Как найти в дроби х: § Как решить уравнение с неизвестным в дроби

Знаменатель дроби на 2 больше числителя, см. Как найти дробь

Знаменатель дроби на 2 больше числителя. Если числитель увеличить на 15, а знаменатель — на 3, то получится число 1 и 5/6. Найдите дробь.

(Никольский. Алгебра. 8 класс. № 325 б)

Пусть х — числитель искомой дроби, тогда х+2 — её знаменатель. После увеличения числителя на 15, а знаменателя на 3 получается дробь, равная 11/6. То есть

(х+15)/(х+5) = 11/6.

Решая это уравнение, находим числитель неизвестной дроби:

6(х+15) = 11(х+5)

11х-6х = 90-55,

5х = 35,

х = 7.

Знаменатель дроби 7+2 = 9.

Ответ: 7/9.

Проверка:

(7+15)/(9+3) = 22/12 = 11/6.

Ну, коли после нехитрых прибавлений в знаменателе новой дроби получается «шестерка» (ведь 1 и 5/6 — это то же самое, что и 11/6), то получается что прежний знаменатель был равен «тройке» (ведь увеличивали его «на», а не «в»). Тогда и числитель исходной дроби должен быть равен «единице» (поскольку ее знаменатель был на 2 больше числителя)…

Вот только незадача получается. Если к исходной единице прибавить 15, то получится в новом числителе ажно 16. НО нам пытаются внушить, что получившаяся дробь лишь 11/6, а не 16/6.

Так что кто-то из нас троих, включая автора учебника алгебры Никольского (причем тут алгебра — ума не приложу!), мягко говоря, неправ…

Где-то на уровне подсознания (во сне) мне не давала покоя мысль авторов ответов Nasos [159K] и Вл50 [176K], у которых вроде бы все логично и понятно… Они результирующую дробь умножали на 1, предварительно представив ее как дробь 2/2.

Но что мешает нам представить ту же единицу в виде дроби 3/3 или 4/4? Результат умножения будет одинаков, не так ли?

Однако при дроби 3/3, применив логику названных выше авторов, получаем исходную дробь в виде 18/15 или 6/5 — что нарушает условия задачи.

Если же взять дробь 4/4, то результат применения логики тех же авторов будет таким: 39/21, что вообще ни в какие ворота не лезет.

Видимо от всей этой «мистики» мой мозг попытался найти строгое математическое решение (в котором нашлось место и алгебре), вот только решения так и не нашлось:

Пусть наша исходная дробь есть ничто иное как M/N, тогда по условиям задачи можно составить такую систему линейных уравнений (ура алгебре!)

N-M=2

N+3=6

M+15=11

Без всяких подстановок видно, что при любом положительном M третье уравнение ошибочно. Стало быть M должно быть отрицательным, а именно -4. Но тогда N должно быть тоже отрицательным, а именно -2 (согласно первому уравнению системы). Однако при этом к черту летит второе уравнение системы, да и исходное условие задачи тоже. Точнее мы приходим к абсурду, который я показал в своем первом ответе.

Таким образом, задача имеет лишь частное решение, данное авторами Nasos [159K] и Вл50 [176K], но математикой в строгом виде тут и не пахнет. Про решение данное автором frmnt­e [13.4K] я скромно промолчу, ибо там сплошная софистика…

Что есть такое 1 и 5/6, а это не что иное, как дробь 11/6? А что там автор задачи делал с исходной дробью? Нам-то как раз нужно сделать обратные действия, чтобы получить исходную дробь. Поскольку из числителя дроби нужно отнять число 15, следовательно, нашу дробь 11/6 нужно превратить в дробь 22/12:

(22 — 15) / (12 — 3) = 7/9

Всё верно, числитель на две единицы меньше знаменателя.

Ответ: исходная дробь была равна 7/9

примеры задач на дробные выражения

Нахождение числа по заданному значению его дроби

Примечание 1

Дробь — вариант записи числа в математике.

Дроби разделяют на следующие виды:

1. Обыкновенные.
2. Десятичные.

Запись числа в виде обыкновенной дроби предполагает написание числа, представленного в виде числителя, поделенного на знаменатель. Знак, отделяющий числитель от знаменателя, называют дробной чертой. Дробная черта подразумевает знак деления.

