Как найти вероятность формула: Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Формулы, теория, решения

Формула полной вероятности

Иногда найти вероятность интересующего нас события А, Р(А) , по классической формуле трудно или принципиально невозможно. Однако известны или легко находятся условные вероятности события А относительно полной группы попарно несовместных событий Н₁ , Н₂ , …, Н_n, называемых гипотезами. То есть событие А может произойти с одним из событий Н_к ,

Предположим, что известны вероятности гипотез Р(Н_к ) и условные вероятности Р( А/Н_к). В нашем случае Н₁ + Н₂ + … +Н_n =  , то есть событие достоверное. Можно показать, что

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример . Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защищены от воздействия помех. Вероятность того, что защищенный канал не выйдет из строя в течение времени τ равна 0.95, для незащищенного канала – 0.8. Найти вероятность того, что наудачу выбранный радиотелеграфистом канал радиосвязи не выйдет из строя за указанный промежуток времени.

Решение. Из условия задачи очевидно, что нас интересует событие А − канал радиосвязи не выйдет из строя за указанный промежуток времени. Для опыта – случайно выбирается один радиоканал – пространство элементарных событий Ω ={ Н₁ , Н₂ } состоит из 2 событий:

Н₁ − канал защищен от воздействия помех,

Н₂ − канал не защищен от воздействия помех.

Эти события могут быть выбраны в качестве гипотез.

По условию задачи вероятности выбора защищенного и незащищенного каналов соответственно равны:

Р(Н₁) = 6/10; Р(Н₂) =4/10.

Событие А (канал радиосвязи не выйдет из строя) может происходить по условию задачи только вместе событиями Н₁ (канал защищен) и Н₂ (канал не защищен) т. е. (рис. 1).

Рис. 1

Вероятности того, что канал не выйдет из строя, равны соответственно

Р(А/Н₁ ) = 0.95; Р(А/Н₂ ) = 0.8.

По формуле (3) находим

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁ )+Р(Н

₂)Р(А/Н₂ ) = 0.60.95 + 0.40.8 = 0.83.

Пример . Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0.25; 0.35 и 0.40 , соответственно. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, равны соответственно 0. 1; 0.2 и 0.3. Определить вероятности того, что случайно взятая лампа проработает заданное число часов.

Решение. Из условия задачи очевидно, что нас интересует событие А − лампа проработает заданное число часов. Для опыта – случайно берется одна лампа – пространство элементарных событий Ω ={ Н₁ , Н₂ , Н₃ } состоит из 3 событий: Н₁, Н₂, Н₃−

лампа принадлежит, соответственно, первой, второй и третьей партии. Эти события могут быть выбраны в качестве гипотез.

По условию задачи вероятности того, что радиолампа принадлежит к одной из трех партий, соответственно равны:

Р(Н₁) = 0.25; Р(Н₂) = 0.35; Р(Н₃) = 0.40.

Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, равны соответственно

Р(А/Н₁ ) = 0. 1; Р(А/Н₂ ) = 0.2; Р(А/Н₃ ) = 0.3.

По формуле (3) находим

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁ )+Р(Н₂)Р(А/Н₂

)+Р(Н₃)Р(А/Н₃ ) =

= 0.250.1 + 0.350.2 + 0.400.3 = 0.215.

Пример . В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение. Пусть событие А − извлечен белый шар – интересующее нас событие. Для опыта – случайно берется один шар из урны. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

Н₁ − белых шаров нет,

Н₂ −один белый шар,

Н₃ − два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равно возможны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е.

Р(Н₁)= Р(Н₂)= Р(Н₃)= 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, Р (А/Н₁ ) = 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, Р (А/Н₂ ) = 2/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара, Р (А/Н₃ ) = 3/3 = 1.

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)+Р(Н₃)Р(А/H₃)=

=1/31/3 +1/32/3+1/31=2/3.

Формула БАЙЕСА

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А, вероятность которого следовало определить, могло произойти с одним из событий Н₁ , Н₂ , …, Н_n, образующих полную группу попарно несовместных событий. При этом вероятности указанных событий (гипотез) были известны заранее. Предположим, что произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероятностей гипотез

Н_i , вычислив Р(Н_i/А).

или, воспользовавшись формулой полной вероятности, получим

Эту формулу называют формулой Байеса или теоремой гипотез. Формула Байеса позволяет «пересмотреть» вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, в результате которого появилось событие А.

