейных алгебраических систем с применением дифференцирующего оператора.
Такого вида задачи возникают при решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Основная сложность данного метода состоит в том, что матрица дискретного аналога оператора дифференцирования является матрицей неполного ранга. Для решения подобного класса задач используются методы, основанные на обобщенном сингулярном разложении. Этот подход имеет очень высок…
Научный журнал
Creative Commons
Повышай знания с онлайн-тренажером от Автор24!
- 📝 Напиши термин
- ✍️ Выбери определение из предложенных или загрузи свое
- 🤝 Тренажер от Автор24 поможет тебе выучить термины, с помощью удобных и приятных карточек
§4. Системы линейных уравнений.
…Система уравнений
вида: называется системой линейных уравнений с
неизвестными.
В матричной форме система имеет вид: ,
где , , .
Здесь
-матрица системы,
-матрица-столбец
неизвестных,
—
матрица-столбец свободных членов. Если ,
где — нулевая матрица-столбец (все её элементы
равны нулю), то система называется однородной, в противном
случае неоднородной.
Если в системе и определитель матрицы системы (т.е. матрица имеет обратную ), то система имеет единственное решение, определяемое:
а) по формулам Крамера: , , где — определитель, получаемый из определителя системы заменой -ого столбца на столбец свободных членов;
б) методом обратной матрицы по формуле .
Решение произвольной
системы уравнений находят методом
Гаусса. Для
этого составляют расширенную матрицу
системы ,
приписывая к матрице системы
справа столбец свободных членов
.
Затем расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований
над строками и перестановкой столбцов
приводят к специальному виду: .
Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то исходная система
уравнений несовместна; если ,
то система совместна. Совместная система
имеет единственное решение, если ,
и бесконечное множество решений, если .
Считая базисными неизвестными, -свободными,
бесконечное множество решений записывают
в виде общего решения, придавая свободным
неизвестным произвольные значения: и выражая базисные неизвестные через
свободные.
Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы (при это условие означает: ).
Если
,
то однородная система имеет линейно
независимых частных решений: ,
называемых её фундаментальной системой решений. Общее
решение однородной системы имеет
вид ,
где -произвольные
постоянные. Решения ,
образующие фундаментальную систему
решений, можно получить, если в общем
решении однородной системы свободным
неизвестным придавать поочерёдно
значение ,
полагая остальные равными .
Общее решение неоднородной системы может быть найдено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и произвольного частного решения неоднородной системы: .
В задачах 1.91-1.100 решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
1.91 . 1.92 .
1.93. 1.94 .
1.95. 1.96 .
1.97. 1.98 .
1.99. 1.100.
В задачах 1.101-1.114 решить системы уравнений методом Гаусса.
1.101. 1.102.
1.103. 1.104.
1.105. 1.106 .
1.107. 1.108 .
1.109.
1.
110.
1.111.
1.113 .
1.114 .
В задачах 1.115-1.118 найти фундаментальную систему решений и общее решение однородных систем уравнений.
1.115. 1.116 .
1.117. 1.118 .
В задачах 1.119-1.122 найти общие решения неоднородных систем, используя фундаментальную систему решений соответствующих однородных.
1.119.
1.120.
1.121.
1.122.
Как найти расширенную матрицу системы уравнений?
Матрицы — одна из основ математики. Эта статья о том, как найти расширенную матрицу. Расширенная матрица — это матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц с целью выполнения одних и тех же элементарных операций со строками над каждой из заданных матриц. В системе уравнений расширенная матрица представляет константы, присутствующие в данных уравнениях.
Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить коэффициенты от констант.
Система уравнений
Системы уравнений бывают двух типов:
- Однородная система уравнений
Это система уравнений, в которой постоянная часть (правая часть уравнения) равна нулю. Пример:
- Неоднородная система уравнений
Это система уравнений, в которой постоянная часть (правая часть уравнения) отлична от нуля. Пример,
Матрица коэффициентов
Матрица коэффициентов — это матрица, состоящая из коэффициентов переменных в системе уравнений.
Постоянная матрица
Постоянная матрица — это матрица, состоящая из значений в правой части системы уравнений.
Расширенная матрица системы
Расширенная матрица представляет собой комбинацию двух матриц системы уравнений, которая содержит матрицу коэффициентов и матрицу констант (матрицу-столбец), разделенные пунктирной линией.
Агментированная матрица X IS,
x = [A: B]
, где, x = Augmented Matrix
A = коэффициентная матрица
B = постоянная матрица
для атмосферной системы B = постоянная матрица для атмосферной системы . линейных уравнений с коэффициентом A IJ и переменных x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n . Активная матричная матричная.0002 Шаги для получения расширенной матрицы Вопрос 1. Найдите расширенную матрицу системы уравнений0003 Постоянная матрица: Требуется дополненная матрица: Вопрос 2: Найдите дополненную матрицу системы уравнений, Решение: Matrix: Требуемая расширенная матрица: Вопрос 3. Найдите расширенную матрицу системы уравнений, Решение: Матрица коэффициента: Постоянная Матрица: Требуется дополненная матрица: Вопрос 4: Найти дополненную матрицу системы, . Матрица: Постоянная матрица: Требуемая расширенная матрица: Вопрос 5: Найдите расширенную матрицу системы уравнений, Решение: Матрица коэффициента: Постоянная Матрица: Требуемая матрица. Решение: Матрица коэффициентов: Постоянная матрица: Требуемая расширенная матрица: Вопрос 7. Найдите расширенную матрицу системы уравнений, Решение: Матрица коэффициентов: Матрица констант: Требуемая расширенная матрица: Примеры задач
Матрица может служить средством для представления и решения системы уравнений.
Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее дополненная матрица .
Например, рассмотрим следующую
2×22\times 22×2
систему уравнений.
3x+4y=74x−2y=5\begin{array}{l}3x+4y=7\\ 4x — 2y=5\end{array}3x+4y=74x−2y=5
Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:
[344−2 ∣ 75]\left[\begin{array}{rr}\qquad 3& \qquad 4\\ \qquad 4& \qquad -2\end{array} \text{ }|\text{ }\begin{array}{r}\qquad 7\\ \qquad 5\end{array}\right][344−2 ∣ 75]
Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрица коэффициентов .
[344−2]\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& -2\end{array}\right][344−2]
Система уравнений 3 на 3, такая как
3x−y−z=0 x+y=5 2x−3z=2\begin{array}{l}3x-y-z=0\qquad \\ \ text{ }x+y=5\qquad \\ \text{ }2x — 3z=2\qquad \end{array}3x−y−z=0 x+y=5 2x−3z=2
имеет матрицу коэффициентов
[3−1−111020−3]\left[\begin{array}{rrr}\qquad 3& \qquad -1& \qquad -1\\ \qquad 1& \qquad 1& \qquad 0\\ \qquad 2& \qquad 0& \qquad -3\end{массив}\right]⎣
⎡312−110−10−3⎦
⎤
и представлен расширенной матрицей
[3−1−111020−3 ∣ 052]\left[\begin{array}{rrr}\qquad 3& \qquad -1& \qquad -1\\ \qquad 1& \qquad 1& \qquad 0\\ \qquad 2& \qquad 0& \qquad -3\end{array}\text{ }|\text{ }\begin{array}{r}\qquad 0\\ \qquad 5\\ \qquad 2 \end{массив}\right]⎣
⎡312−110−10−3 ∣ 052⎦
⎤
Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные располагаются в своих столбцах: x — термины идут в первом столбце, y — термины во втором столбце и z — термины в третьем столбце.
Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме
ax+by+cz=dax+by+cz=dax+by+cz=d
, чтобы переменные выровнялись. Если в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен 0.
Как: Имея систему уравнений, напишите расширенную матрицу.
- Напишите коэффициенты x -термы как числа в первом столбце.
- Запишите коэффициенты y -членов в виде чисел во втором столбце.
- Если имеется z -членов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
- Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.
Пример 1. Написание расширенной матрицы для системы уравнений
Запишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.
x+2y-z=3 2x-y+2z=6 x-3y+3z=4\begin{array}{l}\text{ }x+2y-z=3\qquad \\ \text{ } 2x-y+2z=6\qquad \\ \text{ }x — 3y+3z=4\qquad \end{массив} x+2y-z=3 2x-y+2z=6 x-3y+3z=4
Решение
Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.
[12−12−121−33 ∣ 364]\left[\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad 2& \qquad -1\\ \qquad 2& \qquad -1& \qquad 2\\ \qquad 1& \qquad -3& \qquad 3\end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{array}{r}\qquad 3\\ \qquad 6\\ \qquad 4\end{массив}\right ]⎣
⎡1212−1−3−123 ∣ 364⎦
⎤
Попробуйте 1
Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.
4x−3y=113x+2y=4\begin{array}{l}4x — 3y=11\\ 3x+2y=4\end{array}4x−3y=113x+2y=4
Решение
Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решить системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным. Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать система уравнений в стандартной форме.
Пример 2. Запись системы уравнений из расширенной матричной формы
Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1−3−52−5−4−354 ∣ −256]\left[\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad -3& \qquad -5\\ \qquad 2& \qquad -5& \ qquad -4\\ \qquad -3& \qquad 5& \qquad 4\end{array}\text{ }|\text{ }\begin{array}{r}\qquad -2\\ \qquad 5\\ \qquad 6\end{массив}\right]⎣
⎡12−3−3−55−5−44 ∣ −256⎦
⎤
Решение
Когда столбцы представляют переменные
xxx
,
yyy
и
zzz
,
[1−3−52−5−4−5−x−2]∣ −22x−5y−4z=5−3x+5y+4z=6\left[\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad -3& \qquad -5\\ \qquad 2& \qquad -5& \qquad — 4\\ \qquad -3& \qquad 5& \qquad 4\end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{массив}{r}\qquad -2\\ \qquad 5\\ \qquad 6\ end{array}\right]\to \begin{array}{l}x — 3y — 5z=-2\qquad \\ 2x — 5y — 4z=5\qquad \\ -3x+5y+4z=6\qquad \конец{массив}⎣
⎡12−3−3−55−5−44 ∣ −256⎦
⎤→x−3y−5z=−22x−5y−4z=5−3x+5y+4z=6
Попробуйте 2
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.