Примечание 2

Числитель — число над дробной чертой в обыкновенной дроби.

Знаменатель — число под дробной чертой в обыкновенной дроби.

Если числитель равен знаменателю, то дробь превращается в единицу.

Если числитель меньше знаменателя, то дробь правильная.

Если числитель больше знаменателя — неправильная.

Пример 1

Обыкновенные дроби: 45, 611, 127.

Среди обыкновенных дробей выделяют смешанные числа вида 345

В этой записи числа 3 обозначает целую часть, 4 — числитель, 5 — знаменатель.

Чтобы перевести смешанное число в обыкновенную дробь, нужно:

1. В числителе записать число, которое получают по схеме: целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель.
2. Знаменатель дроби оставить без изменений.

Полученная дробь называется неправильной. У нее числитель будет больше знаменателя.

Пример 2

Перевести смешанное число 345 в неправильную дробь.

Решение.

345=3*5+45=195.

Ответ: 195.

Десятичные дроби записываются с помощью знака запятой, отделяющей целую часть от дробной части.

Пример 3

Десятичные дроби: 7,346;\;0,97;\;0,0001.

Задача 1

Вася съел 37 пиццы, что составляется 6 кусков. Найдите, на сколько частей разделена пицца.

Объяснение решения.

Пусть вся пицца равняется x. Тогда по условию задачи: 37 пиццы (x) равны трем кускам, получим уравнение 37x=6.

Из этого уравнения находим x, выраженный неизвестным множителем. Для этого нужно произведение разделить на известный множитель.

Получим: x=6:37.

Чтобы натуральное число разделить на обыкновенную дробь, нужно:

1. Переписать натуральное число, а знак деления заменить на знак умножения.
2. Умножить натуральное число на дробь, которая будет взаимно обратной данной.

Взаимно обратными называются дроби, произведение которых дает единицу.

Дробь, являющаяся взаимно обратной дроби 37 — это 73.

Тогда 6 умножаем на 73.

Чтобы умножить число на обыкновенную дробь:

1. Натуральное число представляем в виде дроби со знаменателем 1.

Получим: 61.

1. Умножаем полученные дроби: числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель.

61*73=6*71*3.

1. Сокращаем полученную дробь: ищем такое число, на которое делится и числитель, и знаменатель нацело (без остатка).

6 и 3 делятся нацело на 3.

Получим:

6*71*3=2*71*1=141=14

Вся цепочка решения:

x=6:37=61:37=61*73=6*71*3=2*71*1=141=14.

Получаем, что пицца состоит из 14 кусков.

Ответ: пиццу разделили на 14 частей.

Основные правила, описание алгоритма

Правило 

Нахождение числа по заданному значению его дроби можно свести к следующему правилу: значение делим на дробь.

Пример 4

56 числа равны 20. Найдите это число.

Решение.

Воспользуемся правилом: чтобы найти число по заданному значению его дроби, нужно значение разделить на дробь.

Получим: 20:56.

Чтобы число разделить на обыкновенную дробь, нужно натуральное число умножить на дробь, взаимно обратную данной.

Дробь, которая будет взаимно обратной дроби 56 равна 65.

Переводим натуральное число в дробь. Для этого представляем его в виде: 201.

Получим выражение: 201*65.

Считаем:

201*65=20*61*5.

Сокращаем дробь. Числитель и знаменатель делятся нацело на 5.

20*61*5=4*61*1=241=24.

Вся цепочка решения: 20:56=201:56=201*65=20*61*5=4*61*1=241=24.

Ответ: искомое число равно 24.

Также встречаются задания на нахождение числа по его проценту.

Процент — это сотая часть числа. Чтобы перевести проценты в число, нужно это число разделить на сто процентов.

Разберем алгоритм решения задач такого типа на примере.

Задача 2

Увеличив время на работу на 5%, Маша собрала на 2 подарка больше за неделю, чем планировала. Сколько подарков должна была собрать Маша изначально?

Решение.

Переводим проценты в десятичную дробь. Для этого используем правило: данное число процентов (5%) делим на 100%. Получаем:

5%:100%=0,05.

Теперь по правилу нахождения числа по значению его дроби, делим 2 на 0,05.