Вероятности Р(Н_i) − это априорные вероятности гипотез (они вычислены до опыта). Вероятности же Р(Н_i/А) − это апостериорные вероятности гипотез ( они вычислены после опыта). Формула Байеса позволяет вычислить апостериорные вероятности по их априорным вероятностям и по условным вероятностям события

А.

Пример . Известно, что 5 % всех мужчин и 0.25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо по номеру медицинской карточки страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?

Решение. Событие А – человек страдает дальтонизмом. Пространство элементарных событий для опыта – выбран человек по номеру медицинской карточки – Ω = {Н₁ , Н₂ } состоит из 2 событий:

Н₁ −выбран мужчина,

Н₂ −выбрана женщина.

Эти события могут быть выбраны в качестве гипотез.

По условию задачи (случайный выбор) вероятности этих событий одинаковые и равны Р(Н₁) = 0.5; Р(Н

₂) = 0.5.

При этом условные вероятности того, что человек страдает дальтонизмом, равны соответственно:

Р(А/Н₁ ) = 0.05 = 1/20; Р(А/Н₂ ) = 0.0025 = 1/400.

Так как известно, что выбранный человек дальтоник, т. е. событие произошло, то используем формулу Байеса для переоценки первой гипотезы:

Пример . Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

Решение. Обозначим через А событие – появление белого шара. Можно сделать три предположения (гипотезы) о выборе ящика:

Н₁, Н₂, Н₃ − выбор соответственно первого, второго и третьего ящика.

Так как выбор любого из ящиков равновозможен, то вероятности гипотез одинаковы:

Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)=1/3.

По условию задачи вероятность извлечения белого шара из первого ящика

Вероятность извлечения белого шара из второго ящика

Вероятность извлечения белого шара из третьего ящика

Искомую вероятность находим по формуле Байеса:

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Проводится n испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти, причем вероятность события А в каждом отдельном испытании постоянна, т. е. не меняется от опыта к опыту. Как найти вероятность события А в одном опыте мы уже знаем.

Представляет особый интерес вероятность появления определенного числа раз (m раз) события А в n опытах. подобные задачи решаются легко, если испытания являются независимыми.

Опр. Несколько испытаний называюся независимыми относительно события А, если вероятность события А в каждом из них не зависит от исходов других опытов.

Вероятность Р_n(m) наступления события А ровно m раз (ненаступление n-m раз, событие ) в этих n испытаниях. Событие А появляется в самых разных последовательностях m раз).

— формулу Бернулли.

Очевидны следующие формулы:

Р_n(m<k) = Р_n(0) + Р_n(1) +…+ Р_n(k-1) — вероятность наступления события А менее k раз в n испытаниях.

P_n(m>k) = P_n(k+1) + P_n(k+2) +…+ P_n(n) — вероятность наступления события А более k раз в n испытаниях.

P_n(m k) = P_n(k) + P_n(k+1) + P_n(k+2) +…+ P_n(n) — вероятность наступления события А не менее k раз в n испытаниях

Р_n(m k) = Р_n(0) + Р_n(1) +…+ Р_n(k-1) + P_n(k) – вероятность наступления события А не более k раз в n испытаниях

— вероятность наступления события А хотя бы один раз в n испытаниях

Р_n(m<k) = 1 — P_n(m k)

P_n(m>k) = 1 — Р_n(m k)

— вероятность того, что в n опытах событие А появится от k₁ до k₂ раз.

Задача 1. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»? Какова вероятность, что более одного раза выпадет «герб»?

р = р(А) = ½, q = р( ) = ½,

1) n = 8, m = 4, p = q = ½,

P₈(4) =

2)

Биномиальная вероятность

Горячая математика

Биномиальный вероятность относится к вероятности точно Икс успехи на н повторные испытания в эксперименте с двумя возможными исходами (обычно называемый биномиальным экспериментом).

Если вероятность успеха в отдельном испытании п , то биномиальная вероятность равна н С Икс ⋅ п Икс ⋅ ( 1 − п ) н − Икс .

Здесь н С Икс указывает количество различных комбинации из Икс объекты, выбранные из множества н объекты. В некоторых учебниках используется обозначение ( н Икс ) вместо н С Икс .

Обратите внимание, что если п — вероятность успеха одного испытания, тогда ( 1 − п ) — вероятность неудачи одного испытания.

Пример:

Какова вероятность получить 6 головы, когда вы бросаете монету 10 раз?

В эксперименте с подбрасыванием монеты есть два исхода: орел и решка. Предполагая, что монета честная, вероятность выпадения орла равна 1 2 или 0,5 .