В выражении 2 — делимое; 0,05 — делитель.

Чтобы разделить натуральное число на десятичную дробь, нужно:

1. Избавиться от запятой в делителе. Для этого умножаем 0,05 на 100 — в дроби после запятой два знака, значит, умножаем на сто. Количество знаков после запятой в дроби соответствует количеству нулей после единицы в множителе.
2. Чтобы выражение осталось неизменным, нужно умножить на 100 и делимое.

Получим: 2*100=200.

1. Подставим в выражения измененные числа: 200 разделим на 5.
2. Считаем:

200:5 =40.

Вся цепочка решения: 2:0,05=(2*100):(0,05*100)=200:5=40.

Ответ: 40 подарков.

Получаем алгоритм нахождения числа по его проценту:

1 шаг — перевести процент в число: разделить число процентов на сто процентов.

2 шаг — разделить значение заданной части числа на полученное в первом шаге значение.

Примеры задач на дробные выражения для 6 класса

Пример 5

79 числа составляют 42. Найдите это число.

Решение.

Пусть неизвестное число равняется x. Тогда 79 числа x равняются 42:

79x=42.

Задача свелась к решению уравнения. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Получим:

79x=42 x=42:79 Чтобы натуральное число разделить на обыкновенную дробь, представляем натуральное число в виде дроби со знаменателем 1 и умножаем ее а дробь, которая будет взаимно обратной дроби  79. x=421*97 Умножаем числитель на числитель, знаменатель на знаменатель:  x=42*91*7 Сокращаем дробь: ищем общий делитель числителя и знаменателя. Числитель и знаменатель делятся нацело на 7  42 делится нацело на 7 и 7 делится нацело на 7.  x=6*91*1 x=541 x=54.

Ответ: 54.

Пример 6

Используя материал урока, самостоятельно решите задание.

63% числа составляют 126. Найдите это число.

Решение.

Переводим 63% в десятичную дробь. Получим 0,63.

63%:100%=0,63.

Тогда 0,63 от искомого числа составляют 126. Обозначим искомое число за x.

Получим уравнение:

0,63x=126.

Решаем уравнение.

0,63x=126 x=126:0,63  Чтобы число разделить на десятичную дробь, избавляемся в делителе от запятой. Для этого каждый компонент выражения умножаем на сто. Получим:  x=12600:63  И считаем: x=200.

Ответ: искомое число — 200.

Задача 3

Иван прошел 250 метров, что составляет 47 местной экологической тропы. Какова протяженность экологической тропы?

Решение.

Пусть длина всей экологической тропы равняется x метрам. Тогда получим уравнение для нахождения всего пути:

47x=250.

Чтобы найти неизвестный множитель x, делим произведение на известный множитель.

x=250:47  Представляем натуральное число в виде дроби  2501. x=2501:47 Чтобы разделить две дроби друг на друга, первую дробь переписываем, знак деления меняем на знак\;умножения,\;вторую\;дробь\;«переворачиваем»\;(находим дробь, обратную данной).  x=2501*74 Перемножаем числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.  x=250*71*4 Сокращаем дробь: делим числитель и знаменатель на одно и то же число. 250 и 4 делятся на 2. x=125*71*2 x=8752 Делим числитель на знаменатель. Получаем десятичную дробь: x=437,5.

Ответ: длина экологической тропы 437,5 метра.

Задача 4

Ирина одолела 25% заданий, что составляет 4 примера. Сколько примеров нужно решить Ирине.

Решение.

Пусть суммарное количество примеров равняется x. Тогда 25% от x равняется 4.

Составим уравнение: 25%x=4.

Чтобы решить уравнение, нужно найти неизвестный множитель x: произведение разделить на известный множитель.

Переводим проценты в дробь: 25%:100%=0,25.

Получим уравнение: 0,25x=4.

0,25x=4 x=4:0,25  Чтобы натуральное число разделить на десятичную дробь, домножаем каждый компонент на сто: x=4*100:0,25*100 x=400:25 x=16.

Получается, Ирине было задано решить 16 примеров, из которых 4 она уже решила. Значит, ей осталось решить:

16-4=12 примеров

Ответ: Ирине осталось решить 12 примеров.

Выберите и составьте эквивалентную форму выражения, чтобы раскрыть и объяснить свойства величины, представленной выражением. | СС | ЧСА | HSA-SSE | HSA-SSE.B

---

Дополнительные темы

в Выберите и создайте эквивалентную форму выражения, чтобы выявить и объяснить свойства величины, представленной выражением.

---

Popular Tutorials

in Выберите и создайте эквивалентную форму выражения, чтобы выявить и объяснить свойства величины, представленной выражением.

• Какова сила частного правила?

  Возвели дробь в степень? Узнайте, как разделить этот показатель степени и поместить его в числитель и знаменатель вашей дроби, используя силу правила частного. Этот урок покажет вам, как!

• Что такое экспоненциальная функция?

  Ищете уравнение с переменной в показателе степени? У вас есть экспоненциальная функция! Узнайте об экспоненциальных функциях в этом руководстве.

• Как разложить трехчлен на множители?

  Разложение трехчленов на множители может быть сложным, но это руководство может помочь! Следите за тем, как прямо на ваших глазах вычисляется трехчлен! Затем проверьте свой ответ, используя метод FOIL, чтобы снова перемножить двучлены и посмотреть, получится ли исходный трехчлен.

• Как решить квадратное уравнение с помощью факторинга?

  Одним из многих способов решения квадратного уравнения является его разложение на множители. В этом уроке вы увидите, как факторизовать квадратное уравнение, используя метод факторинга «догадка и проверка». Затем используйте свойство нулевого произведения, чтобы найти решение!

• Как использовать ярлык для разложения на множители идеального квадратного трехчлена?

  Разложение на множители совершенного квадратного трехчлена? Знаете ли вы, что существует короткий путь к разложению на множители этого специального вида трехчлена? Проверьте это! Это довольно круто, и это может сделать этот процесс немного быстрее!

• Что такое произведение правила степеней?

  Работа с экспонентами может быть очень увлекательной, если вы понимаете, как они работают. В этом уроке вы увидите, как складываются показатели степени, когда вы умножаете одно и то же число, возведенное в разные степени!

• В чем сила силового правила?

  Иногда вы видите число с показателем степени, возведенным в степень, и в первый раз, когда вы видите его, вы, вероятно, думаете, что это опечатка! Но это не опечатка, это реальная вещь, и есть действительно хороший трюк, чтобы упростить ее, который вы увидите в видео.
• В чем сила правила продукта?

  Есть отличный трюк для возведения произведения двух чисел в степень, и этот урок покажет вам, как именно этот трюк работает.

• Что такое правило отношения сил?

  Работа с экспонентами может быть очень увлекательной, если вы понимаете, как они работают. В этом уроке вы увидите, как складываются показатели степени, когда вы делите одно и то же число, возведенное в разные степени!

• Как разложить полином на множители, используя разность квадратов?

  Пытаетесь разложить на множители двучлен с вычитаемыми множителями с идеальным квадратом? У вас есть задача на разность квадратов! Узнайте, как факторизовать такой бином, как этот, посмотрев этот урок.

• Что такое свойство нулевого продукта?

  Свойство нулевого произведения позволяет разделить произведение факторов на отдельные уравнения. Затем вы можете решить каждое уравнение, чтобы получить решения исходного уравнения! Узнайте все об этом очень полезном свойстве, посмотрев этот урок.

• Как разложить полином на множители, угадывая и проверяя?

  Разложение трехчленов на множители может быть сложным, но это руководство может помочь! Следите за тем, как трехчлен факторизуется с использованием метода догадок и проверок. Что, никакие возможности не работают? Трехчлен должен быть простым! Посмотрите этот урок и посмотрите, что получится!

• Как разложить полином на множители с помощью метода A-C?

  Разложение трехчленов на множители может быть сложным, но это руководство может помочь! Посмотрите, как использовать метод A-C для разложения трехчлена на произведение двух двучленов.

  Затем используйте метод FOIL, чтобы снова перемножить два бинома, чтобы проверить свой ответ.

• Как найти все возможные делители трехчлена?

  При разложении трехчлена на произведение двух двучленов иногда полезно знать все возможные варианты. В этом уроке используется метод «угадай и проверь», чтобы сделать именно это! Взглянем!