Количество повторных испытаний: н «=» 10

Количество успешных испытаний: Икс «=» 6

Вероятность успеха в индивидуальном испытании: п «=» 0,5

Используйте формулу биномиальной вероятности.

10 С 6 ⋅ ( 0,5 ) 6 ⋅ ( 1 − 0,5 ) 10 − 6

Упрощать.

≈ 0,205

Если исходов эксперимента больше двух, но их можно разбить на две вероятности п и д такой, что п + д «=» 1 , вероятность события может быть выражена как биномиальная вероятность.

Например, если бросить шестигранный кубик 10 раз, формула биномиальной вероятности дает вероятность выпадения тройки на 4 испытания и другие по оставшимся испытаниям.

Эксперимент имеет шесть исходов. Но вероятность выпадения 3 на одном испытании 1 6 и прокатка кроме 3 является 5 6 . Здесь, 1 6 + 5 6 «=» 1 .

Биномиальная вероятность:

10 С 4 ⋅ ( 1 6 ) 4 ⋅ ( 1 − 1 6 ) 10 − 4

Упрощать.

≈ 0,054

Вероятность: что такое, формула, типы, теории, использование

1. Ферровиал
2. СТЕРЖЕНЬ

Термин «вероятность» используется для определения математического расчета, который устанавливает все возможности, которые существуют для возникновения явления в определенных случайных обстоятельствах. Вероятность рассчитывается на основе значения от 0 до 1 , а уровень достоверности определяется близостью к единичному значению; с другой стороны, чем ближе к нулю, тем меньше уверенности в конечном результате.

По какой формуле рассчитывается вероятность?

Чтобы рассчитать вероятность, необходимо разделить количество благоприятных событий на общее количество возможных событий. Создается выборка, и расчет может быть выполнен на основе полученных данных.

Расчет вероятностей выражается в процентах и следует формуле:

Вероятность = Благоприятные случаи / возможные случаи x 100 .

Какие виды вероятности существуют?

• Математический: следует принципам формальной, неэкспериментальной логики, вычисляя случайные события, которые могут произойти в пределах определенного поля в цифрах.
• Частота: на основе экспериментов и определяет, сколько раз может произойти событие, учитывая определенное количество возможностей.
• Цель: заранее учитывает частоту события и проливает свет только на вероятные случаи, когда это событие может произойти.
• Субъективное: это понятие противоположно математической вероятности, так как оно принимает во внимание определенные возможности, которые позволяют сделать вывод о вероятности определенного события, даже не имея определенности на арифметическом уровне.
• Биномиальный: определяет успех или неудачу события только с двумя возможными исходами.
• Логический: повышает вероятность события, происходящего на основе индуктивных законов.
• Условный: объясняет вероятность того, что одно событие произойдет на основе предшествующего возникновения другого, поэтому одно зависит от другого.
• Гипергеометрический: вероятность, полученная с помощью методов выборки, то есть события классифицируются в соответствии с частотой их возникновения. Таким образом создается набор групп событий, определяемых в соответствии с их возникновением.

Какие теории объясняют вероятность?

Существует три метода определения вероятности любого события, и они основаны на правилах:

1. Дополнение: утверждает, что вероятность возникновения определенного события равна сумме отдельных вероятностей, пока события не происходят одновременно.
2. Умножение: утверждает, что вероятность возникновения двух или более независимых событий равна произведению их индивидуальных вероятностей.
3. Биномиальное распределение: утверждает, что вероятность данной комбинации событий, происходящих независимо друг от друга, допускает только два возможных взаимоисключающих исхода: успех или неудачу.

Существует также правило Лапласа , которое гласит, что в случайной выборке, состоящей из результатов, которые равновероятны, вероятность события является результатом деления числа возможных случаев на число вероятных случаев.

В каких ситуациях можно использовать вероятность?

Некоторые примеры применения вероятности:

1. Статистический анализ бизнес-рисков: падение цен на акции, инвестиционные отчеты и т. д. можно оценить с помощью вероятностных формул.
2. Страховой расчет: процессы, используемые для изучения надежности застрахованного лица, позволяющие узнать, выгодно ли его застраховать и по какой цене и в какой период времени это следует делать, возникают из вероятностных расчетов и стратегий.
3. Поведенческий анализ: в этом типе приложений вероятность используется для оценки определенного поведения выборки населения, чтобы можно было предсказать определенные модели мнений, поведения или мыслей.
4. Медицинские исследования: эффективность вакцин, а также их побочные эффекты у населения — это пример, определяемый вероятностными расчетами.

Загрузите здесь PDF-файл со всем содержанием математики.