• Как найти шаблон для разложения трехчлена на множители?

  Знаете ли вы, что при разложении трехчлена на множители знаки трехчлена определяют знаки произведения двучленов? Эта информация действительно полезна, когда вы факторизуете трехчлены! Посмотрите этот урок и изучите различные случаи знаков.

• Как выделить общий делитель из разности квадратов?

  Пытаетесь разложить бином? Посмотрите, сможете ли вы выделить наибольший общий множитель. В этом руководстве показано, как разложить бином на множители, сначала выделив наибольший общий множитель, а затем используя разность квадратов.

  Проверьте это!

• Как узнать, есть ли у вас разница квадратов?

  Не уверены, что бином, который вы разложили на множители, представляет собой задачу на разность квадратов? Этот урок покажет вам, какими характеристиками должен обладать бином, чтобы быть задачей на разность квадратов. Взглянем!

• Как преобразовать квадратичную форму из стандартной формы в вершинную, заполнив квадрат?

  Вершинная форма квадратного уравнения может помочь вам быстро определить вершину этого квадратного уравнения. Следуйте этому руководству, чтобы узнать, как использовать метод завершения квадрата, чтобы изменить квадратное уравнение из стандартной формы в вершинную форму!

• Как преобразовать квадрат из стандартной формы в форму вершины, дополнив квадрат, если a≠1? 92 + 7x + 10)

  найти х

  Подписаться І 1

  Подробнее

  Отчет

  2 ответа от опытных наставников

  Лучший Новейшие Самый старый
  Автор: ЛучшийНовыйСтарый

  Раймонд Б. ответил 07.04.20

  Репетитор

  5 (2)

  Математика, микроэкономика или уголовное правосудие

  См. таких репетиторов

  Посмотреть таких репетиторов

  Первое, что вы можете заметить, это то, что знаменатель в правой части является произведением двух знаменателей в левой части.

  Это если предположить, что вы расставили скобки не в том месте, но это слишком большое совпадение.

  Поместите левую часть над тем же знаменателем (x+2)(x+7). Это множители знаменателя в правой части. 92 +13x + 4 = 0

  x = -13/4 + или — (1/4) квадратный корень из 169-4(2)(4)

  = -13/4+ или — (1/4) )кв(137)

  Голосовать за 0 Голосовать против

  Подробнее

  Отчет

  Дафина Э. ответил 06.04.20

  Репетитор

  5,0 (594)

  Опытный репетитор по математике – помогает учащимся достичь академических целей!

  Смотрите таких репетиторов

  Посмотреть таких репетиторов

  x — 3x = 4

  x + 5 x + 2 x ² + 7x + 10

  Ваш первый шаг — найти общий знаменатель, который оказывается (x + 5) (x + 2) [если вы разложите x ² + 7x + 10, вы получите (x + 2)(x + 5)]

  Чтобы все члены имели одинаковый знаменатель, умножьте первый член на (x + 2)/(x + 2), а второй член равен (x + 5)/(x + 5).

  x • (x + 2) — 3x • (x + 5) = 4

  x + 5 (x + 2) x + 2 (x + 30) x 2 + 7x + 10

  x ² + 2x — 3x ² + 15x = 4

  (X + 5)(x + 2) (X + 5)(x + 2) (x + 5)(x + 2)

  Поскольку все знаменатели одинаковы, вы можете просто работать с числителем:

  x ² + 2x — (3x ² + 15x) = 4

  x ² + 2x — 3x ² — 15x = 4

  -2x ² — 13x = 4

  -2x ² — 13x = 4

  2020 -2x ² — 13x = 4

  -2x ² — 13x = 4

  -2x ² — 13x. все, что находится в одной части уравнения ))

  = -13 +/- √(169 — 32) = -13 +/- √(137)

  2(2) 4 4

  x = -13 + √(137) , -13 — √(137)

  4 4

  Надеюсь, это поможет. Трудно писать без надлежащего форматирования.

  Голосовать за 0 Голосовать против

  Подробнее

  Отчет

  Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.

  Задайте вопрос бесплатно

  Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
  Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

  ИЛИ

  Найдите онлайн-репетитора сейчас

  Выберите эксперта и встретьтесь онлайн.

  No related posts.